sức bền vật liệu ( kiến thức nền tảng)

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng5.2 Các đặc trưng quán tính của hình phẳng 5.3 Phép biến đổi hệ trục đối với các mô men quán tính... Trục trung tâm 5.1 Mô men tĩnh và trọng tâ

Đ ẶC TRƯNG HÌNH

HỌC CỦA HÌNH PHẲNG

S Ứ C B Ề N V Ậ T LI Ệ U F1

P P

? ? ? Đặt vấn đề

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

5.2 Các đặc trưng quán tính của hình phẳng

5.3 Phép biến đổi hệ trục đối với các mô men quán tính

1 Mô men tĩnh

O

y

y

F A

dF ρ

dF y

∫

=

F x

S

∫

=

F

S

L S

Sx = y =

0 ,

Thứ nguyên:

<>=

y

x S S

Giá trị:

Ví dụ:

Tính

h

x

y b

C

y dy

dF = b.dy

O

?

, y =

x S S

1 Mô men tĩnh

Định nghĩa: Khi mô men tĩnh của hình phẳng F với một trục bằng 0

thì trục đó gọi là trục trung tâm

h

x

y b

C

O

0

=

y

S

→ y là trục trung tâm

2 Trục trung tâm

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

Định nghĩa: Trọng tâm là giao của ít nhất 2 trục trung tâm

0

1 =

x

S

y b

C

O

0

=

y

S

C(xc,yc) là trọng tâm của hình phẳng

x

3 Trọng tâm

S =

c

S =

Nếu hình được ghép bởi nhiều hình đơn giản thì công thức

tính mô men tĩnh:

∑

=

= n

i

ci i

S

1

∑

=

= n

i

ci i

S

1

4 Hệ quả: ta tính được mô men tĩnh của một hình nếu biết trọng tâm hoặc ngược lại xác định được trọng tâm nếu biết mô men tĩnh của hình mà không phải qua phép tính tích phân.

3 Trọng tâm

Cách xác định trọng tâm

F

S y

y F

Sx = c → c = x

F

S x

x F

Sy = c → c = y

Đối với hình ghép:

i

n i

ci i

n i

i

n n

xi

n

i c

F

y F F

S y

1

1

1

=

=

=

=

Σ

Σ

= Σ

Σ

=

i

n i

ci i

n i

i

n n

yi

n

i c

F

x F F

S x

1

1

1

=

=

=

=

Σ

Σ

= Σ

Σ

=

Ví dụ: Tìm trọng

tâm của hình sau

x

2

1

y

O

C

6cm

4cm 2cm 2cm 2cm

Chọn trục tọa độ xOy

Chia hình thành những hình

đã biết tọa độ trọng tâm

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

= 96 6 0

1

1 1

F y

x

c

c

1

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

56 12 8 0

2 2 2

F y

x

c

c

2

; 0

=

c

x

cm

56 , 12 96

56 , 12 8 96 6

=

−

−

=

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

1 Mô men quán

tính của hình

phẳng trường 2 Một hợp số

đặc biệt

3 Công thức chuyển trục

5.2 Các đặc trưng quán tính của hình phẳng

=

F

J

0

=

xy J

[ ] [ ]4

L

Jxy = J xy <>=0

0

=

xy J

0

=

= y

S

Nếu hình có 1 trục đối xứng, thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng tạo thành 1 hệ trục quán tính chính

Chú ý

5.2 Các đặc trưng quán tính của hình phẳng

1 Các đặc trưng quán tính của hình phẳng

Mô men quán tính li tâm

Trục quán tính chính

Trục quán tính chính trung tâm

Hình chữ nhật

Hình tròn

b

O h

dy

y x

12

3 2

/

2 /

ybdy dF

y J

h

h F

x = ∫ = ∫ =

−

12

3

hb

Jy =

∫

=

F

dF

0

4 2

/ 0

2

4

2

D

∫

64 2

4

0 D

J J

32

4 0

D

x

y

ρ

D 2

ρ

d

dF = 2 π ρ dρ

O

Hình vành khăn

2 Một số trường hợp cơ bản

x y

D/2 d/2

32 32

4 4

0

d

D

−

=

y

b

a

4

3

ab

Jx = π

x y

b

h

d y

x C

h/3

12

3

bh

Jx =

36

3

bh J

c

x

y

C x c

y c

π

3

2D

yc =

4

00686 ,

Jxc =

Hình tam giác

elip

bán nguyệt

Thép hình

y

x J J

F

Tra bảng các giá trị kích

thước và các đặc trưng

quán tính theo số hiệu thép

• Công thức chuyển trục song song

3 Công thức biến đổi hệ trục quán tính

• Công thức xoay trục

• Xác định trục quán tính chính trung tâm

Công thức xoay trục Công thức chuyển trục song song

X

Y y

x

A dF F

Y y

x

∫

∫

∫

∫

+ +

=

= +

=

F F

F

F x

dF b

ydF b

dF y

dF b y J

2 2

2

2

) (

F b bS

J

J X = x + 2 x + 2

F a aS

J

J Y = y + 2 y + 2

abF bS

aS J

J XY = xy + x + y +

x

A

F dF y

x

v

α

u

(α > 0)

u= xcosα + ysinα v= ycosα - xsinα

α α

α α

α α

2 cos 2

sin 2

2 sin 2

cos 2

2

2 sin 2

cos 2

2

xy y

x uv

xy y

x y

x v

xy y

x y

x u

J J

J J

J J

J J

J J

J J

J J

J J

+

−

=

+

−

−

+

=

−

− +

+

=

y

Nếu x, y là hệ trục trung tâm thì:

F b J

J X = x + 2 J Y = J y + a2F

abF J

J XY = xy +

Trục quán tính chính trung tâm và mô men quán tính chính trung tâm

y x xy

xy y

x uv

J J

J tg

J J

J J

−

−

=

⇒

= +

−

=

2 2

0 2

cos 2

sin 2

0

0 0

α

α α

x

v

u

C

y

α0

min max, 2

2 2

, 1

2

J J J

J

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

±

+

=

4 Mô men quán tính chính trung tâm

quán tính cực trị Jmax,min

[20: F 1 =23.4 cm 2

z 0 =2.07 cm

J x1 =1520 cm 4 J

y1 =113 cm 4

I18: F 2 =23.4 cm 2

h=18 cm

J x2 =1290 cm 4 J

y2 =82.6 cm 4

cm Y

X

C

C

78 , 7 18

4 , 23 4 , 23

19 9 2 9 4 , 23 07 , 2 4 , 23

0

−

= +

+

− +

− +

=

=

4

2

3 2

2 3

2 1

4

3 3

2 1

6 , 6095

9 2 78 , 7 19 12

9 2 4 , 23 78 , 7 9 1290

4 , 23 78 , 7 07 , 2 113

9 , 1724 12

9 2 6 , 82 1520

cm

J J J J

cm J

J J J

x x x xc

y y y yC

=

=

− + +

− + +

+ +

+

= + +

=

= +

+

= + +

=

- Tính mô men quán tính chính trung tâm:

- Xác định trọng tâm:

- Trục quán tính chính trung tâm:

x

y

o

o Y c

Xc

o z

h

2cm

Thank’s for your attention !

Do you have questions ?