Rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông

Từ đó tác giả đã tổng kết, sắp xếp một cách có hệ thống các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian trong chương trình hình họ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ TUẤN NHÃ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ VECTƠ VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ TUẤN NHÃ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ VECTƠ VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 8 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Văn

HÀ NỘI – 2017

Đặc biệt, tác giả cũng xin bày tỏ sự biết ơn tới PGS.TS Nguyễn Thành Văn, người đã trực tiếp hướng dẫn và có những góp ý xác đáng nhất vơi những nội dung trong luận văn để tác giả nghiên cứu, chỉnh sửa và hoàn thiện

Qua đây, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh trường THPT Na Dương, huyện Lộc Bình, tỉnh Lạng Sơn đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 3 tháng 11 năm 2017

Lê Tuấn Nhã

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục các chữ viết tắt ii

Danh mục các bảng iii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Khái niệm bài toán Phương pháp giải toán 6

1.1.1 Bài toán 6

1.1.2 Phân loại bài toán 6

1.1.3 Phương pháp giải bài toán 7

1.1.4 Chức năng của bài tâp toán 11

1.2 Kỹ năng giải toán 11

1.2.1 Kỹ năng 11

1.2.2 Đặc điểm của kỹ năng 12

1.2.3 Kỹ năng giải toán 13

1.2.4 Yêu cầu về rèn luyện kỹ năng giải toán của học sinh 14

1.2.5 Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán HHKG lớp 11 14

1.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT 23

1.3.1 Mục tiêu dạy học môn Toán ở THPT 23

1.3.2 Yêu cầu nhiệm vụ môn Toán ở THPT 23

1.3.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT 24

1.4 Nội dung của chương trình và yêu cầu của dạy học chủ đề bài tập về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian 25

1.4.1 Nội dung của chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong chương trình HHKG lớp 11 25

1.4.2 Mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian 26

1.5 Thực trạng dạy học giải bài tập chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong

không gian ở trường THPT 27

1.5.1 Thực trạng dạy học giải bài tập HHKG chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc ở trường THPT 27

1.5.2 Thực trạng kỹ năng giải bài tập HHKG chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc ở trường THPT 29

1.6 Kết luận chương 1 30

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN 32

2.1 Một số nguyên tắc khi xây dựng phương pháp 32

2.1.1 Phù hợp với đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT 32

2.1.2 Phù hợp với lý luận dạy học bộ môn 33

2.1.3 Phù hợp với yêu cầu của chương trình 33

2.1.4 Phù hợp với đối tượng học sinh 33

2.2 Kỹ năng giải toán hình học không gian 34

2.2.1 Kỹ năng chứng minh 34

2.2.2 Kỹ năng tính góc 49

2.2.3 Kỹ năng tính khoảng cách 62

2.2.4 Kỹ năng tìm lời giải theo bốn bước giải toán của G.Polya 81

2.3 Kết luận chương 2 90

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 91

3.1 Mục đích thực nghiệm 91

3.2 Đối tượng thực nghiệm 91

3.3 Nội dung thực nghiệm 91

3.4 Tổ chức và đánh giá thực nghiệm 91

3.4.1 Phương pháp và tiến trình thực nghiệm 91

3.4.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm 95

3.5 Minh họa giáo án thực nghiệm 101

3.6 Kết luận chương 3 109 KẾT LUẬN 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO 111

Danh mục các bảng

Bảng 1.1 Kết quả kiểm tra

Bảng 3.1 Kết quả khảo sát trước thực nghiệm

Bảng 3.2 Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đổi mới giáo dục là một vấn đề đã, đang được cả xã hội quan tâm và dõi theo Nhiều chủ trương chính sách cho đổi mới giáo dục đã được Đảng và Nhà nước đề ra nhằm mục tiêu đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc Việt Nam, Xã hội chủ nghĩa

Trong tất cả những yếu tố có vai trò quyết định làm thay đổi một nền giáo dục thì không thể không nhắc đến đổi mới nội dung và phương pháp giáo dục Định hướng phương pháp dạy học được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (2005):

“ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”

Việc đổi mới đang diễn ra ở tất cả các cấp học, bậc học, môn học trong đó

có môn Toán tại các trường THPT Do đó, môn Toán có vị trí cũng như vai trò quan trọng vì nó là môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiều ngành khoa học khác Toán học giúp người học rất nhiều trong việc rèn luyện cách suy nghĩ, phương pháp lập luận, giải quyết vấn đề, giải quyết các tình huống thực tiễn xảy

ra trong cuộc sống từ đó đặt ra những nhiệm vụ quan trọng với người dạy

Khi dạy học môn Toán, rèn luyện kỹ năng làm toán có vị trí đặc biệt vì không có kỹ năng thì sẽ không phát triển được tư duy và không tìm được lối thoát cho việc giải quyết vấn đề Vì vậy việc rèn luyện kỹ năng giải toán là một yêu cầu công việc rất cần thiết

Trong các phần của toán, một nội dung hay và thiết thực là Hình học không gian, bởi thông qua việc dạy và học nội dung này, các phẩm chất cần thiết

cho cuộc sống lao động, học tập của người học sẽ được phát triển như trí tưởng tượng, khả năng phân tích quan sát Tuy nhiên, thực tế cho thấy rằng nội dung này được xem là một chủ đề hay nhưng khó dạy và khó học Ví dụ như trong

chương trình môn Toán THPT, nội dung của chương “Vectơ trong không gian

Quan hệ vuông góc trong không gian” trong SGK Hình học lớp 11 Kiến thức

của chương này thường gặp trong kỳ thi THPT quốc gia hiện nay qua các dạng bài tính khoảng cách, tính góc và chứng minh vuông góc Để học tốt phần này, học sinh cần rất những kiến thức về Hình học từ các lớp của cấp trung học cơ sở

và đặc biệt là các lớp 7, 8 Qua thực tế tại địa phương, nơi tác giả đang công tác, học sinh thường lúng túng khi giải bài tập, có tư tưởng ngại và sợ làm bài tập hình không gian

Từ những kinh nghiệm của bản thân qua quá trình công tác, theo tác giả, kiến thức và bài tập về Hình học không gian không quá khó và phức tạp như suy nghĩ chung của nhiều học sinh do kỹ năng của các em tốt Từ đó tác giả đã tổng kết, sắp xếp một cách có hệ thống các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian trong chương trình hình học 11 THPT

Dó là lý do để tác giả chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề

vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất được một số biện pháp khả thi và hiệu quả trong rèn luyện các kỹ năng giải bài tập về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian trong SGK

Hình học lớp 11 ban cơ bản

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hóa cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

- Kỹ năng giải bài tập về hình học trong không gian

- Nội dung cũng như mục tiêu dạy học “vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian”

- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán về “vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả trong nội dung được đề cập đến của đề tài

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học các nội dung của Hình học không gian chương vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian trong SGK Hình học lớp

5 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng những biện pháp đề xuất trong luận văn thì sẽ rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các bài toán thuộc chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian, từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học Hình học không gian ở trường phổ thông

6 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Các nghiên cứu khảo sát được tiến hành trên phạm vi trường THPT Na Dương Số liệu được sử dụng để nghiên cứu đề tài này được thu thập trong năm

2016, 2017

7 Những đóng góp của luận văn

- Cung cấp cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy và học nội dung quan hệ vuông góc trong Hình học 11 cơ bản

- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi dạy nội dung quan hệ vuông góc trong Hình học 11 cơ bản

- Kết quả từ những nghiên cứu của luận văn có thể trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh khi dạy và học toán ở trường THPT

8 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Phân tích và hệ thống hóa trên các nghiên cứu đã có, SGK, sách giáo viên cũng như các tài liệu liên quan

- Phương pháp quan sát: Trao đổi với đồng nghiệp cùng chuyên môn thông các buổi dự giờ để biết được học sinh học tập thế nào, các buổi sinh hoạt trong tổ chuyên môn, đưa ra các nhận định trên kết quả học tập của học sinh để tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán khi dạy nội dung quan hệ vuông góc trong Hình học 11 THPT

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy học theo những cải tiến mới tại trường THPT Na Dương, rồi sau đó kiểm tra kết quả

- Phương pháp thống kê toán học: Các số liệu trong thu được sau khi điều tra sẽ được xử lý để đưa ra những phân tích định lượng về kết quả đã điều tra được

9 Cấu trúc luận văn

Phần chính trong luận văn được chia thành 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Trước nội dung ba chương này có phần mở đầu, sau đó là phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

- Theo G.Polya [3]: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách

có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”

Do vậy bài toán cùng nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệm vụ

1.1.2 Phân loại bài toán

Để dùng các bài toán một cách tiện dụng nhất và đạt được những mục đích nhất định thì các bài toán phải được phân loại theo nhiều cách khác nhau

Theo G.Polya [4] “Một sự phân loại tốt phải chia bài toán thành những loại (kiểu, dạng) sao cho mỗi loại bài toán xác định trước một phương pháp giải” Dựa vào mục đích của các bài toán, ông chia bài toán thành hai loại: các bài toán về tìm tòi và các bài toán về chứng minh

- Bài toán dạng tìm tòi: gồm các bài toán tính toán, dựng hình, tập hợp điểm, toán giải phương trình hoặc bất phương trình Yêu cầu của các bài toán thuộc dạng này thường được thể hiện bằng các từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng

- Bài toán dạng chứng minh: Yêu cầu với các bài toán ở dạng này thường được thể hiện bằng các cụm từ: chứng minh rằng, chỉ ra, tại sao Phần chính của bài toán bao gồm những điều đã cho (giả thiết) và những điều cần phải

chứng minh (kết luận) Để giải được những bài toán ở dạng này cần phải tìm ra được mối liên hệ giữa những cái đã cho biết với cái cần chứng minh

Trong thực tế học sinh thường gặp bài toán mà trong đó có phần là bài toán tìm tòi, có phần là bài toán chứng minh và bài toán có nội dung thực tiễn Những bài toán đó được gọi là bài toán tổng hợp Ngoài ra dựa vào nội dung, bài toán có được phân chia thành các loại: bài toán số học, bài toán đại số và bài toán hình học

Nói riêng với các bài toán hình học, chúng thường có thể phân thành các loại như: tính toán, chứng minh, tìm quỹ tích và dựng hình

1.1.3 Phương pháp giải bài toán

Có thể nêu ra phương pháp chung để giải bài toán theo những gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức giải một bài toán, những tư tưởng tổng quát cùng với những đã được kiểm nghiệm thông qua quá trình thực tiễn dạy học, như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (hiểu bài toán)

+ Phát biểu đề bài với những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán + Phân biệt cái đã cho với cái phải tìm, phải chứng minh

+ Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

- Bước 2: Tìm cách giải (xây dựng chương trình giải)

+ Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào

đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích

+ Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,

+ Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để có cách giải hợp lý nhất

- Bước 3: Trình bày lời giải (thực hiện chương trình giải)

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

- Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả của lời giải

+ Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Yêu cầu học sinh:

- Đọc kỹ nội dung đầu bài

- Xác định giả thiết, kết luận của bài

- Vẽ hình

- Đọc kỹ nội dung đề bài

- Xác định rõ giả thiết, kết luận của bài

- Tiến hành vẽ hình Bước 2: Tìm cách giải (xây dựng chương trình giải toán)

Hỏi học sinh về cách xác định góc giữa

hai mặt phẳng (P) và (Q)?

Cách 1: Xác định hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với (P) và (Q)

(( ),( ))P Q ( , )a b Cách 2:

- Xác định đường thẳng d chung (giao tuyến) của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Giáo viên Học sinh

Vậy ta nên dùng cách nào để tính được

góc giữa (SBC) và (ABC)

- Trong (P) và (Q) lần lượt xác định các đường thẳng a, b vuông góc với d

(( ),( ))P Q ( , )a b

Ta sử dụng cách 2 để tính góc giữa

(SBC) và (ABC)

- Giao tuyến giữa (SBC) và (ABC): BC

- Gọi N là trung điểm của BC, ta chứng minh được SN và AN cùng vuông góc với BC

- Góc ((SBC),(ABC)) (SN AN, ) Bước 3: Thực hiện chương trình giải toán

Gọi N là trung điểm BC suy ra SN BC AN, BC (SN, AN lần lượt là đường trung tuyến ứng với đỉnh cân của tam giác SBC và ABC)

chéo hình vuông cạnh b) nên

tanSNA SA 3 SNA 60 ((SBC),(ABC)) 60

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra lại toàn bộ lời giải và từ bài tập này rút ra các bước tính góc giữa hai mặt phẳng theo cách 2 Tiếp sau đó, giáo viên yêu cầu học sinh thử tìm lời giải theo cách 1 Với cách này học sinh có thể trình bày lời giải như sau:

Từ A kẻ AM SN tại M Ta chứng minh được AM (SBC) Thật vậy

SN BC AN BC BC SNA và AM (SNA) suy ra BC AM ,

AM SN (vẽ hình) và BC AM (chứng minh trên) suy ra AM (SBC)

1.1.4 Chức năng của bài tâp toán

Ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học, mỗi bài tập toán đều có thể

có những chức năng sau: chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra Trong đó (theo Vũ Dương Thụy):

- Chức năng dạy học: qua giải bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: giải bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: bài toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: bài tập toán nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức

và trình độ phát triển của học sinh

Các chức năng nói trên đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học Việc dạy toán ở trường phổ thông có hiệu quả hay không phụ thuộc vào sự khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập bằng năng lực sư phạm của giáo viên

1.2 Kỹ năng giải toán

1.2.1 Kỹ năng

Thực tiễn cuộc sống buộc con người phải giải quyết các vấn đề dựa vào việc vận dụng vốn hiểu biết cùng với kinh nghiệm của bản thân Khi đó con người cũng dần dần hình thành cho mình những kỹ năng giải quyết các vấn đề đặt ra Có khá nhiều khái niệm về kỹ năng

Theo [12] “kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”

Theo [13] “kỹ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau”

Theo G.Polya [3, tr.386] “kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định; kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp” G.Polya còn khẳng định rằng [4] “ trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích

có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”

Từ những quan điểm, trên ta có thể hiểu: kỹ năng là sự thực hiện thành thạo và có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể

1.2.2 Đặc điểm của kỹ năng

Đặc điểm của kỹ năng:

- Tất cả các kỹ năng đều phải dựa trên kiến thức vì đó là cơ sở lý thuyết để hiểu mục đích thì sẽ phải tìm cách đi đến kết quả từ đó hiểu về những điều kiện

để có thể thực hiện các cách thức đó

- Các thuộc tính bản chất của đối tượng được thể hiện đầy đủ, được kiểm chứng từ thực tiễn và tồn tại với tư cách của hành động sẽ tạo nên các kiến thức làm cơ sở của kỹ năng

- Kỹ năng không tồn tại cố định mà nó thay đổi tùy thuộc vào người học, các hoạt động của người học và những mối quan hệ của họ trong cuộc sống lao động, học tập ở cộng đồng

- Các kỹ năng về hành đồng có được thì cần:

+ C ó đủ các kiến thức để hiểu được mục đích, điều kiện, cách thức làm

+ Thực hiện hành động với các yêu cầu cần phải có

+ Kết quả thu được phải phù hợp với mục đích đề ra

+ Với các điều kiện khác nhau thì hành động vẫn có hiệu quả

+ Qua một thời gian thích hợp có thể hình thành được kỹ năng thông qua việc bắt chước

Trong thực tế giáo dục cho thấy, việc vận dụng khái niệm và kiến thức được biết vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể của học sinh gặp phải những khó khăn nhất định Khó khăn đó chính là học sinh không tìm ra được các dấu hiệu bản chất từ đó phát hiện ra sự liên hệ giữa tri thức và đối tượng Trong trường hợp này, việc nhận thức của học sinh không vận dụng được tri thức Như vậy cơ sở của các kỹ năng không được hình thành vì các kiến thức mà học sinh nhận được chỉ là kiến thức khô khan, cứng ngắc và không liên kết với thực tiễn

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng, phong phú Thông qua đó các thuộc tính khác nhau cũng như bản chất của sự vật được thể hiện Như vậy việc chọn lựa tri thức hợp lý và đúng đắn chính là cách để chúng trở thành một cơ sở cho các hành động Nói cách khác, lựa chọn tri thức là cần thiết và phải lựa chọn đúng thì mới thể hiện được phù hợp thuộc tính bản chất với mục tiêu hành động

1.2.3 Kỹ năng giải toán

Theo G.Polya, kỹ năng trong toán học là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phê phán các lời giải và chứng minh nhận được

Muốn thực hiện được nhiệm vụ của môn Toán ở trường THPT thì một trong những yêu cầu về tri thức và kỹ năng cần chú ý đặc biệt là những tri thức

về phương pháp Cụ thể hơn là những phương pháp có tính chất thuật toán, thuật giải và những kỹ năng tương ứng với chúng Tuy nhiên, những yêu cầu về rèn luyện kỹ năng có thể khác nhau tùy theo nội dung toán học

1.2.4 Yêu cầu về rèn luyện kỹ năng giải toán của học sinh

Một trong những nhiệm vụ quan trọng ở môn Toán đó là truyền thụ tri thức đi liền với rèn luyện kỹ năng Toán học và việc vận dụng toán học vào thực tiễn chính là một trong các kỹ năng Yêu cầu đầu tiên của kỹ năng này chính là

kỹ năng giải toán với các yêu cầu sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt cho cả chương trình

- Giúp học sinh phát triển năng lực về trí tuệ Cụ thể hơn là rèn luyện và phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy giải toán (tư duy thuật giải); Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian; Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát, cùng với

sự độc lập, linh hoạt và sáng tạo trong tư duy để lầm nên các phẩm chất trí tuệ

- Rèn luyện kỹ năng tính toán ở các tiết học cũng cần được coi trọng

- Giúp cho các phẩm chất về đạo đức và thẩm mỹ của học sinh luyện rèn; khắc phục và hạn chế những sai lầm thông qua tính kiên trì, cẩn thận, chính xác

và thói quen tự kiểm tra, đánh giá

1.2.5 Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán HHKG lớp 11

1.2.5.1 Nhóm kỹ năng chung khi giải bài tập toán

Khi giải một bài toán ta cần có các kỹ năng cơ bản sau:

Kỹ năng 1 Kỹ năng tìm hiểu và phân tích đề bài

Khi giải một bài toán, điều đầu tiên cần phải thực hiện là phân tích để làm

rõ giả thiết và kết luận của bài toán Một khâu cần phải tìm khi chưa biết hay một quy tắc tổng quát hoặc cách làm có yếu tố thuật giải sẽ là cách để giải bài nếu bài toán là một vấn đề Khi đó xâu chuỗi các kiến thức có liên quan để tiến hành tìm lời giải Đây chính là kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, một trong những kỹ năng quan trọng nhất để giải một bài tập toán hay một vấn đề toán học Cần làm rõ các thành phần, mối liên hệ qua các yếu tố trong một bài toán

Kỹ năng 2 Kỹ năng xây dựng chương trình giải toán

Khó khăn nhất mà học sinh gặp phải khi đứng trước một bài toán, đặc biệt

là bài toán hình học đó là xác định được đường lối giải Đâu sẽ là điểm khởi động để học sinh đi và tìm đến kết quả của bài

Việc giải một bài toán, về mặt nhận thức chính là dựa vào kết quả của sự phân tích đề bài Từ đó học sinh huy động các kiến thức, kinh nghiệm đã có của bản thân mà có liên quan đến bài toán để xây dựng chương trình giải toán Có thể là học sinh tự nghĩ, tư duy tích cực để tìm ra lời giải, cũng có thể là “quy lạ

về quen” thông qua các dạng toán đã biết

Kỹ năng 3 Kỹ năng trình bày lời giải

Khi học sinh đã tìm ra lời giải, giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lời giải theo ý hiểu của mình, giúp học sinh học được cách suy luận, học được cách trình bày và luyện tập được cách diễn đạt Từ đó, học sinh sẽ biết được cách trình bày lời giải cho một bài hay một dạng bài toán Trong quá trình trình bày lời giải mà học sinh vướng mắc ở một bước nào đó thì giáo viên lại tiếp tục gợi ý hay là hướng dẫn để học sinh có thể vượt qua được những khó khăn đang gặp phải Khi đó, học sinh sẽ hiểu được sâu, nhớ được lâu hơn những tri thức và phương pháp mà giáo viên đã ngầm cung cấp trong quá trình giúp người học thực hiện được chương trình giải Kỹ năng này giúp người học rèn luyện thao tác

tư duy và phương pháp suy luận logic để thực hiện một chương trình giải Chương trình giải có thể có một hoặc nhiều cách giải khác nhau Khi được luyện tập, học sinh có thể lựa chọn được một phương pháp thích hợp tương ứng cho từng loại bài toán hoặc có những điều chỉnh về hướng giải khi nhận thấy không phù hợp

Kỹ năng 4 Kỹ năng nghiên cứu, kiểm tra kết quả của bài

Sau khi giải xong bài toán, việc xem lại lời giải một hoặc nhiều lần nữa sẽ giúp học sinh hiểu bài toán đòi hỏi những gì, đã sử dụng những kiến thức nào khi

giải, những mối liên hệ giữa các kiến thức như thế nào để tìm ra được lời giải Qua đó, giáo viên giúp học sinh hình dung lại cách suy nghĩ trước một bài toán, cách làm các bài toán tương tự Trong những điều kiện cho phép, giáo viên có thể nêu những bài toán nâng cao thêm một chút cho học sinh tiếp tục suy nghĩ hoặc yêu cầu học sinh tìm cách giải khác nếu có để giúp họ học tập theo các hướng phát triển

Học sinh cần được rèn luyện để tạo thói quen xem lại lời giải của bài toán nhằm mục đích:

- Kiểm tra các bước giải toán Việc kiểm tra các bước giải toán ngoài phát hiện để sửa chữa những sai lầm mắc phải, còn có ý nghĩa quan trọng hơn đó là rút ra kết luận khái quát về hướng giải một loại bài tập cùng với những tri thức thu nhận được Việc kiểm tra chính là thực hiện một nhiệm vụ kép Thứ nhất là kiểm tra các bước trong tiến trình giải toán Thứ hai là kiểm tra kết quả của bài toán Kiểm tra kết quả bằng các cách định tính và định lượng; kiểm tra giá trị chân lý của lời giải; kiểm tra cách suy luận và kỹ thuật tính toán Phát hiện và xử

lý các sai lầm về chiến lược, chiến thuật giải, về hình thức, logic hay khái niệm

để tiến trình giải toán mang tính tối ưu

- Học sinh có thể khái quát hóa, tương tự hóa biến bài toán thành tri thức

và kinh nghiệm của bản thân

- Có thể tìm ra được kết quả bằng một hay nhiều cách khác với cách giải

đã làm

- Có thể suy nghĩ để vận dụng kết quả hoặc phương pháp giải của bài toán cho những bài toán khác

1.2.5.2 Nhóm kỹ năng cơ bản của nội dung HHKG lớp 11

Các kiến thức về HHKG thường là trừu tượng, mới đối với học sinh và có nhiều kiến thức tổng hợp Học sinh thường gặp khó khăn trong khi vẽ và nhìn hình không gian, khả năng vận dụng các kiến thức đã có để giải bài tập còn có

những hạn chế nhất định Như vậy, cần chú trọng rèn luyện cho học sinh những

kỹ năng giúp chúng làm quen với hình học không gian và các bài tập về hình học không gian Đó là các kỹ năng nền tảng của chương trình, là cơ sở để củng cố và khắc sâu kiến thức Cụ thể hơn trong các bài dạy, tiết dạy thì giáo viên cần xác định các kỹ năng chủ chốt nào cần rèn luyện Ở phạm vi kiến thức về HHKG lớp

11, có thể đưa ra một số nhóm kỹ năng cơ bản cần rèn luyện khi giải toán sau

Nhóm 1 Kỹ năng biểu diễn hình, xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện

Kỹ năng 1.1 Kỹ năng vẽ hình biểu diễn của một hình không gian

Một khâu rất cần thiết trong khi học và giải bài tập hình học nói chung và hình không gian nói riêng là vẽ hình Có được hình vẽ chính xác, trực quan là một trong những yếu tố quyết định giúp học sinh tìm ra hướng chứng minh, hướng giải bài toán Muốn vẽ được hình cho một bài tập hình không gian thì trước hết cần vẽ được hình biểu diễn của một hình không gian Do đó, ngay từ những tiết học đầu tiên, giáo viên cần luyện cho học sinh biết cách biểu diễn đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng trong không gian sau khi

đã biết những hình ảnh thực tế của chúng, rồi đến các loại hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp,

Ví dụ như sau khi cho học sinh quan sát mô hình hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác dưới các góc nhìn khác nhau, giáo viên gọi học sinh lên bảng vẽ hình biểu diễn dưới các góc nhìn đó Nhiệm vụ này muốn làm tốt được thì học sinh cần nắm vững được các quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đường thẳng, đoạn thẳng là đường thẳng, đoạn thẳng

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau

- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất [5, tr.45]

- Hình biểu diễn của tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều là tam giác thường

- Hình biểu diễn của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông là hình bình hành

- Hình biểu diễn của các loại hình thang là hình thang bất kỳ, miễn là tỷ số độ dài hai cạnh đáy của hình biểu diễn bằng tỷ số độ dài hai cạnh đáy của hình thang ban đầu

- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip [5, tr.74-75]

Kỹ năng 1.2 Kỹ năng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Muốn xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta thường sử dụng một trong hai cách sau

Cách 1: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó

Cách 2: Xác định một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến

Kỹ năng 1.3 Kỹ năng xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Việc tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng thường được đưa về tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng thuộc mặt phẳng

Kỹ năng 1.4 Kỹ năng xác định thiết diện

Xác định thiết diện là một kỹ năng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Muốn làm tốt kỹ năng này, học sinh nhất thiết cần có những yêu cầu sau:

- Thành thạo kỹ năng tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và kỹ năng xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

- Nhận thức đúng và đầy đủ về khái niệm “thiết diện”

- Nắm vững các tiên đề của HHKG với nguyên tắc vận dụng các định lý vào việc giải toán và các suy luận logic

Nhóm 2 Kỹ năng chứng minh

Kỹ năng 2.1 Kỹ năng chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Muốn rèn luyện được tốt kỹ năng này thì sau khi biết được các kiến thức

về quan hệ song song trong không gian, các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song đòi hỏi học sinh cần nắm vững

Có các dấu hiệu sau để nhận biết về hai đường thẳng song song:

- Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung

- Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau, lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó [5, tr.57]

- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau [5, tr.58]

- Đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a [5, tr.61]

- Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó [5, tr.62]

- Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) Mặt phẳng (γ) cắt mặt phẳng (α), (β) theo các giao tuyến lần lượt là a, b thì a và b song song với nhau [5, tr.67]

- Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và hình chiếu của a trên (P) là

a’ thì a và a’ song song với nhau

Kỹ năng 2.2 Kỹ năng chứng minh đường thẳng và mặt phẳng song song

Để chứng minh được hai đường thẳng song song trong không gian thì ta dựa vào các dấu hiệu nhận biết chúng có song song với nhau hay không Tương

tự như vậy, chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng cũng phải dựa vào các dấu hiệu nhận biết

Các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:

- Nếu một mặt phẳng và một đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau

- Nếu một đường thẳng nằm ngoài mặt phẳng, song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng

- Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia (suy ra từ định nghĩa hai mặt phẳng song song

và định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng)

Kỹ năng 2.3 Kỹ năng chứng minh hai mặt phẳng song song

Kỹ năng này có được khi học sinh nắm chắc và hiểu rõ các dấu hiệu nhận biết sau:

- Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song với nhau

- Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song với nhau [5, tr.64]

- Nếu hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau [5, tr.66]

Kỹ năng 2.4 Kỹ năng chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Với kỹ năng này ngoài nắm chắc kiến thức về nội dung quan hệ vuông góc trong không gian thì học sinh cần có sự tổng hợp kiến thức để chứng minh hai đường thẳng vuông góc Cụ thể:

- Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90

- Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại (suy ra từ định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và hai đường thẳng song song thì đồng phẳng)

- Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy [5, tr.99]

- Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a thì đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c

- Định lý ba đường vuông góc (Hai đường thẳng chéo nhau vuông góc với nhau khi một trong hai đường thẳng vuông góc với hình chiếu vuông góc của đường thẳng còn lại trên mặt phẳng chứa đường thẳng kia)

Giáo viên cần nhắc học sinh rằng hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể chéo nhau hoặc cắt nhau

Kỹ năng 2.5 Kỹ năng chứng minh đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

Để có được kỹ năng này, học sinh cần hiểu rõ các khái niệm, định lý sau:

- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy

- Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a thì đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) [suy ra

Kỹ năng 2.6 Kỹ năng chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Kỹ năng này sẽ có được khi học sinh nắm được, hiểu rõ định nghĩa và định lý sau:

- Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông

- Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Nhóm 3 Kỹ năng tính toán xác định góc, khoảng cách

Kỹ năng 3.1 Kỹ năng tính toán xác định các loại góc trong không gian

Sau khi học xong các khái niệm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong không gian thì kỹ năng xác định và tính toán góc sẽ cần được rèn luyện cho học sinh Để kỹ năng này được thực hiện tốt thì học sinh cần nắm vững các khái niệm:

- Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng

a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng đó (khi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng 90 )

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Kỹ năng 3.2 Kỹ năng tính toán xác định các loại khoảng cách trong không gian

Các bài tập xác định và tính khoảng cách là dạng bài tập đòi hỏi học sinh phải có khả năng về tưởng tượng không gian, vẽ hình biểu diễn, vẽ thêm đường phụ và chọn điểm phù hợp thì mới giải quyết được Ở chương trình HHKG lớp

11, kỹ năng xác định và tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, giữa hai mặt phẳng song song, giữa hai đường thẳng chéo nhau là những kỹ năng học sinh cần

có Do đó bài tập khoảng cách trong không gian rất đa dạng và phong phú Để thực hiện được kỹ năng này, học sinh cần nắm chắc các khái niệm:

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách giữa điểm đó và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song được quy về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và đó là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cũng tương tự các khoảng cách ở trên, là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng vuông góc và cắt đồng thời với hai đường thẳng chéo nhau đó Ngoài cách trên, khoảng cách này có thể xác định được bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại hoặc khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Qua các định nghĩa trên, ta nhận thấy các bài toán của dạng bài xác định

và tính khoảng cách trong không gian đều có thể được đưa về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Như vậy để học sinh giải quyết được các bài toán về khoảng cách thì trọng tâm là hướng dẫn để học sinh giải quyết được bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

1.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT

1.3.1 Mục tiêu dạy học môn Toán ở THPT

Theo chương trình môn Toán năm 2006, mục tiêu dạy học môn Toán gồm:

- Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản thiết thực

- Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống

- Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên

- Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng phân ban: ban Khoa học Tự nhiên và ban Khoa học Xã hội và Nhân văn

1.3.2 Yêu cầu nhiệm vụ môn Toán ở THPT

Cấp Trung học phổ thông có các nhiệm vụ:

- Hoàn chỉnh giáo dục phổ thông

- Chuẩn bị cho học sinh ra cuộc sống

- Chuẩn bị cho một bộ phận học lên các bậc học cao hơn

- Định hướng phân ban trên cơ sở giáo dục toàn diện

Do nhiệm vụ cấp học và đặc điểm đối tượng, việc dạy học môn Toán ở cấp THPT có những yêu cầu đặc biệt sau:

- Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức phương pháp , đặc biệt những phương pháp không có tính thuật giải và những kỹ năng tương ứng

- Về năng lực trí tuệ, cần có yêu cầu cao về một số phẩm chất trí tuệ như tính độc lập, tính tự giác,

- Về chính trị tư tưởng, cần nhấn mạnh yếu tố hình thành thế giới quan

- Về yêu cầu tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động, cần chú ý đúng mức đặc thù phân ban

1.3.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT

Bước đầu tiên của rèn luyện các kỹ năng toán học và vận dụng toán học chính là kỹ năng giải toán Kỹ năng này cần đạt được các yêu cầu cụ thể sau:

Một là, các mạch kiến thức có tính chất xương sống ở chương trình phổ thông sẽ được học sinh hình thành và nắm vững Trong môn Toán có thể kể tới các mạch kiến thức:

- Số và những phép tính trên tập hợp số thực, tập hợp số phức

- Mệnh đề và tập hợp; các biểu thức đại số, lượng giác; phương trình (bậc nhất, bậc hai, quy về bậc nhất và bậc hai, lượng giác, mũ, logarit); hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai); bất phương trình (bậc nhất, bậc hai, quy về bậc nhất và bậc hai, mũ, logarit) và hệ bất phương trình bậc nhất (một ẩn, hai ẩn)

- Hàm số, giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân cùng với các ứng dụng

- Các quan hệ hình học và một số hình thông dụng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình tròn, elip, hình đa diện, hình tròn xoay); phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng; vectơ và tọa độ

- Thống kê, tổ hợp, xác suất

Hai là giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ cụ thể là:

- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác trong đó có thuật toán

- Dự đoán, tưởng tượng và tư duy trừu tượng trong không gian

- Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,

- Các phẩm chất trí tuệ như tính độc lập, tính linh hoạt và sáng tạo

Ba là việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành trong tất cả các giờ học toán gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biểu diễn, vẽ hình cần phải được coi trọng

Bốn là giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ thể hiện ở tính cẩn thận, chính xác, tính kế hoạch, kỷ luật, tính kiên trì, vượt khó, tinh thần trách nhiệm, khả năng hợp tác lao động, ý chí và thói quen học hỏi, rút kinh nghiệm, thái độ phê phán, thói quen tự kiểm tra để tránh những sai lầm có thể gặp

1.4 Nội dung của chương trình và yêu cầu của dạy học chủ đề bài tập về

vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian

1.4.1 Nội dung của chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc trong chương trình

HHKG lớp 11

HHKG là nội dung kiến thức quan trọng với vai trò lớn trong việc hoàn thiện tri thức phổ thông và bồi dưỡng tư duy cho học sinh ở lớp 11 Bản thân HHKG có những ưu thế riêng biệt trong việc phát triển trí tưởng tượng không gian, tư duy logic và sáng tạo cho học sinh

Theo chương trình và SGK hiện hành thì nội dung HHKG lớp 11 gồm hai chương, đó là:

Chương II Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song Chương III Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian

Ở chương III, SGK hình học lớp 11 ban cơ bản cơ bản đã trình bày các khái niệm và định lý về vectơ trong không gian, hai đường thẳng vuông góc,

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc Trong các nội dung đó có nêu lên khái niệm và cách xác định góc (giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng) và khoảng cách (từ điểm đến đường thẳng, điểm đến mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai đường thẳng chéo nhau) cùng với các định lý về mối liên hệ giữa quan

hệ song song với quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

1.4.2 Mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc

trong không gian

1.4.2.1 Về kiến thức

Các nội dung kiến thức cơ bản mà học sinh cần phải nắm vững là:

- Định nghĩa và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

- Các tính chất của phép chiếu vuông góc

- Các loại khoảng cách là khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Các loại góc là góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

- Định nghĩa và tính chất của hình chóp, hình lăng trụ, hình đa diện [9, 178]

tr.177-1.4.2.2 Về kỹ năng

Qua nội dung của chương vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian của chương trình HHKG lớp 11, học sinh cần có các kỹ năng vận dụng kiến thức của HHKG vào giải toán và đời sống

- Kỹ năng biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng theo phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc

- Kỹ năng xác định giao điểm của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, xác định thiết diện

- Kỹ năng chứng minh hình học nói riêng và chứng minh toán học nói chung bằng những lập luận có căn cứ, trình bày lời giải mạch lạc

- Kỹ năng xác định, tính toán về góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng

- Kỹ năng phát biểu bài toán hình học xuất phát từ thực tiễn, giải được một số bài toán thực tiễn có liên quan đến HHKG [9, tr.178]

1.4.2.3 Về phương pháp

Con đường tổng hợp thường được sử dụng khi giải toán Qua đó, học sinh

có thể biết được có bao nhiêu cách giải cho một dạng bài toán và sử dụng được cách giải thích hợp nhất cho bài toán cụ thể Vì vậy cần chú ý để học sinh biết khai thác các phương pháp giải khác nhau khi giải các dạng toán HHKG

- Việc lập mối liên hệ giữa các kiến thức HHKG và hình học phẳng là một năng lực cần bồi dưỡng cho học sinh

- Tạo cho học sinh rèn luyện năng lực bóc tách các bộ phận phẳng cần nghiên cứu khỏi HHKG để chuyển về các bài toán quen thuộc

- Tạo cho học sinh rèn luyện năng lực chuyển các bài toán không gian về bài toán phẳng nhờ tương tự hóa, nhờ sử dụng các tính chất bất biến qua phép chiếu song song, đặc biệt là phép chiếu vuông góc

1.5 Thực trạng dạy học giải bài tập chủ đề vectơ và quan hệ vuông góc

trong không gian ở trường THPT

1.5.1 Thực trạng dạy học giải bài tập HHKG chủ đề vectơ và quan hệ vuông

góc ở trường THPT

Từ thực tế giảng dạy trong một số năm đã qua, bản thân tôi cùng với các đồng nghiệp nhận thấy học sinh rất ngại học hình học và đặc biệt là HHKG, trong đó có nội dung về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian thì lại

càng cảm thấy e ngại hơn Không ít học sinh gặp khó khăn khi học HHKG vì các

em cho rằng phần hình học khó học, nhất là hình không gian thì rất trừu tượng

Có lẽ từ lý do này mà nhiều học sinh học yếu phần hình học trong đó có nội dung vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian Nhiều em yếu về kỹ năng giải toán, thậm chí có những em không hoàn chỉnh được hình vẽ cho một bài toán hình học đơn giản

Như vậy phương pháp dạy là một điều hết sức cần thiết cho việc dạy học giải bài tập HHKG trong đó có nội dung vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian Một phương pháp gây được hứng thú cho học sinh thì phải là một phương pháp hấp dẫn, sinh động Cho nên giáo viên sẽ phải là người tìm tòi, sáng tạo để đưa ra được những bài tập phù hợp chuẩn kiến thức, kỹ năng và SGK nhưng đồng thời cũng phải có được một hình vẽ rõ ràng với những lưu ý cụ thể

về cách vẽ hình, một thuật giải ngắn gọn, hợp lý nhất nhằm giảm bớt những cản trở đối với học sinh Qua đó học sinh dần hình thành được phương pháp, kỹ năng, cũng như kỹ xảo giải bài Điều này có phần trái ngược với thực tế, vì điều kiện thời gian không cho phép, yêu cầu công việc phải giải quyết xong những phần nào trong khoảng thời gian này nên có không ít giáo viên chỉ yêu cầu làm những bài tập trong SGK hoặc đơn thuần vẽ hình mà không nêu những lưu ý khi

vẽ hình cho học sinh rồi sau đó trình bày lời giải luôn cho học sinh

Bên cạnh những cách dạy truyền thống qua bảng đen, phấn trắng thì đã có

sự hỗ trợ của công nghệ thông tin như máy vi tính với các phần mềm thiết kế hình học, máy chiếu, tranh ảnh, Nhiều giáo viên đã tận dụng những tiện ích này trong các bài dạy của mình để phần nào giúp học sinh dễ dàng hình dung và tiếp thu lý thuyết cũng như bài tập trong bài học đó

1.5.2 Thực trạng kỹ năng giải bài tập HHKG chủ đề vectơ và quan hệ vuông

góc ở trường THPT

Với nội dung hình học phẳng ở các lớp dưới, các đối tượng hình học đa số được phản ánh một cách trực quan nhất về hình dạng và có thể là cả kích thước qua những hình mà học sinh vẽ ra trên giấy Học sinh đã học và làm quen với cách biểu diễn tường minh này trong hình học ở cả cấp Trung học cơ sở, lớp 10

và nửa đầu lớp 11 THPT Trong phần hình học phẳng này, mọi mối quan hệ đều được thể hiện rất rõ ràng và cụ thể Các mối quan hệ có thể được kể ra như mối quan hệ liên thuộc, thứ tự, song song, vuông góc và quan hệ bằng nhau giữa các đoạn thẳng, các góc

Sang đến nội dung của HHKG, các đối tượng hình học được vẽ ra trên giấy không cho thấy được hình ảnh đúng hoàn toàn về những mối quan hệ mà học sinh đã được biết trong hình học phẳng Chúng ta có thể một góc tù hay một góc nhọn để biểu diễn một góc vuông; hai đoạn thẳng hay hai góc bằng nhau có thể biểu diễn trên hình vẽ là không bằng nhau Mặc dù nội dung chương hai của phần hình học đã đưa ra các khái niệm cơ bản, những kiến thức chuẩn bị, có tính chất “xương sống” để định hướng học sinh tiếp cận Tuy nhiên, đây vẫn là một nội dung khó đối với không ít học sinh bởi vì các em phải thay đổi cách tư duy, giảm dần tư duy từ sự quan sát trực quan sang tư duy trừu tượng, logic cùng với khả năng tưởng tượng không gian

Điều tra thực tế về kết quả kiểm tra 45 phút số 2 trong học kỳ II của hai năm học 2015-2016 và 2016-2017, bài kiểm tra về nội dung quan hệ song song

và quan hệ vuông góc trong không gian của hình học lớp 11, có bảng số liệu sau

Bảng 1.1 Kết quả kiểm tra

Trung bình

(Nguồn: trích từ Sổ gọi tên và ghi điểm các lớp 11, năm học 2015-2016 và

2016-2017, tại trường THPT Na Dương, Lạng Sơn)

Qua đó, thực trạng dạy học giải bài tập và kỹ năng giải bài tập của học sinh trong hai năm gần đây tại trường THPT Na Dương đã có những chuyển biến tích cực Tuy nhiên những chuyển biến đó cũng chưa nhận thấy được rõ ràng

1.6 Kết luận chương 1

Chương 1 đã đề cập đến những vấn đề cơ bản nhất về kỹ năng nói chung

và kỹ năng giải toán nói riêng Trong kỹ năng giải toán cho một bài toán HHKG

có nêu ra các kỹ năng chung, kỹ năng cơ bản cũng như mục đích và các yêu cầu cần phải có để rèn luyện kỹ năng, kỹ năng giải toán Những nội dung lý thuyết được nêu sẽ làm cơ sở cho một số giải pháp đưa ra trong chương tiếp theo

Trên cơ sở sơ bộ về rèn luyện kỹ năng giải toán tại trường THPT Na Dương, nơi tôi đang công tác, tôi nhận thấy kỹ năng giải toán của học sinh chưa tốt và vẫn còn không ít các em yếu, kém về kỹ năng giải toán HHKG, trong đó

có phần quan hệ vuông góc trong không gian Từ đó, tôi nghĩ rằng việc đưa ra một số cách rèn luyện kỹ năng giải toán với nội dung quan hệ vuông góc cho các học sinh là cần thiết phải có trong chương 2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

2.1 Một số nguyên tắc khi xây dựng phương pháp

2.1.1 Phù hợp với đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông

đã được pháp chế hóa trong Luật Giáo dục:

“ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên.” (trích Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 5)

“ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” (trích Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 28)

Đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT có nội dung chính là phát huy được sự học tập một cách tích cực, chủ động, giảm thiểu thụ động của học sinh Điều này muốn đạt được thì cần tổ chức để học sinh được học tập trong các hoạt động và bằng các hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Như vậy biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng giải toán phải xây dựng trên định hướng giúp học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo trên tinh thần biết tự học