phương pháp số phức trong đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONGNGUYỄN KHẮC KHANH PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2016... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONGNGUYỄN KHẮC KHAN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN KHẮC KHANH

PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN KHẮC KHANH- C00448

PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH HÀ HUY KHOÁI

Hà Nội - Năm 2016

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Thăng Longdưới dự hướng dẫn khoa học của GS TSKH Hà Huy Khoái Qua đây, tácgiả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoahọc của mình, GS TSKH Hà Huy Khoái, người đã đưa ra đề tài và tậntình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả Đồng thời tácgiả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau đạihọc - Trường Đại học Thăng Long, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tàiliệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này Tácgiả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toánkhóa 3- Trường Đại học Thăng Long, đã động viên giúp đỡ tác giả trongquá trình học tập và làm luận văn

Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận vănkhông thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉbảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thànhcảm ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Khắc Khanh

Mục lục

1.1 Sự hình thành khái niệm số phức 3

1.2 Định nghĩa số phức 7

1.3 Các tính chất số phức 8

1.3.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng 8

1.3.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân 9

1.4 Dạng đại số của số phức 10

1.4.1 Ý nghĩa hình học của số phức và mô đun 16

1.4.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số 17

1.5 Dạng lượng giác của số phức 18

1.5.1 Tọa độ cực của số phức 19

1.5.2 Các phép toán số phức trong tọa độ cực 20

1.5.3 Ý nghĩa hình học của phép nhân 20

1.5.4 Căn bặc n của đơn vị 21

1.6 Bài tập 24

2 Số phức và đa thức 28 2.1 Định lý về đa thức 28

2.2 Phương trình bậc hai 36

2.3 Phương trình bậc ba 39

2.4 Phương trình bậc bốn 42

2.5 Một số bài toán về đa thức 45

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

2.5.1 Số phức trong các bài toán về đa thức 452.5.2 Số phức và đa thức trong bài toán đếm 532.6 Bài tập 57

số phức trong đại số” là một trong những đề tài được nghiên cứu một sốphương pháp vận dụng số phức giải điển hình cho một số bài toán cụ thể,đồng thời cũng là tài liệu bổ ích cho học sinh phổ thông, giáo viên trongquá trình giảng dạy.

2 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài đã được vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học sau:+ Phân tích lý thuyết, phân dạng các loại bài tập

+ Đưa ra ví dụ phù hợp với từng nội dung ứng dụng

+ Trao đổi kinh nghiệm với thầy cô, bạn bè cùng chuyên môn

+ Tham khảo tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, các sách nói

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

về kiến thức cơ bản và mở rộng có liên quan đến đề tài.

3 Mục đích của luận văn

Đề tài “Phương pháp số phức trong đại số” được nghiên cứu với mụcđích trình bày hệ thống các kiến thức tổng quan, giới thiệu về lịch sử pháttriển số phức trong đại số; giới thiệu một số phương pháp sử dụng số phứctrong việc giải phương trình đại số, nghiên cứu tính chất của các đa thức;cung cấp một hệ thống các dạng bài tập ứng dụng trong đại số, đa thứcđược giải bằng phương pháp số phức, đồng thời giới thiệu một số kĩ thuậttính toán liên quan nhằm làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinhtrung học phổ thông

4 Nội dung của luận văn

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Số phức và phương trình Đại số

đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toánhọc thời cổ đại”.

Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kíhiệu √

−1, là lời giải hình thức của phương trình x2 + 1 = 0 Xét biểuthức b√

−1 là nghiệm hình thức của phương trình x2 + b2 = 0 Khi đóbiểu thức tổng quát hơn có dạng a + b√

−1, b 6= 0 có thể xem là nghiệmhình thức của phương trình (x − a)2 + b2 = 0

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Về sau biểu thức dạng a + b√

−1, b 6= 0 xuất hiện trong quá trình giảiphương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng

“ảo” và sau đó được K.Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là

a + ib, trong đó kí hiệu i := √

−1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi làđơn vị “ảo”

Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đãdiễn ra rất chậm chạp Ngay tên gọi và kí hiệu i := √

−1 nên i2 = −1 , nhưng đồng thờibằng cách sử dụng các quy tắc thông thường của phép toán khai căn bậchai lại thu được

hệ thức đó Trong cuốn sách “phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S.Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó như sau: Đầu tiên người ta lấynửa đường tròn với đường kính AB Từ điểm R tùy ý của nửa đường tròn

hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của các đoạn

AS và SB Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bìnhphương đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS Bây giờ, trở về vớimặt phẳng phức, kí hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm i là R Khi

đó S sẽ là điểm 0 Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như sau: Đoạn

x + y = 10

xy = 50

Cardano đã tìm được nghiệm 5 ± √

−5 và ông đã gọi nghiệm này là

“âm thuần túy” và thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện” Có lẽ têngọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của sốhọc”

Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII, bản chất đại số

và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung mộtcách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I.Newton(1642-1727) đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xemcác đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G Leibniz(1646-1716)thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệuđối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống

ở một chốn nào đó giữa cái có thật và cái không có thật”

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích của việc đưa số phức vào toán học chính

là nhà toán học Italy R Bombelli Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã địnhnghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạonên lí thuyết các số “ảo”

Thuật ngữ "số phức" được dùng đầu tiên bởi K Gauss (năm 1831)

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Vào thế kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu cáctính chất của đại lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng.Chẳng hạn L Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phứcbất kì (1738), còn A Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Pháp nghiên cứu

và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736)

Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người

Na uy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phéptoán trên chúng trong công trình công bố năm 1799 Đôi khi phép biểudiễn minh họa số phức cũng được gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận cônglao của nhà toán học Thụy Sỹ là R Argand – người thu được kết quả nhưcủa C.Wessel một cách độc lập

Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp

số thực có thứ tự (a,b), a ∈ R, b ∈ R được xây dựng bởi nhà toán họcIreland là W.Hamilton (1837) Ở đây đơn vị “ảo” chỉ đơn giản là một cặp

số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiệnthực

Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứngmột cách vững chắc khái niệm số phức Tên tuổi của Gauss cũng gắn liềnvới phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại sốkhẳng định rằng trong trường số phức ∈ C mọi phương trình đa thức đều

có nghiệm

Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử củatrường mở rộng (đại số) ∈ C của trường số thực ∈ R thu được bằng phépghép đại số vào R nghiệm i của phương trình x2 + 1 = 0

Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường ∈ C

trở thành trường đóng đại số Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm củaphương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới.Đương nhiên trường số thực ∈ R (trường hữu tỉ ∈ Q) không có tính chất

đóng đại số Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không cónghiệm thực

Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagoras tới giờ, con đường phát triển

Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứmỗi khi đưa vào những số mới, các nhà toán học cũng đồng thời đưa vàocác quy tắc thực hiện các phép toán trên chúng Đồng thời với điều đócác nhà Toán học luôn luôn cố gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản(luật giao hoán của phép cộng và phép nhân, luật kết hợp và luật phân bố,luật sắp xếp thứ tự tuyến tính của tập hợp số) Tuy nhiên sự bảo toàn đókhông phải khi nào cũng thực hiện được, ví dụ như khi xây dựng trường sốphức người ta không bảo toàn được luật sắp xếp tuyến tính vốn có trongtrường số thực.

Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toánhọc Đức L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết:

“Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều làcông trình sáng tạo của con người”

Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác địnhnền móng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang

Hai phần tử (x1, y1) và (x2, y2) bằng nhau khi và chỉ khi

= (−13, −127 )

Định nghĩa 1.2.1 Tập hợp R2 cùng với phép cộng và phép nhân gọi làtập số phức, kí hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C2 được gọi là một sốphức

Kí hiệu C∗ để chỉ tập hợp C\ (0, 0)

1.3 Các tính chất số phức

1.3.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng

Phép cộng các số phức thỏa mãn các điều kiện sau đây

Tính giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1, z2 ∈ C.

Tính kết hợp: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) với mọi z1, z2, z3 ∈ C

Nếu z1= (x1, y1) ∈C, z2= (x2, y2) ∈ C, z3= (x3, y3) ∈ C thì(z1 + z2) + z3 = [(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2) +(x3 + y3) = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3),

và z1 + (z2 + z3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1, y1) + (x2 +

x3, y2 + y3) = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)).Các phép toán kết hợp như trong đại số

Phần tử đơn vị : Có duy nhất một số phức 0=(0, 0) ∈ C để z + 0 =

0 + z = z, với mọi z= (x, y) ∈ C.

Phần tử đối : Mỗi số phức z= (x, y) ∈ C có duy nhất số phức −z=

(−x, −y) ∈C sao cho z + (−z) = (−z) + z = 0 và

z1 − z2 = (x1, y1) − (x2, y2) = (x1 − x2, y1 − y2) ∈C

1.3.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân

Phép nhân các số phức thỏa mãn các điều kiện sau đâyTính giao hoán: z1z2 = z2z1 với mọi z1, z2 ∈ C.

Tính kết hợp:(z1z2)z3 = z1(z2z3) với mọi z1, z2, z3 ∈ C

Phần tử đơn vị : Có duy nhất số phức 1=(1, 0) ∈ C thỏa mãn z1= 1z=

z, với mọi z ∈ C Số phức 1=(1, 0) gọi là phần tử đơn vị với mọi z ∈ C

Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z 6= 0 có duy nhất sốphức z−1 = (x0, y0) ∈ C sao cho z.z−1 = z−1.z = 1, số phức z−1 = (x0, y0)

gọi là phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C.

Ví dụ1) Nếu z = (1, 2) thì z−1 = (12 +21 2, 12−2+2 2) = 15, −25

Tính phân phối : z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 với mọi z1, z2, z3 ∈ C∗

1.4 Dạng đại số của số phức

Định nghĩa 1.4.1 Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ

tự, nên khi thực hiện các biến đổi đại số thường không được thuận lợi Đó

là lý do để tìm dạng khác khi viết

Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới Xét tập hợp R× {0} cùng vớiphép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2

Hàm số: f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) là một song ánh và ngoài ra

(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0) (y, 0) = (xy, 0) Các phép toán đại

số trên R× {0} đồng nhất với các phép toán trên R; vì thế chúng ta cóthể đồng nhất cặp số (x, 0) với số x, với mọi x ∈ R Ta sử dụng song ánh

Từ giờ ta ký hiệu z = (x, y) bởi z = x + yi Số thực x=Re(z) được gọi

là phần thực của số phức z = (z, y), y= Im(z) được gọi là phần ảo của z

Số phức có dạng yi, y ∈ R∗ gọi là thuần ảo, số phức i gọi là đơn vị ảo

Từ các hệ thức trên dễ dàng có các kết quả sau:

a) z1 = z2 khi và chỉ khi Re (z1) = Re(z2) và Im(z1)= Im(z2).b) z ∈ R khi và chỉ khi Im(z)= 0

Re(z1z2)= Re(z1)Re(z2)-Im(z1)In(z2);

Im(z1 z2) = Im(z1) Re (z2)+ Im (z2) Re(z1)

Mỗi số thực λ, số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C là

tích của một số thực với một số phức Ta có các tính chất sau:

1)λ(z1 + z2) = λz1 + λz2;

2) λ1(λ2z) = (λ1λ2)z;

3)(λ1 + λ2)z = λ1z + λ2z, với mọi z, z1, z2 ∈ C và λ, λ1, λ2 ∈ R.

Lũy thừa của số i

Các công thức cho số phức với lũy thừa là số nguyên được bảo toàn đốivới dạng đại số z = x + iy Xét z = i, ta thu được

Đặt y = tx, từ hệ trên ta có 18(3x2y − y3) = 26(x3 − 3xy2), với x 6= 0

và y 6= 0, ta có 18(3t − t3) = 26(1 − 3t2) ⇔ 18(3t − t3) = 26(1 − 3t2) ⇔(3t − 1)(3t2 − 12t − 13) = 0

⇔ t1 = 13 và t2,3 = 6±5

√ 3

Do x, y là số nguyên, nên ta loại t2, t3

Vậy với t1 = 13, Ta có x = 3, y = 1 và z = 3 + i

Số phức liên hợpMỗi số phức z = x + yi đều có số phức z = x − yi, số phức đó được gọi

là số phức liên hợp hoặc số phức liên hợp của số phức z

Mệnh đề 1.4.3 1) Hệ thức z = z đúng khi và chỉ khi z ∈ R;

2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z = z;3) Mỗi số phức z ta luôn có z.z là một số thực không âm;

4) z1 + z2 = z1 + z2 ( số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các sốphức liên hợp);

5) z1.z2 = z1.z2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phứcliên hợp);

6) Mỗi số phức z 6= 0 đẳng thức sau luôn đúng z−1 = (z)−1;7)

2) Chứng minh rằng, nếu A = |z1| = |z2| = 1 và z1z2 6= −1thì z1 +z 2

1+z1z2 làmột số thực

Vậy A là một số thực

3) Chứng minh rằng với bất kỳ số phức z,

|z + 1| > √1

2 ; z2 + 1 > 1.Giải:

Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức ta được: a2 + b2
2+ 2a2 + 1
< 0,

điều này vô lý Vậy điều giả sử là sai, hay điều cần chứng minh là đúng.4) Cho x, y, z ∈C, với x 6= y 6= z; y = tx + (1 − t)x, với t ∈ (0, 1)

Ghi chúa) Phần tử nghịch đảo của số phức z ∈ C∗ có thể được tính như sau

1

z = z.zz = xx−yi2 +y 2 = x2 +yx 2 − x2 +yy 2i.b) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phứcnhư sau: z1

= 75 − 25i

25 = 3 − i

2) Cho z1, z2 ∈ C Chứng minh rằng E = z1.z2 + z1.z2 là một số thực.Giải:

Ta có E = z1.z2 + z1.z2 = z1.z2 + z1.z2 vậy E ∈ R.

Modun của số phức

Số |z| = px2 + y2 được gọi là modun của số phức z = x + yi

Mệnh đề 1.4.4 1) − |z| 6 Re(z) 6 |z| và − |z| 6 Im(z) 6 |z| ;2) |z| > 0, ∀z ∈ C, ngoài |z| = 0 khi và chỉ khi z = 0;

3) |z| = |−z| = |z|;4) z.z = |z|2 ;5) |z1z2| = |z1| |z2| ( mô đun của một tích bằng tích các mô đun);

6) |z1| − |z2| 6 |z1 + z2| 6 |z1| + |z2| ;7) z−1 = |z|−1, z 6= 0

8)

... học

số phức z = x + yi Số phức z = x + yi gọi toạ độ phức điểm

M (x, y) Chúng ta kí hiệu M (z) để tọa độ phức điểm M s? ?phức z

Dạng hình học số phức liên hợp z số phức z = x...

Ý nghĩa hình học số phức

Chúng ta định nghĩa số phức z = (x, y) = x + yi cặp số thựcsắp thứ tự (x, y) ∈ R × R, hồn tồn tự nhiên xem số< /sub>

phức z = x + yi điểm... Mỗi số thực dương r, tập hợp số phức có mơ đun r tương đương vớiđường tròn C (0; r) tâm bán kính r mặt phẳng

b) Các số phức z với |z| < r điểm nằm bên đường tròn

C (0; r) Các số