Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bìa chính Mẫu M11SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRO

Trang 1

Bìa chính (Mẫu M1(1))

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Bích Huệ Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

Trang 2

MỤC LỤC

1 Mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.4 Hiệu quả sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 18

3 Kết luận, kiến nghị 20

Trang 3

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài.

Mục tiêu của Luật giáo dục 2019: “Mục tiêu giáo dục nhằm phát triển toàndiện con người Việt Nam có đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, thẩm mỹ và nghềnghiệp; có phẩm chất, năng lực và ý thức công dân; có lòng yêu nước, tinh thần dântộc và chủ nghĩa xã hội; phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân;nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đáp ứng yêu cầucủa sự nghiệp xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và hội nhập quốc tế” [1]

Yêu cầu về phương pháp giáo dục của Luật giáo dục 2019: “Phương pháp giáodục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo củangười học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học và hợp tác, khả năng thựchành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” [1]

“Làm thế nào để phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân?”;

“Làm thế nào để phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo của người học?”

Đó là những câu hỏi tôi luôn băn khoăn, trăn trở trong quá trình giảng dạy

Vì vậy bên cạnh việc truyền đạt các kiến thức cơ bản thì việc tìm kiếm các kỹthuật dạy học mới phù hợp, giúp học sinh hứng thú, chủ động mở rộng, phát triểncác kiến thức là điều mà tôi luôn hết sức chú ý và chăm chút Đó cũng chính là lý

do tôi chọn đề tài: Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Trong đề tài này, tôi xin phép được trình bày một số hướng phát triển, mởrộng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mô-đun số phức dựa trên kỹ thuật giải là

áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Với lý do như trên thì mục đích nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh tìm

hiểu, xây dựng và phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Phân tích ưu, nhược

mô-điểm và so sánh kỹ thuật này với các kỹ thuật giải khác

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất mô-đun của số phức, đặc biệt là kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtmô-đun của số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bên cạnh đó một đối tượng nghiên cứu khác vô cùng quan trọng chính là các

em học sinh của hai lớp 12A9 và 12A2 trường THPT Sầm Sơn mà tôi giảng dạy

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở

lý thuyết Ngoài ra còn có phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin

Trang 4

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm này được xây dựng trên cơ sở các kiến thức cơ bản về

số phức kết hợp với các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.Các kiến thức cơ bản về số phức bao gồm:

+ Các định nghĩa cơ bản về số phức

+ Các phép toán về số phức

+ Các tính chất về mô-đun số phức

+ Các tính chất về biểu diễn hình học của số phức

Các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bao gồm:

Tính chất 1: Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng  và một điểm A Điểm M

thuộc  sao cho khoảng cách MA ngắn nhất khi M là hình chiếu của A trên 

Lúc đó: MAmin d A ; 

Tính chất 2: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn  C và một điểm A không thuộc đường tròn Điểm M thuộc  C sao cho khoảng cách MA lớn nhất, nhỏ nhất khi khi M là giao điểm của IA với đường tròn  C Lúc đó:

1) Trường hợp: A nằm trong đường tròn: MAmin  R IA , MAmax  R IA

2) Trường hợp: A nằm ngoài đường tròn: MAmin  R IA , MAmax  R IA

Tính chất 3: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn  C và đường thẳng  không cắt đường tròn Điểm M thuộc  C , N thuộc  sao cho khoảng cách MN nhỏ nhất khi M N lần lượt là giao điểm của đưởng thẳng , d (qua I vuông góc với đường

thẳng ) cắt đường tròn  C và đường thẳng  Lúc đó: MNmin d I ,   R

Tính chất 4: Trong hệ trục Oxy, cho hai đường tròn  C và C' không cắt nhau Hai điểm M N, lần lượt thuộc hai đường tròn sao cho khoảng cách MN lớn nhất, nhỏ nhất khi M N, lần lượt là giao điểm của đưởng thẳng II ' (đường nối tâm của hai đường tròn) với hai đường tròn Lúc đó: MNmin II R R'  ',

max ' '

MA II R R 

Trang 5

Tính chất 5: Trong hệ trục Oxy, cho Elip  E Điểm M thuộc  E sao cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox,Oy với Elip.

Lúc đó: MOmin b độ dài bán trục bé (khi M là giao điểm của Oy với Elip),

max

MO a độ dài bán trục lớn (khi M là giao điểm của Ox với Elip).

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Số phức là một phần rất mới trong chương trình toán THPT (được đưa vàochương trình vào cuối năm lớp 12) Đây là một phần không khó, tuy nhiên khá lạ

do lâu nay học sinh đã quen với tập số thực, với lối tư duy trên tập số thực nênnhiều học sinh gặp khó khăn với các bài toán số phức, đặc biệt là các bài toán khó.Bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức là một bàitoán khó về số phức Cách giải thông thường của bài toán là áp dụng bất đẳngthức.Tuy nhiên, bất đẳng thức là cũng một phần khó trong chương trình toán họcphổ thông, lại được học từ giữa năm lớp 10 nên rất nhiều học sinh đã quên và gặprất nhiều khó khăn khi áp dụng Thêm nữa việc phát triển bài toán bằng bất đẳngthức là không dễ nhất là đối với các đối tượng học sinh mà tôi đang giảng dạy

Việc áp dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, bài toán được chuyển sang bài

toán hình giải tích trong mặt phẳng nên trực quan hơn, dễ dàng xử lý hơn Đặc biệt,chúng ta có thể mở rộng, phát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau, rất đadạng

Chúng ta cùng xem xét một ví dụ cụ thể như sau:

Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn z 1   z 1 2i , tìm số phức z sao cho

Trang 6

Dấu ‘=’ xảy ra khi

3 2( )

2

f x 

khi

32

x 

3 23

Trang 7

Tọa đôM nghiệm hệ

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Với thực trạng như trên, trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các giải pháp

xây dựng và phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun

số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Bài toán sử dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun

số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng thường gồm hai bước cơ bản:

Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z

Bước 2: Chuyển bài toán tìm cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học

Dựa trên việc áp dụng các tính chất của phương pháp tọa độ trong mặt phẳngvào các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức, chúng ta

có thể phân chia thành các dạng như sau:

Dạng 1: Quy về tính khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm và và một điểm thuộc đường thẳng.

Đặc điểm của các bài toán toán dạng này là tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn yêu cầu của bài toán là một đường thẳng Khi đó bài toán

tìm cực mô-đun số phức trở thành bài toán cực trị hình học Chúng ta cùng bắt đầuvới bài toán đầu tiên như sau:

Trang 8

Bài toán 1: Trong các số phức z thỏa mãn z 1   z 1 2i , tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất [2].

Bước 2: Chuyển bài toán tìm cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học

Ta có : z OM , OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên 

Tọa độ M là nghiệm hệ

1 00

Trang 9

Ta có: iz2 i z  2i i z 2i  z 2i AM (với A(0;2) là điểm biểu diễncho số phức 2i)

Để AM nhỏ nhất thì M là hình chiếu của A trên 

Tọa độ M là nghiệm của hệ

P 

B.P 5 2 73. C.

.2

P 

D P  13 73.

Giải

Chọn A.

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E  2;1 , D 4;7   và N1; 1  

Trang 10

Từ AE A F   z 2 i  z 4 7 i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF .

N

D

A

Ta có: z  1 i AN Để AN đạt giá trị nhỏ nhất khi A H là hình chiếu của N

Gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng phức, khi đó M

thuộc miền trong tính cả biên của hình thoi ABCD với A7;1 , B1; 2 , 

5;1 ,  1;4

C D  được giới hạn bởi bốn đường thẳng x 1 2 y 1 6

Trang 11

Đặc điểm của các bài toán toán dạng này là tập hợp các điểm M biểu diễn

cho số phức z thỏa mãn yêu cầu của bài toán là một đường tròn Chúng ta cùng

xem xét các bài toán sau:

Bài toán 5: Trong các số phức z thỏa mãn z 2, tìm số phức z có z1 i lớn nhất, nhỏ nhất [3]

Trang 12

Bước 2: Chuyển bài toán tìm cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học.

Bài toán 6: (Đề tham khảo THPTQG 2018) Cho số phức z a bi  a b , 

thỏa mãn z 4 3 i  5 Tính P a b   khi z 1 3i  z   đạt giá trị lớn1 i nhất.

Giải

Chọn B

Gọi M a b là điểm biểu diễn của số phức z ; 

Theo giả thiết ta có: z 4 3 i  5  a 42 b 32 5 Tập hợp điểm M

biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I4;3 bán kính R  5

Trang 13

Trang 14

Dạng 4: Quy về tính khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc đường thẳng

và một điểm thuộc đường tròn.

Nâng cao, phát triển bài toán từ tìm một số phức sang tìm hai số phức ta đượccác bài toán như sau:

Bài toán 8: Trong các số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1  2  i 1, z2  1 z2   1 2i tìm các số phức z z sao cho 1, 2 z1  z2 nhỏ nhất [4]

Trang 15

Trang 16

Bài toán 9: (Đề thi thử tốt nghiệp THPT lần 1 năm 2021 Thành Nhân - HCM)

Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn số phức z z1, 2

AB nhỏ nhất khi A là giao của đường thẳng d qua I (I là tâm đường tròn)

vuông góc với đường tròn  C , còn 'B là giao của đường thẳng d với đường

thẳng 

Khi đó: AB 'min  IH R   2 2 1 

Dạng 5: Quy về tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa hai điểm lần lượt thuộc hai đường tròn.

Vẫn là bài toán tìm hai số phức, song điều kiện của hai số phức được thay đổi

từ thuộc một đường thẳng, một đường tròn sang thuộc hai đường tròn ta được cácbài toán sau

Trang 17

Bài toán 10: Trong các số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1  2  i 1, z2   1 3i  1 thì

Gọi M x y là điểm biểu diễn cho số phức ( ; )1 1 z trong mặt phẳng phức, khi đó 1 M

thuộc đường tròn  C : (x 2)2 (y1)2 1 tâm I  2;1 bán kính R 1 1

Gọi N x y là điểm biểu diễn cho số phức ( ; )2 2 z trong mặt phẳng phức, khi đó 2 N

thuộc đường tròn C' : ( x1)2 (y 3)2 1 tâm I ' 1;3  bán kính R 2 1

Trang 18

Gọi M x y là điểm biểu diễn cho số phức ( ; )1 1 z trong mặt phẳng phức, khi đó 1 M

thuộc đường tròn  C : (x 4)2  y2 1 tâm I4;0 bán kính R 1 1.

Gọi N x y là điểm biểu diễn cho số phức ( ; )3 3 z trong mặt phẳng phức, khi đó 3 N

thuộc đường tròn C' : x2 (y 4)2 4 tâm I0;4 bán kính R 2 2.

Vậy: MNmin  4 2 3;  MNmax  4 2 3 

Dạng 5: Quy về tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa một điểm và một điểm thuộc Elip.

Đặc điểm của các bài toán toán dạng này là tập hợp các điểm M biểu diễn

cho số phức z thỏa mãn yêu cầu của bài toán là một Elip Ta đến với bài toán thứ

sáu như sau:

Bài toán 12: Trong các số phức z thỏa mãn z 3  z3 10 , tìm số phức z có mô-đun lớn nhất, nhỏ nhất [3]

Giải.

Trang 19

Giả sử z x yi  , M x y( ; ) là điểm biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng phức,

Ta có: z OM với M thuộc Elip nên 4  OM  5

Nên: OMmin  khi 4 M(0; 4) hoặc M(0;4) tương ứng với z  4 i hoặc z  4 i

max 5

OM  khi M ( 5;0) hoặc M(5;0) tương ứng với z  5 hoặc z  5.

Bài toán 13: Cho số phức z a bi a b  , ,   thỏa mãn: z 4  z4 10 và

Giả sử z x yi x y   ,  , M x y( ; ) là điểm biểu diễn cho số phức z

Trang 20

Ta có: z 6 MA với A6;0

Dựa vào hình vẽ trên ta thấy để MA lớn nhất khi M C,

khi đó z  5

Dạng 6: Một số bài toán liên quan tới tính chất đối xứng.

Bài toán 14: (Đề khảo sát chất lượng chuyên KHTN Hà Nội 2019) Cho số phức

z thỏa mãn : z  z 2i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i  z 4 là

Giải.

Chọn A.

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức ( ; ) z

Ta có: z  z 2i  y 1 0,tức biểu diễn hình học của số phức thỏa mãn giảthiết là đường thẳng y  1 0

M' A

nên MA MB nhỏ nhất bằng BA trong đó(0; 3)

A 

đối xứng với A qua đường thẳng y  1 0

Do đó MA MB nhỏ nhất bằng BA5.

Trang 21

Bài toán 15: (Đề khảo sát chất lượng THPTQG liên trường Nghệ An 2018) Biết

P 

D P  min 5 2 5.

Giải.

Chọn C.

Gọi M , 1 M , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức 2 z , 1 2z , z trên hệ trục tọa 2

độ Oxy Khi đó quỹ tích của điểm M là đường tròn 1  C tâm 1 I3;4, bán kính

1

R  ;quỹ tích của điểm M là đường 2 C tròn tâm 2 I6;8, bán kính R  ; quỹ 1

tích của điểm M là đường thẳng d : 3x 2y 12 0

  , R  là đường tròn đối xứng với 1 C qua 2 d Khi

đó minMM1MM2 2 minMM1MM32 với M3C3

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I I với 1 3  C , 1 C Khi đó với mọi3

điểm M1 C1 , M3C3, M d ta có MM1MM3 2 AB , dấu "=" xảy ra2

khi M1A M, 3  Do đó B Pmin AB 2 I I1 3  2 2 1 3

994513

I I

 

.Trên đây là một số dạng toán tôi đã phân chia và phát triển theo kinh nghiệmgiảng dạy của mình trong những năm qua

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Trang 22

Để kiểm chứng tính hiệu quả của đề tài, tôi đã tiến hành triển khai đề tài tạilớp 12A9, còn lớp 12A2 thì không (nghĩa là ở lớp 12A2 thì tôi dạy học sinh tìm giátrị lớn nhất, giả trị nhỏ nhất của mô-đun số phức bằng cách sử dụng bất đẳng thức,còn lớp 12A9 thì chủ yếu tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của mô-đun số phứcbằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng) Đây là hai lớp mà tôi đánh giá có chấtlượng tương đương Sau đó tôi đã đánh giá kết quả bằng một bài kiểm tra trắcnghiệm ngắn (20 phút) như sau:



D

12



Giá trị lớn nhất của z 1 4ilà

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	1,3 MB