Phép tính vi phân hàm nhiều biến

c´o diˆe`u kiˆe.n.. cu’a biˆe´n y khˆong dˆo’i... i biˆe´n trong lˆan cˆa.. o h`am riˆeng n`ay liˆen tu... Tuy nhiˆen h`am d˜a cho khˆong kha’ vi ta.i O... thuˆo.c c´ac biˆe´n dˆo.c lˆa.

Chu.o.ng 9

nhiˆ `u biˆ e e´n

9.1 D - a.o h`am riˆeng 110

9.1.1 D- a.o h`am riˆeng cˆa´p 1 110

9.1.2 D- a.o h`am cu’a h`am ho p 111

9.1.3 H`am kha’ vi 111

9.1.4 D- a.o h`am theo hu.´o.ng 112

9.1.5 D- a.o h`am riˆeng cˆa´p cao 113

9.2 Vi phˆ an cu ’ a h` am nhiˆ `u biˆ e e´n 125

9.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 126

9.2.2 Ap du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆa´ ` n d´ung 126

9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’a vi phˆan 127

9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao 127

9.2.5 Cˆong th´u.c Taylor 129

9.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n 130

9.3 Cu . c tri cu ’ a h` am nhiˆ `u biˆ e e´n 145

9.3.1 Cu c tri 1459.3.2 Cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n 1469.3.3 Gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am 147

9.1.1 D - a.o h`am riˆeng cˆa´p 1

Gia’ su.’ w = f (M ), M = (x, y) x´ac di.nh trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m

M (x, y) Ta.i diˆe’m M ta cho biˆe´n x sˆo´ gia t`uy ´y ∆x trong khi vˆa˜n gi˜u.

gi´a tri cu’a biˆe´n y khˆong dˆo’i Khi d´o h`am f(x, y) nhˆa.n sˆo´ gia tu.o.ng

´

u.ng l`a

∆x w = f (x + ∆x, y) − f (x, y)

go.i l`a sˆo´ gia riˆeng cu’a h`am f(x, y) theo biˆe´n x ta.i diˆe’m M(x, y).

Tu.o.ng tu da.i lu.o ng

th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o c go.i l`a da.o h`am riˆeng cu’a h`am f(x, y) theo biˆe´n

x ta.i diˆe’m (x, y) v`a du.o c chı’ bo.’i mˆo.t trong c´ac k´y hiˆe.u

9.1 D- a.o h`am riˆeng 111

2 Tu.o.ng tu : nˆe´u tˆo`n ta.i gi´o.i ha.n

th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o c go.i l`a da.o h`am riˆeng cu’a h`am f(x, y) theo biˆe´n

y ta.i diˆe’m M(x, y) v`a du.o c chı’ bo.’i mˆo.t trong c´ac k´y hiˆe.u

T`u di.nh ngh˜ıa suy r˘a`ng da.o h`am riˆeng cu’a h`am hai biˆe´n theo biˆe´n

x l` a da.o h`am thˆong thu.`o.ng cu’a h`am mˆo.t biˆe´n x khi cˆo´ di.nh gi´a tri.

cu’a biˆe´n y Do d´o c´ac da o h`am riˆeng du.o..c t´ınh theo c´ac quy t˘a´c v`a

cˆong th´u.c t´ınh da o h`am thˆong thu.`o.ng cu’a h`am mˆo t biˆe´n

Nhˆa n x´et Ho`an to`an tu.o.ng tu ta c´o thˆe’ di.nh ngh˜ıa da.o h`am riˆeng

cu’a h`am ba (ho˘a.c nhiˆe`u ho.n ba) biˆe´n sˆo´

9.1.2 D - a.o h`am cu’a h`am ho p

Nˆe´u h`am w = f (x, y), x = x(t), y = y(t) th`ı biˆe’u th´u.c w =

f [x(t), y(t)] l`a h`am ho..p cu’a t Khi d´o

Gia’ su.’ h`am w = f (M ) x´ac di.nh trong mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m

M (x, y) H` am f du.o c go.i l`a h`am kha’ vi ta.i diˆe’m M(x, y) nˆe´u sˆo´ gia

∆f (M ) = f (x + ∆, y + ∆y) − f (x, y) cu’a h`am khi chuyˆe’n t`u diˆe’m

M (x, y) dˆe´n diˆe’N (x + ∆, y + ∆y) c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng

9.1.4 D - a.o h`am theo hu.´o.ng

Gia’ su.’ :

(1) w = f (M ) l`a h`am x´ac di.nh trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m

M (x, y);

(2) ~ e = (cos α, cos β) l`a vecto do.n vi trˆen du.`o.ng th˘a’ng c´o hu.´o.ng

L qua diˆe’m M (x, y);

(3) N = N (x + ∆x, y + ∆y) l`a diˆe’m thuˆo.c L v`a ∆e l`a dˆo d`ai cu’a doa.n th˘a’ng MN.

Nˆe´u tˆ` n ta.i gi´o.i ha.n h˜u.u ha.no

lim

∆`→0 (N →M )

9.1 D- a.o h`am riˆeng 113

Da.o h`am theo hu.´o.ng cu’a vecto ~e = (cos α, cos β) du.o c t´ınh theo

trong d´o cos α v` a cos β l`a c´ac cosin chı’ phu.o.ng cu’a vecto ~ e.

Vecto v´o.i c´ac to.a dˆo ∂f

gradf (M ).

T`u d´o da.o h`am theo hu.´o.ng ∂f

∂~ e c´o biˆe’u th´u.c l`a

∂f

∂~ e = gradf, ~ e

.

Ta lu.u ´y r˘a`ng: 1) Nˆe´u h`am w = f (x, y) kha’ vi ta i diˆe’m M (x, y)

th`ı n´o liˆen tu c ta i M v`a c´o c´ac da o h`am riˆeng cˆa´p 1 ta i d´o;

2) N´eu h`am w = f (x, y) c´o c´ac da o h`am riˆeng cˆa´p 1 theo mo i biˆe´n

trong lˆan cˆa n n`ao d´o cu’a diˆe’m M (x, y) v`a c´ac da o h`am riˆeng n`ay liˆen

tu c ta i diˆe’m M (x, y) th`ı n´o kha’ vi ta i diˆe’m M

Nˆe´u h`am f (x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M(x, y) th`ı n´o c´o da.o h`am theo

mo.i hu.´o.ng ta.i diˆe’m d´o

Ch´u ´y Nˆe´u h`am f (x, y) c´ o da.o h`am theo mo.i hu.´o.ng ta.i diˆe’m M0

th`ı khˆong c´o g`ı da’m ba’o l`a h`am f (x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M0 (xem v´ı

du 4)

9.1.5 D - a.o h`am riˆeng cˆa´p cao

Gia’ su.’ miˆe`n D ⊂ R2

v`a

f : D → R

l`a h`am hai biˆe´n f (x, y) du.o .c cho trˆen D Ta d˘a.t

th`ı ch´ung du.o c go.i l`a c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p 2 theo x v`a theo y.

C´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p 3 du.o c di.nh ngh˜ıa nhu l`a c´ac da.o h`am riˆengcu’a da.o h`am riˆeng cˆa´p 2, v.v

Ta lu.u ´y r˘a`ng nˆe´u h`am f (x, y) c´o c´ac da.o h`am hˆo˜n ho p ∂

9.1 D- a.o h`am riˆeng 115

V´ ı du 1 T´ınh da.o h`am riˆeng cˆa´p 1 cu’a c´ac h`am

1) 4w = x2− 2xy2+ y3 2) w = x y

Gia’i 1) Da.o h`am riˆeng ∂w

∂x du.o..c t´ınh nhu l`a da.o h`am cu’a h`am w

theo biˆe´n x v´o.i gia’ thiˆe´t y = const Do d´o

− 2xy2+ y3)0y = 0 − 4xy + 3y2 = y(3y − 4x).

2) Nhu trong 1), xem y = const ta c´o

(v`ı w = x y l`a h`am m˜u dˆo´i v´o.i biˆe´n y khi x = const N

V´ ı du 2 Cho w = f (x, y) v` a x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ H˜ay t´ınh ∂w

V´ ı du 3 T´ınh da.o h`am cu’a h`am w = x2+ y2

x ta.i diˆe’m M0(1, 2) theo

hu.´o.ng cu’a vecto

−→

M0M1, trong d´o M1 l`a diˆe’m v´o.i to.a dˆo (3, 0).

Gia’i Dˆ` u tiˆen ta t`ım vecto do.n vi ~e c´o hu.´o.ng l`a hu.´o.ng d˜a cho.a

|xy| c´o da.o h`am theo mo.i hu.´o.ng

ta.i diˆe’m O(0, 0) nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i d´o.

Gia’i 1 Su tˆo`n ta.i da.o h`am theo mo.i hu.´o.ng

Ta x´et hu.´o.ng cu’a vecto ~ e di ra t`u O v`a lˆa.p v´o.i tru.c Ox g´oc α Ta

9.1 D- a.o h`am riˆeng 117

t´u.c l`a da.o h`am theo hu.´o.ng tˆo`n ta.i theo mo.i hu.´o.ng

2 Tuy nhiˆen h`am d˜a cho khˆong kha’ vi ta.i O Thˆa.t vˆa.y, ta c´o

Vˆe´ pha’i d˘a’ng th´u.c n`ay khˆong pha’i l`a vˆo c`ung b´e khi ρ → 0 (v`ı n´o

ho`an to`an khˆong phu thuˆo.c v`ao ρ) Do d´o theo di.nh ngh˜ıa h`am f(x, y)

d˜a cho khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m O N

V´ ı du 5 T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p 2 cu’a c´ac h`am:

V´ ı du 6 T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p 1 cu’a h`am w = f(x+y2, y + x2)

ta.i diˆe’m M0(−1, 1), trong d´ o x v` a y l`a biˆe´n dˆo.c lˆa.p

Gia’i D˘a.t t = x + y2, v = y + x2 Khi d´o

w = f (x + y2, y + x2) = f (t, v).

Nhu vˆa.y w = f(t, v) l`a h`am ho p cu’a hai biˆe´n dˆo.c lˆa.p x v`a y N´o phu.

thuˆo.c c´ac biˆe´n dˆo.c lˆa.p thˆong qua hai biˆe´n trung gian t, v Theo cˆong

9.1 D- a.o h`am riˆeng 119

.

9.1 D- a.o h`am riˆeng 121

Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay h˜ay ch´u.ng to’ r˘a`ng h`am f (x, y) tho’a

m˜an phu.o.ng tr`ınh d˜a cho tu.o.ng ´u.ng (f (x, y)-kha’ vi).

xx = −y2cos xy, f00

xy = − sin xy − xy cos xy, f00

yy =

−x2cos xy)

27 T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p hai cu’a h`am f = sin(x + yz).

(DS f xx00 = − sin t, f xy00 = −z sin t, f xz00 = −y sin t, f yy00 = −z2sin t,

9.1 D- a.o h`am riˆeng 123

37 u = f (sin x + cos y).

(DS u00xx = cos2x · f00− sin x · f0, u00xy = − sin y cos x · f00,

39 Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f = 1

2 )

46 T`ım da.o h`am cu’a h`am f(x, y) = x3 − 3x2y + 3xy2 + 1 ta.i diˆe’m

M (3, 1) theo hu.´o.ng t`u diˆe’m n`ay dˆe´n diˆe’m (6, 5). (DS 0)

47 T`ım da.o h`am cu’a h`am f(x, y) = lnp

x2+ y2 ta.i diˆe’m M(1, 1)

theo hu.´o.ng phˆan gi´ac cu’a g´oc phˆ` n tu th´a u nhˆa´t (DS

√2

2 )

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 125

48. T`ım da.o h`am cu’a h`am f(x, y, z) = z2 − 3xy + 5 ta.i diˆe’m

M (1, 2, −1) theo hu.´o.ng lˆa.p v´o.i c´ac tru.c to.a dˆo nh˜u.ng g´oc b˘a`ng nhau

(DS −

√

3

3 )

49 T`ım da.o h`am cu’a h`am f(x, y, z) = ln(e x + e y + e z) ta.i gˆo´c to.a dˆo

v`a hu.´o.ng lˆa.p v´o.i c´ac tru.c to.a dˆo x, y, z c´ac g´oc tu.o.ng ´u.ng l`a α, β, γ.

(DS cos α + cos β + cos γ

50 T´ınh da.o h`am cu’a h`am f(x, y) = 2x2− 3y2 ta.i diˆe’m M(1, 0) theo

hu.´o.ng lˆa.p v´o.i tru.c ho`anh g´oc b˘a`ng 120◦ (DS −2)

51 T`ım da.o h`am cu’a h`am z = x2− y2 ta.i diˆe’m M0(1, 1) theo hu.´o.ng

vecto ~ e lˆ a.p v´o.i hu.´o.ng du.o.ng tru.c ho`anh g´oc α = 60◦ (DS 1 −

√3)

52. T`ım da.o h`am cu’a h`am z = ln(x2+ y2) ta.i diˆe’m M0(3, 4) theo

hu.´o.ng gradien cu’a h`am d´o (DS 2

5)

53 T`ım gi´a tri v`a hu.´o.ng cu’a vecto gradien cu’a h`am

w = tgx − x + 3 sin y − sin3y + z + cotgz

9.2 Vi phˆ an cu ’ a h` am nhiˆ `u biˆ e e´n

Trong mu.c n`ay ta x´et vi phˆan cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n m`a dˆe’ cho go.n ta

chı’ cˆ` n tr`ınh b`ay cho h`am hai biˆe´n l`a du’ Tru.`o.ng ho p sˆo´ biˆe´n l´o.na

ho.n hai du.o c tr`ınh b`ay ho`an to`an tu.o.ng tu

9.2.1 Vi phˆ an cˆ a ´p 1

Gia’ su.’ h`am w = f (x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M(x, y), t´u.c l`a ta.i d´o sˆo´ gia

to`an phˆ` n cu’a h`am c´o thˆe’ biˆe’u diˆea ˜n du.´o.i da.ng

∆f (M ) = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)

trong d´o ρ = p

∆x2+ ∆y2, D1 v`a D2 khˆong phu thuˆo.c v`ao ∆x v`a

∆y Khi d´o biˆe’u th´u.c (go.i l`a phˆa` n ch´ınh tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i ∆x v` a ∆y

cu’a sˆo´ gia ∆f )

9.2.2 Ap du ´ ng vi phˆ an dˆ e’ t´ınh gˆ ` n d´ a ung

Dˆo´i v´o.i ∆x v` a ∆y du’ b´e ta c´o thˆe’ thay xˆa´p xı’ sˆo´ gia ∆f (M ) bo.’ i viphˆan df (M ), t´u.c l`a

∆f (M ) ≈ df (M )

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 127

Cˆong th´u.c (9.8) l`a co so.’ dˆe’ ´ap du.ng vi phˆan t´ınh gˆa` n d´ung Dˆo´i

v´o.i h`am c´o sˆo´ biˆe´n nhiˆ`u ho.n 2 ta c˜e ung c´o cˆong th´u.c tu.o.ng tu

(iv) Vi phˆan cˆa´p 1 cu’a h`am hai biˆe´n f (x, y) bˆa´t biˆe´n vˆ` da.ng bˆa´te

luˆa.n x v`a y l`a biˆe´n dˆo.c lˆa.p hay l`a h`am cu’a c´ac biˆe´n dˆo.c lˆa.p kh´ac.

9.2.4 Vi phˆ an cˆ a ´p cao

Gia’ su.’ h`am w = f (x, y) kha’ vi trong miˆ `n D Khi d´o vi phˆan cˆa´p 1e

cu’a n´o ta.i diˆe’m (x, y) ∈ D tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac sˆo´ gia dx v`a dy cu’a c´ac

biˆe´n dˆo.c lˆa.p du.o c biˆe’u diˆe˜n bo.’i cˆong th´u.c

df = ∂f

∂x dx +

∂f

O’ dˆay, dx = ∆x, dy = ∆y l`a nh˜u.ng sˆo´ gia t`uy ´y cu’a biˆe´n dˆo.c lˆa.p, d´o.

l`a nh˜u.ng sˆo´ khˆong phu thuˆo.c v`ao x v`a y Nhu vˆa.y, khi cˆo´ di.nh dx v`a

dy vi phˆ an df l`a h`am cu’a x v` a y.

Theo di.nh ngh˜ıa: Vi phˆan th´u hai d2f (hay vi phˆan cˆa´p 2) cu’a

h`am f (x, y) ta.i diˆe’m M(x, y) du.o c di.nh ngh˜ıa nhu l`a vi phˆan cu’a vi

phˆan th´u nhˆa´t ta.i diˆe’m M v´o.i c´ac diˆe`u kiˆe.n sau dˆay:

(1) Vi phˆan df l`a h`am chı’ cu’a c´ac biˆe´n dˆo.c lˆa.p x v`a y.

(2) Sˆo´ gia cu’a c´ac biˆe´n dˆo.c lˆa.p x v`a y xuˆa´t hiˆe.n khi t´ınh vi phˆan cu’a f x0 v`a f y0 du.o c xem l`a b˘a`ng sˆo´ gia dˆa` u tiˆen, t´u.c l`a b˘a`ng dx v`a dy.

Mˆo.t c´ach h`ınh th´u.c d˘a’ng th´u.c (9.10) c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 129

9.2.5 Cˆ ong th´ u.c Taylor

Nˆe´u h`am f (x, y) l` a n + 1 lˆ ` n kha’ vi trong ε-lˆan cˆa.n V cu’a diˆe’ma

M0(x0, y0) th`ı dˆo´i v´o.i diˆe’m bˆa´t k`y M (x, y) ∈ V ta c´o cˆong th´u.c Taylor

trong d´o P n (x, y) go.i l`a da th´u.c Taylor bˆa.c n cu’a hai biˆe´n x v`a y,

R n+1 l`a sˆo´ ha.ng du Nˆe´u d˘a.t

9.2.6 Vi phˆ an cu ’ a h` am ˆ a’n

Theo di.nh ngh˜ıa: biˆe´n w du.o c go.i l`a h`am ˆa’n cu’a c´ac biˆe´n dˆo.c lˆa.p

x, y, , t nˆe´u n´o du.o c cho bo.’i phu.o.ng tr`ınh

F (x, y, , w) = 0

khˆong gia’i du.o c dˆo´i v´o.i w.

Dˆe’ t´ınh vi phˆan cu’a h`am ˆa’n w ta lˆa´y vi phˆan ca’ hai vˆe´ cu’a phu.o.ngtr`ınh (xem nhu dˆ` ng nhˆa´t th´o u.c) rˆ` i t`o u d´o t`ım dw Dˆ e’ t´ınh d2w ta cˆ` na

lˆa´y vi phˆan cu’a dw v´o.i lu.u ´y r˘a`ng dx v`a dy l`a h˘a`ng sˆo´, c`on dw l`a vi

1) f (x, y) = xy2, 2) f (x, y) =p

x2+ y2.Gia’i 1) Ta c´o

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 131

Gia’i C´ach 1 T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cu’a h`am f(x, y) theo x v`a

theo y rˆ` i ´ap du.ng cˆong th´u.c (9.9) T`u v´ı du 4, mu.c 9.1 ta c´oo

C´ach 2 ´Ap du.ng t´ınh bˆa´t biˆe´n vˆe` da.ng cu’a vi phˆan cˆa´p 1.

V´ ı du 4 1) Cho h`am f (x, y) = x y H˜ay t`ım vi phˆan cˆa´p hai cu’a f

nˆe´u x v` a y l`a biˆe´n dˆo.c lˆa.p

2) T`ım vi phˆan cˆa´p hai cu’a h`am f (x + y, xy) nˆ e´u x v` a y l`a biˆe´n

d2f = y(y − 1)x y−2 dx2+ x y−1 (1 + ylnx)dxdy + x y (lnx)2dy2.

2) Ta viˆe´t h`am d˜a cho du.´o.i da.ng u = f(t, v), trong d´o t = x + y,

v = xy.

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 133

1+ C´ach I T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng rˆo` i ´ap du.ng (9.10) Ta c´o:

Thˆe´ c´ac da.o h`am riˆeng t`ım du.o c v`ao (9.10) ta thu du.o c

d2f = (f tt00+ 2yf tv00 + y2f vv00)dx2+ 2(f tt00+ (x + y)f tv00 + xyf vv00 + f v0)dxdy

+ (f tt00+ 2xf tv00 + x2f vv00)dy2.

2+ C´ach II Ta c´o thˆe’ thu du.o c kˆe´t qua’ n`ay nˆe´u lu.u ´y r˘a`ng v´o.i

t = x + y ⇒ dt = dx + dy v` a v = xy → dv = xdy + ydx v`a t`u d´o

d2t = d(dx + dy) = d2x + d2y = 0

(v`ı x v` a y l`a biˆe´n dˆo.c lˆa.p) v`a

d2v = d(xdy + ydx) = dxdy + dxdy = 2dxdy.

V´ ı du 5. Ap du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆa´ ` n d´ung c´ac gi´a tri.:

Cuˆo´i c`ung ta ´ap du.ng cˆong th´u.c

f (x0 + ∆x, y0+ ∆y) = f (x0, y0) + f x0(x0, y0)∆x + f y0(x0, y0)∆y 1) T´ınh a = (1, 04) 2,03 Ta x´et h`am f (x, y) = x y Sˆo´ a cˆ` n t´ınh l`aagi´a tri cu’a h`am khi x = 1, 04 v`a y = 2, 03.

Ta lˆa´y M0 = M0(1, 2) Khi d´ o ∆x = 0, 04, ∆y = 0, 03.

Tiˆe´p theo ta c´o

f (x, y) = arctg x

y − 1



9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 135

Bˆay gi`o ta t´ınh gi´a tri c´ac da.o h`am riˆeng ta.i diˆe’m M0 Ta c´o

p

(1, 04) 1,99 + ln(1, 02) ≈

√

1 + ln1 + 1 · (0, 04) + 0 · (−0, 01) + (1/2) · 0, 02 = 1, 05.

4) Ta thˆa´y d l`a gi´a tri cu’a h`am f(x, y, z) = 2 x

sin y arctgx ta.i diˆe’m

M0 = 2−3.

T`u d´o ta thu du.o c

sin 1, 49 arctg0, 07

22,95 ≈ 2−3· 0, 07 ≈ 0, 01. N

V´ ı du 6 Khai triˆe’n h`am f (x, y) = x y theo cˆong th´u.c Taylor ta.i lˆan

cˆa.n diˆe’m (1, 1) v´o.i n = 3.

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 137

Gia’i Trong tru.`o.ng ho p n`ay cˆong th´u.c Taylor c´o da.ng sau dˆay

1+ T´ınh mo.i da.o h`am riˆeng cu’a h`am cho dˆe´n xˆa´p 3 Ta c´o

f x0 = yx y−1 , f y0 = x y lnx, f x002 = y(y − 1)x y−2 ,

Gia’i Ta xem phu.o.ng tr`ınh d˜a cho nhu mˆo.t dˆo` ng nhˆa´t v`a lˆa´y vi

phˆan cu’a vˆe´ tr´ai v`a vˆe´ pha’i:

3w2dw + 6xydx + 3x2dy + wdx + xdw + 2y · w2dy

+ 2y2wdw − 2dx + dy = 0

La.i lˆa´y vi phˆan to`an phˆa` n d˘a’ng th´u.c thu du.o c v´o.i lu.u ´y l`a dx, dy l`a

h˘a`ng sˆo´; dw l`a vi phˆan cu’a h`am.

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 139

T´ınh du(1, −1), d2u(1, −1); dv(1, −1), d2v(1, −1) nˆ e´u u(1, −1) = 1,

(DS df

M0 = −

√32

π

3dx + dy + dz

)

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 141

16 f (x, y) = f

xy, x y

20 w = f (α, β, γ), α = ax, β = by, γ = cz; a, b, c-h˘a`ng sˆo´

T´ınh vi phˆan cˆa´p hai cu’a c´ac h`am sau dˆay ta.i c´ac diˆe’m M(x, y)

v`a M0(x0, y0) nˆe´u f l`a h`am hai lˆ` n kha’ vi v`a x, y, z l`a biˆe´n dˆo.c lˆa.pa(23-25)

26 w = f (ax + by + cz).

(DS d n w = f (n) (ax + by + cz)(adx + bdy + cdz) n)

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 143

37 cos2x + cos2y + cos2z = 1.

(DS dz = − sin 2xdx + sin 2ydy

9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n 145

9.3.1 Cu c tri.

H`am f (x, y) c´o cu c da.i di.a phu.o.ng (ho˘a.c cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng) b˘a`ng

f (x0, y0) ta.i diˆe’m M0(x0, y0) ∈ D nˆe´u tˆ` n ta.i δ-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m Mo 0

sao cho v´o.i mo.i diˆe’m M 6= M0 thuˆo.c lˆan cˆa.n ˆa´y ta c´o

f (M ) < f (M0) (tu.o.ng ´u.ng : f (M ) > f (M0)).

Go.i chung cu c da.i, cu c tiˆe’u cu’a h`am sˆo´ l`a cu c tri cu’a h`am sˆo´

Diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n dˆe’ tˆo` n ta.i cu c tri di.a phu.o.ng: Nˆe´u ta.i diˆe’m M0 h`am

f (x, y) c´o cu c tri di.a phu.o.ng th`ı ta.i diˆe’m d´o ca’ hai da.o h`am riˆeng cˆa´p

1 (nˆe´u ch´ung tˆ` n ta.i) dˆe`u b˘a`ng 0 ho˘a.c ´ıt nhˆa´t mˆo.t trong hai da.o h`amo

riˆeng khˆong tˆ` n ta.i (d´o l`a nh˜u.ng diˆe’m t´o.i ha.n ho˘a.c diˆe’m d`u.ng cu’ao

h`am f (x, y)) Khˆong pha’i mo.i diˆe’m d`u.ng dˆe`u l`a diˆe’m cu c tri

Diˆ`u kiˆe.n du’: gia’ su.’e

f xx00 (M0) =, f xy00 (M0) = B, f yy00 (M0) = C.

Khi d´o:

i) Nˆe´u ∆(M0) =

A B

B C

A B

B C

= 0 th`ı M0 l`a diˆe’m nghi vˆa´n (h`am f c´othˆe’ c´o v`a c˜ung c´o thˆe’ khˆong c´o cu c tri ta.i d´o)

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´ne 141

16 f (x, y) = f

xy, x...