Rèn kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng ứng dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Trong những nămqua ở các trường trung học phổ thông rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao nănglực nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiềuhình thức như: Đ

2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc 3

2.3.1 Kỹ năng sử dụng bất đẳng thức giải bài toán cực trị môđun số phức

2.3.1.1 Sử dụng tính chất của bất đẳng thức trong số phức

2.3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky

2.3.2 Rèn kỹ năng phương pháp hàm số tìm cực trị môđun số phức

2.3.3 Rèn kỹ năng phương pháp hình học Oxy giải bài toán cực trị

môđun số phức

2.3.3.1 Áp dụng 2 bài toán liên quan đến khoảng cách đến đường thăng

2.3.3.2 Các bài toán liên quan đến phương trình đường tròn

2.3.3.3 Các bài toán phương trình elip

336810

101316

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Về phía học sinh

2.4.1 Về phía giáo viên

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

18181818

+ Danh mục SKKN đã được ngành Giáo dục và Đào tạo xếp loại

+ Tài liệu tham khảo

+ Phụ lục

2021

1 MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây cùng với sự đổi mới trong giáo dục là đổi mớitrong thi cử, môn Toán đóng một vai trò quan trọng khi chuyển từ hình thức thi tựluận sang hình thức thi trắc nghiệm Vì vậy đòi hỏi người dạy và học phải linh hoạt

nắm bắt thông tin kiến thức nhanh, nhạy bén, chính xác để giải quyết vấn đề và đưa

ra đáp án một cách chính xác, nhanh, gọn Việc giảng dạy môn Toán đối với cácgiáo viên không những trang bị cho học sinh những kiến thức, rèn luyện cho họcsinh các kỹ năng và phương pháp tư duy toán học cụ thể mà cần tạo cho học sinhhứng thú, phương pháp tư duy tích cực, mạch lạc và tối ưu trong khi học Qua đóhọc sinh có thể áp dụng chúng trong các môn học khác cũng như trong thực tiễncuộc sống Vì vậy người dạy cần có sự tìm tòi và đổi mới phương pháp thườngxuyên cho phù hợp với nội dung kiến thức và nhu cầu của người học

Nghiên cứu và đổi mới phương pháp giảng dạy là những nhiệm vụ quantrọng của mỗi giáo viên luôn luôn được quan tâm và thực hiện Trong những nămqua ở các trường trung học phổ thông rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao nănglực nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiềuhình thức như: Đổi mới sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học,ứng dụng CNTT trong các các giờ dạy; phát động phong trào viết chuyên đề; sángkiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổchức ngoại khoá, phát động phong trào “mỗi thầy cô là tấm gương sáng tự học, tựsáng tạo”

Việc nâng cao phương pháp dạy học và nghiên cứu khoa học là cần thiết vàthường xuyên đối với giáo viên của tất cả các bộ môn Với môn toán có nhiều đơn

vị kiến thức giáo viên phải thực sự tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức vàphương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa,trong những năm gần đây đề thi Tốt nghiệp THPT hằng năm thường có các câu hỏivận dụng và vận dụng cao về số phức Đặc biệt là các câu hỏi liên quan đến giá trịlớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) trong số phức thường là các câu hỏikhó Vì vậy mỗi giáo viên phải tìm tòi, sáng tạo, tìm ra phương pháp mới để họcsinh có thể giải quyết các bài toán khó này trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT hằngnăm

Do đó, nhằm giúp các em ôn tập dạng toán này, Tôi đã sưu tầm và tổng hợpcác bài tập về GTLN – GTNN liên quan đến số phức và phận thành dạng toán để

ôn luyện cho các em, giúp các em có vốn kiến thức chắc chắn, vững vàng, tự tinlàm bài tốt trong kì thi Tốt nghiệp THPT xét tuyển Đại học Từ những tích lũychuyên môn, ôn luyện lớp chất lượng cao, luyện thi Tốt nghiệp THPT Quốc gianhiều năm và tiếp cận sự đổi mới về kì thi TN THPT năm 2020- 2021, tôi đúc rút

thành đề tài “Rèn kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng ứng dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực tự học và tự nghiên cứu trong dạy, họcmôn toán phần số phức

Rèn luyện kỹ năng dùng bất đẳng thức, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng,phương pháp hàm số giải nhanh bài toán trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của môđun số phức ở mức độ vân dụng và vận dụng cao.

1.3 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu tài liệu và các đề thi Tốt nghiệp hằng năm, các đề thi thử và tựnghiên cứu

1.4 Phạm vi nghiên cứu của đề tài.

Nghiên cứu phương pháp bất đẳng thức, phương pháp toạ độ trong mặtphẳng và phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các bàitoán liên quan đến số phức

1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.

Nghiên cứu phương giải nhanh bài toán trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất liên quan số phức

Xây dựng hệ thống các bài tập trắc nghiệm mức độ vận dụng và vận dụngcao về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Các định nghĩa và kí hiệu

 Số i (đơn vị ảo): i  2 1

 Số phức: Biểu thức z x yi  ( ,x y  ) gọi là số phức; x được gọi là phầnR

thực, y được gọi là phần ảo.

 Với mỗi số phức z x yi  , khi đó biểu thức z  x2y2 gọi là môđun của z

 Với mỗi số phức z x yi  Số phức z  x yi gọi là số phức liên hợp của

số phức z Kí hiệu z Như vậy nếu z x yi  thì z  x yi

 Với mỗi số phức z  x yi Xác định điểm M x y ;  trên mặt phẳng tọa độ

Oxy Điểm M gọi là biểu diễn hình học của số phức z x yi 

Kí hiệu M x y ;  M z  để chỉ M là điểm biểu diễn cho số phức z x yi 

2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc

 Với M z  thì z OM

 Với M M z M , M z   thì z z  MM.

 Với A A z  A,B B z  B trong đó z z A, B là hai số phức khác nhau cho

trước thì tập hợp các điểm M M z  thỏa mãn z z A  z z B là đường trungtrực của đoạn AB .

 Với I z 0 ,R 0 , tập hợp các điểm M M z  thỏa mãn hệ thức0

z z R là đường tròn tâm I bán kính R

 Với số phức z thoả mãn z c   z c 2a (hoặc z ci  z ci 2a ) Tập

hợp các điểm M M z  là đường elip

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong quá trình dạy học cho thấy, đa học sinh tuy nắm rất vững kiến thức vềmặt lý thuyết nhưng khi gặp những dạng toán vận dụng cao về cực trị số phức các

em cũng rất lúng túng không biết vận dụng như thế nào

Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài toán về GTNN là những bài toán vận dụng cao Đặc biệt là các bài toán cực trị liên quanđến số phức lại là các bài toán khó nên đòi hỏi học sinh ngoài việc thành thạo cáccông thức mà còn phải hiểu và phải biết vận dụng kết hợp các phương pháp đã biết

GTLN-để giải quyết bài toán một cách đầy đủ và chính xác

Trước thực trạng nói trên tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào đểgiúp học sinh khi đứng trước những bài toán đó giải quyết một cách dễ dàng, nhanhgọn và chính xác

Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và phân loạithành 3 phương pháp cơ bản giải các bài toán cực trị liên quan đến môđun của sốphức, để học sinh dễ tiếp thu phân dạng, chủ động, tích cực trong học tập

2.3 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1 Kỹ năng sử dụng bất đẳng thức trong bài toán cực trị môđun số phức 2.3.1.1 Sử dụng tính chất của bất đẳng thức trong số phức

Với hai số phức z z, ' ta luôn có

 z z ' z'  z dấu bằng xảy ra khi z kz k ',  ;0

 z z ' z  z' dấu bằng xảy ra khi z kz k ',  ;0

 z z '  z  z' dấu bằng xảy ra khi z kz k ',  ;0

 z z '  z  z' dấu bằng xảy ra khi z kz k ',  ;0



2 2

Ví dụ 1.1: Cho số phức z 0thỏa mãn: z 2 Tổng GTLN, GTNN của biểu thức:

, GTNN min

1 2

A.

2 10 5



B

2 10 3

Đánh giá13 | |z 2 2 | | 2 0,z    z | | 0z  Đặt t| |, (z t0)

Ta được

2

2 2

i z z

Nên Pmax 10 2 khi

2 sin

5 sin 4 6 5

x

z i y

- Gọi số phức z x yi x y R  , ,  , suy ra mối liên hệ giữa x y ;

- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki theo 2 cách để tìm giá trị lớn nhất

- Biễu diễn z x yi  từ điều kiện bài toán rút y theo x Tìm điều kiện biến x

- Biến đổi biểu thức cần tìm về dangju hàm số (có thể sử dụng đặt ẩn phụ)

- Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Từ đó rút ra kết luận

- Biễu diễn P theo biến x, xét hàm số để tìm GTLN

Giải Gọi z x yi x y   , ¡ , suy ra x2y2  1 y2  1 x2     0 1 x 1

5

Suy ra GTLN Pmax  4 5

Ví dụ 2.2: Tìm GTLN của Pz2 z  z2 z 1 với z là số phức thỏa mãn z 1

- Tìm điều kiên của biến x

- Biễu diễn P theo biến x, xét hàm số để tìm GTLN của P

2 3 ( )

1 ( 2 3)( 2)

0

-0-

f’(b)

+∞

2

11

f(b)

22

Ví dụ 2.4 Cho hai số phứcz, wthỏa mãn: (3 ) 1 1

Phương pháp

- Rút w theo z

- Đánh giá mô đun w+i

- Đặt ẩn phụ t=|z| biễu diễn P theo biến t, xét hàm số để tìm GTLN

Ví dụ 2.5: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4 i  5 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 22 z12 Tính mô đun của số phức  M mi

A   1258 B  3 137 C  2 314 D  2 309

Phương pháp

- Gọi z x yi x y , ,

   ¡

- Tìm điều kiên của biến y

- Biễu diễn P theo biến y, xét hàm số để tìm GTNN của P

+ Bước 2 wmin  z z o min d I d( , ) khi MI  ( I là điểm biểu diễn số phức d z o)

hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d

b) Bài toán 2:

+ Bước 1 Từ điều kiện suy ra được tập điểm M x y biểu diễn số phức z là một( ; )

đường thẳng d trung trực của IH, với I, H lần lượt biểu diễn z z1 , 2

+ Bước 2 P z z  3  z z 4 MA MB ( hoặc P z z3  z z 4 MA MB ) với A,

B là hai điểm biểu diễn hai số phức z z3, 4 Đến đây bài toán GTLN, GTNN củamôđun số phức được chuyển về bài toán GTLN, GTNN trong hình học phẳng

Ví dụ 3 1 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 1 2i   z 3 4i Tìm giá trịnhỏ nhất của môđun của z

A 2 13 B

5 13

Phương pháp giải

- Gọi M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z Tìm PT đường thẳng  chứa M

- Tìm hình chiếu vuông góc của O lên  suy ra GTNN của | | z

- Gọi M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z

- Tìm phương trình đường thẳng  chứa M

- Gọi M0(-1; 1), tìm hình chiếu vuông góc của M0 lên  suy ra GTNN z 1 i

Giải.

Đặt M M z  Từ hệ thức z 2 5 i  z i , ta được M :x 3y 7 0 Gọi M 0 1;1, thì z 1 i MM0

Gọi d là đường thẳng đi qua M 0 1;1 và vuông góc với  thì

Phương pháp

- Gọi M x y biểu diễn z Suy ra là thuộc đường thẳng d( ; )

- Gọi A(1; 0),B  1;2và (0; 1)I

- Tính P, biện luận để P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên d.

Giải Từ z 1   z i x y 0 tập điểm M x y biểu diễn z là thuộc đường ( ; )

thẳng d: x y  Với 0 A(1; 0), B  1;2 biểu diễn hai số phức z 1 1, z2  1 2i và(0; 1)

I là trung điểm của AB.

tập điểm M x y biểu diễn z là( ; )

thuộc đường thẳng d: x y  Với0

2.3.3.2 Các bài toán liên quan đến phương trình đường tròn

Cho số phức z thoả mãn z z 1 R Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất củamôđun số phức w z z  o (điều kiện bài toán có tập điểm biểu diễn số phức là mộtđường tròn)

Phương pháp tổng quát

+ Bước 1 Xác định được điều kiện bài toán suy ra được tập điểm M x y biểu( ; )

diễn số phức z là một đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R;

+ Bước 2 z z o nhỏ nhất, lớn nhất khi MA nhỏ nhất, lớn nhất ( A là điểm biểu diễn số phức z o ) Tức là z z o min IA R ; z z o max IA R .

Ví dụ 3.5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 Gọi M, m là giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất của z 2 i Tính giá trị của tổng S M 2 m2

Từ điều kiện ta có đường tròn tâm (1;2),I R  , điểm ( 2; 1)4 A  

Suy ra m  z 2 imin IA R 3 2 4, M   z 2 imax 3 2 4

- Gọi M x y biểu diễn z Suy ra M là thuộc tròn( ; )

- Gọi A  1;3, B1; 1 , I là trung điểm của AB

- z 1 3i  z 1i MA MB lớn nhất khi MI lớn nhất

Giải Đặt M M z 

Từ hệ thức z 4 3 i  5, ta được M  C : x 42 y 32  5

Đặt A  1;3, B1; 1 , I là trung điểm của AB thì I0;1

Theo lí thuyết ở trên, ta thấy MA MB lớn nhất khi MI lớn nhất , khi M K

Đường thẳng qua I vuông góc với AB có phương trình x 2y  2 0

x y x y

Ví dụ 3.7: Giả sử z z1 , 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn z i z    3i

là số thuần ảo Biết rằng z 1  z 2  3, giá trị lớn nhất của z 1  2z 2 bằng

(*) 2

( )

3 ( )

Pz  z OAuur  OBuuur OM MAuuur uuur   OM MBuuur uuur   OM

Gọi H là trung điểm của AB suy ra

+ Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của w và 2bi Suy ra:

+ A thuộc đường tròn  C có tâm I   5; 2, bán kính R 1

+ B thuộc trục Oy và  4 x B 4 Từ  * suy ra: T 2AB

+ Tìm GTNN của T

Giải

    di chuyển trên đường elip có tiêu điểm I và J,

độ dài trục lớn là 3 5 Tìm giá trị lớn nhất của z 2 3i  tức là tìm độ dài lớn nhấtcủa đoạn AM khi M di chuyển trên elip Ta có: IA1; 2 , JA 3;6  JA 3IA

,điểm A nằm trên trục lớn của elip =>AM đạt độ dài lớn nhất khi và chỉ khi Mtrùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I

Gọi S là trung điểm của IJ  S 0; 1   Độ dài đoạn AB SA SB 

2.3.3.3 Các bài toán sử dụng phương trình elip

Bài toán Cho số phức z thoả mãn z c   z c 2a

z a khi z a zmin  b a2  c khi z2  ;bi

+ Điều kiện bài toán là

2 2

z a khi z  và ai zmin  b a2 c khi z2 b

Ví dụ 3.10: Cho số phức z thỏa mãn z 3 z 3 8 Gọi M m là giá trị lớn,

nhất, nhỏ nhất của z Tính M m .

Giải Gọi z x yi x y R  , ,  Ta có: z 3   z 3 8 (x 3)2y2  (x3)2y2 8Bình phương hai vế hai ta được phương trình

2 2

Ví dụ 3.12: Cho số phức z thỏa mãn z4  z 4 10 Tìm z sao cho z  có6

môđun lớn nhất

Giải Gọi z x yi x y R  , , 

Từ

2 2

25 9

z  z    

tập điểm M x y biểu diễn z là thuộc( ; )

đường Elíp có tiêu cự F F1 2 8, 2a10 , b a2  c2  3, F1(0; 4), (0;4) F2

2 2

z  x  y là khoảng cách IM với ( 6;0) I 

max max

     với (5;0)A là đỉnh của Elíp

Ví dụ 3.13: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i  z 6 3 i 10 Tìm môđun lớnnhất của z 2 3 i

nên tập hợp điểm M x y biểu diễn số phức( ; )

z là thuộc đường Elíp có tiêu cự F F1 22c , 8 2a10,b a2  c2  3

Điểm thi THPT quốc gia 8,01

Qua điều tra tất cả các em học sinh đã biết cách giải các bài toán vận dụngcao về cực trị số phức Các em cũng tự tin khi thực hành làm đề trên lớp và ở nhà.Tất cả điều đó góp phần chuẩn bị tốt cả về kiến thức, kĩ năng, tâm lí cho học sinhbước vào kì thi Tốt nghiệp THPT với kết quả cao nhất

2.4.2 Về phía giáo viên

Với các toán cự trị về số môđun số phức này Tôi đã áp dụng và giảng dạy,

ôn thi Tốt nghiệp THPT cho học sinh khá giỏi tại trường THPT Triệu Sơn 2, kếtquả đạt được khá là hiệu quả và được giáo viên Toán nhà trường đánh giá cao vềtính khoa học, thiết thực, hiệu quả của đề tài

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Khi giảng dạy chương IV- Giải tích 12 "Số phức " cùng với việc dạy cho học

sinh kiến thức cơ bản về số phức, các phép toán quen thuộc trên tập hợp số phức.Giáo viên cũng cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các bài toán vận dụng cao

về cực trị môđun số phức Kĩ năng này sẽ giúp cho các em làm nhanh, làm tốt bàithi Tốt nghiệp THPT xét tuyển Đại học Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan

và thời gian thi rút ngắn chỉ còn lại 90 phút của môn Toán hiện nay thì việc pháthiện phương pháp và cách giải các bài toán vận dụng cao một cách nhanh chóng làrất cần thiết Đề tài của tôi đã giải quyết được một phần điều đó và cũng chính làmột kinh nghiệm để các thầy cô giáo dạy Toán tham khảo nhằm nâng cao chấtlượng, hiệu quả các giờ dạy Toán nói chung và dạy học phần số phức nói riêng đặcbiệt là các bài toán có tính chất vận dụng cao

Trong bài viết, tôi mới chỉ giới thiệu được một số phương pháp giải các bàitoán vận dụng cao về cực trị môđun của số phức Mong các bạn đồng nghiệp góp ý

để bài viết được hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

Đề nghị Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức các hội thảo khoa học, hội thảo báocáo các Sáng kiến kinh nghiệm tiểu biểu theo cụm để các giáo viên có điều kiệntrao đổi và học hỏi kinh nghiệm áp dụng trong dạy học

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Tác giả

Thi Văn Chung