Nguyên hàm-Tích phân Lớp 12

Nguyên hàm-Tích phân Lớp 12

PHAN HUY KHẢI

Các phương pháp cơ bản tìm

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

VÀ SỐ PHÚC

HÀ NỘI — 2008

| | Chuong 1 PHEP TIM NGUYEN HAM VA TINH TICH PHAN

Trong chương nay chúng tôi trình bày ba phương pháp cơ bản nhất để tìm

nguyên hàm và tính tích phân

-_— Phương pháp bảng nguyên hàm

~ Phương pháp đổi biến số

- Phương pháp tích phân từng phan

§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA

NGUYEN HAM VA TICH PHAN

1 Nguyén ham

— Cho hàm số Í(x) liên tục trên K (ở đó K có thể là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x)

trên K., néu F'(x) = f(x) với moi x € K

- Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, thì với mỗi hằng

số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K Ngược

lai, néu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) trên K, thì tồn tại hằng số C

G(x) = F(x) + € với mọi x e K&

— Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trén K, thi tap hop tất

cả các nguyên ham cua f(x) trén K 1a tap hop

I = {F(x) +C ; C là hằng số)

và tập hợp này kí hiệu bởi dấu tích phân như sau :

I= [f(x)dx.

Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

Vì mọi nguyên hàm của f(x) chỉ khác nhau một hằng số C, do vậy trong định nghĩa trên (xem (1)), ta có thể lấy F(x) là bất kì nguyên hàm nào của f(x)

cũng được Người ta hay viết (1) dưới dạng

Ý nghĩa hình học của tích phân | AY

Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục và không y = f(x)

b

âm trên đoạn [a ; b] Khi dy [f()dx là diện tích

hinh phang gidi han béi dudng cong y = f(x), truc

hoành và hai đường thang x = a, x = b (hình giới 0| ,a b

hạn trên gọi là hình thang cong) '

Hàm số f(x) liên tục trên [a, b] thì khả tích trên [a, b]

Những thí dụ đầu tiên về phép tìm nguyên hàm và tính tích phân

Thí dụ I Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

Thí dụ 3 (Tính tích phân mà không dựa vào nguyên hàm)

Không dựa vào nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau :

10

2 Gọi S là aren | tích hình thang giới han

bởi các đường y = 5 +3, truc hoanh va hai

Chi dan lich st:

1 Isaac Newton sinh Ở Woolsthorpe năm 1643 (theo lịch cổ) trùng vào

ngày Thiên chúa Giáng sinh và là năm Galileo qua đời Năm 23 tuổi, ông đã phát kiến ra công thức khai triển nhị thức (a + b)” (công thức này sau đó mang tên ông : nhị thức Newton) Cũng vào những năm ấy Newton đã nghĩ ra một phương pháp mà ông gọi là phương pháp làm chảy mà ngày nay ta gọi là phép tính vị phân

Ông cũng quan tâm tới nhiều vấn đề vật lí học, thực hiện những thí nghiệm đầu tiên về quang học và đã hình thành được các nguyên lí cơ bản của lí thuyết

các vấn đề vật lí học cũng như khả năng luận giải chúng bằng toán học có lẽ là những thứ chưa hề thấy ở đâu có thể trội hơn

Đức Giáo hoàng đã ngợi ca ông như ,sau :

Bóng tối thật mịt mùng Bao phủ giới tự nhiên Với bao nhiêu quy luật

Bị che khuất triển miên Đấng tối cao xuất hiện

Cho loài người Newton

Và mọi thứ mịt mùng

Nay toa day ánh sáng

Ong qua đời nam 1727 6 tudi 84, va duoc mai tang tai nha tho Westminster (nơi chôn cất các vĩ nhân của nước Anh)

Isaac Newton

(1643 - 1727)

2 Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 — 1716) là nhà toán học thiên tài

người Đức Cùng với Newton, Leibnitz là những người đã phát minh ra phép

tính vi, tích phân

keibnitz sinh ở Leipzig (Đức) năm 1646

Khi mới chỉ là cậu bé, ông đã tự học để đọc được chữ Latin và Hylạp va khi chưa đầy 20 tuổi đã nắm vững hầu hết các kiến thức thông thường trong sách giáo khoa về Toán, Triết học, Thần học và Luật học

Ong là người đặt nên móng cho ngành Toán học — đó là logic Toán mà sau này được các nhà toán học George Boole và Russell phát triển Leibnitz đã

khám phá ra định lí cơ bản của phép tính vi, tích phân, đã phát triển nhiều về

cách kí hiệu trong lĩnh vực này và đã tìm ra một số công thức về phép tính vi, tích phân

12

Bay năm cuối của cuộc đời Leibnitz là bảy năm của cuộc bút chiến quyết liệt

trong đó những người khác đã nói tới ông và Newton và xét xem có phải hai ông

đã khám phá ra phép tính vi, tích phân một cách độc lập với nhau hay không ?

_Ý kiến chung ngày nay cho rằng mỗi người đều đã khám phá ra phép tính

đó một cách độc lập Trong khi những khám phá của Newton được thực hiện

trước thì những kết quả của Leibnitz lại được công bố sớm hơn —

Cũng xin nhắc lại lời nhận xét sau đây của Leibnitz về Newton :

"Xem xét toán học từ buổi sơ khai trên trái đất này đến thời điểm hiện diện của Newton thì ông đã làm được một nửa mà lại là nửa tốt hơn nhiều"

Leibnitz mất năm 1716 ở Hanover

G.W Leibnitz (1646 - 1716)

§2 CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TIM NGUYEN HAM |

VA TINH TICH PHAN

Như đã biết giữa nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) và tích phân xác định

A PHƯƠNG PHÁP DÙNG BANG NGUYEN HAM

Để sử dụng được phương pháp này, ngoài việc sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm, chúng ta cần nắm vững các phép tính vi phân và biến đổi thành thạo các đẳng thức vẻ phép tính vi phân

Thi du 1 (Dai hoc — Cao đẳng khối B, 2003)

Vậy phép dùng bảng nguyên hàm nói trên, thực chất là một phép đổi biến

và là một phép đổi biến đơn giản ! Cách phân loại ở đây là ta tách ra những

phép đổi biến như thế, nó có hai cái lợi :

14

~ Không cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết

— Cách trình bày rất đơn giản

15

= 2 =-|?|sin—-cos—| 2 2° 2 — 3 sin— 3 — cos— 3

= In(a + b)ln2b — In(a + b)ln2a

= lIn(a + b)(In2b — In2a)

= InPina +b)

a

Nhận xét : Day là một thí dụ rất dep minh hoa cho tính ưu việt của phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm Ï!

Dùng một phương pháp đơn giản nhất để giải một bài toán không dễ chút nào !

— Một trong những ứng dụng đơn giản và cơ bản nhất của phương pháp bảng nguyên hàm là tính các tích phân của các hàm lượng giác cơ bản nhất Đó

là tích phân của các hàm lượng giác mà có thể sử dụng bảng nguyên hàm kết

hợp với các công thức biến đổi lượng giác : biến tích thành tổng và các công

thức hạ bậc

Xét các thí dụ minh hoạ sau đây :

Thí dụ 1 (Đại học ~ Cao đẳng khối D, 2005)

_ 87+ 73

ea

B PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Đối biến số là một trong những phương pháp quan trọng nhất để tính nguyên - ham và tích phân Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây :

trong đó f(x) là hàm số liên tục và hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên

khoảng J sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên J ; a, b là hai số thuộc } và

œ

những trường hợp mà việc tính tích phân mới này đơn giản hơn nhiều so với tích phân ban đầu Phép đổi biến ở đây là : t = u(x)

22

Vấn đề là ở chỗ : làm thế nào chọn được hàm u(x), để tích phân [toa

đơn giản hơn so với tích phân ban đầu | cà

Cách 2 : Giả sử ta cần tính foods, Néu x = u(t) va a, B thoả mãn

j s6 x = u(t) để việc tính tích phân mới này đơn giản hơn so với tích phân ban đầu Cần lưu ý rằng sau khi thay đổi biến x = u(0), ta phải đổi cận lấy tích phân

(khi x e [a, b], còn t e [œ, B]) Nói một cách ngắn gọn : |

"Đổi biến thì phải đổi cận"

Như vậy điều quan trọng nhất trong việc đổi biến là làm sao chon ham u(t) cho thích hợp Trong mục này, chúng tôi phân loại bài toán dựa theo cách chọn

Nói chung trong nhiều trường hợp (chứ không phải trong tất cả các trường

- hợp) ta có thể sẽ dùng phép đổi biến sau đây :

t = W(x)

Xét cac thi du minh hoa sau day

Thi du 1 (Bai hoc — Cao dang khéi A, 2004)

- Thực hiện phép đổi biến t = Vx — 1

(Khi x = I thì t= 0, con khi x = 2 thit = 1)

Thực hiện phép chia đa thức, ta có

Thi du 3 (Dai hoc — Cao đẳng khối B, 2004)

Tinh tich phan

= ple Sins inn Inx |

26

Thí dụ 4 (Đại học — Cao đẳng khối A, 2005)

Tính tích phân

sin2x + sinx XI+3cosx

chút ít !) Bạn có thể hình dung được điều ấy qua thí dụ trên

1 1

t= 5 Jo + D2d(@x? +) = 5 7

2 Có thể giải như sau :

Dat x = tgt, vite(-4; 5): Khi x = 0 thì t = 0, „ khi x = 1 thi t= 7

Loại 2 Phép đổi biến x = -t

Phép đổi biến này rất thích hợp trong hai trường hợp sau đây :

Í f(x)dx = - fre t)dt = fie bode

_ 2 Néu gap mot bai todn véi f(x) là một hàm số chắn cụ thể, ta làm hoàn

toàn tương tự như trên

Trong các thí dụ ứng dụng sau, ta tính tích phân với các giá trị cụ thể của

~ 3 [= fsin? x coOsxdx = [sin? xd(sin x)

Với các tích phân này, mặc dầu có chứa căn nhưng người ta hay dùng các

phép đổi biến sau (mà không áp dụng cách giải của loại 1 ở đây)

Đặt x = asint hoac x = acost

Xét các thí dụ minh hoạ sau dây :

Thi du 1 Tinh tich phan

I= [va — ax |

—{

35

Thật vậy khi đó từ tˆ = 4 — x” => tdt = —xdx nhumg dưới dấu tích phan chỉ có

dx, nếu thêm xdx thì phải có phép chia cho x điều đó gặp khó khăn vì hai nhé :

— 8) Khi lấy tích phan tt —1 đến 43 có chứa x = 0 (khi đó phép chia không

36

b) Vả lại khi xuất hiện t, thì khi tính t theo x lại xuất hiện dấu căn mới

Như thế đây cũng là thí dụ chứng tỏ rằng không phải cứ nhìn thấy jf(x) là đổi biến t = -/f(x) Có thể sẽ không thành cong !

Nhận xét : Dĩ nhiên trong thí dụ này nếu đặt t = xj(9 - x7)” thì phép biến

đổi biến này là hoàn toàn không thích hợp, nếu như không n muốn nói rất khó để

tính tích phân này với phép đối biến như vậy

Nhận xét : Ta có cách giải tương tự, nếu như biểu thức dưới dấu tích phân

chứa số hạng có dạng AJx” ~ a”, a > 0 Khi đó có thể dùng phép đổi biến sau :

(dĩ nhiên chỉ xét các tích phân mà trong miền đổi biến thì sint # 0 (hoặc cost # 0))

Loại 4 Phép đổi biến khi hàm dưới dấu tích phân là các biểu thức dạng

Đấy là cách giải theo lý thuyết và đĩ nhiên có thể chấp nhận được

Ta giải theo cách khác (Thí dụ 8 trang 23) :

Rõ ràng cách giải này ngắn gọn va don giản hơn nhiều

Phép đổi biến x = tgt có thể dùng được, nhưng không thích hợp đối với thí

dụ này

Thí dụ 3 Tính tích phân

40

(khi _= <t <= thi cost > 0) Vay

t = sinx hoặc t = cosx (có thể t = tgx, t = cotgx)

Thí dụ 1 (Đại học — Cao đẳng khối B, 2005)

Dat t = cosx (khi x = 0 thì t = 1, còn khi nao thi t= 0)

Ta c6 dt = —sinxdx, va ti dé

43

Gidi

Dat t = sinx ; (khi x = 0 thì t = 0, khi x =2 thìt= 1)

Ta c6 dt = cosxdx ; V7 + cos2x = V7 +1- 2sin? x = 8 _ 2?

1

dt - I= —= (1)

[=e [ascent 2cos udu = se [Peceu _ 1 {a

BIT 4sin7u V2 5 2cosu 0

Thi du 3 Tinh tich phan

x

2

I = sin? X COS Sxdx,

0

Đặt t = sinx (khi x = 0 thì t=0, khi x = 2 thì t= 1) => dt = cosxdx

Viết lại tích phân dưới dạng

g 3sin x + 4cos* x g 3sin® x + 4cos“ x

Dat t = cosx => dt = —sinxdx và có

5 8 0 i

2 3sin xdx + 3sin xdx 3dt dt

J 2 2 =f 2 =-] 7 = 3) xš

g 3sin x + 4cos*x 93+ cos x ha: g3?!

Áp dụng phép đổi biến trong loại 4, đặt t = v3 tgu=> dt = vu và có

C05“ uU

45

Nhận xét : Trong thí dụ trên ta đã kết hợp sử dụng các phép đổi biến t = sinx,

t = cosx lẫn các phép đổi biến thuộc loại 4 và sử dụng cả phép dùng bảng

nguyên hàm đan xen thuật "thêm, bớt" Đây là một thí dụ thuộc loại tổng hợp: nhưng cơ bản

— Khi biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

asinx + bcosx + c

a, Sinx + bj cosx + cy thì có thể sử dụng phép đổi biến

=> dx =

46

~ Một trong những phép đổi biến hay dùng nữa là phép thay biến x=a-t

đối với tích phân có cận trên là a, hàm dưới là tích phân chứa các biểu thức

lượng giác và các biểu thức này liên quan đến cận trên a (theo nghĩa chúng có

mối liên hệ hàm số lượng giác của các góc liên quan đặc biệt) Vì thế các tích

phân này thường có cận trên là > 7t, 2m, Với các tích phân này thường dẫn

đến việc giải một phương trình đơn giản mà ẩn số ở đây là tích phân I cần tính

47

2I= —m |cos” td(cost) = —= (cos? t) = ~=CŒI —l)= on

Loại 6 Một vài phép đổi biến khác khi lấy tích phân

Các loại bài tập này bao gồm nhiều loại khác nữa so với các loại đã trình bày trong 5 loại cơ bản ở trên Xét các thí dụ minh hoa sau :

Thi du 1 (Đại học — Cao đẳng khối B, 2006)

Datt=x’ (khix = 1 thit=1, con khix =2 thit = 128)

j2+x _ {20 +cost) _ 2—x 2(1 — cost)

Nhận xét chung về phép đổi biến

Như vậy phép đổi biến đóng một vai trò cực kì quan trọng trong việc tính

nguyên hàm và tích phân Trong phần trên chúng tôi đã cố gắng đến mức tối đa

để giúp các bạn lựa chọn các phép đổi biến thích hợp nhất với từng loại hình

bài tập Tuy nhiên xin nhấn mạnh rằng mọi phép đổi biến ấy chỉ là những gợi ý tham khảo, chứ không phải là công thức phổi tuán theo Như các bạn đã thấy

phép đổi biến rất đa dạng, nếu quá sa đà có thể đi vào ngõ cụt

_— Để kết thúc cho phần đổi biến chúng tôi xin trình bày với các bạn hai thí

tức là l + sinx 0 Vxe HH và di nhiên tích phân trên tồn tại

Theo "lý thuyết” (xem loai 5), dat t = t2

(chú ý ig xác định khi x e [a2] Khi x = 0 thì t= 0, còn khi x = 5

1+ tly 2

Nhận xét :

_ — Cách tính trên là chấp nhận được vì trước hết nó đúng

— Tuy nhiên nó không phải là cách hay, vì ta có thể tính cách khác như sau :

01+ cos —X) 02cos (4-3)