Chuyên đề: Dãy số Bồi dưỡng học sinh giỏi

Chuyên đề: Dãy số Bồi dưỡng học sinh giỏi dùng cho quý Thầy cô giáo bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, khu vực hoặc quốc gia rất hiểu ích và tiện lợi. Đây là phần kiến thức mà trong chương trình THPT không được trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống. Chuyên đề này sẽ rất hữu ích cho việc bồi dưỡng HSG.

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ KỸ THUẬT TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ

TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A MỞ ĐẦU

Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, khu vực hay Quốc gia thì bài tập về dãy số thường xuyên mang lại nhiều cơ hội để thí sinh “lấy điểm” ở phần này Các bài thi về dãy số thì lời giải thông thường không quá phức tạp và không đòi hỏi nhiều kiến thức liên quan Tuy nhiên trong chương trình toán THPT thì các phương pháp giải toán về dãy số không được trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, tôi đã sưu tầm được nhiều tài liệu về dãy số từ nhiều nguồn khác nhau cộng với kinh nghiệm

của bản thân Tôi xin chia sẽ với Hội thảo “một số kỹ thuật tìm số hạng tổng quát

và tìm giới hạn dãy số” phục vụ cho việc bồi dưỡng kiến thức về dãy số cho đội

tuyển học sinh giỏi tỉnh thi Quốc gia môn toán, năm học 2014 – 2015

B NỘI DUNG

Phần 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

I Sử dụng phương trình sai phân để tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính có hệ số là một hằng số

1 Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp một

Dãy  u n được cho dưới dạng u1 , a u. n1b u. n  f n , n *

trong đó , , a b  là các hằng số, a0 và f là biểu thức của n cho trước n

Dạng 1: Tìm u n thoả mãn điều kiện u1 , a u. n1b u. n 0 (1.1)

trong đó , ,a b  cho trước n *

Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng a. b 0 để tìm  Khi đó

n

n

u q (q là hằng số ), trong đó q được xác định khi biết u1 

Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng

Dạng 2: Tìm u thoả mãn điều kiện n u1 , au n1bu n  f n , nN* (2 1)

trong đó f n là đa thức theo n

Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được  Ta có

0 *

u u u Trong đó u là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và n0 u là *n

nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy 0

1) Nếu  1 thì u là đa thức cùng bậc với *n f n

2) Nếu  1 thì u*n n g. n với g n là đa thức cùng bậc với f n

Thay u vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của *n u *n

Ví dụ 1.2: Tìm u thoả mãn điều kiện n u1 2; u n1  u n 2n, nN* (2.2)

Bài giải: Phương trình đặc trưng  1 0 có nghiệm 1 Ta có u n u n0 u n*

Bài giải: Phương trình đặc trưng  3 0 có nghiệm  3 Ta có u n u n0 u*n

Suy ra u n  2n Do đó u n c.3n 2n vì u1 1 nên c = 1 Vậy u n 3n 2n

Dạng 4: Tìm u thoả mãn điều kiện n u1 , a u. n1bu n  f1n  f2n, nN* (4.1)

Trong đó f là đa thức theo n và 1n f2n v.n

Phương pháp giải: Ta có 0

1 2

* *

u u u u Trong đó u là nghiệm tổng quát của n0

phương trình thuần nhất au n1bu n 0, u là một nghiệm riêng của phương trình *n

không thuần nhất a u. n1b u. n  f1n, u là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình 2*n

không thuần nhất a u. n1b u. n  f2n

Ví dụ 1.4: Tìm u thoả mãn điều kiện n u1 1; u n12u n n2 3 2. n, nN* (4.2)

Bài giải: Phương trình đặc trưng  2 0 có nghiệm  2

2 Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

2.1 Dạng thuần nhất ax n2bx n1cx n 0 (1)

+ Xét phương trình đặc trưng 2

0

+ Gọi  1; 2 là nghiệm của phương trình (2) Khi đó ta có:

- Nếu  1  2 thì nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

+ Với số hạng đầu là x ;0 x ta thay n = 0; n=1 vào (*) và (**) tìm được 1

C1;C2 Từ đó tìm được nghiệm riêng của (1)

Ví dụ 1.5 Tìm số hạng tổng quát của dãy x n được xác định bởi:

*TH1: Nếu f n P n k( )- (đa thức bậc k theo n) và a  b c 0 thì nghiệm riêng của (3) có dạng: *

riêng của phương trình (3) có dạng: x n* n Q n. k( )

riêng của phương trình (3) có dạng: x*n n Q n2. k( )

*TH4: Nếu f n P n k( ).n - (đa thức bậc k theo n) và 1 2;  thì nghiệm riêng của phương trình (3) có dạng: x n* Q n k( ).n

*TH5: Nếu f n P n k( ).n - (đa thức bậc k theo n) và  1  hoặc  2 

thì nghiệm riêng của phương trình (3) có dạng: x n* n Q n. k( ).n

*TH6: Nếu f n P n k( ).n - (đa thức bậc k theo n) và   1 2  thì nghiệm riêng của phương trình (3) có dạng: * 2

x x x trong đó x là nghiệm riêng tùy ý của 1*n

phương trình không thuần nhất au n1bu n c u. n1P n k ( ), u là nghiệm riêng 2*n

tùy ý của phương trình không thuần nhất au n1bu n c u. n1 v.n

Ứng với mỗi trường hợp ở trên ta thay *

n

x vào phương trình (3) So sánh

và cân bằng hệ số ở 2 vế ta sẽ tìm được các hệ số của Q n Thay k( ) x và n0 x vào *n

(4) ta được nghiệm tổng quát của phương trình (3)

Ví dụ 1.6 Tìm số hạng tổng quát của các dãy  x n được xác định bởi :

Từ đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

c/; d/; e/; f/ Giải tương tự

Ví dụ 1.7 Tìm u thoả mãn điều kiện n u1 0; u2 0, u n12u n u n1 3 2. n, n2

Bài giải: Phương trình đặc trưng 2

Tìm u thoả mãn điều kiện n u1 0; u2 0, u n12u n 3u n1  n 2n, n2 (8.1)

Bài giải: Phương trình đặc trưng 2

    có nghiệm 1  1,2 3 Ta có 0

u n

II Sử dụng phương phương pháp đặt ẩn phụ để tìm số hạng tổng quát của dãy số

1 Phương pháp:

- Đặt dãy số phụ thích hợp để thu được dãy truy hồi mới đã biết cách khảo sát hoặc dễ tìm được công thức tổng quát hoặc là một trong các dãy quen thuộc như: dãy truy hồi tuyến tính, cấp số cộng, cấp số nhân

- Đối với dãy truy hồi cấp 1 dạng u n1  f u n( , )n , ta biến đổi thành một đẳng thức, ở đó một biểu thức của u n1 bằng một hàm nào đó của chính biểu thức đó nhưng đối với u n: g u n1  f g u ( )n  Khi đó đặt vg u( )n ta được dãy truy hồi mới ( )v n

2 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 2.1 (Đề thi đề nghị tỉnh Đăk Nông năm 2010)

Cho dãy số (u ) thoả mãn các điều kiện: n

402120101

Sử dụng phương pháp sai phân ta tìm được nghiệm:

III Dãy truy hồi có công thức tổng quát là hàm lượng giác

1 Phương pháp: Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng quy nạp

02

x x

3 2

*

.sin , cos

x

n y

x y

3 2

sin cos

x y

3 2

sin

cos

3 2

sin

sin

.

k n

lim

lim

n n

n n

x y

Ví dụ 3.2 Cho dãy số: 1  

2 1

32

u

n u

1 ( 3 2) ;

n n

1

11

0

22

Xác định biểu thức của un theo n

Hướng dẫn: Tính trực tiếp với n = 1 ta dự đoán un sin n 2

2 



 và chứng minh

công thức này bằng quy nạp

Bài 5 Cho hai dãy số  u n và  v n được xác định bởi

12

12

u

Hai dãy { },{w }v n n xác định như sau: v n 4 1n( u n) và w n u u1 2 u n

Tìm lim n

 và lim wn

n

Phần 2 MỘT SỐ KỸ THUẬT TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I Một số định lý áp dụng vào bài tập tìm giới hạn của dãy số:

Định lý 1.2 Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Định lý 1.2.(Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)

a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Định lý 1.3 Nếu (un) a và (vn)(un), (vn)  C thì (vn)a

Định lý 1.4.(Định lý kẹp giữa về giới hạn)

Nếu với mọi nn 0 ta luôn có u n  x n  v n và limu n = limv n = a thì limx n = a

Định lý 1.5 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có

đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c(a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:

Định lý 1.7 (Định lý Stolz) Nếu lim n 1 n

   thì lim n

n

u a n

Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp a = 0

Vì lim n 1 n

   nên với mọi > 0 luôn tồn tại N0 sao cho với mọi nN0,

ta có u n1u n  Khi đó, với mọi n > N0

Khi đó với mọi n>N1 ta sẽ có u n 2

n   Vậy nên lim n 0

n

u n

Định lý 1.8 Cho f: DD là hàm liên tục Khi đó

1) Phương trình f(x) = x có nghiệm phương trình f n (x) = x có nghiệm

2) Gọi  , là các mút trái, mút phải của D Biết lim [ ( ) ]

  cùng dương hoặc cùng âm Khi đó phương trình f(x) = x có nghiệm

duy nhất phương trình f n (x) = x có nghiệm duy nhất, với f n (x) =

ân

( ( ( ( ) )

n l

2) a) Giả sử phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất là x0 thì đây cũng

là một nghiệm của phương trình fn(x) = x Đặt F(x) = f(x) – x do F(x) liên tục trên (x0;  ) và ; x0nên F(x) giữ nguyên một dấu

  cùng âm chứng minh tương tự

b)Ta thấy mọi nghiệm của phương trình f(x) = x đều là nghiệm của phương trình fn(x) = x, do đó nếu phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất thì phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất

Định lý 1.9 Cho hàm f: DD là hàm đồng biến, dãy (x n ) thỏa mãn x n+1 = f(x n ),  x N* Khi đó:

a) Nếu x 1 < x 2 thì dãy (x n ) tăng

b) Nếu x 1 > x 2 thì dãy (x n ) giảm

Chứng minh

a) Vì f(x) là hàm nghịch biến nên f(f(x)) đồng biến Áp dụng định lý 1.2 ta có

điều phải chứng minh

b) Suy ra từ a)

c) Ta có f(f(x 2n ) = f(x 2n+1 ) = x 2n+2 và limf(f(x 2n ) =limx 2n+2 =, limx 2n = do

f(x) liên tục nên f(f( ) = 

Chứng minh tương tự ta có f(f( ) = 

Vậy ,  là nghiệm phương trình f(f(x)) = x

II Tìm giới hạn dãy số bằng định lí Weierstrass (Tiêu chuẩn Weierstrass)

1 Định lí: (Weierstrass) Nếu dãy số không giảm và bị chặn trên (hay

không tăng và bị chặn dưới) thì dãy số có giới hạn hữu hạn

Chú ý:

+ Nếu dãy số (u n ) tăng và không tồn tại giới hạn hữu hạn thì limu n  

+ Nếu dãy số (u n ) giảm và không tồn tại giới hạn hữu hạn thì limu n  

02

Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng

Nhận xét: (Dự đoán dáng điệu và giới hạn)

Giả sử

lim

lim

n x

n x

lim lim

n x n x

x y

 Đây là mấu chốt để ta đi tìm lời giải cho bài toán

Bài giải: Từ giả thiết ta chứng minh x n2  y n2 4bằng phương pháp quy nạp

Ta chứng minh dãy y n tăng bằng phương pháp quy nạp Tức là chứng minh

1

* ,

lim

lim

n n

n n

x y

Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Nhận xét: (Dự đoán dáng điệu và giới hạn)

Dựa vào bất đẳng thức trên ta suy ra a n1a n vậy (a là dãy không giảm (2) n)

Từ (1) và (2) suy ra dãy ( )a có giới hạn hữu hạn, gỉa sử n lima n x ta có

Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Nhận xét: (Dự đoán dáng điệu và giới hạn)

Bài giải: Hiển nhiên x n   0, n * Suy ra  x n bị chặn dưới bởi 0 (1)

Ta sẽ chứng minh kể từ số hạng thứ hai trở đi, dãy số đã cho giảm (2)

+ Với n3, ta có:    10 5

Bài giải: Dễ thấy rằng x n   2, n *

Ta chứng minh x n   3, n * bằng phương pháp quy nạp

Theo nguyên lí quy nạp suy ra dãy số đã cho là dãy số tăng (2)

Từ (1) và (2) suy ra dãy số trên hội tụ

Đặt limx a,2 a 3

Bài 3 Cho dãy số x n xác định bởi x1 0; 1

Bài 4 Cho dãy số  x n xác định bởi x n1x n(1x n) , n1 2 3; ; ;

Xác định x để dãy số trên hội tụ 1

Hướng dẫn:

Ta có x n1 x n x n2 x n, n1 2 3; ; ; Vậy  x n là dãy giảm

Giả sử  x n hội tụ và lim n

x x

Vậy nếu 0 x1 1 thì  x n hội tụ

Bài 5 Cho dãy số  x n xác định bởi 0x n 1 và 1 1 1

4

x x  x x và 0x n 1 nên suy ra  x n là dãy tăng

Hoặc ta có thể chứng minh như sau: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

u    u     Suy ra  u n là dãy giảm

Như vậy  u n là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2013 nên hội tụ

Đặt lim n

  với a 2013 vì u n  2013, n * Theo giả thiết 1

.( )

n

n n

n n

.( )

n

n n

  Vậy lim(n 1) 0 limn 1

a

    Vậy limn 1

n a

S n

Nhận xét: Mọi dãy con của dãy hội tụ đều hội tụ và ngược lại:

2 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 4.1 (Olympic khu vực-30/4/2014)

Cho dãy số  u n như sau:  

1 1

1

11

* ,

* ,

3

12

    , là dãy số tăng và bị chặn trên

bởi 1 nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Như vậy (1) đúng với n + 1 hay (1) đúng n = 0, 1, 2, …

Dễ thấy xn > 0 n và từ (1) theo nguyên lý kẹp ta có limx2n = limx2n+1 = 0 suy ra limxn=0

Nhận xét: Việc đưa vào dãy phụ (a n ) có tác dụng chặn cả hai dãy con (x 2n ) và (x 2n+1 ) và làm chúng cùng hội tụ về một điểm Có thể sử dụng phương pháp sai phân tìm được số hạng tổng quát

Ví dụ 4.3 Dãy (xn) được xác định bởi: 0 1 2  

2 2

0 13

Chứng minh rằng dãy (xn) hội tụ

Bài giải: Ta xét dãy số (an) xác định bởi: a0= max{x0, x1, x2},

2 1

23

n n

a

a  

Dễ thấy dãy số (an) giảm dần về 0 Ta chứng tỏ max{x3n, x3n+1, x3n+2} an, n (1) Thật vậy, (1) đúng với n = 0, 1, 2, …, Giả sử (1) đúng với n và do (an) là dãy giảm nên ta có:

Từ các cách chọn dãy số phụ như trên ta có các dãy số sau đều hội tụ về 0 với x0, x1, x2, x3 đều thuộc (0; 1)

Chứng minh rằng dãy (xn) hội tụ

Bài giải: Ta xây dựng hai dãy (an) và (bn) như sau:

1

22

Dãy (an) là dãy giảm dần về 2, dãy (bn) tăng dần về 2

Bằng quy nạp dễ chứng minh được

1 min{ 3 , 3 1, 3 2} ax{ 3 , 3 1, 3 2}

Từ đó, dẫn đến limx3n =limx3n+1 = limx3n+2 = 2 suy ra limxn = 2

Ví dụ 4.5 Cho dãy (xn) (n = 0, 1, 2…) được xác định như sau:

x 0 , x 1 , x 2 là các số dương cho trước và x n2  x n1  x n  x n1 với n1 Chứng minh rằng dãy (xn) hội tụ và tìm giới hạn của dãy

Bài giải: Ta xây dựng hai dãy (an) và (bn) như sau:

giới hạn của dãy số thì a là nghiệm của phương trình x = f(x)

Bây giờ ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp x2n – 1 x2n + 1, và

Tương tự ta cũng tìm được b =1

3 Vậy a = b = 1

3 nên

13

Với mỗi k{1; 2; 3; 4}, đặt lim 4n k k

Ví dụ 5.3 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước thì phương

trình x2n+1 = x + 1 có đúng một nghiệm thực Gọi nghiệm đó là xn Tính lim n

– 1 > 0 trên [1, +) suy ra hàm

f tăng trên nửa khoảng này Vì f(1) = - 1 < 0 và f(2) = 22n+1

– 3 > 0 nên phương trình này có nghiệm xn thuộc (1, 2) Theo lý luận trên, nghiệm này là suy nhất Xét fn+1 = x2n+3 – x – 1 Ta có fn+1(1) = - 1 < 0 và fn+1(xn) = xn

2n+3 – xn – 1 = xn

2n+3– xn

2n+1

> 0 Từ đó ta suy ra 1 < xn+1 < xn Dãy {xn} giảm và bị chặn dưới bởi 1, suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn a, hơn nữa a  1 Ta chứng minh a = 1 Thật vậy, giả sử a > 1 Khi đó xn  a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn sao cho: xn2n+1

 a2n+1 > 3 Trong khi đó ta có xn + 1 < x1 + 1 < 3 Mâu thuẫn vì fn(xn) = 0

Ví dụ 5.4 Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:

2/ Chứng minh dãy số (x n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài giải: Hiển nhiên x n > 3

1

n n

n

x x

 nghịch biến trên ( 3;) nên chứng

minh được các dãy con (x2n) và (x2n+1) là đơn điệu Theo 1/các dãy đó bị chặn nên có limx2n =a; limx2n+1 =b; Từ 1

2

3

1

n n

n

x x

x

 qua giới hạn ta có:

b a b

x

 x =

3 152



  f’(x) =- 2 3

11

x

2 2

Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn

Bài giải: Bằng quy nạp chứng minh được rằng 0  xn  a  n N*

Suy ra f(x) là hàm nghịch biến

Do đó dãy (x n ) được tách thành hai dãy con (x 2n ) và (x 2n+1 ), trong đó một dãy

tăng và một dãy giảm, mặt khác lại có dãy (xn) bị chặn nên tồn tại limx2n = α,

limx 2n+1 = , trong đó α,  là nghiệm của phương trình:

Suy ra F’(x) < - 0,9 < 0 nên F(x) là hàm nghịch biến, lại có F(0) > 0, F( a ) < 0

nên phương trình F(x) bằng 0 có nghiệm duy nhất Do đó  

Suy ra limx2n = limx2n+1 = limxn

Vậy có limx n = T với T thỏa mãn f(f(T)) = T

VI Giới hạn của dãy tổng:

1 Phương pháp:

Các bài toán tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa xn, sau đó tìm limx n

i i

y

x



  Chứng minh dãy (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Bài giải: Từ giả thiết ta có xn > 0  n 1