BỒI DƯỠNG HSG: DAO ĐỘNG CƠ 12

Chuyên đề dùng để làm tài liệu ôn thi học sinh giỏi hoặc làm SKKN cho quý thầy cô giáo. Hệ thống lại các kiến thức cơ bản của phần dao động cơ.Phân dạng các loại bài về dao động cơ.Hướng dẫn cho học sinh giải quyết một số bài toán và vận dụng kiến thức vào giải bài toán phần dao động cơ ở mức độ nâng cao.Tổng hợp kiến thức từ các tài liệu bồi dưỡng HSG, đề thi HSG các năm quốc gia, HSG các Tỉnh.

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG NĂM 2015 – 2016

PHẦN DAO ĐỘNG CƠ

I Lí do chọn đề tài

Các hiện tượng dao động có thể có bản chất khác nhau nhưng chúng thường có đặc điểm chung và tuân theo những quy luật có thể gần như nhau Cách tiếp cận chung đối với việc nghiên cứu dao động trong các hệ vật lí khác nhau, do tính phổ quát của những định luật chi phối quá trình dao động, cho phép ta khảo sát các dao động cơ học

và các loại dao động khác

II Cơ sở lí thuyết

Ngoài cách phân loại theo bản chất vật lí, ta cũng có thể phân loại theo các dấu hiệu khác, chẳng hạn như phương pháp kích thích dao động hoặc theo động học của chúng, tức là theo đặc tính phụ thuộc của đại lượng biến thiên theo thời gian Dao động tham số xuất hiện trong hệ khi một tham số nào đó trong các tham số đặc trưng của hệ biến thiên tuần hoàn theo thời gian

Còn khi phân loại theo động học, người ta phân biệt các dao động tuần hoàn và không tuần hoàn Trong số các dao động tuần hoàn, đóng vai trò đặc biệt là dao động điều hòa, trong đó đại lượng mô tả hệ biến thiên theo thời gian theo quy luật:

( ) cos( )

x t A  t (1) Trong đó: A là biên độ dao động, t +  là pha dao động Giá trị của pha tại t = 0 là pha ban đầu của dao động

Dao động riêng trong các hệ bảo toàn là dao động điều hòa khi chúng được mô tả bởi phương trình vi phân: 2

0 '' 0

Nghiệm của phương trình này là hàm x(t) cho bởi biểu thức (1) với  = 0 Như vậy hệ

số đứng trước x trong phương trình (2) xác định bình phương tần số của các dao động riêng Giá trị 0 không phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu, mà được xác định chỉ bởi các tính chất của bản thân hệ dao động Trong khi đó biên độ và pha ban đầu lại phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu

Cũng như để mở rộng kiến thức Vật lí đối với học sinh tham gia ôn tập và dự thi HSG các cấp, ngoài những kiến thức cơ bản về bài toán khảo sát vật dao động điều hòa còn có những bài toán về con lắc hỗn hợp, con lắc bất đối xứng, dao động của một vành…đòi hỏi học sinh cần phải vận dụng tối đa các kiến thức nhằm góp phần giúp học sinh tiếp cận và đào sâu nghiên cứu

III Mục đích của đề tài

Hệ thống lại các kiến thức cơ bản của phần dao động cơ

Phân dạng các loại bài về dao động cơ

Hướng dẫn cho học sinh giải quyết một số bài toán và vận dụng kiến thức vào giải bài toán phần dao động cơ ở mức độ nâng cao

IV Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức từ các tài liệu bồi dưỡng HSG, đề thi HSG các năm quốc gia, HSG các Tỉnh

NỘI DUNG

I Hệ thống kiến thức cơ bản.

DẠNG 1 CHỨNG MINH MỘT VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

1 Phương pháp động lực học

+ Chọn HQC sao cho việc giải bài toán là đơn giản nhất.( Thường chọn là TTĐ Ox,

O trùng với VTCB của vật, chiều dương trùng với chiều chuyển động)

+ Xét vật ở VTCB : Furhl  0 �uur uurF1 F2   Fuurn  0

chiếu lên HQC để thu được phương trình vô hướng:

F1 � � �F2 F3 F n  0 (1)

+ Xét vật ở thời điểm t, có li độ là x Áp dụng định luật 2 Newton, ta có:

uurF hl m a.r �uur uurF1 F2   Fuurn m a.r

chiếu lên HQC để thu được phương trình vô hướng:

F1 � � �F2 F n m a. (2)

Thay (1) vào (2) ta được phương trình có dạng:x"   2x 0 Phương trình này có nghiệm dạng: x A cos ( t  )hoặcx A sin( t  ) �Vật dao động điều hoà, với tần số góc là .

2 Phương pháp năng lượng

+ Chọn mặt phẳng làm mốc tính thế năng, sao cho việc giải bài toán là đơn giản nhất + Cơ năng của vật dao động là : E = Eđ + Et 2 2 2

2 k A  2 m v  2 k x

+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được :

0 2 .2 0

2 m v v 2 k x x m v v k x x

Mặt khác ta có : x’ = v ; v’ = a = x”, thay lên ta được : 0 = m.v.a + k.x.v

0 m x. k x. x k .x 0

m

m

  Vậy ta có : x"   2 x 0 Phương trình này có nghiệm dạng: x A cos ( t  )hoặcx A sin( t  )

� Vật dao động điều hoà, với tần số góc là .

DẠNG 2 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LỰC

1 Bài toán: Tìm lực tác dụng lớn nhất, nhỏ nhất vào điểm treo hay

nén lên sàn

Hướng dẫn:

+ Bước 1: Xem lực cần tìm là lực gì? Ví dụ hình bên : uuurF dh

+ Bước 2: Xét vật ở thời điểm t, vật có li độ x, áp dụng định luật

2 Newton ở dạng vô hướng, rồi rút ra lực cần tìm.

"

m a P F  �F  P m a m g m x  (1)

+ Bước 3: Thay " 2

.

x    x vào (1) rồi biện luận lực cần tìm theo

li độ x Ta có 2

dh

F m g m  x.

* F max dh( ) m g m   2 A khi x = +A (m)

* Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của F đh ta phải so sánh

l

 (độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng) và A (biên độ dao động)

x

O m

k m

- Nếu l > A 2

dh

F min m g m  A

DẠNG 3 HỆ MỘT LÒ XO CÓ LIÊN KẾT RÒNG RỌC 1- Áp dụng định luật bảo toàn về Công: Các máy cơ học không cho ta được lợi về công, tức là

“Được lợi bao nhiêu lần về lực thì thiệt bấy nhiêu lần về đường đi”

2- Ví dụ : Ròng rọc, đòn bẩy, mặt phẳng nghiêng,

DẠNG 4 BÀI TOÁN HAI VẬT CHỒNG LÊN NHAU DAO ĐỘNG CÙNG

GIA TỐC

1 Trường hợp 1 Khi m 0 đặt lên m và kích thích cho hệ dao động theo phương song song với

bề mặt tiếp xúc giữa hai vật Để m 0 không bị trượt trên m thì lực nghỉ ma sát cực đại mà m tác dụng m 0 trong quá trình dao động phải nhỏ hơn hoặc bằng lực ma sát trượt giữa hai vật.

f msn (max) < f mst ۣ m a0  m g0 m x0 2  m g0 � 2

m  A� m g

Trong đó :  là hệ số ma sát trượt.

2 Trường hợp 2 Khi m 0 đặt lên m và kích thích cho hệ dao động theo phương thẳng đứng Để

m 0 không rời khỏi m trong quá trình dao động thì:

a max �g 2.A g

DẠNG 5 BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM

1 Định luật bảo toàn động lượng : urp const � uur uur uurp1p2p3  uurp n Const.

(Điều kiện áp dụng là hệ kín)

2 Định luật bảo toàn cơ năng : E = const � E đ + E t = const.

(Điều kiện áp dụng là hệ kín, không ma sát)

3 Định lý biến thiên động năng :  E d A ngoailuc

.

d d ngoailuc ngoailuc

4 Chú ý : Đối với va cham đàn hồi ta có : 2 2 2 2

' '

2 m v  2 m v  2 m v  2 m v DẠNG 6 BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CỦA VẬT SAU KHI RỜI KHỎI GIÁ ĐỠ

1 Quãng đường S mà giá đỡ đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi vật rời khỏi giá đỡ bằng phần tăng độ biến dạng của lò xo trong khoảng thời gian đó Khoảng thời gian từ lúc giá đỡ bắt đầu chuyển động đến khi vật rời khỏi giá đỡ được xác định theo công thức :

2

2

S

a

 �  ( a là gia tốc của giá đỡ ) (1)

2 Vận tốc của vật khi rời khỏi giá đỡ là : v 2 a S (2)

3 Gọi l0 là độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB ( không còn giá đỡ ), l là độ biến dạng của lò xo khi vật rời giá đỡ Li độ x của vật ở thời điểm rời khỏi giá đỡ là

x    l0 l

- Ta có 2 2 2

2

v



DẠNG 7 DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO TRONG TRƯỜNG LỰC LẠ

1 Lực lạ là lực đẩy Acsimet FuurA  DV gur

- Vật ở VTCB : P Fur uuur uur dhF A  0 �P F dhF A  0

m

k

dh

F r

A

F r

mg k l S h Dg   

� (1)

- Xét vật ở thời điểm t, có li độ x: ur uuur uurP F dh F A mar �P F dh F A ma

0

( ) ( ) "

mg k l x   S h x D g mx

� �mg k l S h Dg x k SDg   0  (  ) mx"

Thay (1) vào ta được: x" k SDg.x 0

m



  � Có nghiệm dạng

x A cos t    Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc

k SDg

m

  

2 Lực lạ là lực quán tính Fuurqt  m a.r

trong hệ quy chiếu không quán tính ngoài lực đàn hồi của lò xo, trọng lực tác dụng vào vật, vật còn chịu tác dụng của lực quán tính Dấu “-” cho ta biết lực quán tính luôn hướng ngược với gia tốc của chuyển động.

3 Lực ma sát F mst   N

DẠNG 8 DAO ĐỘNG CỦA MỘT VẬT HOẶC HAI VẬT GẮN VỚI HỆ HAI LÒ XO

1 Trường hợp 1: AB = L01 + L 02

( Tại VTCB hai lò xo không biến dạng )

Xét vật m ở thời điểm t có li độ là x:

. dh dh

m a Fr  r Fr Chiếu lên trục Ox, ta có:

( ) 0 " k k 0

m



m

   Vậy ta có: x"   2 x � 0 Có nghiệm là x A cos t (    ) Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là k1 k2

m

2 Trường hợp 2: AB > L01 + L 02

(Trong quá trình dao động hai lò xo luôn luôn bị dãn ).

a Cách 1: Gọi l1 và l2 lần lượt là độ dãn của hai lò xo tại VTCB

+ Xét vật m ở VTCB: 0 Fr0 1dh Fr0dh2

Chiếu lên trục Ox, ta được k2    l2 k l1 1 0 (1)

+ Xét vật m ở thời điểm t, có li độ x: m a F.r  rdh1 Frdh2

Chiếu lên trục Ox: ma F dh2 F dh1 �mx" k2 (     l2 x) k1 ( l1 x) (2)

Thay (1) vào (2) ta được: ma k x k x1  2  x k( 1 k2 )

( ) 0 " k k 0

m



m

   Vậy ta có: x"   2 x � 0 Có nghiệm

là x A cos t (    ) Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là k1 k2

m

b Cách 2: Gọi x0 là khoảng cách từ vị trí ( sao cho một trong hai lò xo không bị biến dạng ) đến VTCB của vật m Giả sử L 02 có chiều dài tự nhiên Ta có

+ Vật m ở VTCB : 0 Fr0 1dh Fr0dh2 Chiếu lên trục Ox, ta được:

m

2 0 1 ( 0 ) 0

k x k d x  (3) Trong đó d = AB – ( L01 + L02 ); x0 là khoảng cách từ vị trí mà L02 không bị biến dạng đến VTCB.

+ Xét vật m ở thời điểm t, có li độ x: m a F.r  rdh1 Frdh2

Chiếu lên trục Ox: k2 (x0  x) k d1 (  x0  x) mx" (4)

Thay (3) vào (4) ta được: mx"  k x k x1  2  x k( 1 k2 ) 1 2

" ( ) 0 " k k 0

m



Đặt 2 k1 k2

m

   Vậy ta có: 2

" 0

x   x � Có nghiệm là x A cos t (    ) Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là k1 k2

m

3 Trường hợp 3: AB < L01 + L 02

(trong quá trình dao động hai lò xo luôn luôn bị nén ).

a Cách 1: Gọi l1 và l2 lần lượt là độ nén của hai lò xo tại VTCB

+ Xét vật m ở VTCB: 0 Fr0 1dh Fr0dh2

Chiếu lên trục Ox, ta được     k2 l2 k l1 1 0 (1)

+ Xét vật m ở thời điểm t, có li độ x: m a F.r  rdh1 Frdh2

Chiếu lên trục Ox: ma F dh2 F dh1 �mx"     k2 ( l2 x) k1 (  l1 x) (2)

Thay (1) vào (2) ta được: ma k x k x1  2  x k( 1 k2 )

( ) 0 " k k 0

m



m

   Vậy ta có: 2

" 0

x   x � Có nghiệm

là x A cos t (    ) Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là k1 k2

m

b Cách 2: Gọi x0 là khoảng cách từ vị trí (sao cho một trong hai lò xo không bị biến dạng) đến VTCB của vật m Giả sử L 02 có chiều dài tự nhiên Ta có

+ Vật m ở VTCB : 0 Fr0 1dh Fr0dh2 Chiếu lên trục Ox, ta được:

k x2 0 k d1 (  x0 ) 0  (3)

Trong đó d = AB – (L 01 + L 02 ); x 0 là khoảng cách từ vị trí mà L 02 không bị biến dạng đến VTCB.

+ Xét vật m ở thời điểm t, có li độ x: m a F.r  rdh1 Frdh2

Chiếu lên trục Ox: k2 (x0  x) k d1 (  x0  x) mx" (4)

Thay (3) vào (4) ta được mx"  k x k x1  2  x k( 1 k2 ) 1 2

" ( ) 0 " k k 0

m



Đặt 2 k1 k2

m

   Vậy ta có: x"   2 x � 0 Có nghiệm là x A cos t (    )

Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là k1 k2

m

II Một số bài tập có hướng dẫn.

Bài 1 Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1) Hai vật có khối lượng

M1 và M2 , lò xo có độ cứng k

a Ấn vật M1 xuống dưới vị trí cân bằng một đoạn Xm rồi thả nhẹ

cho nó dao động

- Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà hệ nén lên mặt giá đỡ

- Để M2 không bị nâng lên khỏi mặt giá đỡ thì Xm phải thoả

mãn điều kiện nào?

b Thả vật m từ độ cao h0 sao cho sau thời gian rơi bằng nửa chu

kì do động của vật M1, biết vật m va chạm đàn hồi với M1

- Hãy khảo sát chuyển động của m và M1, biết M1 = M2 = 3m

- Tính lực lớn nhất và nhỏ nhất mà hệ nén lên mặt giá đỡ, biết

chu kì T = 1s

Hướng dẫn

a Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hệ nén lên mặt đỡ

- Chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc O tại vị trí cân bằng của M1 + Độ nén của lò xo khi M1 ở vị trí cân bằng: 1

1

.

k

   �   + Khi M1 có li độ x: F M x M g k l 1 ''  1    ( 0 x) suy ra M x1 '' k x.

2 1

'' k .

1

k M



Vậy vật M1 dao động điều hòa với chu kì T 2 M1

k





Chọn t0 = 0 khi x = Xm; v = 0, ta có: ;

2 A X m



2

m

x X t Lực nén lên mặt đỡ: F P F n 2 dhM g k l2    ( 0 x)

F M g k l  X

suy ra F max (M M g kX1 2)  m

min ( 1 2 ) m

F  M M g kX 

- Điều kiện về Xm để M2 không bị nâng lên khỏi mặt đỡ:

1 2 min 1 2

k



m

M M g

X

k



� thì vật M1 có li độ x = -Xm, ta có: Fmin 0 có nghĩa là không tồn tại lực nén, vật M2 đã bị nâng lên khỏi mặt đỡ

b Khảo sát chuyển động của m và M1 khi thả vật m

thời gian rơi bằng nửa chu kì T Ta có 0 2

g

m

M1

k

M2

h0

Hình 1

vận tốc của m trước va chạm: 0 2 0

2

gT

v  gh 

va chạm là đàn hồi nên:

'

mv mv Mv

�

�

�

� Với M = 3m nên

'

2 '2 2

3 9

�  

�

�

 

'

 Như vậy: Vật M1 nhận được vận tốc ban đầu v1 khi nó ở vị trí cân bằng, còn vật m chuyển động đi lên với bận tốc '

0

v cùng trị số v1

 Thời gian đi lên và đi xuống của m (từ va chạm lầm 1 đến lần 2 với M1) là 2t

'

2

2

� 

�

�



�

Vì ' 0

0 2

v

1 4

h

h

0 0 1

2 2

2

Điều này có nghĩa là vật m đến va chạm lần thứ 2 với M1 đúng tại vị trí cân bằng của M1

sau nửa chu kì dao động

 Xét va chạm lần 2

�

�

�

�

'' '

0 1

'' '2

0 1

3

3

2 2

3

3

4 4

�

  

�

�

�   

�

Như vậy: vật m lại đi lên với vận tốc v0 vì thế nó lại lên đến độ cao h0 Còn M1đứng yên tại vị trí cân bằng sau đó một thời gian 2t2 = T thì m lại rơi đến vị trí cân bằng và va

chạm lầm 3 với M1 từ đây quá trình lặp lại như trước

Phương trình dao động của M1: Chọn t = 0; khi X = 0; v > 0 ta có 0

Thay số : T = 1s thì

t0 = 0,5s; h0 = 1,25m; h1 = 0,3125m

v0 = 5m/s; A = 0,4m

0,4

0,3 11

1,2 51

0,5 1 2

t(s) 2,5

h(m)

O

phương trình dao động của M1: x4sin2 ( )t cm

với 1,5nt�0,5 1,5 ( ) n s với n = 0,1,2,…

- Lực hệ nén lên giá đỡ: F M g k l n 2     ( 0 x) (M M g kx1 2) 

suy ra F max (M M g kA1 2) 

min ( 1 2 )

F  M M g (M1 không dao động về phía x<0)

Bài 2 Một vật có khối lượng m, hình trụ, đường kính d nổi trên

một chất lỏng (hình 2) Từ vị trí cân bằng, ấn vật xuống theo

phương thẳng đứng một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ Bỏ qua mọi ma

sát và sức cản của môi trường

a Chứng tỏ vật dao động điều hoà

b Tìm biểu thức tính chu kì và nêu cách xác định chu kì bằng

thực nghiệm

c Tính khối lượng riêng của chất lỏng, biết m = 200g; d = 1cm;

t = 2s; g = 10m/s2

Hướng dẫn

a Chọn trục tọa độ Ox hướng xuống; Gốc O là vị trí cân bằng của đáy

Khi vật ở vị trí cân bằng: p Fr ra 0r

2

0 0 4

d

mg D  gx 

Khi vật có li độ x (vật chìm sâu thêm một đoạn x)

a

Fr  p Fr r

2 0

4

d

F mg D   g x x

0

F mg D   gx D  gx

�

4

d

F D gx: lực hồi phục

� Fkx với 2

4

d Dg

k

Ta suy ra phương trình vi phân của chuyển động: x'' k x 2x

 

m

 Vậy vật dao động điều hòa

b Biểu thức chu kì dao động

2 2 4m

T   

G O

a

F r

P r

x

a

F r

P r

x Hình 2

Cách xác định chu kì: Thông thường dùng đồng hồ để đo thời gian T; Bằng thực nghiệm, người ta thực hiện phép đo: khối lượng m; đường kính d; khối lượng riêng chất lỏng D;

rồi thay vào biểu thức T 2 2 42m

d Dg

Nếu đo diện tích đáy của vật hình trụ là S thì: T 2 m

DSg



4

d

S

c Tính khối lượng riêng của chất lỏng:

Từ T 2 2 42m

d Dg

  suy ra D 16 m2 2

T gd



3 2,56.10 kg

D

m



Bài 3 Một khối chất lỏng có khối lượng riêng D đựng trong

ống hình chữ U có tiết diện S Ở trạng thái cân bằng mực chất

lỏng trong hai nhánh ngang nhau Làm chênh lệch mực chất

lỏng trong hai nhánh một ít rồi để tự do Bỏ qua mọi ma sát và

tính nhớt Khối chất lỏng có khối lượng M

a Hãy chứng tỏ khối chất lỏng trong ống dao động điều hoà

Tính chu kì dao động

b Giải bài toán trong trường hợp có một nhánh nghiêng góc 

so với phương thẳng đứng

Hướng dẫn

a Chứng tỏ chất lỏng dao động điều hòa.

Chọn trục tọa độ xx’ thẳng đứng lên trên

Gốc O là vị trí cân bằng của mặt thoáng B

Khi mực chất lỏng bên B có tọa độ x thì lực gây ra dao động chính là

trọng lượng của cột chất lỏng cao 2x; lực này hướng xuống (bên B) và có

độ lớn: F2DgSx

Phương trình dao động: x'' 2DgS x 2x

M

 (M: khối lượng cả khối chất lỏng)

Vậy khối chất lỏng trong ống dao động điều hòa với chu kì: 2

2

M T

DgS





Chú ý: Nếu cho L là độ dài cột chất lỏng trong ống thì ta có: D M M D V DSL.

V

Vậy 2

2

L T

g





Để tính T ta chỉ cần thực hiện một phép đo L

b Trường hợp ống B nghiêng góc .

Hình 3

x A

B

O x’

Khi mực chất lỏng trong A dịch chuyển một đoạn x, thì mực chất lỏng trong B dịch chuyển một đoạn x.cos Vậy: F 1 osc DgSx

M







M









Chu kì dao động: 1 os 

T

M



L T







 tính theo L

Bài 4 Một xilanh nằm ngang chứa đầy khí lí tưởng được ngăn

đôi bằng một pittông có thể chuyển động qua lại không ma sát

(hình 4) Khi cân bằng pittông ở chính giữa xilanh Đưa pittông

dịch ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ Coi quá trình là đẳng

nhiệt

a Chứng tỏ pittông dao động điều hoà

b Lập các biểu thức tính chu kì dao động theo các thông số

khác nhau khi tiến hành thí nghiệm

Hướng dẫn

a Chọn trục xx’ nằn ngang

gốc O tại vị trí cân bằng

khi pittông ở vị trí cân bằng: P P P1 2

khi pittông có tọa độ x: F PS P S 1 1  2 2  P P S P1   P S2

 1 2

Vì quá trình đẳng nhiệt nên: PV P V1 1 2 2

PP V Sx1     P P V Sx2   

�

  P1 P V2   P1 P Sx2  2PSx

  P1 P V2 2PSx

2PSx

V

  

Từ (1) và (2) ta có: F 2PS2x

V

Phương trình dao động: 2 2 2

'' PS

Với 2PS2

mV

 vậy: pittông dao động điều hòa

b Biểu thức chu kì

P + P1 P - P2

Hình 4