bai tap the tich

Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền bằng a 2 , SA vuông góc với ABC .Tính thể tích khối chóp, biết: a SB hợp với đáy một góc 300.. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT

1/ Hình chóp tam giác đều

>Hình chóp tam giác đều:

∗ Đáy là tam giác đều

∗ Các mặt bên là những tam giác cân

> Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:

∗ Đáy là tam giác đều

∗ Các mặt bên là những tam giác đều

> Cách vẽ:

∗ Vẽ đáy ABC

∗ Vẽ trung tuyến AI

∗ Dựng trọng tâm H

∗ Vẽ SH ⊥ (ABC)

• Ta có:

∗ SH là chiều cao của hình chóp

∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ·SAH =α.

∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: ·SIH = β

2/ Hình chóp tứ giác đều

>Hình chóp tứ giác đều:

∗ Đáy là hình vuông

∗ Các mặt bên là những tam giác cân

> Cách vẽ:

∗ Vẽ đáy ABCD

∗ Dựng giao điểm H của

hai đường chéo AC & BD

∗ Vẽ SH ⊥ (ABCD)

• Ta có:

∗ SH là chiều cao của hình chóp

∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ·SAH =α .

h

β α

I

C A

H S

B

β

D A

S

∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: ·SIH = β

2/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

.

CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

I/ Các cơng thức về khối đa diện

Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước)

Thể tích khối lập phương : V = a3 (a là cạnh khối lập phương)

Thể tích khơi chĩp: V = Bh

3

1

( B diện tích đáy, h chiều cao)

Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao)

Chú ý:

- Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số

k3

II/ Bài tập:

1. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC Tính thể tích của khối chĩp, biết:

β α

B S

ϕ β

α

D A

S

∗ SA ⊥ (ABC)

∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt

đáy là: ·SBA =α

∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt

đáy là: ·SCA = β

∗ SA ⊥ (ABCD)

∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt

đáy là: ·SBA =α

∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt

đáy là: ·SCA = β

a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 3cm.

b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 600

c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 600

2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Tính thể tích của khối chóp, biết: a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 2cm

b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 600

c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 600

3. Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền bằng a 2 , SA vuông góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp, biết:

a) SB hợp với đáy một góc 300

b) (SBC) hợp với đáy một góc 450

4. Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp, biết:

a) SC hợp với đáy một góc 450

b) (SBC) hợp với đáy một góc 300

5. Cho hình chóp S.ABC Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2

MA Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC

6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và O là tâm của đáy ABCD Gọi I là trung điểm cạnh đáy CD

a) Chứng minh rằng CD vuông góc với mặt phẳng (SIO)

b) Giả sử SO = h và mặt bên tạo với đáy của hình chóp một góc α Tính theo h

và α thể tích của hình chóp S.ABCD

7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA ⊥(ABCD)

và SA = 2a

a) Chứng minh BD vuông góc với đường thẳng SC

b) Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a

8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, cạnh bên là a 3 a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

9. Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA= 3; góc giữa các cạnh SA,SB,SC với mặt phẳng (ABC) bằng 60 0

10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA=a 2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC) Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a

c) Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a

11. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC , AB=a và góc ·ABC=450 Tính thể tích khối chóp S.ABC

12. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2 6.Điểm M,N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN

13 Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và

cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

c) Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp Hãy kể tên 2 kchóp đó

14. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60o Tính thể tích hình chóp SABCD theo a

15 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA =

SB = SC = SD = a Tính đường cao và thể tích khối chóp theo a

16 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a) Tính thể tích khối LP theo a

b) Tính thể tích của khối chóp A A’B’C’D’ theo a

17 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a a) Tính thể tích khối lăng trụ theo a

b) Tính thể tích của khối chóp A’ ABC theo a

18. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của

AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45o Tính thể tích của khối lăng trụ này

CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN I/Tóm tắt lý thuyết:

1/Công thức tính diện tích và thể tích khối nón

S xq = π R.l với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh

V= ñ = πR2

ñ

1 .cao 1

3 s 3 h với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình chóp 2/ Công thức tính diện tích và thể tích khối trụ

S xq = 2 R.lπ với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh

V= S d.caoñ = πR h2 với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình trụ.

3/ Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu:

4 V 4 .R3

3

S R với R là bán kính của hình cầu.

II/ BÀI TẬP:

1- KHỐI NÓN

19 Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh

huyền bằng a

a) Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

20 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc

vuông bằng a

a) Tính diện tích xung quanh và của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

21. Một hình nón có đường sinh là l=1 và góc giữa đường sinh và đáy là 450

a) Tình diện tích xung quanh của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

22. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh

IM = a khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay

23. Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A và B là hai điểm Thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và SAO = 300 , SAB =

600

a) Tính độ dài đường sinh và diện tích xung quanh theo a

b) Tính thể tích của khối nón

24 Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón Tính thể tích của khối

nón đó

25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB = α (

α > 450) Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đtròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD

26. Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 600

a) Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông

góc nhau

b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón.

2/- Khối trụ

27 Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm Cắt khối

trụ bởi một mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm

a) Tính diện tích của thiết diện và diện tích xung quanh

b) Tính thể tích khối trụ

28 Thiết diện chứa trục của khối trụ là hình vuông cạnh a

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ

b) Tính thể tích khối trụ

29 Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I và H lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB và CD Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một htrụ trònxoay

a) Tính d tích xung quanh của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ

30 Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 nội

tiếp một khối trụ Tính thể tích khối trụ đó

31 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nội tiếp trong một khối trụ a) Tính thể tích của khối trụ

b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ

32 Một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy

bằng 10cm Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300 Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó Hãy tính diện tích của thiết diện

33. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3;

A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của h trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng

34 Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông a) Tính diện tích xung quanh của h trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tương đương

35 Một hình trụ có diện tích xung quanh là S,diện tích đáy bằng diện tích một

mặt cầu bán kính bằng a Hãy tính

a) Thể tích của khối trụ

b) Diện tích thiết diện qua trục hình trụ

36 Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh 2a Gọi M,N lần lượt là trung

điểm các cạnh AB và CD Khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục MN

ta được hình trụ tròn xoay Hãy tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên

3/ KHỐI CẦU

37. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA⊥( ABC).

a) Gọi O là trung điểm của SC Chứng minh: OA = OB = OC = SO Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính

2

SC

b) Cho SA = BC = a và AB=a 2 Tính bán kính mặt cầu

38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥( ABCD)

và SA=a 3 Gọi O là tâm hình vuông ABCD và Klà hình chiếu của Btrên SC

a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên

39 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh

bên đều bằng a Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A,

B, C, D

40. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

41. Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm,SB = SC = 2cm Xác định tâm và tính bán kính của

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , tớnh diện tớch của mặt cầu và thể tớch của khối cầu đú

42 Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú tất cà cỏc cạnh đều

bằng a Tớnh thể tớch của hỡnh lăng trụ và diện tớch của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh lăng trụ theo a

43 Tớnh tỉ số thể tớch của hỡnh lập phương và thể tớch của hỡnh trụ ngoại

tiếp hỡnh lập phương đú

44. Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a SA vuụng gúc với mặt phẳng

(ABCD),SA= 2a

Tớnh diện tớch mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABCD

Vẽ AH vuụng gúc SC.Chứng minh năm điểm H,A,B,C,D nằm trờn một mặt cầu

45 Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, cạnh SA

= 2a và SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy ABCD

a) Hóy xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp đú b) Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD.

46. Cho ∆ABC vuông tại B SA ⊥ (ABC)

a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm: S, A, B, C

b) Cho AB = 3a; BC = 4a; SA = 5a Tính bán kính R của mặt cầu đó

5 2

2

a

R=

47 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = a Xác định tâm và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

BÀI TẬP NÂNG CAO

1 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng ở B Cạnh SA vuụng gúc với đỏy Biết SA=a, SB=b.Tớnh khoảng cỏch từ A đến (SBC)

2. Cho khối chúp tam giỏc đều S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a, cỏc cạnh bờn tạo với đỏy một gúc 0

60 Hóy tớnh thể tớch của khối chúp đú

3. Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cân AB=AC=5a, BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600 Hãy tính thể tích của khối chóp đó

4. Cho hình chóp S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt

SB, SC, SD, lần lượt tại B’, C’, D’ Biết rằng AB=a, SB' 2=

SB 3 a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD

b) Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’

5. Cho tứ diện đều ABCD Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện Tính tỉ số (H)

ABCD

V

6. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chung của chúng Biết AC=h, AB=a, CD=b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 600 Hãy tính thể tích của tứ diện ABCD

7. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà trung đoạn của nó bằng 6 còn góc giữa hai mặt bên đối diện bằng 600 Qua CD, dựng mặt phẳng (α)

vuông góc với mp(SAB), cắt SA, AB lần lượt tại P1 và P Tính thể tích khối chóp S.CDP1P

8. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và ·ASB=2ϕ

.Tính thể tích khối chóp

9. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh C và

SA⊥ ABC , SC=a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC)

để thể tích khối chóp lớn nhất

10 Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất

11. Cho khối chóp S.ABC có SA⊥(ABC); đáy là tam giác cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc α và tạo

với mặt bên (SAD) một gócβ Tính thể tích khối chóp.

12 Biết thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng V Tính thể tích khối tứ diện AC’B’D’

13. Cho tứ diện ABCD Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

CD, α là góc giữa hai đường thẳng đó Chứng minh rằng

ABCD

1

V = AB.CD.d.sinα

14 Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cát SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

15 Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau: AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c

16 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, AA’=c Gọi

E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’ Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp đó thành hai khối đa diện (H) và (H’), trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A’ Tìm thể tích của (H) và (H’)

17. Cho tứ diện ABCD và M kà điểm trong tứ diện đó Gọi h ,h ,h ,hA B C Dlần lượt là khoảng cách từ A, B, C, D đến các mặt đối diện và

m , m , m , m lần lượt là khoảng cách từ M đến (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) Chứng minh rằng A B C D

m

18 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=2a, AA’=a Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM=3MD

a) Tính thể tích của khối chóp M.AB’C

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C)

19 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, AA’=c Gọi M, N là trung điểm của A’B’, B’C’.Tính tỉ số thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

20 Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao h, đáy là ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính bằng r

21 Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’D bằng 2 và độ dài các đường chéo của mặt bên bằng 5

a) Hạ AK ⊥A’D (K∈A D' ) Chứng minh rằng AK=2

b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

22. Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và tam giác A’BC có diện tích bằng 8 Tính thể tích của khối lăng trụ

23. Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành và BAD=45· 0 Các đường chéo AC’ và DB’ lần lượt tạo với đáy một góc 450và 600.Tính thể tích khối lăng trụ nếu biết chiều cao của

nó bằng 2

24. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng

a, A'AB=BAD=A'AD=α (0 <α<90 )· · · 0 0 Tính thể tích của khối hộp

25. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB= 3, AD= 7 Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1

26 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4 Khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng 7 Hãy tính thể tích của khối lăng trụ

27. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB= 2.Cho biết mặt phẳng (AA’B) vuông góc với (ABC), AA’= 3, góc ·A'AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A’AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 0

60 Tính thể tích khối lăng trụ