khắc phục tự tương quan kinh tế lượng

Đặt vấn đềLời mở đầu Một trong các giả thuyết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là không có tự tương quan hay tự tương quan chuỗi các nhiễu Ui trong hàm hồi quy tổng thể.. * Trong p

I Đặt vấn đề

Lời mở đầu

Một trong các giả thuyết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là không có tự tương quan hay tự tương quan chuỗi các nhiễu Ui trong hàm hồi quy tổng thể

Nhưng trong thực tế hiện tượng đó có sảy ra hay không? Nguyên nhân của hiện tượng đó

là gì? Nếu có hiện tượng tự tương quan thì liệu có áp dụng được phương pháp bình phương nhỏ nhất hay không?Làm thế nào để biết hiện tượng đó xảy ra? Cách khắc phục như thế nào? Đó là một loạt các câu hỏi mà nhóm thảo luận chúng em sẽ tìm cách giải quyết với đề tài này

Áp dụng vào thực tế, kinh tế Việt Nam đang trên đà hội nhập và phát triển; vì vậy mà con người cũng được quan tâm chú trọng nhiều hơn Chỉ số HDI là thước đo tổng quát về phát triển con người theo 3 tiêu chí: thu nhập, sức khỏe và tuổi thọ Chính vì vậy, với những tổng hợp cơ bản về số liệu chỉ số phát triển con người HDI, tuổi thọ trung bình, tỉ lệ biết chữ, thu nhập bình quân trong giai đoạn 2010-2015,nhóm chúng em đã thực hiện nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các yếu tố này với nhau

II Cơ sở lý thuyết

KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG TỤ TƯƠNG QUAN

1 Khái niệm tự tương quan:

*) Thuật ngữ tự tương quan có thể hiểu là sự tương quan giữa các thành phần của chuỗi các quan sát được sắp xếp theo thứ tự thời gian (trong các số liệu chuỗi thời gian) hoặc không gian (trong số liệu chéo)

*) Trong phạm vi hồi quy, mô hình tuyến tính cổ điển giả thiết rằng không có sự tương quan giữa các nhiễu Ui nghĩa là:

Cov(Ui, Uj) = 0 (i≠j) (1.1) Nói một cách khác, mô hình cổ điển giả thiết rằng thành phần nhiễu gắn với một quan sát nào đó không bị ảnh hưởng bởi thành phần nhiễu gắn với một quan sát khác

Tuy nhiên trong thực tế có thể xảy ra hiện tượng mà thành phần nhiễu của các quan sát lại

có thể phụ thuộc lẫn nhau nghĩa là:

Cov(Ui , Uj) ≠ 0 (i≠j) (1.2)

2 Phát hiện hiện tượng tự tương quan

a Phương pháp đồ thị

Giả thiết không có tự tương quan trong mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển gắn với các nhiễu

Ut , nhưng không gian sát được , ta chỉ có thể quan sát các phần dư et Mặc dù et không hoàn toàn giống như Ut nhưng quan sát các phần dư et có thể gợi ý cho ta những nhận xét về Ut

Có nhiều cách khác nhau để xem xét phần dư Chẳng hạn chúng ta có thể đơn thuần vé đồ thị của et theo thời gian như hình dưới:

Nhìn vào đồ thị, ta thấy phần dư không biểu thị một kiểu mẫu nào khi thời gian tăng lên, nó phân bố một cách ngẫu nhiên xung quanh trung bình của chúng Nó ủng hộ cho giả thiết không

có sự tương quan tong mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển

Một cách khác là vẽ đồ thị phần dư chuẩn hóa theo thời gian

b Kiểm định d.Durbin –Watson

Là kiểm định dựa vào giá trị tính toán, thống kê d được định nghĩa như sau:

et

t

d =

d ≈ 2(1- )

Trong đó:

Nếu ρ = -1 thì d =4: tự tương quan ngược chiều

Nếu ρ = 0 thì d=2 :không có tự tương quan

Nếu ρ = 1 thì d=0: tồn tại tự tương quan thuận chiều

d ∈ (1): tồn tại tự tương quan thuận chiều

d ∈ (2) : không xác định

d ∈ (3) : không có tự tương quan

d ∈ (4) : không xác định

d ∈ (5) : tồn tại tự tương quan ngược chiều

Kiểm định Dubin-Waston chỉ nhận dạng được hiện tượng tự tương quan chuỗi bậc 1 Đôi khi kiểm định Dubin Waston không cho kết luận

c Kiểm định Breusch- Godfrey( B-G)

Để đơn giản ta xét mô hình giản đơn: Yt =ß1+ß2Xt + Ut

Trong đó: Ut = ƿ1Ut-1 + ƿ2Ut-2 +…+ ƿpUt-p +ɛt, ɛt thỏa mãn các giả thiết của OLS

Giả thiết: H0: ƿ1 =ƿ2 =…=ƿp =0

(1)

4 4-d1

4-du

2

du

d1

0

Kiểm định như sau:

+ Bước 1: ước lượng mô hình ban đầu bằng phương pháp OLS Từ đó thu được các phần

dư et

+ Bước 2: ước lượng mô hình sau đây bằng phương pháp OLS:

et = ß1 + ß2Xt +ƿ1et-1 + ƿ2et-2 + …+ ƿpet-p + vt

Từ kết quả ước lượng mô hình này thu được R2

+ Bước 3: Với n đủ lớn, (n-p)R2 có phân bố xấp xỉ ӽ2(p)

Nếu (n-p)R2> ӽ2 thì H0 bị bác bỏ, nghĩa là ít nhất tồn tại tự tương quan một bậc nào đó Trong trường hợp ngược lại không có tồn tại tự tương quan

3 Khắc phục hiện tượng tự tương quan

Để khắc phục hiện tượng tự tương quan ta sử dụng phương pháp sai phân tổng quát

Gọi mô hình: = + * + (1) có hiện tượng tự tương quan

; thỏa mãn mọi giả thiết Nếu (1) đúng với i thì cũng đúng với i-1 nên:

Nhân 2 vế của (2) với ta được:

Lấy (1)-(3) ta được

)+

Hay

)+ (4)

(Với * )

(4) được gọi là phương trình sai phân tổng quát

Từ đây, ta thấy Cov( ) =0 với mọi i;j

 Mô hình không còn hiện tượng tự tương quan

Để hồi quy (4) ta cần biết

a Khi cấu trúc tự tương quan là đã biết:

- Vì các nhiễu Ui không quan sát được nên tính chất của tương quan chuỗi thường là vấn

đề suy đoán hoặc do những đòi hỏi cấp bách của thực tiễn Trong thực hành, người ta thường giả

sử rằng Ut theo mô hình tự hồi quy bậc nhất nghĩa là:

Trong đó |ρ|< 1 và thỏa mãn các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường nghĩa là: Trung bình bằng 0, phương sai không đổi và không tự tương quan Giả sử (1.3) là đúng thì vấn đề tương quan chuỗi có thể được giải quyết thỏa đáng nếu hệ số tự tương quan ρ là đã biết Để làm sáng tỏ vấn đề đó ta quay lại mô hình 2 biến:

(1.4) Nếu (1.4) đúng với i thì cũng đúng với i - 1 nên:

(1.5) Nhân 2 vế (1.5) với ρ ta được:

(1.6) Trừ (1.4) cho (1.6) ta được:

(1.7) Đặt

Thì phương trình (1.7) có thể được viết lại dưới dạng:

(1.8)

Vì thỏa mãn các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường đối với các biến Y* và X* và các ước lượng tìm được có tất cả các tính chất tối ưu nghĩa là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất

Phương trình hồi quy (1.7) được gọi là phương trình sai phân tổng quát

b Khi ρ chưa biết

- Phương pháp sai phân cấp 1

- Phương pháp ước lượng dựa trên thống kê d.Durbin-Watson

- Phương pháp Durbin – Watson 2 bước để ước lượng

- Một số phương pháp khác: Thủ tục lặp Cochrane-Orcutt, thủ tục Cochrane-Orcutt 2 bước,

*) Phương pháp sai phân cấp 1

- Như ta đã biết -1≤ρ≤1 nghĩa là ρ nằm giữa [-1,0] hoặc [0,1] cho nên người ta có thể bắt đầu từ các giá trị ở các đầu mút của các khoảng cách đó Nghĩa là ta có thể giả thiết rằng:

ρ=0 tức là không có tương quan chuỗi ρ=±1 nghĩa là có tương quan dương hoặc âm hoàn toàn

Trên thực tế khi ước lượng hồi quy người ta thường giả thiết rằng không có tự tương quan rồi sau khi tiến hành kiểm định Durbin – Watson hay các kiểm định khác đển xem giả thiết này có đúng hay không Tuy nhiên nếu ρ=±1 thì phương trình sai phân tổng quát (1.5) quy về phương trình sai phân cấp 1:

Trong đó ∆ là toán tử sai cấp 1 Để ước lượng hồi quy (1.9) thì cần phải lập các sai phân cấp 1 của biến phụ thuộc và biến giải thích và sử dụng chúng làm những đầu vào trong phân tích hồi quy

- Giả sử mô hình ban đầu là:

(1.10) Trong đó i là biến xu thế còn Ui theo sơ đồ tự hồi quy bậc nhất

Thực hiện phép biến đổi sai phân cấp 1 đối với (1.10) ta đi đến

(1.11)

Nếu ρ=-1 nghĩa là có tương quan chuỗi âm hoàn toàn, phương trình sai phân bây giờ có dạng:

Mô hình này được gọi là mô hình hồi quy trung bình trượt (2 thời kỳ) vì chúng ta hồi quy giá trị của một trung bình trượt đối với 1 trung bình trượt khác

Phép biến đổi sai phân cấp 1 đã giới thiệu trước đây rất phổ biến trong kinh tế lượng ứng dụng vì

nó dễ thực hiện

*) Ước lượng dựa trên thống kê d.Durbin – Watson

Trong phần kiểm định d chúng ta đã thiết lập các công thức:

d≈2(1- ) (1.13)

Hoặc ρ≈1- (1.14) Đẳng thức này gợi cho ta cách thức đơn giản để thu được ước lượng của ρ từ thống kê d Từ (1.12) chỉ ra rằng thiết sai phân cấp 1 với ρ=±1 chỉ đúng khi d=0 hoặc xấp xỉ bằng 0 Cũng vậy khi d = 2 thì =0 và khi d = 4 thì =-1 Do đó thống kê d cung cấp cho ta 1 phương pháp có sẵn để thu được ước lượng của ρ

Nhưng lưu ý rằng quan hệ (1.14) chỉ là quan hệ xấp xỉ và có thể không đúng với các mẫu nhỏ Khi ρ đã được ước lượng thì có thể biến đổi tập số liệu như đã chỉ ra ở (1.8) và tiến hành ước lượng theo phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường Khi ta sử dụng 1 ước lượng thay cho giá trị đúng thì các hệ số ước lượng thu được từ phương pháp bình phương nhỏ nhất có thuộc tính tối ưu thông thường chỉ tiệm cận có nghĩa là có thuộc tính đó trong các mẫu lớn Vì vậy trong các mẫu nhỏ ta phải cẩn thận khi giải thích các kết quả ước lượng

*) Phương pháp Durbin – Watson 2 bước để ước lượng:

- Để minh hoạ phương pháp này chúng ta viết lại phương trình sai phân tổng quát dưới dạng sau:

(1.15)

- Durbin đã đề xuất thủ tục 2 bước để ước lượng:

+ Bước 1: Coi (1.21) như là một mô hình hồi quy bội, hồi quy theo ,

và và coi giá trị ước lượng được của hệ số hồi quy của (= ) là ước lượng của ρ Mặc dù là ước ượng chệch nhưng ta có ước lượng vững của ρ

và ước lượng hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường trên các biến đã biến đổi đó như là ở (1.8)

Như vậy theo phương pháp này thì bước 1 là ước lượng còn bước 2 là để thu được các ước lượng tham số

*) Thủ tục lặp Cochrane-Orcutt để ước lượng

Xét mô hình hai biến:

+ + (1.16)

=  + (1.17)

Các bước ước lượng  được tiến hành như sau:

Bước 1 Ước lượng mô hình hai biến bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường

và thu được các phần dư

Bước 2 Sử dụng các phần dư đã ước lượng để ước lượng hồi quy:

= + (1.18)

Bước 3 Sử dụng đã thu được từ (11) để ước lượng phương trình sai phân tổng quát ( 11), cụ thể là phương trình :

) hoặc t = + + (1.19) Bước 4 Vì chúng ta chưa biết trước rằng thu được từ (11) có phải là ước lượng tốt nhất của  hay không ,ta thế giá trị = (1- ) và thu được từ (1.19) vào hồi qui gốc ban đầu và thu được các phần dư mới, chẳng hạn **

** = - - Xt (1.20)

Ước lượng phương trình hồi qui tương tự với (1.18)

** = ** + (1.21)

là ước lượng vòng hai của 

Thủ tục này tiếp tục cho đến khi các ước lượng liên tiếp của  khác nhau bởi một lượng rất nhỏ, chẳng hạn, nhỏ hơn 0,01 hoặc 0,005

KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI

Bài toán: giả sử mô hình Yi= ß1 +ß2Xi + Ui (1) có Var(Ui) = õ2 ( i =1,n)Ɐ

TH1: õ2 đã biết

(1)ð =ß1+ß2 + (2)

Ta có Var()=Var(Ui) =* õi2 = 1

ð (2) không còn hiện tượng phương sai sai số thay đổi

TH2: : õ2 chưa biết

* Giả thiết 1: Var(Ui) =õ2Xi2

ð = õ2

ð Var() =õ2

Chia cả 2 vế của (1) cho Xi

= ß1+ ß2 + (3)

* Giả thiết 2: EUi2 = õ2Xi2

Biến đổi căn bậc 2:

(1) <=>

Với và với Xi > 0

* Giả thiết 3: Var(Ui)=õ2(E(Yi))2

Chia cả 2 vế của (1) cho E(Yi)≃

Ta có : =ß1 + ß2 +

* Giả thiết 4: Dạng hàm sai

Đối khi thay cho việc dự đoán ve õi2 người ta định dạng lại mô hình Chẳng hạn thay cho việc ước lượng hồi quy gốc có thể cúng ta sẽ ước lượng hồi quy

Ln Yi = ß1+ß2lnXi + Ui (**)

việc ước lượng hồi quy(**) có thể làm giảm phương sai của sai SỐ thay đổi do tác động của phép biến đổi loga Một trong ưu thế của phép biến đổi loga là hê số góc ß2 là hệ số co dãn của Y đối vói X

Chú ý: hiện tượng mà chúng ta đang xét đến là tương đối phổi biến, cho nên biện pháp khắc phục nó là rất quạn trọng Nhưng biện pháp khắc phục thực chất là toa thuốc cho con bệnh, bệnh đó có chữa được hay không chỉ toa thuốc có hay hay không, mà trước hết là chuẩn đoán đúng bệnh Vì vậy, cả 2 vấn đề chuẩn đoán và chữa bệnh đều quan trọng

Vì thế cần phải lưu ý một số vấn đề sau:

- Khi nghiên cứu mô hình có nhiều biến giải thích thì việc chọn lựa biến nào đề biến đổi cần phải có xem xét cẩn thận

- Phép biến đổi loga không dùng được khi các giá trị X hoặc Y là âm

- Có thể xảy ra tình trạng là bản thân biến gốc không tương quan nhưng chỉ số của các biến lại có thể tương quan: chẳng hạn xét mô hình

Yi= ß1 + ß2Xi+ Ui

Giữa Yi và Xi có thể không tương quan nhưng trong mô hình được biến đổi dưới dạng :

YiXi =ß1(Xi) + ß2

Thì YiXi và Xi lại là tương quan

Khi õi2 chưa biết nó được ước lượng từ một trong các cách biến đổi trên Tất cả các kiểm định t,

F mà chúng ta sử dụng chỉ có hiệu lực trong những mẫu lớn Do đó chúng ta phải cẩn thận khi giải thích các kết quả dựa trên các phép biến đổi khác nhau trong các mẫu nhỏ

KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG ĐA CỘNG TUYẾN

1 Định nghĩa Đa cộng tuyến

Trong mô hình hồi quy, nếu các biến độc lập có quan hệ chặt với nhau, các biến độc lập

có mối quan hệ tuyến tính, nghĩa là các biến độc lập có tương quan chặt, mạnh với nhau thì sẽ có hiện tượng đa cộng tuyến, đó là hiện tượng các biến độc lập trong mô hình phụ thuộc lẫn nhau và thể hiện được dưới dạng hàm số Ví dụ có hai biến độc lập A và B, khi A tăng thì B tăng, A giảm thì B giảm… thì đó là một dấu hiệu của đa cộng tuyến Nói một cách khác là hai biến độc lập

có quan hệ rất mạnh với nhau, đúng ra hai biến này nó phải là 1 biến nhưng thực tế trong mô hình nhà nghiên cứu lại tách làm 2 biến Hiện tượng đa cộng tuyến vi phạm giả định của mô hình hồi qui tuyến tính cổ điển là các biến độc lập không có mối quan hệ tuyến tính với nhau

a.Giới thiệu về đa cộng tuyến

Thông thường các biến độc lập không có mối quan hệ tuyến tính, nếu quy tắc này bị vi phạm sẽ có hiện tượng đa cộng tuyến Như vậy, đa cộng tuyến là hiện tượng các biến độc lập trong mô hình phụ thuộc lẫn nhau và thể hiện được dưới dạng hàm số

b Các cách phát hiện hiện tượng đa cộng tuyến

*) R2 cao nhưng tỉ số t thấp

Trong trường hợp R2 cao ( thường R2 > 0.8) mà tỉ số t thấp thì đó chính là dấu hiệu của hiện tượng đa cộng tuyến

*) Tương quan cặp giữa các biến giải thích cao

Nếu hệ số tương quan giữa các biến tích cao ( vượt 0.8) thì có khả năng có tồn tại đa cộng tuyến Tuy nhiên tiêu chuẩn này thường không chính xác Có những trường hợp tương quan cặp không cao nhưng vẫn có đa cộng tuyến Thí dụ, ta có 3 biến giải thích X1, X2, X3, như sau:

X1 = (1,1,1,1,1, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0)

X2 = (0,0,0,0,0, 1,1,1,1,1, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0)

X3 = (1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0)

Rõ ràng X 3 = X2 + X1 nghĩa là ta có đa cộng tuyến hoàn hảo, tuy nhiên tương quan cặp là

R12 = -1/3 ; r13 = r23 = 0,59

Như vậy đa cộng tuyến xảy ra mà không có sự báo trước của tương quan cặp nhưng dẫu sao nó cũng cung cấp cho ta những kiếm tra tiên nghiệm có ích

c Xem xét tương quan riêng

Vì vấn đề được đề cập đến dựa vào tương quan bậc không Farrar và Glauber đã đề nghị

sử dụng hệ thống tương quan riêng Trong hồi quy của Y đối với các biến X2 , X3, X4

Nếu ta nhận thấy rằng cao trong khi đó ; ; tương đối thấp thì điều đó có thể gợi ý rằng các biến X1, X2, X3 có tương quan cao và ít nhất một trong các biến này là thừa

Dù tương quan riêng rất có ích nhưng nó cũng không đảm bảo rằng sẽ cung cấp cho ta hướng dẫn chính xác trong việc phát hiện ra hiện tượng đa cộng tuyến

d Hồi quy phụ

Một cách có thể tin cậy được để đánh giá mức độ đa cộng tuyến là hồi quy phụ Hồi quy phụ là hồi quy mỗi một biến giải thích X, theo các biến giải thích còn lại R 2 được tính từ hồi quy này ta ký hiệu

Mối liên hệ giữa Fi và ;

F =

Fi tuân theo phân phối F với k – 2 và n – k +1 bậc tự do Trong đó n là, k là số biến giải thích kể cả hệ số chặn trong mô hình là hệ số xá định trong hồi quy của biến Xi theo các biến X khác Nếu Fi tính được vượt điến tới hạn Fi(k – 2, n-k=1) ở mức ý nghĩa đã cho thì có nghĩa là

Xi có liên hệ tuyến tính với các biến X khác Nếu Fi có ý nghĩa về mặt thống kê chúng ta vẫn phải quyết định liệu biến Xi nào sẽ bị loại khỏi mô hình Một trở ngại của kỹ thuật hồi quy phụ là gánh nặng tính toán Nhưng ngày nay nhiều chương trình máy tính đã có thể đảm đương được công việc tính toán này

e Nhân tử phóng đại phương sai

Một thước đo khác của hiện tượng đa cộng tuyến là nhân tử phóng đại phương sai gắn với các biến Xi, kí hiêu là VIF(Xi)

VIF(Xi) được thiết lập trên cơ sở của hệ thống xác định trong hồi quy đổi của biến Xi với các biến khác nhau như sau:

Nhìn vào công thức (5.15) có thể giải thích VIF(Xi) bằng tỉ số chung của phương sai thực của βi trong quy hồi gốc của Y đối với các biến X và phương sai của ước lượng βi trong hồi quy mà ở đó Xi trực giao với các biến khác Ta coi tình huống lý tưởng là tình huống mà trong

đó các biến độc lập không tương quan với nhau, và VIF so sánh tình huống thực và tình huống lý tưởng sự so sánh này không có ích nhiều và nó không cung cấp cho ta phải biết làm gì với tính huống đó Nó chỉ cho biết rằng các tình huống là không lý tưởng

III Trình bày kết quả nghiên cứu

1 Bài toán áp dụng:

Sau khi thu thập số liệu chúng tôi lập được bảng về chỉ số phát triển con người HDI(Y),tuổi thọ trung bình(X)và thu nhập bình quân(Z) của Việt Nam trong giai đoạn1998-2016.Số liệu được cho ở bảng sau: