Chuyên đề Toán 11 Trung học phổ thông

Tính chất của các số hạng trong cấp số cộng.. Các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và cấp số nhân.. Xác định ảnh của một hình qua phép đồng dạng.. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng k

Trang 1

KỲ THI TRUNG HỌC QUỐC GIA 2019-2020

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Th.s NGUYỄN CHÍN EM

Trang 2

MỤC LỤC

1 Hàm số lượng giác 4

A Lý thuyết 4

1 Định nghĩa 4

B Tính tuần hoàn 5

C Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác 5

D Câu hỏi trắc nghiệm 7

2 PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC CƠ BẢN 32

A Phương trình sin x = a 32

B Phương trình cos x = a 32

C Phương trình tan x = a 32

D Phương trình cot x = a 33

E Bài tập trắc nghệm 34

3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 66

A Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 66

B Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 66

C Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 66

D Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x 66

E Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x cos x 67

F Bài tập trắc nghệm 68

2 TỔ HỢP-XÁC SUẤT 108 1 Quy tắc cộng - quy tắc nhân 108

A Quy tắc cộng 108

1 Tóm tắt lý thuyết 108

2 Các dạng toán 108

} Dạng 1 Các bài toán áp dụng quy tắc cộng 108

B Quy tắc nhân 111

Trang 3

1 Tóm tắt lí thuyết 111

} Dạng 2 Đếm số 111

} Dạng 3 Chọn đồ vật 115

} Dạng 4 Sắp xếp vị trí 118

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 126

2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 148

A Hoán vị 148

1 Tóm tắt lý thuyết 148

2 Các dạng toán về hoán vị 148

} Dạng 1 Hoán vị các chữ số trong số tự nhiên 148

} Dạng 2 Hoán vị đồ vật 151

} Dạng 3 Hoán vị vòng quanh 152

} Dạng 4 Hoán vị lặp 154

B Chỉnh hợp 155

} Dạng 5 Đếm số 155

} Dạng 6 Bài toán chọn người và chọn đồ vật 158

C Tổ hợp 160

2 Tính chất của các số Ck n 160

} Dạng 7 Các bài toán đếm 160

} Dạng 8 Công thức hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp 165

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 177

3 Nhị thức Newton 204

A Tóm tắt lí thuyết 204

1 Công thức nhị thức Newton 204

2 Tam giác Pascal 204

B Các dạng toán 205

} Dạng 1 Khai triển nhị thức Newton 205

} Dạng 2 Chứng minh các đẳng thức tổ hợp bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton 206

} Dạng 3 Tính tổng bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton 207

} Dạng 4 Tìm hệ số và tìm số hạng chứa xk 209

} Dạng 5 Tìm hệ số không chứa x 211

} Dạng 6 Tìm số hạng hữu tỷ (nguyên) trong khai triển (a + b)n 214

} Dạng 7 Tìm số hạng có hệ số nhất trong khai triển biểu thức 217

} Dạng 8 Sử dụng tính chất của số Ck n để chứng minh đẳng thức và tính tổng 218

Trang 4

4 Phép thử và biến cố 257

1 Phép thử, không gian mẫu 257

2 Biến cố 257

3 Phép toán trên các biến cố 257

} Dạng 1 Mô tả không gian mẫu và xác định số kết quả có thể của phép thử 258

} Dạng 2 Xác định biến cố của một phép thử 260

} Dạng 3 Phép toán trên biến cố 262

5 Xác suất của biến cố 295

1 Định nghĩa cổ điển của xác suất 295

2 Tính chất của xác suất 295

3 Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất 295

4 Xác suất điều kiện 296

} Dạng 1 Sử dụng công thức tính xác suất của một biến cố 296

} Dạng 2 Tính xác suất theo quy tắc cộng 299

} Dạng 3 Tính xác suất dùng công thức nhân xác suất 302

} Dạng 4 Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes 304

3 DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN 339 1 Phương pháp quy nạp toán học 339

A Các dạng toán 339

} Dạng 1 Một số bài toán số học 339

} Dạng 2 Chứng minh đẳng thức 342

} Dạng 3 Chứng minh bất đẳng thức 347

} Dạng 4 Phương pháp quy nạp trong một số bài toán khác và toán tổng hợp 353

B Bài tập trắc nghiệm 361

2 Dãy số 365

1 Định nghĩa dãy số 365

2 Số hạng của dãy số 365

3 Số hạng tổng quát 365

4 Cách xác định một dãy số 366

5 Tính tăng giảm của dãy số 366

6 Dãy số bị chặn 366

Trang 5

} Dạng 1 Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng quát của dãy

số 367

} Dạng 2 Xét sự tăng giảm của dãy số 377

} Dạng 3 Xét tính bị chặn của dãy số 382

C Bài tập trắc ngihệm 385

3 Cấp số cộng 411

1 Định nghĩa cấp số cộng 411

2 Tính chất các số hạng của cấp số cộng 411

3 Số hạng tổng quát 411

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 411

} Dạng 1 Sử dụng định nghĩa cấp số cộng 412

} Dạng 2 Tính chất của các số hạng trong cấp số cộng 415

} Dạng 3 Số hạng tổng quát 418

} Dạng 4 Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 422

} Dạng 5 Vận dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 425

C Bài tập trắc nghiệm 430

4 Cấp số nhân 477

1 Định nghĩa và các tính chất của cấp số nhân 477

} Dạng 1 Chứng minh một dãy số là cấp số nhân 478

} Dạng 2 Xác định q uk của cấp số nhân 482

} Dạng 3 Tính tổng liên quan cấp số nhân 489

} Dạng 4 Các bài toán về cấp số nhân có liên quan đến hình học 491

} Dạng 5 Các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và cấp số nhân 495

} Dạng 6 Cấp số nhân liên quan đến nghiệm của phương trình 496

} Dạng 7 Phối hợp giữa cấp số nhân và cấp số cộng 498

} Dạng 8 Các bài toán thực tế liên quan cấp số nhân 501

C Bài tập trắc nghiệm 511

5 Giới hạn của dãy số 563

1 Giới hạn của dãy số 563

2 Các định lý về giới hạn hữu hạn 564

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 564

4 Giới hạn vô cực 564

} Dạng 1 Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn 565

} Dạng 2 Tính giới hạn dãy số dạng phân thức 567

Trang 6

} Dạng 3 Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an 567

} Dạng 4 Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ 573

} Dạng 5 Giới hạn dãy số chứa căn thức 575

6 Giới hạn hàm số 635

A Tóm tắt lý thuyết 635

1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 635

2 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực 636

3 Giới hạn vô cực của hàm số 637

} Dạng 1 Giới hạn của hàm số dạng vô định 638

} Dạng 2 Giới hạn dạng vô định 655

} Dạng 3 Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên 659

7 Hàm số liên tục 735

1 Hàm số liên tục tại một điểm 735

2 Hàm số liên tục trên một khoảng 735

3 Một số định lí cơ bản 735

} Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 736

} Dạng 2 Hàm số liên tục trên một tập hợp 742

} Dạng 3 Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn 745

} Dạng 4 Chứng minh phương trình có nghiệm 748

4 ĐẠO HÀM 806 1 Đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm 806

1 Đạo hàm tại một điểm 806

2 Đạo hàm trên một khoảng 807

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 808

} Dạng 1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa 808

} Dạng 2 Số gia của hàm số 810

} Dạng 3 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 812

} Dạng 4 Phương trình tiếp tuyến 813

2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 841

1 Đạo hàm của một hàm số thường gặp 841

2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương 841

3 Đạo hàm của hàm hợp 841

Trang 7

3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 881

1 Giới hạn của hàm số 881

2 Đạo hàm của hàm số y = sin x 881

3 Đạo hàm của hàm số y = cos x 881

4 Đạo hàm của hàm số y = tan x 881

5 Đạo hàm của hàm số y = cot x 881

} Dạng 1 Tính đạo hàm 882

} Dạng 2 Tính đạo hàm tại một điểm 886

4 Vi phân 908

B Trắc nghiệm 909

5 Đạo hàm cấp 2 920

1 Định nghĩa 920

2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai 920

B Trắc nghiệm 921

II HÌNH HỌC 944 6 PHÉP BIẾN HÌNH 945

7 PHÉP TỊNH TIẾN 945

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 945

2 Tính chất 945

3 Tính chất 946

4 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến 946

B CÁC DẠNG TOÁN 946

} Dạng 1 Xác định ảnh của một điểm qua một phép tịnh tiến 946

} Dạng 2 Xác định ảnh trong hệ tọa độ 947

8 Phép đối xứng trục 973

2 Nhận xét 973

3 Tính chất 973

Trang 8

4 Trục đối xứng của một hình 974

B Các dạng bài tập 974

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục 974

} Dạng 2 Tìm trục đối xứng của một đa giác 975

9 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 995

2 Biểu thức tọa độ 995

3 Tính chất 995

4 Tâm đối xứng của một hình 996

B CÁC DẠNG BÀI TẬP 996

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm 996

} Dạng 2 Tìm tâm đối xứng của một hình 996

10 PHÉP QUAY 1012

2 Nhận xét 1012

3 Tính chất 1012

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua một phép quay 1013

11 PHÉP DỜI HÌNH 1037

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1037

2 Nhận xét 1037

3 Tính chất 1037

4 Khái niệm hai hình bằng nhau 1037

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua một phép dời hình 1037

12 PHÉP VỊ TỰ 1048

2 Tính chất 1048

3 Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn 1049

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự 1050

} Dạng 2 Tìm tâm vị tự của hai đường tròn 1050

Trang 9

13 PHÉP ĐỒNG DẠNG 1084

2 Tính chất 1084

3 Hình đồng dạng 1084

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua phép đồng dạng 1084

1 ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ SONG SONG 1093 1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 1093

1 Khái niệm mở đầu 1093

2 Các tính chất thừa nhận 1093

3 Cách xác định một mặt phẳng 1094

4 Hình chóp và hình tứ diện 1094

} Dạng 1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 1094

} Dạng 2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 1099

} Dạng 3 Xác định thiết diện 1105

} Dạng 4 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui 1111 } Dạng 5 Bài toán cố định 1115

2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song 1163

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian 1163

2 Tính chất 1164

} Dạng 1 Chứng minh hai đường thẳng song song 1165

} Dạng 2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 1173

} Dạng 3 Tìm thiết diện bằng cách kẻ song song 1176

} Dạng 4 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và các yếu tố cố định 1182

3 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 1228

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 1228

2 Tính chất 1228

} Dạng 1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 1230

Trang 10

} Dạng 2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song

song với đường thẳng cho trước 1238

} Dạng 3 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng 1243

4 Hai mặt phẳng song song 1287

2 Tính chất 1287

3 Định lý Ta-lét (Thalès) 1288

4 Hình lăng trụ và hình hộp 1288

5 Hình chóp cụt 1289

} Dạng 1 Chứng minh hai mặt phẳng song song 1290

} Dạng 2 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A; song song với mặt phẳng (γ) 1296

} Dạng 3 Xác định thiết diện 1302

5 Phép chiếu song song Hình biểu diễn của một hình không gian 1343

1 Phép chiếu song song 1343

2 Các tính chất của phép chiếu song song 1343

3 Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng 1343

} Dạng 1 Vẽ hình biểu diễn của một hình cho trước 1344

} Dạng 2 Sử dụng phép chiếu song song để chứng minh song song 1346

2 VECTO TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 1353 1 Véc-tơ trong không gian 1353

1 Các định nghĩa 1353

2 Các quy tắc tính toán với véc-tơ 1353

3 Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ 1354

4 Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ 1354

5 Phân tích một véc-tơ theo ba véc-tơ không đồng phẳng 1354

6 Tích vô hướng của hai véc-tơ 1355

} Dạng 1 Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan 1355

} Dạng 2 Chứng minh đẳng thức véc-tơ 1356

} Dạng 3 Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ 1357

} Dạng 4 Tích vô hướng của hai véc-tơ 1358

Trang 11

} Dạng 5 Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng 1359

} Dạng 6 Phân tích một véc-tơ theo 3 véc-tơ không đồng phẳng cho trước 1360

} Dạng 7 Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học 1360

2 Hai đường thẳng vuông góc 1390

1 Tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian 1390

2 Góc giữa hai đường thẳng 1390

} Dạng 1 Xác định góc giữa hai véc-tơ 1391

} Dạng 2 Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian 1392

} Dạng 3 Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng 1393

} Dạng 4 Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba 1395 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1396

3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1486

2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1486

3 Tính chất 1486

4 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng 1487

5 Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc 1488

} Dạng 1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1489

} Dạng 2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 1491

} Dạng 3 Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước 1494

4 Hai mặt phẳng vuông góc 1627

1 Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng 1627

2 Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau 1627

3 Diện tích hình chiếu của một đa giác 1627

4 Hai mặt phẳng vuông góc 1627

5 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 1628

6 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều 1628

} Dạng 1 Tìm góc giữa hai mặt phẳng 1629

} Dạng 2 Tính diện tích hình chiếu của đa giác 1630

} Dạng 3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 1631

Trang 12

} Dạng 4 Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng 1633

5 Khoảng cách 1784

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 1784

2 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng 1784

3 Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song 1784

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 1784

5 Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1785 B Các dạng toán 1785

} Dạng 1 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 1785

} Dạng 2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 1786

} Dạng 3 Khoảng cách giữa đường và mặt song song - Khoảng cách giữa hai mặt song song 1788

} Dạng 4 Đoạn vuông góc chung - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1790 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1793

III TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ I CÁC TRƯỜNG THPT 1895 1 THPT Chuyên Hà Nội Amsterdam 1896

2 THPT Đan Phượng Hà Nội 1904

3 Chu Văn An, HCM 1911

4 Dĩ An, Bình Dương 1914

5 Củ Chi, Hồ Chí Minh 1922

6 Nguyễn Trung Ngạn, Hưng Yên 1927

7 Chuyên Trần Phú, Hải Phòng 1938

8 Hoàng Hoa Thám, HCM 1952

9 Lê Hồng Phong, Hồ Chí Minh 1955

10 Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bà Rịa-Vũng Tàu 1960

11 THPT Nguyễn Thị Minh Khai 1969

12 Sở GD - ĐT Nam Đinh 1972

13 Ân Thi, Hưng Yên 1977

14 Lương Thế Vinh, TPHCM 1984

15 Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh 1986

16 THPT Nguyễn Du, TP.HCM 2005

17 LuongTheVinh-DongNai 2007

18 Nguyễn Chí Thanh HCM 2022

19 Hoa Lư A, Ninh Bình 2025

Trang 13

20 THPT Nguyễn Công Trứ, HCM 2037

21 HK1 THPT Hoài Đức A, Hà Nội 2041

22 THPT Nguyễn Hữu Cầu, Hồ Chí Minh 2049

23 Kim Liên Hà Nội 2052

24 THPT Lý Thánh Tông, Hà Nội 2062

25 THPT Nguyễn Trãi, Hà Nội 2070

26 Toán 11 không chuyên, PTNK, Hồ Chí Minh 2079

27 THPT Phước Vĩnh, Bình Dương 2083

28 Yên Mỹ - Hưng Yên 2093

29 Nguyễn Sỹ Sách, Nghệ An 2102

30 Thạch Thành 1, Thanh Hóa 2113

31 THPT Chuyên SPHN 2120

IV TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ II CÁC TRƯỜNG THPT 2127 32 Đề HK2, Sở Giáo dục & Đào tạo Bình Phước 2128

33 Đề HK2, Sở Giáo dục & Đào tạo Thái Bình 2138

34 HK2, THPT Chuyên Amsterdam, Hà Nội 2151

35 Đề HK2 (2016 - 2017), THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2161

36 Đề HK2 (2016-2017), THPT Đoàn Kết, Hai Bà Trưng, Hà Nội 2176

37 Đề HK2 (2016-2017, THPT Kim Liên, Hà Nội 2185

38 Đề HK2, THPT Nguyễn Trãi, Hà Nội 2192

39 Đề GHK2, THPT Lý Thánh Tông, Hà Nội 2200

40 Đề HK2, THPT Trương Định, Hà Nội 2208

41 Đề HK2, THPT Hai Bà Trưng, Huế 2215

42 Đề HK2, THPT Đông Sơn 2, Thanh Hóa 2224

43 Học kỳ 2 Lớp 11 THPT MƯỜNG BI 2231

44 Đề HK2, THPT Tô Hiến Thành, Thanh Hóa 2238

45 Đề HK2, THPT Thiệu Hóa, Thanh Hóa 2249

46 Đề HK2 (2016-2017), THPT Nông Cống 3, Thanh Hóa 2255

47 Đề HK2, THPT Hà Huy Tập, Hà Tĩnh 2268

48 Đề HK2, THPT Lê Quảng Chí, Hà Tĩnh 2276

49 Đề HK2 (2016-2017), THPT Phan Đình Phùng, Hà Tĩnh 2281

50 Đề HK2, Trần Hưng Đạo, Gia Lai 2292

Trang 14

ĐẠI SỐ

Trang 15

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y = sin x

cos x(cos x 6= 0) , kí hiệu là y = tan x.Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R \nπ

2 + kπ, k ∈ Zo.d) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y = cos x

sin x(sin x 6= 0) , kí hiệu là y = cot x.Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R \ {kπ, k ∈ Z}

Trang 16

B TÍNH TUẦN HOÀN

a) Định nghĩa Hàm số y = f (x) có tập xác địnhD được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một

số T 6= 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

• x − T ∈ D và x + T ∈ D

• f (x + T ) = f (x)

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π; hàm số y = cos xtuần hoàn với chu kì T = 2π; hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = π; hàm số y = cot xtuần hoàn với chu kì T = π

• Tập xác định D = R, có nghĩa xác định với mọi x ∈ R;

• Tập giá trị T = [−1; 1], có nghĩa −1 ≤ sin x ≤ 1;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, có nghĩa sin (x + k2π) = sin x với k ∈ Z;

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −π

• Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

• Tập xác định D = R, có nghĩa xác định với mọi x ∈ R;

• Tập giá trị T = [−1; 1], có nghĩa −1 ≤ cos x ≤ 1;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, có nghĩa cos (x + k2π) = cos x với k ∈ Z;

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng(k2π; π + k2π),k ∈ Z;

• Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Trang 17

c) Hàm số y = tan x

• Tập xác định D = R \nπ

2 + kπ, k ∈ Zo;

• Tập giá trị T = R;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, có nghĩa tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z;

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −π

2 + kπ;

π

2 + kπ

, k ∈ Z;

x

−3π2

−π

−π2

π 2

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, có nghĩa tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z;

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z;

x

−3π2

−π

−π2

π 2

π 3π

2 y

O

Trang 18

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z

Lời giải

Hàm số xác định ⇔ sin

x − π2

6= 0 ⇔ x − π

C D = R \nπ

4 + k2π, k ∈ Zo D D = R \nπ

4 + kπ, k ∈ Zo.Lời giải

Hàm số xác định ⇔ sin x − cos x 6= 0 ⇔ tan x 6= 1 ⇔ x 6= π

4 + kπ, k ∈ Z

Vậy tập xác định D = R \nπ

4 + kπ, k ∈ Z

o

Câu 5 Hàm số y = tan x + cot x + 1

sin x+

1cos x không xác định trong khoảng nào trong các khoảngsau đây?

C π

2 + k2π; π + k2π

với k ∈ Z D (π + k2π; 2π + k2π) với k ∈ Z

Lời giải

Trang 19

Hàm số xác định ⇔

(sin x 6= 0cos x 6= 0

Câu 7 Tìm tập xác định D của hàm số y = 3 tan2x

2 − π4

A D = R \ß 3π

2 + k2π, k ∈ Z

™ B D = R \nπ

2 + k2π, k ∈ Z

o

Hàm số xác định ⇔ cos2

x

2 −π4

6= 0 ⇔ x

2 + k2π;

π

2 + k2π

với k ∈ Z

Å

π + k2π;3π

2 + k2π

ãvới k ∈ Z

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1+tan x 6= 0 và tan x xác định ⇔

(tan x 6= −1cos x 6= 0

x 6= π2

Vậy hàm số không xác định trong khoảng

Trang 20

C D = R \nπ

2 + k2π, k ∈ Zo D D = ∅

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 − sin x > 0 ⇔ sin x < 1 (∗)

Mà −1 ≤ sin x ≤ 1 nên (∗) ⇔ sin x 6= 1 ⇔ x 6= π

2 + k2π, k ∈ Z

Vậy tập xác định D = R \nπ

2 + k2π, k ∈ Z

o

6 + k2π;

13π

6 + k2π

ò, k ∈ Z

Trang 21

2 + x

6= 0 ⇔ π

Câu 15 Tìm tập xác định D của hàm số y = tanπ

2cos x

Câu 16 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y = sin x B y = cos x C y = tan x D y = cot x

A y = − sin x B y = cos x − sin x C y = cos x + sin2x D y = cos x sin x.Lời giải

Tất các các hàm số đều có TXĐ: D = R Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Bây giờ ta kiểm tra f (−x) = f(x)hoặc f (−x) = −f (x)

• Với y = f (x) = − sin x Ta có f (−x) = − sin (−x) = sin x = − (− sin x) ⇒ f (−x) = −f (x) Suy

ra hàm số y = − sin x là hàm số lẻ

Trang 22

• Với y = f (x) = cos x − sin x Ta có f (−x) = cos (−x) − sin (−x) = cos x + sin x ⇒ f (−x) 6={−f (x), f (x)} Suy ra hàm số y = cos x − sin x không chẵn không lẻ.

• Với y = f (x) = cos x + sin2x Ta có f (−x) = cos (−x) + sin2(−x) = cos (−x) + [sin (−x)]2 =cos x + [− sin x]2 = cos x + sin2x ⇒ f (−x) = f (x) Suy ra hàm số y = cos x + sin2x là hàm sốchẵn

• Với y = f (x) = cos x · sin x Ta có f (−x) = cos (−x) · sin (−x) = − cos x sin x ⇒ f (−x) = −f (x).Suy ra hàm số y = cos x sin x là hàm số lẻ

A y = sin 2x B y = x cos x C y = cos x · cot x D y = tan x

sin x.Lời giải

A y = |sin x| B y = x2sin x C y = x

cos x. D y = x + sin x.Lời giải

Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ

Câu 20 Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A y = sin x cos 2x B y = sin3x · cosx − π

2

C y = tan x

tan2x + 1. D y = cos x sin

3x

Lời giải

Ta dễ dàng kiểm tra được các hàm số y = sin x cos 2x; y = tan x

tan2x + 1 và y = cos x sin

, ta có y = f (x) = sin3x · cos

x − π2

Trang 23

A y = cos x + sin2x B y = sin x + cos x C y = − cos x D y = sin x cos 3x.Lời giải.

Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ Đáp

Viết lại đáp án A là y = sinπ

2 − x= cos x Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn.Đáp án C là hàm số lẻ

Câu 24 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A y = 1 − sin2x B y = |cot x| · sin2x

C y = x2tan 2x − cot x D y = 1 + |cot x + tan x|

Trang 24

= √1

2(sin x + cos x) Viết lại đáp án C là y =√

2 cos

x − π4

= sin x + cos x Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có

đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ Xét đáp án D

Hàm số xác định ⇔ sin 2x ≥ 0 ⇔ 2x ∈ [k2π; π + k2π] ⇔ x ∈

hkπ;π

Chọn x = π

4 ∈D nhưng −x = −π

4 ∈ D Vậy y =/ √sin 2x không chẵn, không lẻ

Câu 28 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Đồ thị hàm số y = |sin x| đối xứng qua gốc tọa độ O

B Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy

C Đồ thị hàm số y = |tan x| đối xứng qua trục Oy

D Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O

4

+ sinx +π

4

C y =√

2 sin

x + π4

+ sin (π − 2x) = −2 sin x + sin 2x

Trang 25

Viết lại đáp án B là y = sinx −π

4

+ sinx + π

− sin x = sin x + cos x − sin x = cos x

Ta kiểm tra được đáp án A và B là các hàm số lẻ Đáp án C là hàm số chẵn

Xét đáp án D Hàm số xác định ⇔

(sin x ≥ 0cos x ≥ 0

⇒ D =hk2π;π

2 + k2π

i(k ∈ Z)

2

C y = 2015 + cos x + sin2018x D y = tan2017x + sin2018x

Câu 31 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π B Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π

C Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π D Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.Lời giải

Vì hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π

Câu 32 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A y = sin x B y = x + sin x C y = x cos x D y = sin x

x .Lời giải

Hàm số y = x + sin x không tuần hoàn Thật vậy:

Vậy hàm số y = x + sin x không phải là hàm số tuần hoàn

Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x cos x và y = sin x

x không tuần hoàn

Câu 33 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?

A y = cos x B y = cos 2x C y = x2cos D y = 1

sin 2x.Lời giải

Trang 26

Chọn đáp án C Câu 34 Tìm chu kì T của hàm số y = sin5x −π

4

Hàm số y = sin (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = 2π

|a|.

Áp dụng: Hàm số y = sin

5x −π4

tuần hoàn với chu kì T = 2π

Hàm số y = −1

2sin (100πx + 50π) tuần hoàn với chu kì T =

2π100π =

Hàm số y = cos 2x tuần hoàn với chu kì T1 = 2π

2 = π.

Hàm số y = sinx

2 tuần hoàn với chu kì T2 =

2π12

= 4π

Suy ra hàm số y = cos 2x + sinx

2 tuần hoàn với chu kì T = 4π.

Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

5 .Suy ra hàm số y = cos 3x + cos 5x tuần hoàn với chu kì T = 2π

Trang 27

Câu 39 Tìm chu kì T của hàm số y = 3 cos (2x + 1) − 2 sinx

+ 2 cos

3x −π4

2 = π.

Hàm số y = 2 cos

3x − π4

tuần hoàn với chu kì T2 = 2π

3 .Suy ra hàm số y = sin2x + π

3

+ 2 cos3x −π

4

Hàm số y = tan (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = π

Hàm số y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = π

|a|.

Áp dụng: Hàm số y = tan 3x tuần hoàn với chu kì T1 = π

3.Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T2 = π

Suy ra hàm số y = tan 3x + cot x tuần hoàn với chu kì T = π

Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Hàm số y = cotx

3 tuần hoàn với chu kì T1 = 3π.

Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì T2 = π

Suy ra hàm số y = cotx

3 + sin 2x tuần hoàn với chu kì T = 3π.

Trang 28

Chọn đáp án C Câu 44 Tìm chu kì T của hàm số y = sinx

2 − tan2x + π

4

tuần hoàn với chu kì T2 = π

2.Suy ra hàm số y = sinx

2 − tan2x + π

4

6 =

π

3.Hàm số y = −2 cos 2x tuần hoàn với chu kì T2 = π

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = π

3.Hàm số y = − cos 4x tuần hoàn với chu kì T2 = 2π

4 =

π

2.Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = π

C y = tan (−2x + 1) D y = cos x sin x.Lời giải

Vì y = tan (−2x + 1) có chu kì T = π

|−2| =

π

2.Nhận xét Hàm số y = cos x sin x = 1

2sin 2x có chu kỳ là π.

Trang 29

Câu 49 Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2π?

2.Hai hàm số y = sinx

Câu 51 Cho hàm số y = sin x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng

π

2; π

, nghịch biến trên khoảng

Åπ;3π2

ã

B Hàm số đồng biến trên khoảng

Å

−3π

2 ; −

π2

ã, nghịch biến trên khoảng −π

2;

π2

C Hàm số đồng biến trên khoảng0;π

2

, nghịch biến trên khoảng−π

2; 0

D Hàm số đồng biến trên khoảng−π

2;

π2

, nghịch biến trên khoảng Å π

2;

3π2

ã.Lời giải

Ta có thể hiểu thế này 00Hàm số y = sin x đồng biến khi góc x thuộc gốc phần tư thứ IV và thứ I;nghịch biến khi góc x thuộc gốc phần tư thứ II và thứ III00

Câu 52 Với x ∈Å 31π

4 ;

33π4

ã, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số y = cot x nghịch biến B Hàm số y = tan x nghịch biến

C Hàm số y = sin x đồng biến D Hàm số y = cos x nghịch biến

Lời giải

Ta có Å 31π

4 ;

33π4

Câu 53 Với x ∈

0;π4

, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Cả hai hàm số y = − sin 2x và y = −1 + cos 2xđều nghịch biến

Trang 30

B Cả hai hàm số y = − sin 2xvà y = −1 + cos 2x đều đồng biến.

C Hàm số y = − sin 2xnghịch biến, hàm số y = −1 + cos 2xđồng biến

D Hàm số y = − sin 2xđồng biến, hàm số y = −1 + cos 2xnghịch biến

Do đó y = sin 2x đồng biến ⇒ y = − sin 2x nghịch biến

y = cos 2x nghịch biến ⇒ y = −1 + cos 2x nghịch biến

ã

2 ; 2π

ã.Lời giải

Câu 55 Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng −π

3;

π6

?

A y = tan

2x + π6

B y = cot

2x + π6

C y = sin

2x + π6

D y = cos

2x + π6

.Lời giải

Với x ∈ −π

3;

π6

thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhấtnên hàm số y = sin2x + π

6

đồng biến trên khoảng −π

3;

π6

Câu 56 Đồ thị hàm số y = cosx − π

2

được suy từ đồ thị C của hàm số y = cos x bằng cách:

A Tịnh tiến C qua trái một đoạn có độ dài là π

Nhắc lại lý thuyết Cho C là đồ thị của hàm số y = f (x) và p > 0, ta có:

+Tịnh tiến C lên trên p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f (x) + p

+Tịnh tiến C xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f (x) − p

+Tịnh tiến C sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f (x + p)

+Tịnh tiến C sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f (x − p)

Vậy đồ thị hàm số y = cosx − π

2

được suy từ đồ thị hàm số y = cos x bằng cách tịnh tiến sang phảiπ

2 đơn vị

Câu 57 Đồ thị hàm số y = sin x được suy từ đồ thị C của hàm số y = cos x bằng cách:

2.

Trang 31

B Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là π

Câu 58 Đồ thị hàm số y = sin x được suy từ đồ thị C của hàm số y = cos x + 1 bằng cách:

2 và lên trên 1 đơn vị.

B Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là π

2 và lên trên 1 đơn vị.

C Tịnh tiến C qua trái một đoạn có độ dài là π

2 và xuống dưới 1 đơn vị.

D Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là π

2 và xuống dưới 1 đơn vị.

2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = cos

x − π2

+ 1

Tiếp theo tịnh tiến đồ thị y = cos

x − π2

+ 1 xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số y =cosx − π

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong

bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm

y

O

−π2

π 2

A y = 1 + sin 2x B y = cos x C y = − sin x D y = − cos x

Lời giải

Ta thấy tại x = 0 thì y = 1 Do đó loại đáp án C và D Tại x = π

2 thì y = 0 Do đó chỉ có đáp án Bthỏa mãn

.Lời giải

Ta thấy: Tại x = 0 thì y = 0 Do đó loại B và C

Tại x = π thì y = −1 Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa

Trang 32

Ta thấy: Tại x = 0 thì y = 1 Do đó ta loại đáp án B và D.

Tại x = 3π thì y = 1 Thay vào hai đáp án A và C thì chit có A thỏa mãn

5π 4

3π 4 1

ã

Ta thấy hàm số có GTLN bằng 1 và GTNN bằng −1 Do đó loại đáp án C

Tại x = 0 thì y = −

√2

7π 4

3π 4

√ 2 1

−√2

A y = sin

x − π4

Trang 33

Câu 64 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ởbốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

x

y

O

2π π

A y = sin x B y = |sin x| C y = sin |x| D y = − sin x

−π2

A y = cos x B y = − cos x C y = cos |x| D y = |cos x|

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 Do đó chỉ có A hoặc D thỏa mãn

Ta thấy tại x = 0 thì y = 0 Thay vào hai đáp án A và D chỉ có duy nhất A thỏa mãn

Câu 67 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ởbốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Trang 34

−3π2

−π

−π2

π 2

x −π2

C y = − sin

x − π2

x +π2

+ 1

Trang 35

Ta có y = 1 + |cos x| ≥ 1 và y = 1 + |sin x| ≥ 1 nên loại C và D.

Ta thấy tại x = 0 thì y = 1 Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có A thỏa

Câu 70 Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 3 sin x − 2

A M = 1, m = −5 B M = 3, m = 1 C M = 2, m = −2 D M = 0, m = −2.Lời giải

Ta có −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −3 ≤ 3 sin x ≤ 3 ⇒ −5 ≤ 3 sin x − 2 ≤ 1 ⇒ −5 ≤ y ≤ 1 ⇒

A y ≥ −4, ∀x ∈ R B y ≥ 4, ∀x ∈ R C y ≥ 0, ∀x ∈ R D y ≥ 2, ∀x ∈ R.Lời giải

Câu 74 Hàm số y = 5 + 4 sin 2x cos 2x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Lời giải

Ta có y = 5 + 4 sin 2x cos 2x = 5 + 2 sin 4x

Mà −1 ≤ sin 4x ≤ 1 ⇒ −2 ≤ 2 sin 4x ≤ 2 ⇒ 3 ≤ 5 + 2 sin 4x ≤ 7

⇒ 3 ≤ y ≤ 7 mà y ∈ Z ⇒ y ∈ {3; 4; 5; 6; 7} nên y có 5 giá trị nguyên

Trang 36

Ta có y = sin 2017x − cos 2017x =√

2 sin2017x − π

4

Mà −1 ≤ sin

2017x − π

6 = cos

x +π6

Trang 37

C x0 = π + k2π, k ∈ Z D x0 = π

2 + kπ, k ∈ Z

Lời giải

Ta có y = sin4x − cos4x = sin2x + cos2x

sin2x − cos2x = − cos 2x

Ta có −1 ≤ cos 3x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ |cos 3x| ≤ 1 ⇒ 0 ≥ −2 |cos 3x| ≥ −2

= sin 2x − cos 2x + 2 =√

2 sin

2x − π4

+ 2

4; 1

ò

ï0;14

ò.Lời giải

Ta có y = sin6x + cos6x = sin2x + cos2x2− 3 sin2x cos2x sin2x + cos2x

2 , ∀x ∈ R.Lời giải

Ta có y = cos4x + sin4x = sin2x + cos2x2

Trang 38

Câu 85 Hàm số y = 1 + 2 cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Ta có y = sin2x + 2 cos2x = sin2x + cos2x + cos2x = 1 + cos2x

Do −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1 + cos2x ≤ 2 ⇒

Ta có y = 8 sin2x + 3 cos 2x = 8 sin2x + 3 1 − 2 sin2x = 2 sin2x + 3

Mà −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin2x ≤ 1 ⇒ 3 ≤ 2 sin2x + 3 ≤ 5

Trang 39

Câu 90 Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 4 sin 2x − 3 cos 2x.

Ta có y = sin2x − 4 sin x + 5 = (sin x − 2)2+ 1

Do −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −3 ≤ sin x − 2 ≤ −1 ⇒ 1 ≤ (sin x − 2)2 ≤ 9

2

ã2

≤ 94

Ta có y = cos2x + 2 sin x + 2 = 1 − sin2x + 2 sin x + 2 = − sin2x + 2 sin x + 3 = −(sin x − 1)2+ 4

Mà −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −2 ≤ sin x − 1 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ (sin x − 1)2 ≤ 4

⇒ 0 ≥ −(sin x − 1)2 ≥ −4 ⇒ 4 ≥ −(sin x − 1)2+ 4 ≥ 0

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

Dấu 00 =00 xảy ra ⇔ sin x = −1 ⇔ x = −π

2 + k2π (k ∈ Z)

Câu 94 Tìm giá trị lớn nhất M và nhất m của hàm số y = sin4x − 2 cos2x + 1

A M = 2, m = −2 B M = 1, m = 0 C M = 4, m = −1 D M = 2, m = −1.Lời giải

Trang 40

Ta có y = sin4x − 2 cos2x + 1 = sin4x − 2 1 − sin2x + 1 = sin2x + 12− 2.

Do 0 ≤ sin2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ sin2x + 1 ≤ 2 ⇒ 1 ≤ sin2x + 12

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất ⇔ y = 14 ⇔ sin

ã+ 12.Mực nước của kênh cao nhất khi:

A t = 13 (giờ) B t = 14 (giờ) C t = 15 (giờ) D t = 16 (giờ)

Lời giải

Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất ⇔ cosÅ πt

8 +

π4

Định dạng
Số trang	2.312
Dung lượng	10,58 MB