SKKN ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH

Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2018

2.1.2 Tập hợp các điêm biểu diễn số phức thường gặp 6

2.3.1 Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 72.3.2 Bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất nhỏ nhất thỏa mãn 8điều kiện cho trước

2.3.2.1 Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường 8thẳng

2.3.2.2 Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn 112.3.2.3 Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường E líp 16

1

Tài liệu tham khảo 19

1 MỞ ĐẦU.

1.1.Lý do chọn đề tài

Khi học về Số phức ta biết rằng mỗi số phức z x yi ( x , y , i 2 1)

được biểu diễn bởi một điểm M ( x; y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy Như vậy

chúng ta có thể dùng hình học, cụ thể ở đây là Phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng Oxy để giải các bài toán về số phức Ta sẽ “nhìn’’ một số bài toán về số

phức với quan điểm tọa độ Từ đó ta sẽ thấy giữa Đại số và Hình học có mỗiquan hệ mật thiết với nhau, hòa quyện nhau

Khi chuyển bài toán về Số phức từ ngôn ngữ Đại số sang Hình học thìnhững con số dường như khô khan ấy lại trở nên trực quan sinh động và mangmột vẻ đẹp riêng, làm học sinh dễ hiểu, dễ học Từ đó làm người học hứng thú,đam mê khám phá tìm tòi và sáng tạo Đặc biệt trong các kì thi Đại học, Caođẳng và THPT quốc gia gần đây có rất nhiều các bài toán về số phức làm họcsinh lúng túng Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, ngoài kiến thức nắmvững học sinh còn phải giải quyết nhanh bài toán Để làm nhanh thì người họcphải hiểu cặn kẽ từng dạng toán Đối với dạng toán tìm số phức thỏa mãn mộtđiều kiện nào đó, hay các bài toán về Cực trị trong số phức nếu học sinh vẽ đượchình minh họa, sau đó dùng phương pháp tọa độ sẽ giải quyết nhanh chóng và

dễ hiểu, dễ nhớ Đi từ “trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng” [1], đóchính là con đường của nhận thức, khám phá cái mới

Ngoài phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy thì một số bài toán về số

phức có thể giải bằng nhiều phương pháp như dùng Bất đẳng thức, Dùng lượng

giác, dùng Khảo sát hàm số Nhưng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy

vẫn có vẻ đẹp riêng và có sức hấp dẫn riêng đối với người học toán

Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung

và Số phức nói riêng sang bài toán Hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy ở

nhiều học sinh nói chung còn khá lúng túng, bỡ ngỡ Để giúp học sinh giải một

số bài toán về Số phức đặc biệt là bài toán Cực trị Số phức tôi xin trao đổi vớiquí đồng nghiệp đề tài: “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giảimột số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” Với mụcđích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về Phương pháptọa độ đã học ở lớp 10 để giải một số bài toán về số phức Từ đó học sinh sẽ linhhoạt hơn trong tư duy và hiểu rõ hơn các kiến thức về cả Số phức cũng như kiếnthức về Hình học Đăc ̣ biêṭco thê giup học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiếnthức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia

1.2.Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng

2

cường vận dụng kiến thức về Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải toán

về Số phức

-Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thểhiện về mối liên hệ giữa Số phức với Hình học Qua đó thấy được sự giao thoagiưa Đại số nói chung và số phức nói riêng với Hình học

- Góp phần nâng cao tư duy sáng tạo, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT

- Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia

1. 3 Đối tượng nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tàilà:

- Nghiên cứu về tính ứng dụng của Hình học đặc biệt là ứng dụng của Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

- Hình học liên hệ với Đại số nói chung và số phức nói riêng thể hiệnnhư thế nào trong một số bài toán về số phức đặc biệt bài toán Cực trị sốphức

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương phápgiảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn,thu thập thông tin

nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn

mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán

về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triểnnguồn nhân lực [2]

Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáodục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới.Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán họcrất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là mộtmôn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngạihọc môn này

- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môntoán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bàitập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy

3

logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiêncứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vậndụng lý thuyết vào làm bài tập, vận dụng kiến thức Hình học để giải quyết cácbài toán về Đại số và ngược lại, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải.

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp

cho học sinh THPT vận dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy để giải

một số bài toán về số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh Giúp họcsinh chuẩn bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia

Để vận dụng tốt Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng vào giải một số bài toán

về số phức ta cần nắm vững kiến thức như sau:

2.1.1.Kiến thức cơ bản về số phức

Định nghĩa: Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các

số thực và số i thoả mãn i 2 = -1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo

a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi

2.1.2 Tập hợp các điêm biểu diễn số phức thường gặp.

- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về

Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” cho ta phương pháp giải cácbài toán liên quan đến số phức một cách dễ hiểu hơn đối với các đối tượng họcsinh có học lực trung bình trở lên

- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Sốphức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” kích thích sự sáng tạo tính hamhọc hỏi, ham khám phá của học sinh

- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Sốphức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” giúp học sinh yêu thích họctập môn toán hơn, thấy được sự “ gần gũi ’’ giữa Hình học và Đại số

- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Sốphức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” có thể giúp học sinh phát huytối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con đường tiết kiệm , kinh tế nhất đểhọc tập tốt.

2.3.Các biện pháp giải quyết vấn đề.

2.3.1.Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bài toán cơ bản: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm M biểu

diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện K cho trước.

Phương pháp chung:

+ Bước 1: Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ).

+ Bước 2: Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa x, y và kết luận.

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: z z 2 3i ?

Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng (d): 4x 6 y 13 0

Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn

các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: u ( z 3 i )( z 1 3i ) là số thực

Học sinh giải tương tự Đáp số:Tập hợp điểm M là đường thẳng ( d) : x y 4 0.

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số

phức z thỏa mãn điều kiện: z (1 2i ) 3

Gọi M(x ; y) là điểm biểu

Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn

các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z 2 4i 5

Học sinh giải tương tự Đáp số: Tập hợp điểm M là đường tròn

(C ) : ( x 2) 2 ( y 4) 2 5

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số

phức z thỏa mãn điều kiện: z3z3 4

Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M

các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z 1 z 1 4

biểu diễn

x 2y21. 4

3

2.3.2.Bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất nhỏ nhất thỏa

mãn điều kiện cho trước.

Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị

Gọi z x yi là số phức có điểm biểu diễn hình học là M(x; y) , số phức

z1 2 4i có điểm biểu diễn hình học làA(2 ; 4),số phức z1 2i có điểm biểu

là: u (1; 1) .Do đó OM OM u 0 2t 2 0 t 1 M (2; 2) .Số phức cần

tìm là : z 2 2i .

Bài tập tương tự: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 6 13i z 4 5i ,

tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.

Học sinh giải tương tự Đáp số : z 5 4i

Ví dụ 1.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z 9 10i z 1 4i ,

z 2 i

tìm giá trị nhỏ nhất của . Giải.

Gọi z x yi là số phức có điểm biểu diễn hình học là M(x; y) , số phức

z1 9 10i có điểm biểu diễn hình học là A(9 ; 10), số phức z 2 1 4i có điểmbiểu diễn hình học là B(-1 ; 4) Khi đó ta có:

z 9 10i z 1 4i MA MB Suy ra điểm M thuộc đường trung trực của

đoạn thẳng AB nên đường thẳng có phương trình:

Gọi C(2 ; -1) là điểm biểu diễn hình học của số phức z3 2 i , khi đó ta có z 2 i MC

Số z 2 i có mô đun nhỏ nhất khi MC ngắn nhất, tức là điểm M là hình chiếuvuông góc của điểm C trên đường thẳng Điểm M thuộc nên tọa độ điểm M (4 3t

; 7 5t ) , véc tơ CM (2 3t ;8 5t ) , Véc tơ chỉ phương của là: u (3;5) Giải điều kiện:

9

Gọi z x yi là số phức có điểm biểu diễn hình học là M ( x; y) , số phức z1 5 6i có

điểm biểu diễn là A(5 ; -6), số phức z2 15 có điểm biểu diễn là B(15;0) Khi đó ta

Đặt f ( M ) 5 x 3 y 41 , ta có các giá trị f (C) 34 , f ( D) 68 Suy ra C, D thuộc cùng

một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Do đó MC MD nhỏ nhất khi M C ' D , vớiC’ là điểm đối xứng của điểm C qua đường thẳng

Đường thẳng ' quaCvà vuông góc với có phương trình: x 2 5t thay

y 1 3t

vào phương trình củata có : t 1 H(7; 2) (Với H' ) C '(12;5)

Phương trình của đường thẳng DC’:

x 6 9t , thay vào phương trình

Số phức cần tìm là z 6 113 i.

[4]

Nhận xét : Ở ví dụ1.3 ta thấy bài toán quy về việc tìm M nằm trên đường thẳng

cho trước sao cho tổng khoảng cách MC + MD nhỏ nhất với 2 điểm C, D cố

định cho trước

Bài toán này là bài toán cơ bản, ta có cách giả như sau:

+ Nếu C, D nằm về hai phía đối với thì

với mọi điểm M, MC MD CD. Vậy MC +

MD nhỏ nhất là

MC+MD=CD

M , C , D thẳng hàng hayM CD .

+ Nếu C, D nằm về cùng một phía đối với thì

gọi C’ là điểm đối xứng với C qua Khi đó,

với mọi điểm M , MC MD MC' MD C'D.

Học sinh giải tương tự Đáp số : minP 5 17 493.

2.3.2.2.Dạng 2 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn

Bài toán công cụ 1 Cho đường tròn (T) cố định có tâm I bán kính

R và điểm A cố định Điểm M di động trên đường tròn (T) Hãy xác định

vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất.

Giải:

TH1: A thuộc đường tròn (T)

Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A

AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I

TH2: A không thuộc đường tròn (T)

Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,

I và đường tròn (T);

+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T)

thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:

Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất.

Bài toán công cụ 2.

Cho hai đường tròn (T1) có tâm I, bán kính R 1; đường tròn (T2) có tâm J, bán kính R 2 Tìm vị trí của điểm M trên (T1), điểm N trên (T2) sao cho MN đạt giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất

Giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn (T1) tại hai điểm

phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt (T2) tại hai điểm phân biệt

Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất.

khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán công cụ 3 Cho hai đường tròn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng

không có điểm chung với (T) Tìm vị trí của điểm M trên (T) , điểm N

trên sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên

d Đoạn IH cắt đường tròn (T) tại J

Với M thuộc đường tròn (T ) thẳng ,

Vậy khi M trùng với J; N trùng với H thì MN đạt giá trị nhỏ nhất [5].

Ví dụ 2.1: Trong các số phức z thoả mãn z 3 4i 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

(Bài toán qui về Bài toán công cụ 1- Trường hợp 2)

Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt

A 3; 4;B 27; 36 OA 1;OB 9

Với M di động trên (T), ta có: OA OM OB 1 OM 9 1 z 9

OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B

Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z 3 4 i ; z lớn nhất bằng 9 khi z 27 36i

Cách 2

M ( x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ

Oxy 3 4i A(3; 4) biểu diễn cho số phức

Theo giả thiết z 3 4i 4 z 4 AM 4

13

Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử

dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.

Ví dụ 2.2 Trong các số phức z 1 , z 2 thoả mãn: z1 1i 1;z26 6i 6, tìm số phức z 1 ,

z 2 sao cho z1z2 đạt giá trị lớn nhất.

Giải:

Gọi z1a bi ; z2c d.i ; (a, b,c,d là những số thực); z1được biểu diễn bởi điểm

M(a; b); z2được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy z1 1 i

1 z1 1 i 2 1 (a 1)2 (b 1)2 1 suy ra M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R

= 1

z2 6 6i 6 z2 6 6i 2 36 (c 6)2 (d 6)2 36 suy ra M thuộc đường tròn tâm J(6;

6), bán kính R' = 6

z1 z2 (c a)2 (d b)2 MN

(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 2)

Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại

(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên : x y 6 0 H(3;3)

2 ; 2

Đoạn OH cắt đường tròn (T ) tại I 2 2

Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường tròn (T ), ta có:

Đẳng thức xảy ra khi M I ; N H

P 321211862

Học sinh tự giải Đáp số: max z 3 5Chọn đáp án A.

2 “Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 10 8i 41 , tìm số phứczcó môđun nhỏ nhất” [4]

Học sinh tự giải Đáp số: z 5 4i

2.3.2.3.Dạng 3 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường E líp

Ví dụ : Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 3 z 3 10 Tìm số phức z có

Học sinh giải tương tự Đáp số: z min 3 z 3i; z max 2 z 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm