đề toán cao cấp a2

đề thi những năm gần đây

ĐẠI HỌC SU PHAM KY THUAT TP.HCM

- KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BO MON TOAN

Bài!

Tính định thức

| 1 x x oy

12x 3x? 4z]

jax? 3x7 2x 1)

Bai2

Giải và biện luận hệ phương trình

ƒ2xrzrsret

Jưxy+z = 2m [x-3y 3m Bai 3

Trong khéng gian R* voi tich Euclid thông thườn

ws (1,-1,-4,0), us = (1,1,2,4), us = (2,1,1,6), ta = (2-1,

1) Tim hang ctia hé vectd { ur, ua, us, Ug }

DE THI MON : TOAN CAO CAP A2

Mã môn học : 0001012

Đề thi có một trang Thời gian : 90 phút Không sử dụng tải liệu

g cho các vectơ :

-5,2) Dat W =< uz, ur, ua, Le >

2) Tập { un, ue, us, uy} ddc lap myén tinh hay phụ thuộc tuyến tính?

3) Tim cơ sở trực chuẩn của W

Bài 4

Cho toán tử tuyến tính /£:R) —> có ma trận đối với cơ sở đ= ( H12, 0á, } của RPA

~1 -1 2j 1) Tính /(4), /G¡,), (G6) thếo tuy,

2) Hỏi vectơ v=

3) Tìm trị riêng, vectd riêng của Avà 7],

4) Chếo hoá trực giao ma trận A

t2, +3u; có thuộc kezf không?

; Chí chủ : Cán bộ coi thi không giải thích để thi

Ngày CÍ tháng / năm 2005

Chủ nhiệm bộ môn

ae “Weng \Ay Oh An

f

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THỊ MÔN : TOÁN CAO CẤP A2 KHOA KHOA HOC COB AN MA MON HOC : 0001012

Thời gian : 90 phút

Không sứ dụng tài liệu

Câu 1 Cho ánh xạ tuyến tính / : #` — #ˆ thỏa

#(11.0)=(2,1,5); £(0,1,1) = (0-11); 7 (0,2, 1) =(1,0,3)

a) Tim ƒ(x,,x;,x;)

b) Tìm một cơ sở của Im f va mét co sé cla Kerf

c) Tìm ma trận của ƒ đối với cơ sở

E={£, =(,9,0;y; =(0,1,0);¥, =(,—1,0)}

Câu 2 Trong không gian vecta Afx] cho co sé B= {u, =Tjay =1+x5% =I+z#}

a) Chứng mỉnh rằng hệ E=Íy, =w;+;;v, =0, +w,;v, =2u, +u¿} cũng là một

cơ sở của P,[x] va tim ma trận chuyên từ cơ sở # sang cơ sở E

b) Cho biết tọa độ của vectơ ø đối với cơ sở Z là

Tìm tọa độ của vectơ ø đối với cơ sở Ø và tìm ø

Câu 3 Trong “* cho không gian vectơ con

W =Âu =(,1/1,2);% = (2,1,3,0:% =(,0,2.—D)

a) Tìm một cơ sở của W,

b) Cho không gian vectơ con U=(y, =(1,2,0,5);v, =(1,0,2,m)) Tim m dé

U=VW

1 1 2 Câu 4 Cho ma trận 4=|0 -I 1

0 0 -i

a) Hãy chéo hóa ma trận 4

b) Tinh ma tran 4°

Ngày 2Š tháng o†năm 2005 Chủ nhiệm bộ môn

ĐẠI HỌC SƯ PHAM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THỊ MÔN: TOÁN A2

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Mã môn học: 0001012

BỘ MÔN TÓAN Đề thi có 1 trang

Thời gian 75 phút Không được đùng tài liệu

Câu Í: Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số m:

x+yt(l-m)z = m+2

(+m)x—y+2z = 0

2x~my+3z = m+r2

Câu 2: Cho W ={(x,y.z)/ 2x +4y-5z=0} CR’

a) Chứng minh rằng W là một không gian con của R?

b) Tìm một cơ sở và số chiều của W

Câu 3: Cho ánh xạ tuyến tính ƒ:R°-> Rˆ thoả:

Ff (2,0,3) = (12,3,12)

Ff {4,1,5) = (1,0, 0)

f (31,2) =(U1,2,13)

a) Tìm ma trận của † đối với cơ sở: B=Ív, =(2;0,3),vạ =(4.1,5),v; =(3.1,2)}

b) Tìm một cơ sở của Imƒ,

Câu 4: Cho dạng toàn phương trên R°:

f(Xi,X;,X;)= 2x7 +x} +x? +2x,x, +aXx,X,

a) Đưa đạng toần phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange

b) Với giá trị nào của a thì ƒ xác định dương?

Ghi chú:

:_ Cấn bộ coi thi không giải thích để thi

Ngày tháng osnăm 2005

Chủ nhiệm bộ môn

DAI HOC SU PHAM KY THUAT TPHCM ĐỀ THỊ MÔN:TOÁN CAO CAP 2 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Mã môn học: 1001012

BỘ MÔN TOÁN Đề thi số : 02

Thời gian: 90 phút

Được sử dụng tài liệu tham khảo

Câu 1 Tính và trình bày kết quả dưới dang dai so: z= To )

—Ĩ

Câu 2 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số m:

x +ỳ TMZ = m

Câu 3 Trong không gian `, cho 8= fu; =(0,1.1 =(1,2,2), u, =(0,-1, 1)} va

ữ={n, =(L0.=0, 9y =(tL1), 9, =(-1,2,2)}

1) Ching minh B va E là các cơ sở của a8

2) Tìm một cơ sở trực chuẩn của B

3) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang £ Cho uv =(1,2,3); dm [m],-

Câu 4 Cho dạng toàn phương: / (x,„x;,x;}= 2X) +31px; + 4; +1; tư

po Xba qe +35 Phép đổi biến k =X, 3 có đưa dạng toàn phương đã cho về dang

byt Hy chính tắc không? Tại con

Ghi chi: Can bệ coi thi không giải thích đề thi

Ngày42 tháng ginăm 2006

Bộ môn duyệt

ĐẠI HỌC SƯ PHAM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THỊ MÔN: TOÁN CAO CẤP A2 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Mã môn học: 0001012

BỘ MÔN TOÁN Đề thi có 01 trang

Thời gian 90 phút

Không được dùng tài liệu

Câu!: Trong không gian 2, [x] với tích vô huéng : (uj v) = [a@vGsk

-Ì

Hãy trực giao hóa hệ véc tợ M =i1xx)

„ „(2 -1) Câu): Tính 4" biết 4=| |

3-2)

Câu 3 : Cho toán tử tuyến tính: 7: > ®? xdc dinh như sau :

/⁄@Œ,w,Z)<(2y+z,x¬4y,3x)

a) Tìm ma trận của Í rong cơ sở B= fe, =(,L9,e =(1,10),e =(1,0,9)) b) Tun ker()

Câu 4 : Đưa đạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc bằng phép biến đổi

trực giao

ƒX,xs,X)) =3x + 247 ty + ÁxX, +4Y¿

Tìm hạng và xét dấu của dạng toàn phương f

Câu 5 : Chứng mình tập W = Í(x,y,2) €Ñ”Ì x+ y =0,2x~Z = 0} là một Không

gian con của 3`; Tìm một cơ sở của không gian W

Cán bộ coi thi không giải thích dé thi

Ngày25 tháng 05năm 2006

Chủ nhiệm bộ môn

⁄ứ

Zo

Trsking Vinh Ay

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI MON: TOAN CAO CẤP Aa

Khoa Khoa học Cơ bản Mã môn học: 1001012

Bộ môn Toán Đề thi gồm 01 trang

Thời gian : 60 phút Không được sử dụng lài liệu khi thi

KX, +TX;y TX¿ +x, = |

Câu {; (2 điểm) Giải hệ phường trình: 4ˆ) : ; ‘

-X, +2X;y TỔN: +3xy = 2

[x, +5x, +5x, +1llxy = 5

Câu 2: (3 điểm) Trong không gian R” cho các véctơ

uy= (1,05 1; 1), u2 = C1, 1; 050), us = (0; 1; 15 1), us = (3; -2; 1; DD

a) Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các véctở uị, 0s, U3, Us

b) Gọi W là không gian con của RỶ sinh bởi các véctơ u¡, uo, ua, u¿ Tìm một cơ

sở và số chiều của không gian con W, c) Tim m dé vécto u = (1; 2; 3; m) &hông thuộc không gian con W,

Câu 3: ( 3.5 điểm) — Cho ma trận A = '

\3 57

a) Chếo hóa trực giao ma trận A

b) Đưa dạng toần phương f(x), x2) = Šx? +5x? +6x,x; về dạng chính tắc bằng

phép biến đổi trực giao

Câu 4: ( 13 điểm )

Trong không giản Ps|x| các đa thức bậc bé hơn hoặc bằng 2, cho

l

tich VOhudng << fg >= [tf(4)g(x)4x; với f(x), g(X) €Pa[x]

—1

Xác định hằng sốm để tập B = {x”, x, m} là cơ sở trực giao của P›[x|

+ Ghi chú ; Cán bộ coi thí không đuợc giải thích đề thi

Ngày 13 thang 7 nam 2007

Bộ môn Toán:

Ngô Hữu Tâm

PHAN 2: TU LUAN

Câu 6 Giải và biện luận hệ phương trình sau băng phương pháp Cramer:

+mx+z=l

ztmptxe=l

x+mz+y=]

Câu 7 Cho ánh xạ tuyến tính ƒ':Ä⁄Z;(Ñ)—> IRỶ với

XX,

X ấy

a) Tìm một cơ sở và số chiều của Kerƒ,Im #

b) Cho u= 3 ‘| „ xác định tọa độ của véctơ ƒ(} đôi với cơ sở chính tac

của không gian R

Câu 8 Cho dạng toàn phương ƒ(x,.x;,x;) = 3x + 4x;x; +3x7

Goi A la ma tran của đạng toàn phương /

a) Đưa dạng toàn phương đã cho về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao

b) Xác định dấu của ƒ

c) Tính det(49)

Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích đề thì ~

Ngày 42 tháng 9 năm 2008

Bộ môn duyệt

nạ Vink di

ĐẠI HỌC SƯ PHAM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THỊ MÔN: TOÁN CAO CAP A2

KHOA KHOA HOC CO BAN Ma mon hoc: 1001012

Thời gian 75 phút

Không được dùng tà: liệu

U PHẦN TRẮC NGHIỆM:

-1 5 9 50a

Câu I: Tính định thức cấp4: D=| 7 © 11 694

3 7 12 70a

—4 8 13 80a

Câu 2: Tìm m để hệ véc tơ A độc lập tuyến tính trong P,|x]

aym= 1 b)m #1 c) khong t6ntaim d) Kết quả khác

l/ PHAN TỰ LUẬN:

A, +X, +X, =m

Câu 3:Giải và biện luận hệ phương trình: 4x, -mx; +x; =0

X,+2x,+x, =m

Câu 4: Cho ánh xạ f:R ¬ R” được xác dinh f(x,y,z) = (x-y,x+2z)

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

b)Tìm một cơ sở và số chiều của kerf

Câu 5: Cho dạng toàn phương Í(x,X¿,X:) = 3x17 + 3x07 —4x xo + 5x3"

a) Đưa đạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực

giao

b) Xác định dấu và hạng của dạng toàn phương trên

Cán bệ coi thi không giải thích để thi

Ngày /s tháng é năm 2008 Chủ nhiệm bộ môn

Xị + HẠ + mã + HOngg =0" — Ì

xị + 2m1; + Hãy + TNX yy = 0

xị + my + 3m: + + Hgg = 9

|x; + mà; + mạc + + LOOM 9g = 0

Ạ Ẩn tế - 2à, 2

Câu 6 Cho ánh xạ tuyến nh ƒ#: P,[x| >IR với f (ax +bx+ c) =(a-3e;b+e)

a) Xác định một cơ sở và số chiều của Kerf

b) Cho B= fu, =34+x,u, = = +}, E={»,=(;D,v; = (0;1)} lần

lượt là các cơ sở của 7,[x]và RỶ Tìm [7];„: [/(u)], viet [u], =] 0 |

]

Câu 7 Cho dang toan phuong f (x,,%),%;) =—2x) — 523 — Say ~ 4xx; + 4xx: +ÑX¿ My

Goi A lama tran ctia dang toan phuong f

c) Biét A cd mét ti riéng bdi hai, tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian

riêng của A tng voi trị riêng đó

d) Xác định dấu và tầm hạng của dạng toàn phương ƒ

Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích đề thì

Ngày øT† thango4 nam 2008

Bộ môn duyệt „2ˆ

f0 Vinh An

ĐẠI HỌC SƯ PHAM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THỊ MÔN: TOÁN CAO CẤP A2 KHOA KHOA HOC CO BAN Mã môn học: 1001012

: Thời gian 75 phút

Không được dùng tài liệu

Cau 1:

a) Giải và biện luận (theo Xe R) hệ phương trình:

(A+Dx, +X +X; =A(A+3)

(*) dx, 4Q4Dx, +x, =VAF3)

x,+X; +t+Ùx; =À +3)

b) Gọi W = {x = (x; „Xa, x;)e R”/ x là nghiệm hệ phuơng trình (*) khi

À=0}

i) Chứng minh rằng W là không gian con của RẺ

ii) — Tìm cơ sở của W

Câu 2: Cho ánh xạ f:R” ~>R” VỚI f(X,,x;,X;) =(Xi —X;,Xị +X¿)

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

b) Tìm một cơ sở và số chiêu của kerf

c) Tim [f(,2,3], với B={v, =(,2);v; = 03)} là một cơ sở của R”

Câu 3: Hãy chéo hóa trực giao ma trận:

5 -1 2 Az=|-1,5 2

2 2 2

Cán bộ coi thi không giải thích dé thi

Ngay do thang of nam 2008 Chủ nhiệm bộ môn

Zo

⁄

— enutong Vink Hn

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THỊ MÔN: TOÁN CAO CẤP A2 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Mã môn học: 1001012

BỘ MÔN TOÁN Để thi có 01 trang

Thời gian 75 phút Không được dùng tài liệu

Câu 1: (2đ)

Giải và biện luận hệ phương trình: tự -Mxriyr2z==m -l

y+z=m

Câu 2: (5đ)

Cho ánh xạ tuyến tính ƒ:iR? => R°, Ñx,.x;) = (x, -2x,,2x,-4x,)

a) Chimg minh Kerf là một không gian con của R” Tìm một cơ sở

và số chiều của Kerf Véc to ¿=(-1,~2) có thuộc Im ƒ không? Tại sao?

b) Cho 8 ={z›,u,}, E={v, =(,=D,v, =(1,2)} là các cơ sở của IR”, biết ma

trận chuyên từ cơ sở ?sang cơ sở E là P,,, = R ; im cơ sở 8

e) Tìm ma trận của / đối với cơ sở #

a) Đưa dạng toàn phương / sau đây về dạng chính tắc băng phép biên doi trực giao, từ đó suy ra dấu và hạng của đạng toàn phương ƒ

3 2 2

#(X,;X;,X;)= 3X + 3x, + xy —4a,x,

2016

b) Tim ma trận M thỏa mãn |-4 6 0 M=| 1]

Cán bộ coi thi không giải thích dé thi

Ngày 21 thang 01 năm 2009 Chủ nhiệm bộ môn

fBuung Vinh win

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐỀ THỊ MÔN: TOÁN CAO CẤP A2

KHOA KHOA HOC CG BAN Mã môn học: 1001#12

Thời gian 75 phút Không được dùng tài liệu

Câu 1: (2 điểm)

Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau :

x+2y+mz =]l

2x+my +3z=—]

x+2y-2z=m+l

Câu 2: (5 điểm)

Trong không gian 8#” cho một cơ sở 8 = fut, =(11), = (~1,2)}va ánh xạ

tuyén tinh f:R? > R*, /(X,.x;)=(2x,+xy.x.—x:}

a) Tìm ma trận của / đối với cơ sở 8

b) Xác định một cơ sở và số chiều của Im f Tim Kerf

c) Tìm véc tợở we Ñ“ sao cho [foo], = )

đ) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở Ø sang cơ sở chính tắc của không

gian &”

Câu 3: (3 điểm)

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao: ƒ(x,,x;,x;)= 2x” —2x,X; +22 ~2x;x; +3x; Tìm hạng và xét đấu dạng toàn phương ƒ-

Cán bộ coi thi không giải thích để thi

Lần soát xét THQ 002 Ngày LŠ tháng € năm 2010

Bộ môn duyệt

z2

ấu tu Wal oh

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐÈ THỊ MÔN : TOÁN CAO CÁP 2

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Mã môn học 1001012

BỘ MÔN TOÁN Đề thi số 3 có 2 trang

Thời gian : 75 phút Không được dùng tài liệu

ĐE2-

SV ghi vào giấy làm bài -

PHAN 1: TRAC NGHIEM (Sinh viên chỉ cần ghỉ số thứ tự của tất cá các câu và ghi đúng hoặc sai (không cần giải thích) vào các dòng đầu tiện trong giấy làm bài, ví dụ:1a) đúng; 1b) đúng; Ic) sais Ghird DE 1 hay DE 2)

Câu 1 (1điễm)

Trong không gian Euelide R? , Goi U là không gian con sinh bởi các véc tơ:

{9 =(;0;0),v, = (0;1;0),v, = (0;0;0,v, = (;1;Ð}

Các khẳng định nào sau đây đúng, sai:

a) {v,,v,,vạ, v„} độc lập tuyến tính b) vị không là tổ hợp tuyến tính của {vạ, v;, v„ }

€) {w,,v„,v;,v,} là tập sinh của RÌ d) {y,,y;,v;,v,} là cơ sở trực giao của U,

Câu 2 (1điểm)

Cho 44,B,1 œ Ä; (IÑ)là các ma trận trực giao bất kỳ(ƒ là ma trận đơn vị)

Các khẳng định nào sau đây đúng, sai:

a) (4B) =(a"4) ‘7 b) (4Bry" = (142)

Câu 3 (1điểm)

Cho w =|sso* x? Eh Các khẳng định nào sau đây đúng, sai:

a) W ={(0,0)} b) dimW=1

c) W 1a tập rỗng đ) Tất cả a,b,c đều sai

PHẢN 2 : TỰ LUẬN

Cau 4 (2diém)

Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m:

x-my+z=0

x+(m-2)y+2z=m

x—ny+(l—m)z =3—m

Cau 5

Cau 6

(3diém)

Cho ánh xa tuyến tính

3x, —x;) A(x, ~x,)

B= {um =(1,—1,2, =(L,)} a co sd cia R’,

1 0 0 2 0 0 0 0 e=ine() 0)**|o 2) | elo 2Ì là cơ sở của

M,(R)

a) Xác định một cơ sở và số chiều của Ấerƒ,Ïm ƒ

1

b) Tim [fF], , tim mot vécts u thuge R? bist [ f(w)], = 3

2

(2diém)

Cho dạng toàn phương f (4),% %,) = 2x,x, +2x,x, + 2x,x, Goi 44 là ma trận của đạng toàn phương 7

a) Biết Á có một trị riêng bội hai, tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian riêng của Í ứng với trị riêng đó

b) Xác định dấu và tìm hạng của dạng toàn phương ự

Ghi chủ : Cán bộ coi thi không giải thích đề thì

Ngày #Í tháng ¡z năm 2010

Bộ môn duyệt