LUYỆN THI đại học TOÁN

Gọi là hoành độ các điểm trên , mà tại đó tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng.. Câu 44: Trên đồ thị của hàm số có điểm sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành

ĐẠO HÀM

A LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1.1 Định nghĩa :Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b; và x0a b; , đạo hàm của hàm số

tại điểm x0là :      

0

0 0

Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0thì nó liên tục tại điểm đó.

2 Ý nghĩa của đạo hàm

Cường độ tức thời của điện lượng QQ t tại thời điểm t0 là : I t 0 Q t' 0

3 Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

sinx cosx  sinu u cos u

cosx  sinx  cosu  u.sinu

khi x khi x



 có đạo hàm tại điểm x  0 0

khi x khi x

khi x khi x

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:

1sin( )

khi x khi x





(1) Hàm số ( )f x liên tục tại điểm x 0

(2) Hàm số ( )f x không có đạo hàm tại điểm x 0

Trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ(1) đúng B.Chỉ(2) đúng C.Cả(1), (2) đều đúng D Cả(1), (2) đềusai

khi x khi x

khi x x

Câu 13: Đạo hàm của hàm số

2

11

x y x

y x x Đạo hàm y a.sin 2 cos cos 2x  x Giá trị của a

là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?

A. 0; 2  B. 1;5 C. 3; 2 D. 4; 7 

Câu 17: Cho hàm số 1 1 1 1 1 1cos

18



Câu 18: Đạo hàm của hàm số

2 2

x y



 (a là hằng số) là:

Câu 23: Cho hàm số ycosx Khi đó y(2016)( )x bằng

Câu 24: Cho hàm số ycos 22 x Giá trị của biểu thức yy16y16y là kết quả nào sau 8

Câu 25: Cho hàm số   cos 2

Câu 35: Đẳng thức nào sau đây đúng?

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Câu 39: Biết tiếp tuyến của hàm số vuông góc với đường phân giác góc phần tư

A

B

C

D

Câu 40: Cho hàm số Có bao nhiêu cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó

song song với nhau:

Câu 41: Cho hàm số 1 3 3 2 1

3

y x  x   có đồ thị x  C Trong các tiếp tuyến với đồ thị  C , hãy

tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

A. y 8x19 B. y x 19 C. y 8x10 D. y  x 19

Câu 42: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi là hoành độ các điểm trên

, mà tại đó tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng Khi đó bằng:

d  x Có bao nhiêu tiếp

tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d?

A. 2 tiếp tuyến B.1 tiếp tuyến

C. Không có tiếp tuyến nào D. 3 tiếp tuyến

Câu 44: Trên đồ thị của hàm số có điểm sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa

độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ là:

Câu 45: Tiếp tuyến của parabol tại điểm tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông

Diện tích của tam giác vuông đó là:

x y x

43

11

y x

54

52

254

Câu 46: Cho đồ thị hàm số  C :y 1;

x

 điểm M có hoành độ x   M 2 3thuộc (C) Biết tiếp tuyến của (C) tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại A , B Tính diện tích tam giác OAB

A SOAB  1 B SOAB  4 C SOAB  2 D SOAB  2 3

Câu 47: Biết với một điểm M tùy ý thuộc  C :

Câu 48: Cho hàm số y x33x có đồ thị là 2  C Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ

đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

tại giao điểm của nó với trục tung

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

Câu 51: Cho hàm số 1

x y x





 .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M 

 C mà tiếp tuyến của  C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d y: 2m 1

Câu 52: Cho hàm số y133x508; y8x8; y5x4., có đồ thị là  C Có bao nhiêu điểm

 C thuộc  C sao cho tiếp tuyến tại   của  C cắt   Oy tại

 C mcắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với

C m tại hai điểm này vuông góc với nhau

Câu 55: Phương trình tiếp tuyến của  C : 3

yx biết nó đi qua điểm M2; 0 là:

x

f x    , có đồ thị x  C Từ điểm M2; 1  kẻ đến  C hai tiếp tuyến

phân biệt Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A. y   và x 1 y  x 3 B. y2x và 5 y 2x 3

C. y   và x 1 y   x 3 D. y  và x 1 y   x 3

Câu 57: Tiếp tuyến của paraboly 4 x2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông

Diện tích của tam giác vuông đó là:

x

g x 

Gọi d d lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số 1, 2 f x g x đã cho tại giao điểm của    ,

chúng Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu

Câu 59: Cho hàm số 2 2

1

x y x





 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp

tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân

A. :y   ;x 7 :y   x 1 B. :y 2x ;7 :y  x 11

C. :y  x 78;:y  x 11 D. :y   ;x 9 :y   x 1

Câu 60: Cho hàm số y   có đồ thị x 1  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng x 0





 Có bao nhiêu cặp điểm A B thuộc ,  C mà tiếp tuyến tại đó

song song với nhau:

Câu 62: Trên đồ thị của hàm số 1

1

y x



 có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa

độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ M là:

Câu 65: Cho hàm số yx32018x có đồ thị là  C M là điểm trên 1  C có hoành

độ x  Tiếp tuyến của 1 1  C tại M cắt 1  C tại điểm M khác 2 M , tiếp tuyến của 1  C

tại M cắt 2  C tại điểm M khác 3 M , tiếp tuyến của 2  C tại điểm M n1 cắt  C tại điểm n

M khác M n1 n 4; 5; , gọi x y là tọa độ điểm n; n M Tìm n n để:

2019

2018x ny n2  0

3 2 23

5 2 23

tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d x: 2y 0

A

023

m m

m m

Câu 70: Cho hàm số có đồ thị và điểm Gọi là tập hợp tất cả các

giá trị thực của nguyên thuộc khoảng để từ kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị Tổng tất cả các phần tử nguyên của bằng

Câu 71: Cho hàm số   3 2

f x x  x  x có đồ thị  C Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị  C

tại điểm thuộc đồ thị  C có tung độ là nghiệm phương trình 2 'f  x x f '' x  6 0

Câu 74: Cho hàm số y f x y( ); g x( ) dương có đạo hàm f x g x trên '( ); '( )  Biết rằng tiếp tuyến

tại điểm có hoành độ x  của đồ thị hàm số o 0 y f x y( ); g x( ) và ( ) 1

( ) 1

f x y

Câu 75: Cho hàm số yx33x22x có đồ thị ( )1 C Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành

độ lần lượt là a và bab và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau AB 2 Tính

Câu 76: Cho hàm số y2x33x2 có đồ thị ( )1 C Xét điểm A thuộc (C) Gọi S là tập hợp tất cả

các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B(BA) thỏa

Câu 78: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số 1 4 3 2 5

y x  x  ( )C sao cho tiếp tuyến của (C) tại A

cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho AC3AB(với B nằm giữa A và C) Tính độ dài đoạn thẳng OA

2

A cắt (C) tại điểm thứ hai A3 A2 có hoành độ x Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C) 3

tại A n1cắt (C) tại điểm thứ hai A n  A n1 có hoành độ x Tìm n x2018

Câu 80: Cho hàm số y 2x33x2 có đồ thị 1  C Xét điểm A có hoành độ 1 x  thuộc 1 1  C

Tiếp tuyến của  C tại A cắt 1  C tại điểm thứ hai A2  A1 có hoành độ x Tiếp tuyến của 2

 C tại A cắt 2  C tại điểm thứ hai A3 A2 có hoành độ x Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến 3

của  C tại A n1 cắt  C tại điểm thứ hai A n  A n1 có hoành độ x Tìm giá trị nhỏ nhất n

của n để x  n 5100

Câu 81: Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số yxa3xb3xc3 có hệ số góc nhỏ nhất

tại tiếp điểm có hoành độ x  1 đồng thời a b c là các số thực không âm Tìm GTLN tung , ,

độ của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung?

Trước tiên hàm số phải liên tục tại x 0

khi x khi x



 có đạo hàm tại điểm x 0 0

A. a1;b 1 B. a 1;b 1 C. a 1;b  1 D. a0;b 1

Hướng dẫn giải Chọn A

Giới hạn lượng giác

0( 1)( 2) ( 1000) 1000!

khi x khi x

khi x khi x

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:

Chọn D.

Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa    0

sin0

1sin( )

khi x khi x





(1) Hàm số ( )f x liên tục tại điểm x 0.

(2) Hàm số ( )f x không có đạo hàm tại điểm x 0

Trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ(1) đúng B.Chỉ(2) đúng C.Cả(1), (2) đều đúng D Cả(1), (2) đềusai

n x

 

1

22

khi x khi x

Câu 8: Đạo hàm của hàm số  

khi x x

Với x 0 hàm số luôn có đạo hàm

Để hàm số có đạo hàm trên  thì hàm số phải có đạo hàm tại x 0

 0

x y x



 Khi đó Pa b bằng:

Chọn C

y x x Đạo hàm y a.sin 2 cos cos 2x  x Giá trị của a là

số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?

A. 0; 2  B. 1;5 C. 3; 2 D. 4; 7 

Chọn C

y = −2 sin x cos x cos(cos x) cos sin x − 2 sin x cos x.sin(cos x).sin sin x

= −sin(2x).cos cos x − sin x = −sin(2x).cos(cos 2x)

x y

Câu 23: Cho hàm số ycosx Khi đó y(2016)( )x bằng

A. A 6 B. A  6 C. A 0 D. A  12

3 2

+ Với m 0 thì (1) trở thành  1 0 nên đúng với   x

0

m a

lượng giác f x trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?

Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

Câu 35: Đẳng thức nào sau đây đúng?

…

Từ việc thử đáp án ta được kết quả

Nhân 2 vế với x ta được: x(1x)n  x C n0x C2 1nx C3 n2 x C n n n1x n1.C n n

Lấy đạo hàm 2 vế ta được : (1 )n (1 )n 1 0 2 1 3 2 2 ( 1) n n

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Câu 39: Biết tiếp tuyến của hàm số vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ

Câu 40: Cho hàm số Có bao nhiêu cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó song

song với nhau:

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng

Gọi là điểm đối xứng với qua suy ra Ta có:

x y x







11

x y x

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:

Ta thấy nên có vô số cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau

Câu 42: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi là hoành độ các điểm trên

bằng:

Hướng dẫn giải

Tiếp tuyến tại của vuông góc với đường thẳng Hoành độ

của các điểm là nghiệm của phương trình

tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d?

A. 2 tiếp tuyến B.1 tiếp tuyến

C. Không có tiếp tuyến nào D. 3 tiếp tuyến

Câu 44: Trên đồ thị của hàm số có điểm sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ

tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ là:

43

11

y x



Ta có: Lấy điểm

Giao với trục tung:

Vậy

Chọn D

Câu 45: Tiếp tuyến của parabol tại điểm tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông

Diện tích của tam giác vuông đó là:

Hướng dẫn giải

+ Ta có giao tại , giao tại khi đó tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông vuông tại

A SOAB  1 B SOAB  4 C SOAB  2 D SOAB  2 3

Câu 47: Biết với một điểm M tùy ý thuộc  C :



 , tiếp tuyến tại M cắt  C tại hai điểm

A,Btạo với I 2; 1 một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là?

x x

0

1

x Oy=B ;

0 0

54

52

254

x x

Nếu I là giao hai tiệm cận, thì I có tọa độ I 2; 1 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x  2 suy ra H( 2; 2 x03)

0 0

Chứng tỏ S là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

Câu 48: Cho hàm số y x33x2 có đồ thị là  C Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó

kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Xét điểm M m( ; 0)Ox

Cách 1: Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình: yk x( m)

d là tiếp tuyến của  C hệ

Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì  1 phải có nghiệm x, đồng thời phải có 3 giá trị k

khác nhau, khi đó  2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, đồng thời phải có 2 giá trị k

Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán

Giả sử tiếp tuyến  d của  C tại M x y( ;0 0)( )C cắt Ox tại A Oy tại , B sao cho

253

để tiếp tuyến của

tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ

một tam giác có diện tích bằng 8

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

4:3

Phương trình tiếp tuyến với (C m) tại điểm m là y mx 1 m

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ 1

; 0

m A





 .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M   C

mà tiếp tuyến của  C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường

Gọi M x y( ;0 0)( )C Phương trình tiếp tuyến tại M : 2 0 0

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung



2

2 0

Mặt khác:

Câu 52: Cho hàm số y133x508; y8x8; y5x4., có đồ thị là  C Có bao nhiêu điểm  C

Phương trình tiếp tuyến x   của 0 1  C tại x  là: 0 2 y5x 4

Tiếp tuyến y133x508; y8x8; y5x4 cắt hai trục tọa độ



 tại hai điểm phân biệt  2 

 C mcắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với C m

tại hai điểm này vuông góc với nhau

Hàm số đã cho xác định trên \ 1 .Xét phương trình hoành độ giao điểm của C m và trục hoành:

'

11

y x

x x

 Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp

tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  

Gọi M x y 0; 0 là giao điểm của đồ thị  C với trục hoành thì y0 x022mx0m và hệ 0

số góc của tiếp tuyến với  C tại M là:

2x 2m k

2

2x 2m k

Câu 55: Phương trình tiếp tuyến của  C : yx3 biết nó đi qua điểm M2; 0 là:

A. y27x54 B. y27x9; y27x 2

C. y27x27 D. y0;y27x54

Hướng dẫn giải Chọn D

+y'3x2.+ Gọi A x y là tiếp điểm PTTT của ( )( ;0 0) C tại A x y là: ( ;0 0)

Câu 56: Cho hàm số  

2

14

Gọi N x y 0; 0 là tiếp điểm;

2 0

Phương trình tiếp tuyến : y   và x 1 y  x 3

Câu 57: Tiếp tuyến của paraboly 4 x2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông

Diện tích của tam giác vuông đó là:

Câu 58: Cho hai hàm số   1

x

g x 

Gọi d d lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số 1, 2 f x g x đã cho tại giao điểm của    ,

chúng Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu

Câu 59: Cho hàm số 2 2

1

x y x

Hàm số xác định với mọi x 1

Ta có: ' 4 2

( 1)

y x





Tiệm cận đứng: x 1; tiệm cận ngang: y 2; tâm đối xứng (1; 2)I

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( ;0 0)  C :

0 0 2

Câu 60: Cho hàm số y  x 1 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến tạo

với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng x0

Hướng dẫn giải Chọn D

1( ; 0)2

2 0 2

2 0

0 2



 có tâm đối xứng I 1;1 Lấy điểm tùy ý A x y 0; 0   C

Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B2x0; 2y0   C Ta có:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là:  



 có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ

tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ M là:

Ta có:

 2

1'

x x



Giao với trục hoành:   Ox=A 2 x01; 0

Giao với trục tung:  

 

0 2 0

Oy=B 0;

1

x x

0 0

Đường thẳng yx3mx2 và đồ thị hàm số 1 y  tiếp xúc nhau 5

( ) :C y2x 3x 2 tại ba điểm phân biệt A B I, , 1; 3  mà tiếp tuyến với ( )C tại A và tại

Câu 65: Cho hàm số yx32018x có đồ thị là  C M1 là điểm trên  C có hoành

độ x  Tiếp tuyến của 1 1  C tại M cắt 1  C tại điểm M khác 2 M , tiếp tuyến của 1  C

tại M cắt 2  C tại điểm M khác 3 M , tiếp tuyến của 2  C tại điểm M n1 cắt  C tại điểm n

M khác M n1 n 4; 5; , gọi x y là tọa độ điểm n; n M Tìm n n để:

2019

2018x ny n2  0

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi M kx y k; k   C với k 1; 2; Tiếp tuyến tại M : k y y x k xx ky k