bộ đề ôn thi học sinh giỏi toán lớp 7 có giải

bộ đề ôn thi học sinh giỏi toán lớp 7 có giải chi tiết tham khảo

65 2 13

2 3

5 3 11

Bµi 5: Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm trªn tia Ox sao cho OA = 4 cm ;

OB = 6 cm Trªn tia BA lÊy ®iÓm C sao cho BC = 3 cm

So s¸nh AB víi AC

12

+

16.3

16.39 10

= 3 + 3 = 6

0.50.50.50.5

2

a, Tìm đợc n = 2010

b, Gọi số phải tìm là abc theo bài ra ta

có a + b + c  9 và 2b = a + c nên 3b  9 ⇒ b  3 vậy b

{0;3;6;9}

∈

abc 5 ⇒c∈{ }0;5

Xét số abo ta đợc số 630Xét số ab5 ta đợc số 135 ; 765

10.5

0.5

3

P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k∈NDạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài

⇒p = 3k + 1 ⇒ p + 8 = 3k + 9  3

⇒ p + 8 là hợp số

0.50.50.50.5

4

Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a≤b) ta có (a,b) = 1 nên a = 6a/ b= 6b/ trong đó (a/,b/) = 1 ( a,b,a/,b/∈N)

⇒ a/ + b/ = 14

a

b/

13

11

AB = 6 – 4 = 2 (cm)Hai ®iÓm Avµ C trªn tia BA mµ BA < BC (2<3 ) nªn ®iÓm A n¨m gi÷a hai ®iÓm B

vµ C Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm) VËy AB > AC ( 2 >1)

0.50.5

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A

> 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007

Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau

- GV: Gọi học sinh trình bày

( )

1 23

1 23

1 72

3 3

1 52

x x

x x

7 1 23 (5 2 0,5) : 2

8 4 26

A B

1

≤ ) Tr

DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi

4,3 0 4,3 0 4,3

x x x

Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là

Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:

a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3

b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a;

Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các

điều kiện sau:

a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20

Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu ≥,≤,=để các khẳng định

sau đúng với mọi a và b

Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ

rõ khi nào xảy ra dấu

b

a b a

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

|

1 +

n n

16

a b c

1 3 3

1 6

2003 2

3

12

5 5 2

1 4

3 3 2

? H·y nªu thø tù thùc hiÖn phÐp tÝnh

- GV: yªu cÇu häc sinh lµm bµi , gäi häc sinh tr×nh bµy

Bµi 4: TÝnh

a, ( ) 4

8 0

15

12

6 3

1 9 3

1 15

4 7

15 16 81

15

12

6 3

1 9 3

1 15

4 7

8 8

3.2

3.2.31

= 35

b,

675 4

15 16 81 10

4

2

2 3 8

2 2 4 4 4 4

5.3.2

5.3.23.5

2 3 8

2 2 2 2 4

5.3.2

)13.5(5.3

=…

=

3.2

124

4 =

3 2

7

14

=

Bµi 5:

a,TÝnh tæng A = 1+5+52+53+… +52008+52009

Chuyên đề : LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ (Tiếp

theo )

I Mục tiêu.

cơ bản về biến đổi các lũy thừa của một số hữu tỉ và một số kiến thức bổ sung nâng cao

đổi các biểu thức lũy thừa của một số hữu tỉ trong quá trình làm bài tập

lũy thừa và trình bày chính xác khoa học một biểu thức có chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

biến đổi các biểu thức có cả lũy thừa qua đó có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài

II Chuẩn bị :

- Giáo án bồi dỡng học sinh giỏi toán 7

- Các tài liệu, t liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên

đề

III Tiến trình tiết dạy:

Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không

Bài 3: Cho x ∈ Q và x ≠ 0 Hãy viết x12 dới dạng:

a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x9 ?

b) Luỹ thừa của x4 ?

c) Thơng của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x15 ?

a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36;

e) 5x + 2 = 625; f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4; g) (2x – 1)3 = -8

x x x

x

x

+ +

Bµi 10: Chøng minh r»ng nÕu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 th× víi bÊt k× sè h÷u tØ x vµ y nµo ta

Chuyên đề: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (Tiết 1)

- Một số bài toán khác về biểu thức đại số

Kĩ năng : Giải đợc hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài

toán cơ bản Biết vận dụng vào các bài toán khác tơng tự Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và tổng quát hóa cho các bài toán

Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài Cẩn

thận, cầu tiến, không nao núng khi làm bài

IIChuẩn bị:

GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đa ra các bài tập đầy đủ và đa dạng

Hsinh: - Ôn tập kiến thức cũ có liên quan

III.Tiến trình tiết dạy:

Phần 1 Một số dạng chính

Dạng 1

Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy

luật A- Kiến thức cần nắm vững:

B- Bài tập ỏp dụng

I Dãy số cộng

Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ

b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000

Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số 0 vào vị trí đầu tiên của dãy số (không làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xét số 100 Từ 0 đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18 Tổng các chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1 ĐS:901

b) Tương tự: ĐS: 27000001

Bài 5: Cho

1 2 3 4

1 2,

3 4 5,

6 7 8 9,

10 11 12 13 14,

S S S S

Bài 6: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố 7 với số

mũ băng bao nhiêu?

Bài 7: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:

Bµi 11: Cho A= + + + + + 1 4 4 2 4 3 4 , 99 B= 4 100 Chứng minh rằng:

3

B

A< Bài 12: Tính giá trị của biểu thức:

II D·y ph©n sè cã quy luËt

1 Các công thức cần nhớ đến khi giải các bài toán về dãy các phân số viết theo qui luật:

1) n n( 1+1)= −1n n1+1

( 1) 1

k k

Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược

Bài 2 : Tìm x thuộc N biết :

không phải là số nguyên

Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì

Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau :

Bài 5 : Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho

Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau

Bài 7 : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < < a44 <

a45 và

Các bạn còn phát hiện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ?

Bài toán 2: Tính nhanh:

Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50.

b) Biến đổi số chia:

Bài toán 7: Cho

100

1 3

1 2

99

9 7 5 3

Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số 1/64

có mẫu chứa 26 nên trong các thừa số phụ k1, , k100 chỉ có k64 là số lẻ, còn các thừa số phụ khác đều chẵn

Bài toán tổng quát của bài toán 7: Cho

n

3

1 2

D·y Sè viÕt theo qui luËt - D·y c¸c ph©n sè viÕt theo qui

luËt ( tiÕp ) PhÇn 2 C¸c d¹ng kh¸c.

0,8 0,4 c) 2 96 8153 34 d) 88104++441110

Bµi 1: Khai triÓn c¸c tÝch sau:

x x x

x

x

+ +

Bài 10: Chứng minh nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bấtkì số hữu tỉ x và y nào ta cũng có:

- Kiến thức :- Nắm đợc các kiến thức, công thức, quy tắc

các tính chất dãy tỉ số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng

do giáo viên cung cấp

- Kỹ năng :- Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ

số bằng nhau trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn

thiện kĩ năng trình bày khoa học sáng sủa và đúng khi đứng trớc một bài tập đã biết đợc đờng lối giải quyết

- Thái độ :- Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong những chuyên đề quan trọng nhất của chơng trình toán 7 từ đó có thái độ nghiêm túc trong việc học tập

nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề

II Chuẩn bị :

- Giáo án bồi giỏi toán 7

- Các tài liệu t liệu su tập qua sách báo, hội thảo chuyên môn

III Tiến trình tiết dạy :

Bài 1: Cho tỉ lệ thức a = c Chứng minh rằng:

do giáo viên cung cấp

- Kỹ năng : - Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ

số bằng nhau trong việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn thiện kĩ năng trình bày khoa học sáng sủa và đúng khi đứng trớc một bài tập đã biết đợc đờng lối giải quyết

- Thái độ : - Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong những chuyên đề quan trọng nhất của chơng trình toán 7 từ đó có thái độ nghiêm túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề

- II Chuẩn bị :

- Giáo án bồi giỏi toán 7

- Các tài liệu t liệu su tập qua sách báo, hội thảo chuyên môn

II Tiến trình tiết dạy :

Bài 1: Tìm phân số ab biết rằng nếu cộng thêm cùng một sốkhác 0 vào tử và mẫu thì giá trị

của phân số đó không thay đổi ?

Mở rộng: Với một phân số bất kỳ ab ta cộng thêm vào a số x,cộng thêm vào b số y

Hãy tìm quan hệ của x và y để giá trị của phân số ab khôngthay đổi sau khi cộng ?

Bài 4: Cho tỉ lệ thức: a c

b = d ; Chứng minh rằng :a) 5a 3b5a 3b+ =5c 3d5c 3d+

7a 3ab 7c 3cd 11a 8b 11c 8d

2008

1 2 3 2008 1

Bài 10: Cho biết : ' ' ' '

CMR: trong các số đó luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau

Bài 15: Có 130 học sinh thuộc ba lớp 7A, 7B, 7C của một trờng

cùng tham gia trồng cây

Mỗi học sinh của 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2 cây, 3 cây,

Ta có : c a d b =cd ab

+

+

2 2

2 2

( ) (( )()( )) c d

b a d c d c

b a b a cd

ab d

c

b a d cd c

b ab a

cd

ab

.

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

= + +

+ +

⇒

= +

+

= + +

+ +

c b

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b d c

a

b a

= +

+

= +

+

= +

+

= +

Tõ (1) vµ (2) suy ra a1a4 = a1a5 suy ra a4 = a5 v« lý

VËy cã Ýt nhÊt 2002 div 4 + 1= 501 sè b»ng nhau

häc sinh giái huyÖn

1 : 1 5

1 625 1

C©u 2 (2®iÓm):

a (1®) T×m x, y biÕt :

x

y x y

x

6

1 3 2 7

2 3 5

1 12

1 11

1 10

C©u 4 (3®iÓm):

a (1,5®) HiÖn nay anh h¬n em 8 tuæi Tuæi cña anh c¸ch ®©y 5 n¨m vµ tuæi cña em sau 8 n¨m n÷a tØ lÖ víi 3 vµ 4 Hái hiÖn nay anh bao nhiªu tuæi? Em bao nhiªu tuæi?

b.(1,5®) Cho ∆ABC(gãc A=900) KÎ AH⊥BC, kÎ HP⊥AB vµ kÐo dµi

Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)

C©u 5 B (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn to¸n)

A =

2

2 5

b (0,75đ) - Khai căn rồi quy động 2 ngoặc

- Thực hiện phép chia đợc kết quả bằng -1

29 2

b (1đ) - Chuyển các số hạng ở vế phải sang vế trái

- Đặt thừa số chung đa về 1 tích bằng 0

4

8 3

3 2

3 2

3 0 2 − 1

+ + +

2n+ n − (n ∈Z+)

b (0,5đ)

- Nghiệm lại các giá trị 1, -1, 5, -5 vào đa thức

- Giá trị nào làm cho đa thức bằng 0 thì giá trị đó là nghiệm

Đề thi học sinh giỏi huyện

9

4 9 5

4 5 1

8

3 3

1 2

c./ Chứng minh rằng Q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x

Câu 4 (3điểm)

a.(1đ) Ba tổ công nhân A, B, C phải sản xuất cùng một số sảnphẩm nh nhau Thời gian 3 tổ hoàn thành kế hoạch theo thứ tự là 14ngày, 15 ngày và 21 ngày Tổ A nhiều hơn tổ C là 10 ngời Hỏi mỗi

tổ có bao nhiêu công nhân? (Năng suất lao động của các công nhân

b.(2đ) Cho hình vuông ABCD Trên nửa mặt phẳng chứa điểm

B bờ là đờng thẳng AD vẽ tia AM (M ∈CD) sao cho góc MAD = 200.Cũng trên nửa mặt phẳng này vẽ tia AN (N ∈BC) sao cho góc NAD

= 650 Từ B kẻ BH ⊥AN (H ∈AN) và trên tia đối của tia HB lấy điểm Psao cho HB = HP chứng minh:

a./ Ba điểm N, P, M thẳng hàng

b./ Tính các góc của ∆AMN

B/

Phần đề riêng

Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên

a.(1đ) Chứng minh rằng: 222333 + 333222 chia hết cho 13

b.(1đ) Tìm số d của phép chia 109345 cho 7

Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên

a.(1đ) Tìm số nguyên dơng n biết

5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5

2 2

6 6 6 6 6 6 3 3 3

4 4 4 4

+

+ + + + +

⋅ + +

+ +

Câu 2 (1,5đ)

a (1đ)- Biến đổi các mẫu dới dạng lập phơng đa về dạng b a =d c = e f

- áp dụng tính chất dãy TSBN rồi tìm x, y, z

- Kiểm tra điểm N(3;-2) có thuộc đồ thị hàm số không?

→ kết luận: O, M, N thẳng hàng

b (1đ) - Thu gọn Q(x) = x3−x2 ⇒ bậc Q(x) là 3 (0,25đ)

1 ( ) 2

1 ( − 3 − − 2 =

16

3 2

4

1 8

1

; 14

a = chøng minh r»ng

d c

d c b a

b a

3 2

3 2 3 2

3 2

vµ hµm sè y = x -4

* Tính độ dài OM (O là gốc toạ độ)

b (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A  B, vận tốc

ôtô con là 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h Khi ôtô tải đến B thì

ôtô con đã đến B trớc 45 phút Tính độ dài quãng đờng AB

Câu 4 (2điểm): Cho ∆ABC có góc A = 900, vẽ phân giác BD và CE (D

∈AC ; E ∈AB) chúng cắt nhau tại O

Câu 5 A (2điểm): Dành cho học sinh chuyên

b (1đ) Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm:

P(x) = 2x2 + 2x +

4 5

c (1đ) Chứng minh rằng: 2454.5424.210 chia hết cho 7263

Câu 5 B (2điểm): Dành cho học sinh không chuyên

a (1đ) Tìm nghiệm của đa thức 5x2 + 10x

b (0,5đ) (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = 1 + 1 +1 + … + 1 = 50

Câu 2 (1đ)

a (0,5đ) áp dụng tính chất của tỉ lệ thức

bc ad d

c b

a= ⇒ = ⇒ =97

y x

b (0,5đ) Từ

d c

d c b a

b a d c

b a d c

b a d

b c

a d

b c

a d

c b

a

3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 3

3 2

t

t v

v = ; t2 – t1 =

4 3

- Tính đợc t2 =

4

3

4 = 3 (h)T1 = ( )

4

9 3 4

M N

B

1 ≥ với ∀xvậy P(x) không có nghiệm

Nghiệm của đa thức là x = 0 hoặc x = -10

3

0 2

x

x x

3 4 47

3 27 23

4 ⋅ + ⋅ −

b (0,75đ) Cho các số a1, a2, a3 …an mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1Biết rằng a1a2 + a2a3 + … + ana1 = 0 Hỏi n có thể bằng 2002 đợc hay không?

Câu 2 (2 điểm)

a (1đ) Tìm x biết

x

y y

y

6

6 1 24

4 1 18 2

1 + = + = +

b Giả sử x0 = 5 tính diện tích

OBC

∆

Câu 4 (3điểm)

a (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A  B, vận tốc

ôtô con là 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trớc 45 phút Tính độ dài quãng đờng AB

b (2đ) Cho ∆ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AC và

AB Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia

đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE = NC Chứng minh rằng:

- Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào đợc A = 119

b (0,75đ) Xét giá trị của mỗi tích a1a2, a2a3, …ana1

⇒số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng n

y 0

2 1

a (1đ) Tìm x biết

x

y y

y

6

6 1 24

4 1 18

2

1 + ( 1 ) = + ( 2 ) = + ( 3 )

- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4)

- Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2)

1

x

y

= 4

2 4

2 0

0 0

1

y OC

Với x0 = 5

2

5 5 2

1

t

t v

v = ; t2 – t1 =

4 3

b (1đ) - Thay giá trị của x vào 2 đa thức

Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính đợc m =

-4 1

Câu 1 (1,5 điểm): (1đ) Tính tổng: A =

11

4 7

4 9

4 11

1 7

1 9 1

7

3 8

2 9

y y

4

7 1 5

5 1 12

* Vẽ đồ thị hàm số

* Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ

M (giải bằng tính toán)

Câu 4 (3điểm)

a (1đ) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự

định với vận tốc 40km/h Sau khi đi đợc 1/2 quãng đờng AB thì

ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đờng còn lại Do đó ôtô

đến B sớm hơn dự định 18 phút Tính quãng đờng AB

b (2đ) Cho ∆ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm

E nằm giữa M và C Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc ờng thẳng AE) Chứng minh rằng:* BH = AK

b (1đ) Tìm x, y, z biết: x + y = x : y = 3(x – y)

Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên

a (1đ) Tìm x biết: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120

b (1đ) Rút gọn biểu thức sau một cách hợp lí: A =

343

4 7

2 7

4 2

64

) 7 7 (

1 49

1 49

1

1

2 2

−

− +

Câu 2 (2điểm: mỗi ý đúng 1đ)

a - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4)

- Từ tỉ số (4) và tỉ số (2)  12 + 4x = 2.5x  x = 2

Từ đó tính đợc y =

-15 1

18

h

=

- Cùng một quãng đờng vận tốc và thời gian là 2 đại lợng TLN do

đó:

V1t1 = v2t2 ⇔

3

100 2

1

1 2 2

1 1

v v t

v t v

2

3

1 =

⇒t (giờ) ⇒ thời gian dự định đi

cả quãng đờng AB là 3 giờ

- Quãng đờng AB dài 40 3 = 120 (km)

= +

=

−

0

0 ) 2 (

0 ) 2 (

2 2

x y x y

z y x

Câu 5 B (2đ)

a (1đ) - Đặt 2x làm TSC rút gọn

- Biến đổi 120 dới dạng luỹ thừa cơ số 2 rồi tìm x

b (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rồi rút gọn đợc A =

4 1

M K H

B

E