bài tiểu Luận

bài tiểu Luận

DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ NHỮNG

-Việc áp dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào bài toán kinh tế như thế nào?

-Phương pháp tìm cực trị có thể áp dụng vấn đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn như thế nào?

-Đưa ra một giáo án tiêu biểu cho việc dạy học bài Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất haiẩn

3) Phương pháp nghiên cứu:

-Bàn về vấn đề bất phương trình hai ẩn và những ứng dụng của nơ trong toán học

-Phân tích việc các tác giả sách giáo khoa đưa vấn đề Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào chươngtrình theo hai hướng: đưa vào cùng mạng lưới tri thức nào, bố cục và nội dung bài Bất phương trình bậcnhất hai ẩn trong sách Đại số 10 ra sao

-Phân loại những dạng bài tập,tiếp cận bài toán kinh tế và một phương pháp tìm cực trị mà sách giáokhoa đưa vào

Nội Dung Nghiên Cứu

A>

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG TOÁN HỌC

A.1.Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có một trong các dạng ax + by +c < 0,ax + by +c > 0, ax + by + c ≤ 0 , ax + by +c ≥ 0

trong đó a, b, c là những số thực cho trước sap cho a2 +b2 ≠ 0; x và y là các ẩn.Mỗi cặp số ( x0 ;y0) sao cho ax0 + by0 + c < 0 gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c <0

Như vậy trong mặt phẳng toạ độ, mỗi nghiệm của bất phương tình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởimột điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm.Ta gọi tập hợp điểm đó là miềnnghiệm của bất phương trình

Việc xác định miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn (hay biểu diễn hình học tậpnghiệm của nó) trong mặt phẳng toạ độ dựa trên định lý được thừa nhận sau:

Trong mặt phẳng toạ độ, đường thẳng (d): ax + by + c =0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt

phẳng Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có toạ độ thoã mãn bất phương trình ax + by +c >0, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có toạ độ thoã mãn bất phương trình ax + by + c <0

Từ định lý ,ta suy ra:

Nếu (x0; y0 ) là một nghiệm của bất phương trình ax + by +c > 0 (hay ax + by + c<0) thì nửamặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M(x0 ;y0) chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy.Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0, ta làm như sau:

-Vẽ đường thẳng (d) : ax + by + c =0;

-Xét một điểm M(x0; y0) không nằm trên (d)

Nếu ax0 + by0 + c <0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bấtphương trình ax + by +c <0

Nếu ax0 + by0 + c <0 thì nửa mặt phẳng ( không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệmcủa bất phương trình ax + by +c <0

Đối với các bất phương trình dạng ax + by +c ≤ 0 hoặc ax + by + c ≥ 0 thì miền nghiệm là nửa mặtphẳng kể cả bờ

A.2.Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,y mà ta phải tìmnghiệm chung của chúng

Trong mặt phẳng toạ độ,ta gọi tập hợp các điểm có toạ độ thoã mãn mọi bất phương trình trong hệ làmiền nghiệm của hệ.Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trìnhtrong hệ

Để xác định miền nghiệm của hệ,ta dung phương pháp biểu diễn hình học như sau:

-Với mỗi bất phương trình trong hệ,ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại

-Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳngtoạ độ,miền còn lại không bi gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương tình đã cho

Sau đây là một ví dụ minh hoạ về cách giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Giải hệ bất phương trình sau:

Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho phần không tô màu trong đồ thị trên.

A.3 Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong một phương pháp tìm cực trị của biểu thức P(x;y) = ax +by trên một miền đa giác lồi

Ta có bài toán:Tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x ;y ) = ax + by (b≠0) trên một miền đa giác phẳng lồi (kể cả biên)

Bài toán đó có nghĩa là:

Cho biểu thức P (x; y) =ax +by (b≠0) và một miền đa giác lồi (S),kể cả biên, trong mặt phẳng toạ

độ Oxy.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất ) của P(x; y) với (x ;y) là toạ độ của các điểm thuộc (S)

Cách giải.Ta luôn có thể giả thiết rằng b>0, bởi vì nếu b< 0 thì ta có thể nhân hai vế với -1 và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P(x; y) sẽ trở thành bài toán tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của -P(x; y) = -ax + b’y, trong đó b’ = -b >0

Tập các điểm (x; y) để P(x; y) nhận giá trị p là đường thẳng ax +by = p; hay y= .

b

p x b

a





Ký hiệu đường thẳng này là (dm).Vì b > 0 nên việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P (x; y) = pvới (x; y)  (S) quy về việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của m=

b

p

,tức là tìm điểm M ở vị tríthấp nhất (hay cao nhất) trên trục tung sao cho đường thẳng ( dm) có ít nhất một điểm chung với (S)

Từ đó chú ý rằng ( dm) có hệ số góc bằng -

b

a

không đổi.Ta đi đến cách làm sau :

.Khi tìm giá trị nhỏ nhất của P( x; y), ta cho đường thẳng (dm) chuyển động song song với chính nó

từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền (S) và đi lên cho đến khi (dm )lần đầu tiên đi qua một điểm (x0;

y0) nào đó của (S).Khi đó ,m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của P(x ; y)

đi qua một điểm (x0; y0) nào đó của (S).Khi đó , m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trịlớn nhất của P(x; y) Đó là

P(x0 ;y0) = ax0 + by0

Qua cách làm trên ,ta thấy rằng P(x ; y ) đạt giá trị nhỏ nhất ( hay lớn nhất ) tại một đỉnh nào đó của

đa giác (S)

14 2

9 0

1 0 0

y x

y x

Áp dụng cách làm trên ,ta thấy khi (dm) đi qua đỉnh A(5; 4) thì m nhỏ nhất Điều đó có nghĩa là T(x;y) đạt gía trị nhỏ nhất khi x= 5 và y = 4.Khi đó ,T(5; 4) = 32

A4 Áp dụng của hệ bất phương trình hai ẩn vào bài toán kinh tế

Ta có bài toán kinh tế sau :

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140kg hoá chất A và 9kg chất B.Từmỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng ,có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 chất B.Từ mỗitấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng ,có thể chiiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B.Hỏiphải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất ,biết rằng cơ sởcung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấnnguyên liệu loại II?

Phân tích bài toán:Nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II thì theo giảthiết,có thể chiết xuất được (20x + 10y) kg chất A và (0,6x +1,5y)kg chất B.Theo giả thiết,x và yphải thoã mãn các điều kiện:

0 ≤ x ≤10

0 ≤ y≤ 9

20x +10y ≥ 140 hay 2x +y ≥ 14

0,6x + 1,5y ≥ 9 hay 2x + 5y ≥ 30

Tổng số tiền mua nguyên liệu là T(x ;y) = 4x+ 3y

Bài toán đã cho trở thành :Tìm các số x và y thoã mãn hệ bất phương trình

2

14 2

9 0

1 0 0

y x

y x

y

(II)Sao cho T(x ; y)= 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất

Bài toán dẫn đến hai bài toán nhỏ sau :

Bài toán 1 :Xác định tập hợp (S) các điểm có toạ độ (x ;y) thoã mãn hệ (II)

Bài toán 2 :Trong tất cả các điểm thuộc (S),tìm điểm (x ; y) sao cho T(x ; y) có gí trị nhỏ nhất

Việc giải bài toán 1 chính là việc xác định miền nghiệm cuả hện bất phương trình (II) mà ta đã lâpđược

Giải bài toán 2 ta đã trình bày trong phần áp dụng tìm giá trị cực đại trong miền đa giác lồi ở trên.Vậy , để chi phí nguyên liệu ít nhất ,cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II(khi đó ,chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng)

A5.Một ứng dụng của hệ bất phương tình bậc nhất hai ẩn trong bài toán Quy hoạch tuyến tính : Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu được nguyên cứu trọn vẹn cả về phươngdiện lý thuyết lẫn thực hành

Quy hoạch tuyến tính bắt nguồn từ những nguyên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng,Viện sĩ Kantorovicla L.V

Một trong những phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính là phương pháp đơn hình, đây

là một phương pháp do nhà toán học Dantzig công bố năm 1974,dựa trên phương pháp tìm cực trịtrong miền đa giác.Thuật toán có hai giai đoạn :

Giai đoạn 1 :tìm một phương án cực biên ( một đỉnh)

Giai đoạn 2 :kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án tìm được ở giai đoại 1

Ta xét bài toán Quy hoạch tuyến tính dưới dạng chuẩn với hai biến số sau :

c1x1 + c2x2  max

D = 1 1 2 2 , 1, ,

0, 1, 2

i i i j

Từ ý nghĩa hình học ta biết rằng mỗi bất phương trình tuyến tính ai1x1 + ai2x2 ≤ bi xác định một nửa mặt phẳng.

Như vậy miền ràn buộc D được xác định như là giao của m nửa mặt phẳng và sẽ là một đa giác lồi trên mặt phẳng.Phương trình c1x1 + c2x2 = α khi α thay đổi sẽ xác định trên mặt phẳng các đường song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đường mức (với giá trị mức α).Mỗi điểm

Nếu dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vectơ pháp tuyến của chúng n( , )c c1 2

thì giá trị mức sẽ tăng,nếu dịch chuyển theo hướng ngược lại thì giá trị mức sẽ giảm.Vì vậy để giải bài toán đặt ra,ta có thể tiến hành như sau

Bắt đầu từ một đường mức cắt D,ta dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vectơ pháp tuyến (c1 ,c2) cho đến khi việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đường mức không còn cắt D nữa thì dừng Điểm của D(có thể nhiều điểm )nằm trên đường mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối

ưu cần tìm, còn giá trị hàm mục tiêu tại đó chính là giá trị tối ưu của bài toán

Xét đường mức: 4x +5y =10 Đường mức

này sẽ đi qua hai điểm (0,2) và (2.5, 0).Ta

có x* =(3,2) Fmax =22

Và x* sẽ là một đỉnh của D

B.PHÂN TÍCH BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG

SÁCH GIÁO KHOA

Phân tích sách giáo khoa

Chúng ta sẽ đi vào phân tích sách Giáo khoa lớp 10 (Ban A_ ban khoa học tự nhiên)- Nhà xuất bản giáodục 2006

Chương VI : Cung và Góc lượng giác.Công thức lượng giác

Như vậy, ta có thể thấy nội dung các chương trong sách này nhiều hơn ở SGK chỉnh lý hợp nhấtnăm 2000: có thêm chương Thống kê, chương Góc lượng giác và công thức lượng giác

Trong đó, bài Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trong bố cục của chươngIV:

§1 Bất đẳng thức

§2 Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

§3 Dấu của nhị thức bậc nhất

§4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

§5 Dấu của tam thức bật hai

Và cách phân bổ từng bài trong chương II hợp lý về bố cục của chương,vì:

y

xO

x*

**

n

-Chương III học về phương trình và hệ phương trình.Chương IV học về bất đẳng thức và hệ bấtphương trình.Học sinh sẽ tiếp cận từ bất phương trình đến việc xác định các tập nghiệm,giao các tậpnghiệm,dấu các nhị thức,tam thức,từ đó sẽ tiếp cận hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Rõ ràng cách phân bổ nội dung các chương và từng bài học trong chương IV như trên đã giảm bớtnhững phần không cần thiết và giúp học sinh đào sâu phần trọng tâm của từng chương, từng bài, nắmvững những kiến thức quan trọng

Phân tích nội dung §5.Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

 Phân tích bố cục: bài học được trình bày gồm 3 ý:

1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó

2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

3 Một ví dụ áp dụng vào bài toán kinh tế

∆ Như vậy ta nhận thấy tác giả đã có cách trình bày bài hết sức ngắn gọn, hợp lý, thể hiện rõtrọng tâm của bài học mà học sinh cần nắm vững Việc đã được trang bị những kiến thức trongnhững bài học trước nên phần trình bày lý thuyết và áp dụng được tác giả dàn trải đều

Việc thể hiện được trọng tâm của bài học ngay trong bố cục của bài là một sự thành công rấtđáng chú ý, vì như vậy cả giáo viên và học sinh đều có thể nhìn thấy ngay trọng tâm của bài và đặtđúng mục tiêu cho việc dạy, việc học

 Phân tích nội dung:

(trích dẫn nội dung sách: in nghiêng)

1.a.Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta cũng gặp những bất phương trình có nhiều ẩn số,chẳng hạn

2x + y 3 – z <3 ; 3x + 2y <1

Khi x = -2 ; y= 1; z=0 thì vế trái của bất phương trình thứ nhất có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó,ta nói

bộ ba số (x; y; z) = (-2 ; 1 ; 0) l2 một nghiệm của bất phương trình này.

Tương tự, cặp số (x; y) = (1 ; -2) là một nghiệm của bất phương trình thứ hai.

Sau khi minh hoạ những bất phương trình cụ thể,tác giả đưa ra định nghĩa về bất phương trình bậc nhất haiẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có dạng tổng quát là:

ax + by ≤ c (1) (ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by >c )

trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn

số

∆ Định nghĩa được phát biểu ngắn gọn nhưng đầy đủ về các dạng , điều kiện các hằng số, giúp cho học sinh có cái nhìn trực quan về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1.b.Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn,các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng,ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình

(1) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình ax+ by ≤ c, nửa mặt phẳng kia là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≥ c.

∆ Phần này sách giáo khoa chưa rõ ràng trong việc mô tả miền nghiệm của bất phương trinh bậc nhất hai

ẩn Ở đây, mỗi bất phương trình đều có mang dấu “=” nên đường thẳng ax + by = c cùng thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình.Do đó, để tránh dẫn tới sai lầm cho học sinh thì tác giả cần trình bày miền nghiệm của mỗi bất phương trình gồm nửa mặt phẳng kể cả bờ là đường thẳng ax + by =c

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm( hay biểu diễn miền nghiệm ) của bất phương trình ax + by ≤ c nh ư sau (tương tự cho bất phương trình ax + by c):

Bước 1 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,vẽ đường thẳng Δ:

ax + by = c

Bước 2 Lấy một điểm M(x 0 ; y 0 ) không nằm trên Δ (ta thường lấy tại gốc toạ độ O)

Bước 3.Tính ax 0 + by 0 và so sánh ax 0 + by 0 với c.

Bước 4.Kết luận

Nếu ax 0 + by 0 <c thì nửa mặt phẳng bờ chứa M 0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c

Nếu ax 0 + by 0 > c thì nửa mặt phẳng bờ không chứa M 0 là miền nghiệm của ax +by ≤ c

Lời giải

Miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 0 là miền không được tô màu.

Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): 3x + y = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt

phẳng

Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M(0;1) Ta thấy (0;

1) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và không chứa điểm M(0;1)

(Miền không tô đậm)

Phần hoạt động của học sinh ,sách giáo khoa đưa ra một ví dụ đơn giản ,học sinh có thể tự mình hoànthành nhằm nắm vững hơn về cách xác định miền nghiệm

Biễu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

-3x +2y >0

y x

y x

AI, IC, CO, OA ) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho.

Hoạt động của học sinh :

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2x y 3