làm quen với mathematica 9.0 pdf

làm quen với mathematica 9.0 pdf

MỤC LỤC

Làm quen với Mathematica 3

Làm việc với ma trận 4

Làm việc với List 4

Hàm số 6

Vẽ đồ thị và điểm 7

Vẽ đồ thị tham số 8

Vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều 9

Vẽ đồ thị hàm số dạng f(x,y) = 0 và f(x,y,z) = 0 11

Vẽ miền đúng của bất đẳng thức 13

Các vòng lặp dạng Do, For, While 15

Lệnh IF 16

Những kí hiệu “kì quái” 16

Phương pháp học tốt Mathematica 17

Tích Kronecker với lệnh KroneckerProduct 18

Phân tích số tự nhiên thành thừa số nguyên tố 19

Giải phương trình và hệ phương trình 19

Tích phân, đạo hàm, chuỗi và giới hạn Phương trình vi phân 22

Chuyển từ số thực sang số hữu tỉ và ngược lại Chuyển cơ số 24

Lệnh Roots và lệnh Solve 24

Lệnh khử biến và một số cách thế giá trị vào biểu thức 25

Lệnh Chop 25

Thread, Inner, Outer, Transpose, và Distribute 26

Lệnh Root và lệnh FindRoot 31

Các lệnh liên quan đến thông báo khi tính toán: Quiet, Off, On, Check 31

Giải phương trình vi phân thường - Lệnh NDSolve 34

Vài câu lệnh làm việc với String 34

Ghi chú trên đồ thị 35

Vẽ đồ thị động với lệnh Manipulate 36

Các đơn vị đo lường trong thống kê mô tả 37

Tìm hiểu sự sai khác khi tính toán với số phức 38

Phép đổi biến trong tích phân 39

Thử lại tính đúng đắn nghiệm của phương trình 41

Ghi chú khi vẽ đồ thị điểm 41

Tam giác Pascal 42

Vẽ đồng hồ treo tường 45

Thao tác các biểu thức đại số 46

Mọi thứ là một biểu thức 48

Một phương trình với nghiệm chính xác không được tìm thấy 52

Nguyên tắc xuất ảnh động có đuôi gif 52

Ý nghĩa hình học của khai triển Taylor 55

Numerical method 57

Làm quen với Mathematica

Để làm quen với Mathematica thì đầu tiên bạn phải có phần mềm này và cài đặt

nó, hiện tại tôi vẫn đang dùng phiên bản thứ 6 dù phiên bản 7 đã ra đời Tôi không muốn nói nhiều về hình thức của chương trình, cách cài đặt hay giao diện ban đầu như thế nào (bạn đọc tự biết nhé), tôi chỉ muốn chốt lại một số điểm cần chú ý trong Mathematica theo sự hiểu biết cá nhân:

1 Mathematica phân biệt chữ hoa chữ thường, các hàm của nó đều bắt đầu bằng chữ hoa

2 Các biến đi theo hàm đều được đặt trong ngoặc vuông, cú pháp hình thức như

sau: Hàm[expr] Có thể lấy ví dụ như Cos[x], Sin[x]

3 Để thực hiện một câu lệnh, ta dùng tổ hợp phím "Shift + Enter"

4 Để kết thúc một câu lệnh ta đặt dấu chấm phẩy (;), nếu không có dấu (;)

thì kết quả sẽ được hiển thị bên dưới

5 Cần phân biệt các dấu [], [[]], {}, ()

6 Lện N[expr] dùng để hiện thị kết quả thành số thập phân Ví dụ: nếu bạn

gõ Cos[1] thì kết quả hiển thị chỉ là Cos[1], nếu bạn gõ N[Cos[1],6] thì kết quả sẽ là 0.540302

7 Không được chạy nhiều chương trình cùng một lúc vì các biến vẫn còn lưu giá trị của nó, khi đó kết quả của bạn sẽ bị sai, để khắc phục, bạn chỉnh lại

như sau Evaluation/Quit Kernel/Local

8 Cách đặt biến bình thường như a, b, c, x, y, z, , không được đặtXY_a,

XY-a, không được dùng các chữ cái sau để đặt tên biến I, E, C

9 Tổ hợp Ctrl + K để tìm các hàm có tên giống nhau ở phần đầu

10 Lệnh ?Int* để tìm tất cả các hàm bắt đầu bằng "Int", tương tự với ?*Qhay ?*Int*

11 Cần phân biệt List và Matrix trong Mathematica Nếu viết {1,2,3,4} thì đây là một List gồm 4 phần tử, còn nếu viết {{1},{2},{3},{4}} thì đây là một

matrix 4 dòng 1 cột, đối với 1 List thì không thể dùng hàm chuyển

vịTranspose được, tuy nhiên bạn có thể sử dụng các phép toán ma trận giữa

Matrix và List, kết quả vẫn đúng như khi tính toán giữa các ma trận

Transpose[A]: ma trận chuyển vị của ma trận A

Inverse[A]: ma trận nghịch đảo của ma trận A

Eigenvalues[A]: giá trị riêng của ma trận A

Eigenvectors[A]: vec tơ riêng của ma trận A

MatrixPower[A,n]: lũy thừa n của ma trận A

MatrixExp[A]: ma trận mủ của ma trận A

Drop[A,{i},{}]: xóa dòng thứ i từ ma trận A

Drop[A,{},{j}]: xóa cột thứ j từ ma trận A

Union[A,B]: hợp 2 ma trận A và B

4 Tạo một ma trận với tính chất cho trước:

Tạo ma trận đơn vị cấp n: IdentityMatrix[n]

Tạo ma trận đường chéo: DiagonalMatrix[v], v là vec tơ đường chéo có dạng v =

{a,1,b,2,c,3} đặt blist gồm 6 phần tử

Cách 2: Table[expr,{i,n}] cho 1 list các giá trị của expr từ 1 đến n

Cách 3: Array[f,n] cho 1 list có n phần tử lần lượt là f[1], f[2], , f[n] Cách 4: Range[n] cho 1 list {1, 2, , n}

Cách 5: NestList[f,x,n] cho 1 list n+1 phần tử có dạng {x, f[x], f[f[x]],

}

2 Cách gọi phần tử của list

First[list]: gọi phần tử đầu tiên cùa list

Last[list]: gọi phần tử cuối cùng của list

t[[i]] hoặc Part[t,i]: lấy phần tử thứ i của list t

t[[i;;j]] hoặc Part[t,i;;j]: lấy các phần tử của list t từ vị trí i đến vị

Take[list,-n]: lấy ra n phần tử cuối cùng của list

Take[list,{m,n}]: lấy ra các phần từ của list từ vị trí m đến vị trí n

Min[list]: lấy ra phần tử bé nhất của list

Max[list]: lấy ra phần tử lớn nhất của list

3 Các hàm xử lí đối với list

Kết quả nhận được sau khi sử dụng các hàm này đa phần là List

Table[expr,{i,list}]: cho các giá trị của expr với i lấy giá trị từ list Map[f,list]: thực hiện hàm f với từng giá trị của list

Select[list,text]: chọn ra các giá trị từ list với điều kiện text[elem] đúng TakeWhile[list,text]: giống với hàm Select[]

Length[list]: đếm số phần tử của list

Column[list]: in giá trị của list theo dạng cột

Position[list,form]: tìm vị trí các phần tử của list có cùng form

Count[list,form]: đếm số phần tử của list có cùng form

MemberQ[list,form]: kiểm tra xem form có trong list hay không (cho giá trị

logic)

Prepend[list,elem]: thêm elem vào vị trí đầu tiên của list

PrependTo[list,elem]: giống với Prepend[]

Append[list,elem]: thêm elem vào vị trí cuối cùng của list

AppendTo[list,elem]: giống với Append[]

Insert[list,elem,i]: thêm elem vào vị trí thứ i của list

Insert[list,elem,-i]: thêm elem vào vị trí thứ i (tính từ cuối đến đầu list)

Most[list]: trả lại giá trị cho list sau khi xóa phần tử cuối cùng

Drop[list,n]: trả lại giá trị cho list sau khi xóa n phần tử đầu tiên

Drop[list,-n]: trả lại giá trị cho list sau khi xóa n phần tử cuối cùng

Drop[list,{m,n}]: trả lại giá trị cho list sau khi xóa các phần tử từ vị trí

m đến n

4 Sắp xếp thứ tự một list

Sort[list]: sắp xếp list theo trật tự chuẩn

Union[list]: sắp xếp list và xóa các phần tử trùng nhau

Ordering[list]: cho biết vị trí ban đầu của các phần tử list sau khi đã được

ta viết g[x_,y_] = x^2+y^2

Tương tự đối với hàm nhiều biến

Cách 2:

Function[x,body]: khai báo hàm một biến

Function[{x1,x2,…},body]: khai báo hàm nhiều biến

Lấy ví dụ ở trên, ta có thể khai báo như sau:

Gamma, Beta, Zeta, BesselJ, BesselY

Ngoài ra còn vô số các hàm đặc biệt khác, vì trong chuyên ngành của tôi tạm

thời chưa cần đến nên tôi chưa tìm hiểu, bạn đọc có thể tìm qua thẻHelp với

từ khóa tutorial/SpecialFunctions (phiên bản 6)

Vẽ đồ thị và điểm

1 Lệnh Plot

Lệnh vẽ đồ thị của một hàm số là Plot[]

Cú pháp hình thức có thể viết như sau:

Plot[f, {x, xmin, xmax}]: vẽ đồ thị hàm f trên đoạn [xmin,xmax]

Plot[{f1, f2, }, {x, xmin, xmax}]: vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các hàm

f1, f2, … trên đoạn [xmin,xmax]

Ví dụ 1:

Plot[Sin[x]/x,{x,0,20}]

Để biết được danh sách các tham số được dùng kèm với hàm Plot, ta gõ câu

lệnh Options[Plot] Các tham số này được khai báo ở dạng: name→value

Các giá trị hay dùng nhất của tham số là:

- Automatic: sự chọn lựa sẽ được tự động

- None: tham số không được sử dụng

- All: được sử dụng trong trường hợp bất kì

- True: được sử dụng

- False: không được sử dụng

Axes->None: không hiển thị hệ trục tọa độ

AxesLabel: ghi chú tên cùa trục tọa độ

PlotStyle: chỉnh các thông số về màu sắc, cách hiển thị đậm nhạt

2 Lệnh ListPlot

Cú pháp hình thức:

ListPlot[{yl, у2, }] – hiển thị các giá trị y1, y2, … lên hệ trục tọa độ,

giá trị của x tương ứng là 1, 2, …

ListPlot[{{x1, y1},{х2, у2 }, }] – hiển thị các điểm có tọa độ {xi,yi} lên

hệ trục tọa độ

Chú ý:

- Đối với lệnh ListPlot cũng có các tham số như lệnh Plot

- Nếu các điểm không được hiển thị đầy đủ, bạn bổ sung thêm tham

ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}] – xây dựng đồ thị tham số với các tọa

độ {fx,fy} nhận được như một hàm theo t

ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},…},{t,tmin,tmax}] – xây dựng một vài đường

tham số trên cùng một hệ trục tọa độ

ParametricPlot[{Cos[5*t],Sin[3*t]},{t,0,20},AspectRatio->Automatic]

Vẽ đồ thị hàm số dạng f(x,y) = 0 và f(x,y,z) = 0

1 Mục đích

Như chúng ta đã biết, để vẽ đồ thị của một hàm số trong hệ trục tọa Decac

vuông góc ta thường dùng lệnh Plot[], tuy nhiên đối với trường hợp này hàm số

phải có dạng chuẩn là y = f(x) Trong nhiều trường hợp khác, chúng ta lại cần

vẽ đồ thị của hàm số có dạng f(x,y) = 0, ví dụ như vẽ hình elip chẳng hạn,

giải pháp tối ưu nhất là dùng lệnh ContourPlot[]

Tương tự đối với hàm số dạng f(x,y,z) = 0 ta dùng lệnh ContourPlot3D[]

ContourPlot[f == 0,{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax}] – xây dựng đồ thị hàm

sốf(x,y) = 0 trong miền [xmin, xmax]×[ymin,ymax]

ContourPlot[{f == 0,g == 0,…},{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax}] – xây dựng nhiều

đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ

ContourPlot3D[f == 0,{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}] ContourPlot3D[{f == 0,g == 0,…},{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}]

- Cú pháp dạng ContourPlot[f == g,{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax}] hoặcContourPlot[f == g,{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}] vẫn được thực hiện

- Nếu không thêm các tham số thì Mathematica sẽ mặc định đồ thị nằm trong khung tỉ lệ, nếu muốn hệ trục tọa độ hiện thị thì ta thêm các tham số như trong ví dụ trên Axes->True, Frame->False

- Cú pháp dạng ContourPlot[f ,{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax}] – vẽ đồ thị miền

là các giá trị của f tường ứng với x và y trong miền [xmin,

xmax]×[ymin,ymax] Tương tự đối với hàm ContourPlot3D (xem ví dụ 5 và 6)

Trong nhiều trường hợp chúng ta cần phải xác định miền nào là miền thỏa mãn của bất đẳng thức cho trước, tức là bất đẳng thức đúng Một trong số các giải

pháp là dùng lệnh RegionPlot[], tương tự, trong không gian 3 chiều ta cũng có lệnh RegionPlot3D[]

2 Cú pháp hình thức

RegionPlot[pred,{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax}] – xây dựng miền đồ thị sao cho

pred nhận giá trị True

RegionPlot3D[pred,{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}] – đối với trường

Do [expr, {imax}] – thực hiện expr imax lần

Do [expr, {i, imax}] – tính expr với biến i nhận giá trị lần lượt từ 1

đếnimax (bước nhảy bằng 1)

Do [expr, {i, imin, imax}] – tính expr với biến i nhận giá trị lần lượt

từimin đến imax (bước nhảy bằng 1)

Do [expr, {i, imin, imax, di}] – tính expr với biến i nhận giá trị lần lượt

từ imin đến imax (bước nhảy bằng di)

Do [expr, {i, imin, imax}, {j, jmin, j max}, ] – tính expr với các vòng lặp

lồng nhau theo các biến j, i, …

2 Vòng lặp dạng For

For[start, test, incr, body] – bắt đầu với giá trị start, sau đó thực hiện

lần lượt incr và body cho đến khi test nhận giá trị logic False

If [condition, t, f] — t sẽ được thực hiện nếu condition có giá trị True,

ngược lại, f sẽ đc thực hiện

If [condition, t, f, u ] — tương tự như trên, nhưng nếu giá trị

củacondition không đúng không sai thì u sẽ được thực hiện

Ví dụ 1: Định nghĩa hàm giá trị tuyệt đối

ngôn ngữ Mathematica cũng vậy, cũng có những kí hiệu thật “kì quái” [đây chỉ

là cách gọi vui], tuy nhiên Mathematica không phải là một ngôn ngữ lập trình chính thống, nghĩa là nó chỉ được ứng dụng chủ yếu trong các ngành kĩ thuật, cho nên có rất ít các tài liệu viết về điều này cũng như đối với người mới

“nhập môn” thì cũng khó lòng tìm được trong thẻHelp [lí do đơn giản: chưa gặp nên chưa biết, còn nếu đã từng thấy rồi thì chắc chắn rằng bạn đã nhấn F1,

:)]

Không có gì bất ngờ rằng các phép tính toán học +,-,*,/ được giữ nguyên không

có gì thay đổi Bạn hãy chú ý rằng phép nhân 2 ma trận với nhau đc kí hiệu

dấu chấm A.B (điều này khá quan trọng vì nếu bạn nhầm sang dấu * thì bạn sẽ

mất nhiều thời gian để gãi đầu gãi tai :)) Các kí hiệu logic cũng cần chú ý

đến, nó rất có ích cho chúng ta khi dùng vòng lặp While hayIf: And – &&, Or –

Câu lệnh “Nếu A bằng B thì …” được viết trong Mathematica như sau:If[A==B,…]

Ở đây bạn chú ý kí hiệu 2 dấu bằng “==”, nếu chỉ viết 1 dấu bằng thì câu lệnh

sẽ bị sai Câu lệnh “Nếu A khác B thì …” được viết trong Mathematica như sau: If[A!=B,…]

Một kí hiệu rất “tếu” trong Mathematica là “===” – 3 dấu bằng – tương ứng với

lệnh SameQ[] Nó được dùng để so sánh sự giống nhau của 2 đối tượng, ngược

lại với nó sẽ có lệnh UnsameQ[], kí hiệu tắt là “=!=” Một trong những kí hiệu mà tôi cho là hay dùng khi viết một chương trình đó

là @ Kí hiệu này sẽ giúp cho chương trình của bạn bớt rườm rà hơn, ví dụ:

Để kết thúc bài viết này, tôi xin đưa ra thêm một kí hiệu “ngộ nghĩnh” nữa,

hy vọng là các bạn mới học ngôn ngữ này sẽ cảm thấy thích thú vì đã khám phá được những điều mới [mặc dù là người ta đã khám phá hết trơn rồi :)], đó là

kí hiệu 2 con @@ Kí hiệu này tương ứng với lệnh Apply[] Ví dụ sau đây sẽ

giúp bạn hiểu tác dụng của nó dễ dàng:

FactorInteger[20!]

{{2,18},{3,8},{5,4},{7,2},{11,1},{13,1},{17,1},{19,1}}

CenterDot@@(Superscript@@@%)

21^8•3^8•5^4•7^2•11^1•13^1•17^1•19^1

Các câu lệnh ở trên nhằm mục đích phân tích số 20! thành tích các thừa số

nguyên tố Có thể giải thích quá trình tính toán như sau: đầu tiên

lệnhFactorInteger[] liệt kê một list các cặp số dạng {thừa số nguyên tố, số

mũ tương ứng}, sau đó lệnh Superscript@@@% được áp dụng thực để hiện phép lũy

thừa cho từng phần tử [cặp số] của list, kí hiệu % tương ứng với kết quả

trước đó, kí hiệu @@@ tương đương với Apply ở mức độ 1 [level 1] [sẽ hiểu sâu

hơn ở bài viết dành riêng cho lệnh Apply] Cuối cùng lệnh CenterDot[]thực

hiện phép nhân các phần tử của list kết quả

Đọc đến đoạn này, suy nghĩ một tí, bạn sẽ thấy kí hiệu @ và @@ đôi lúc có

quán để tìm sách tham khảo Lẽ dĩ nhiên, đọc nhiều sách thì sẽ có lợi, thu lượm được nhiều điều hay, nhưng có một mặt ngược lại [hay còn gọi là nhược điểm] đó là tính rập khuôn Cái đó chính là rào cản của sự “mày mò”, sáng tạo

Đối với ngôn ngữ lập trình nói chung, và Mathematica nói riêng, thẻ Helpđược

xem như là một từ điển động và là cuốn “sách giáo khoa” hữu ích nhất dành cho

người sử dụng Các ví dụ tuy đơn giản, ngắn gọn nhưng lại mang phong cách viết chuyên nghiệp, dễ hiểu Đối với mỗi lệnh đều có kèm theo

các Option thường dùng tương ứng, gọi là “thường dùng” vì có những Optioncó

thể áp dụng cho lệnh này nhưng lại không được liệt kê, thay vào đó nó lại được nhắc đến ở một lệnh khác, chính điều đó đã gây khó khăn cho người mới

“nhập môn” Có thể lấy một ví dụ đơn giản đối với Option ImageSize, chúng ta thấy tính chất này trong lệnh Graphics[] và một số nơi khác, nhưng lại không được tìm thấy trong lệnh Plot[], Show[] Và một câu hỏi đặt ra rằng, muốn cố

định kích cỡ hình ảnh của đồ thị trong lệnh Plot thì làm thế nào? Lúc này

đây, các “phép thử” của bạn là những bài học quí báu giúp cho chính bạn hiểu

sâu được vấn đề, và mọi việc thật đơn giản:

Plot[Sin[x],{x,0,Pi},ImageSize->{300,200}]

Show[Plot[Sin[x],{x,0,Pi}], ImageSize->{300,200}]

Nhân tiện nói đến các “phép thử”, tôi có một ý kiến thế này và muốn chia sẽ với mọi người, học các lệnh trong Mathematica đôi khi thấy rời rạc nhàm chán,

và chỉ những lúc cần làm Lab thì chúng ta mới đem nó ra rồi tìm trong

thẻ Help các lệnh cần cho công việc của mình, cách học như thế sẽ không giúp

cho bạn tiến bộ, sự hiểu biết của bạn đối với ngôn ngữ này chỉ “giậm chân tại chỗ”, theo ý kiến của mình, tôi nghĩ rằng chúng ta cần có những bài toán riêng cho bản thân [các bài toán này có thể phát sinh từ những ví dụ trong Help], và áp dụng những lệnh đã biết để giải quyết nó, nếu làm được như thế thì có nghĩa là bạn đã làm được từ “lí thuyết” sang “thực hành” Một ví dụ dễ

hiểu như sau, sau khi đã biết các lệnh cơ bảnFor[], While[] … thì bạn có thể

viết ngay một chương trình nhỏ để sắp xếp các phần tử trong một mảng, các bạn cần phải thử và đừng nghĩ rằng việc sắp xếp ấy trong Mathematica đã có sẵn

lệnh Sort[] Hoặc sau khi biết lệnhModule[], bạn có thể thử vận dụng để viết

một chương trình con đối với phương pháp giải hệ tuyến tính Gauss chẳng hạn,… những cái tôi đưa ra ở đây chỉ mang tính minh họa cho những điều tôi muốn truyền đạt đến bạn đọc, không nhất thiết phải giống “y chang” như thế! :) Cuối cùng, một kinh nghiệm học của tôi khi học Mathematica, đó chính là sự

“ghi chép” ngay lập tức những câu lệnh mình chưa biết Chắc hẳn bạn đôi lúc

cũng “tham quan” trong thẻ Help, và đi đến nhiều “ngõ ngách” của những câu

lệnh lạ, lúc đó bạn đọc nó chỉ vì sự tò mò, hay đơn giản là vì không hiểu lệnh đó làm công việc gì, và bạn thấy nó không cần thiết, không ghi chép lại,

đó là sai lầm! Đến lúc làm việc, bạn cần một câu lệnh tương tự, cứ nhớ một cách không rõ ràng trong đầu đã đọc ở đâu đó, rồi vùi đầu tìm trong thẻ Help khó như tìm “kim trong bể nước” Bài viết tuy dài dòng nhưng cũng mong giúp được “chút ít” nào đó đối với người mới làm quen Mathematica, còn đối với những người quá rành với ngôn ngữ này thì chắc là không còn cần thiết nữa :P

Tích Kronecker với lệnh KroneckerProduct

Phân tích số tự nhiên thành thừa số nguyên tố

Các số tự nhiên có thể được phân tích ra các thừa số nguyên tố một cách nhanh chóng nếu chúng không quá dài (không quá dài có nghĩa là không quá 30 kí tự)

FactorInteger[2434500]

{{2,2},{3,2},{5,3},{541,1}}

Lệnh FactorInteger[] viết các thừa số nguyên tố của một số tự nhiên theo dạng

một list của từng cặp Thành phần đầu tiên của mỗi cặp là thừa số nguyên tố,

và thành phần thứ hai là số lần nó được tìm thấy trong phép nhân tử hóa Chúng ta có thể kiểm tra thừa sô cuối cùng trong dãy phân tích trên có phải

là một số nguyên tố hay không bằng lệnh PrimeQ[]

PrimeQ[541]

True

Giải phương trình và hệ phương trình

Đầu tiên chúng ta làm quen với lệnh Solve: cú pháp và cách lấy giá trị

nghiệm Hãy chú ý đến trường hợp có nghiệm bội như trong ví dụ dưới đây:

Theo trên thì ta nhận thấy rằng, cú pháp để giải một phương trình đơn một

Cú pháp tổng quát đối với các đối số của lệnh Solve bao gồm một list các

phương trình phụ thuộc vào một list các biến Có nghĩa là:

Ví dụ sau đây sẽ cho ta thấy được điều đó:

Chú ý rằng, không phải tất các phương trình đa thức đều có nghiệm chính xác Theo lí thuyết phương trình thì các phương trình bậc 4 trở xuống đều có công thức nghiệm chính xác được xây dựng từ các hệ số Tuy nhiên, theo Galois, đối với các phương trình bậc 5 trở lên, chúng ta lại không có những công thức nghiệm như thế Và Mathematica sẽ không đánh giá các phương trình bậc 5 trở lên (các phương trình không thể phân tích thành nhân tử), tất nhiên có thể

tìm tất cả các nghiệm của một phương trình đa thức bằng phương pháp số thông

qua lệnh N[] Tham khảo ví dụ sau đây:

Tích phân, đạo hàm, chuỗi và giới hạn Phương trình vi phân

Bài viết nhằm giới thiệu một số lệnh thông dụng đối với toán cao cấp, không

đi sâu chi tiết của từng lệnh, các Option bạn đọc có thể tham khảo trong thẻ Help

Lệnh tìm tích phân không xác định của hàm f(x) là Integrate[f[x], x] Chú ý

rằng trong kết quả tìm được không có các hằng số đi kèm

Để tìm tích phân xác định của hàm f(x) trên đoạn từ a đến b ta sử dụng cú

pháp Integrate[f[x], {x, a, b}] Tương tự, lệnh NIntegrate tìm giá trị số

tích phân xác định của hàm f(x)

Đạo hàm là phép toán ngược với tích phân Cú pháp D[f[x], x] có nghĩa là tìm

đạo hàm của hàm f(x) theo biến x Tất nhiên có thể tìm đạo hàm bậc ncủa hàm f(x) bằng lệnh D[f[x], {x, n}]

Lệnh Series[f(x), {x, a, n}] sẽ cho ra n thành phần đầu tiên trong khai triển

chuỗi Taylor của hàm f(x) tại điểm a Lệnh Limit[f(x), x -> a] sẽ tìm giới hạn của hàm f(x) khi x tiến tới a

Sau đây là các ví dụ:

Tính toán nhiều biến

Với Mathematica, đạo hàm hỗn hợp được tính một cách dễ dàng

D[f[x, y], x, y] – đạo hàm theo cả biến x và y

D[f[x, y], {x, n}, {y, m}] – đạo hàm theo biến x n lần và theo biến y mlần

Đối với tích phân cũng vậy, ta có các cú pháp sau:

Integrate[f[x, y], {x, a, b}, {y, c, d}] – tính tích phân theo cả 2 biến x và

y

DSolve[equation, y, x] – giải phương trình vi phân với biến độc lập x

DSolve[equation_list, y_list, x] – giải một list các phương trình vi phân DSolve[equation, y, {x1, x2, …}] – giải phương trình đạo hàm riêng

Chuyển từ số thực sang số hữu tỉ và ngược lại Chuyển

cơ số

Một số lệnh rất đơn giản nhưng sẽ gây khó khăn cho người mới học

Sau đây là một số ví dụ cơ bản:

Lệnh Roots và lệnh Solve

Về cơ bản thì 2 lệnh này có chức năng như nhau, đó là giải phương trình Tuy nhiên sự khác nhau của chúng là cách thể hiện kết quả tìm được: đối

với Solve – kết quả được liệt kê theo kiểu list, đối với Roots – kết quả biểu

diễn theo kiểu logic (xem ví dụ)

Tuy nhiên, kết quả của chúng sẽ hiện thị giống nhau nếu ta dùng lệnhToRules

Lệnh khử biến và một số cách thế giá trị vào biểu thức

Eliminate[eqns, vars] – khử các biến vars nằm trong các phương trình cùng một

Ví dụ sau sẽ kiểm tra lại nghiệm chính xác hơn:

Thread, Inner, Outer, Transpose, và Distribute

1 Thread

Listable là một thuộc tính có thể ấn định cho một kí hiệu f rằng hàm f sẽ tự

động thực hiện “xuyên qua” các list và xuất hiện với các đối số của nó

• Các hàm listable (được hiểu là hàm có thuộc tính này) sẽ được thực hiện một cách riêng rẽ đối với mỗi phần tử của list, hoặc với các phần tử tương ứng trên mỗi list nếu trong trường hợp có nhiều hơn một list

• Hầu hết các hàm được xây dựng trong Mathematica là listable

• Tất các các đối số (các list) trong hàm listable cần phải có cùng chiều dài

• Các đối số mà không phải là list sẽ được copy nhiều lần vào các phần tử của các list khác

Hàm Thread thực hiện các công việc tương tự như trên đối với một dạng tùy ý,

mặc dù nó không phải là một listable Sau đây là một số cú pháp quan trọng:

Thread[f[args]] – “xâu” hàm f qua một vài list xuất hiện trong args

Thread[f[args], h] – xâu f qua một vài đối tượng xuất hiện trong args với

dạng h

Thread[f[args], h, n] – xâu f qua một vài đối tượng với dạng h xuất hiện

trong n args đầu tiên

Thread sẽ chuyển phương trình của một list thành list của các phương trình Thread[{a,b,c}=={x,y,z}]

vars={x,y};points={1,2};

exp/.Thread[vars->points]

5

2 Inner

Inner[f, list1, list2, g] – là sự tổng quát hóa của Dot, trong đó f đóng vai

trò của phép tính nhân và g đóng vai trò của phép tính cộng

a.b.c hoặc Dot[a, b, c] sẽ cho chúng ta tích của các vecto, matrix hay

Transpose[list] – chuyển vị 2 level đầu tiên của list

Transpose[list, {n1, n2, …}] – chuyển vị list để level thứ k trong list là

level thứ nk trong kết quả