Ch/m rằng: Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.. Cho ngũ giác lồi ABCDE có các đỉnh có tọa độ nguyên.. Chứng minh rằng : Tồn tại ít nhất một điểm M có toạ độ nguyên nằm trong ngũ giác hoặc
Trang 1ĐỀ THI VÀO 10
1
a a a a
1)Rút gọn P ; 2)Tìm tất cả các số tự nhiên a để P có giá trị nguyên
Bài 2 : (2đ) 2.1) Giải phương trình : x 1 x 2 x 3 x 4 24
2.2) Giải hệ phương trình :
2
3
Bài 3: (1 đ) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – x – 5 = 0
Lập PT bậc hai có hai nghiệm là 2x1 + x2 và x1 + 2x2 Bài 4: (1,5đ)
4.1)Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2 y2 2 xy 4 x 8 y 7 0
4.2)Cho 3 số thực không âm a; b; c Ch/m rằng:
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho ngũ giác lồi ABCDE có các đỉnh có tọa độ nguyên Chứng minh rằng : Tồn tại ít nhất một điểm M có toạ độ nguyên nằm trong ngũ giác hoặc
trên các cạnh của ngũ giác đó ( không tính các đỉnh A,B,C,D,E) Bài 6 : cho ABC nhọn Đường trò (O) đường kính BC cắt AB, AC thứ tự tại M và N Tia phân giác trong của các góc : BAC , MON cắt nhau ở P
6.1)Chứng minh : OMN BAC và tứ giác AMPN nội tiếp
6.2)Gọi Q là giao của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP & CNP
Ch/m: ba điểm B, Q, C thẳng hàng
6.3)Gọi O1, O2, O3 thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác: AMN, BMP, CNP
Ch/m: 4 điểm O, O1, O2, O3 cùng thuộc một đường tròn
1
a a a a
1)Rút gọn P
Trang 22)Tìm tất cả các số tự nhiên a để P có giá trị nguyên
1
a a
P
1.2)P 2 a 1 a 1 2; 1;1;2 a0; 4;9 thỏa điều kiện 0 a 1
Bài 2 : (2đ)
2.1)Giải phương trình : x 1 x 2 x 3 x 4 24
2.2)Giải hệ phương trình :
2
2 2
3
2.1/ x1 x2 x3 x4 24 x 5x4 x 5x6 24
Đặt
2
tx x x
PT thành : (t – 1)(t + 1) = 24
5( )
5( )
0
5 0; 5
t l
t n
x
x S
2
2
2
4 4 2 (1) 2.2)
3 (2)
2
1 2
x xy x y
x y
x
( ; ) 1; 2 , 1; 2
x y
Bài 3: (1 đ) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 – x – 5 = 0
Lập PT bậc hai có hai nghiệm là 2x 1 + x 2 và x 1 + 2x 2
PT: x2 – x – 5 = 0 có a và c trái dấu nên luôn tồn tại các nghiệm x1 ; x2
Theo Vi-ét Ta có : x1 + x2 = 1 ; x1 x2 = -5
Đặt: *S = (2x1 + x2) + (x1 + 2x2) = 3(x1 + x2) = 3
P = (2x1 + x2).(x1 + 2x2) = 2[(x1)2 + (x2)2] + 5 x1 x2 = -3
2x1 + x2 và x1 + 2x2 là hai nghiêm của phương trình : x2 – Sx + P = 0
Trang 3Hay x2 - 3x – 3 = 0
Bài 4: (1,5đ)
4.1)Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2 y2 2 xy 4 x 8 y 7 0
4.2)Cho 3 số thực không âm a; b; c Ch/m rằng:
ab b bc ca bc c ac ab ca a ab bc ab bc ca a b c
4.1) 2 2 4 8 7 0 (1)
2 2 2 8 7 0 (2)
Để (1) có nghiệm thì ' 0 y2 4 y 3 0 3 y 1
(2) 2 (2) 2 (2) 2
; 1; 3 , 1; 2 , 1; 2 , 1; 3
Do
x y
4.2)Không mất tính tổng quát , giả sử : a b c 0
Ta ch/m: ab b 2 bc ca ab a 2 b2 c2; a b c 0 (1)
(1) bc ca a c bc c a ca c b c a a c (2)
Vậy ab b 2 bc ca ab a 2 b2 c2
Tương tự : bc c 2ac ab bc a 2b2 c2
ca a ab bc ca a b c
Suy ra :
ab b bc ca bc c ac ab ca a ab bc ab bc ca a b c
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho ngũ giác lồi ABCDE có các đỉnh có tọa độ nguyên Chứng minh rằng : Tồn tại ít nhất một điểm M có toạ độ nguyên nằm trong ngũ giác hoặc trên các cạnh của ngũ giác đó ( không tính các đỉnh A,B,C,D,E)
Lấy 5 số nguyên lần lượt chia cho 2 thì có ít nhất 3 số có cùng số dư
Lấy 3 số nguyên lần lượt chia cho 2 thì có ít nhất 2 số có cùng số dư
Trong 5 sô nguyên đó có ít nhất 3 số có cùng tính chẵn, lẻ
Trong 5 điểm A,B,C,D,E thì có ít nhất 3 điểm có hoành độ cùng tính chẵn, lẻ
trong 3 điểm có cùng tính chẵn, lẻ nói trên thì có ít nhất hai điểm có tung độ cùng tính chẵn , lẻ
Khi đó: Tồn tại ít nhất 2 trong 5 điểm A,B,C,D,E có hoành độ cùng tính chẵn, lẻ và tung độ cùng tính chẵn lẽ
Tọa độ trung điểm M của hai điểm này có tọa độ nguyên
Trang 4Suy ra :
*)Nếu hai điểm xác định như trên là hai đỉnh kề nhau của ngũ giác thì M nằm trên một cạnh của ngũ giác
*) Nếu hai điểm xác định như trên không là hai đỉnh kề nhau của ngũ giác thì M nằm trong ngũ giác
Bài 6 : cho ABC nhọn Đường trò (O) đường kính BC cắt AB, AC thứ tự tại M và N Tia phân giác trong của các góc : BAC , MON cắt nhau ở P
6.1)Chứng minh : OMN BAC và tứ giác AMPN nội tiếp
6.2)Gọi Q là giao của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP & CNP
Ch/m: ba điểm B, Q, C thẳng hàng
6.3)Gọi O1, O2, O3 thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác: AMN, BMP, CNP.
Ch/m: 4 điểm O, O1, O2, O3 cùng thuộc một đường tròn.
6.1) a)Chứng minh: OMN BAC
Dễ thấy tứ giác BMNC nội tiếp AMN C
OBM cân tại O nên OMB B
OMN OMP B C OMN BAC OMN BAC
b)Chứng minh : tg AMPN nội tiếp:
Gọi H, K thứ tự là hình chiếu vuông góc của P trên AB, AC
Vì P nằm trên tia phân giác của góc A nên PH = PK
Vì OPM =OPN (cgc) PM = PN
PHM PKN ch cgv PMH PNK
Tg AMPN có một góc trong tại đỉnh M bằng góc ngoài tại đỉnh đối diên N nên nội tiếp được đường tròn
6.2)Ta có:
- tg BMQN nội tiếp BQP AMP ; - tg AMPN nội tiếp CNP AMP BQP CNP
Mà tứ giác CNPQ nội tiếp nên :
CQP CNP BQP BQP CQP BQC
Vậy 3 điểm B, Q, C thẳng hàng
6.3)Ta có:
-
0
0
O O B M OO BM O O C N OO CN O OO BAC
O O P M O O PM O O P N O O PN O O O MPN
O OO O O O BAC MPN O OO O O O
Vậy tg O, O1, O2, O3 cùng thuộc một đường tròn
O1
O3
O2
P
Q
N
M
O A