chuyên đề: Con lắc lò xo

Để giúp các em học sinh trang bị đầy đủ kiến thức liên quan đến con lắc lò xo trong đề thi THPT Quốc Gia, tôi xin được đưa ra chuyên đề “ Con lắc lò xo”. Chuyên đề giúp các em ôn luyện tốt chuẩn bị kỹ cho kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2020. Chuyên đề được soạn theo hướng: Tóm tắt lý thuyết Phân loại dạng toán và phương pháp giải. Ví dụ minh hoạ. Bài tập tương tự

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 4

PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 8

DẠNG 1 – CHU KỲ VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO 8

1.Phương pháp: 8

2 Một số ví dụ 8

DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO 11

1.Phương pháp 11

2 Một số ví dụ 12

DẠNG 3: XÁC ĐỊNH LỰC CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CỦA LÒ XO; CHIỀU DÀI LÒ XO 15 1 Phương pháp 15

2 Một số ví dụ: 16

DẠNG 4 : KHOẢNG THỜI GIAN NÉN, GIÃN 22

1 Phương pháp 22

2 Một số ví dụ 23

DẠNG 5: NĂNG LƯỢNG CỦA CON LẮC LÒ XO DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ 26

1 PHƯƠNG PHÁP: 26

2 Một số ví dụ 27

DẠNG 6: TỔNG HỢP VỀ CON LẮC LÒ XO 28

PHẦN 3: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

LỜI NÓI ĐẦU

Để giúp các em học sinh trang bị đầy đủ kiến thức liên quan đến con lắc lò xo trong đề thi THPT Quốc Gia, tôi xin được đưa ra chuyên đề “ Con lắc lò xo” Chuyên đề giúp các em ôn luyện tốt chuẩn bị kỹ cho kỳ thi THPT Quốc Gia năm

2020

Chuyên đề được soạn theo hướng:

Tóm tắt lý thuyết

Phân loại dạng toán và phương pháp giải

Ví dụ minh hoạ

Bài tập tương tự

Tôi hi vọng chuyên đề này sẽ đem đến cho các em nhiều điều bổ ích, trang bị cho các em kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi cao đẳng- đại học được tốt hơn, hiệu quả hơn

Mặc dù đã có nhiều cố gắngtrong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn

Trân trọng!

2.Phân loại, độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng (VTCB)

2.1 Con lắc lò xo nằm ngang

Độ biến dạng ban đầu: ∆l = 0

Lực đàn hồi tác dụng lên vật chính bằng lực hồi phục

2.2 Con lắc lò xo thẳng đứng

Tại vị trí cân bằng, lò xo dãn ( hoặc nén) một đoạnlà

2.3 Con lắc lò xo nằm nghiêng

Lò xo trên mặt phẳng nghiêng nghiêng một góc α: l mgsin

Chiều dài lò xo tại VTCB: l CB = l 0 + l

Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất)

L min = l 0 + l – A

Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất):

L max = l 0 + l + A

 l CB = (l Min + l Max )/2

Khi A >l (Với Ox hướng xuống):

Thời gian lò xo nén tương ứng đi từ M1 đến M2

Thời gian lò xo giãn tương ứng đi từ M2 đến M1

3.Lực hồi phục

Lực kéo về hay lực hồi phục F = - kx = - m2x

Là lực gây dao động cho vật

Luôn hướng về VTCB

Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ

Cực đại ở vị trí biên: Fmax = k.A

Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng

Có độ lớn Fđh = kx* (x* là độ biến dạng của lò xo)

+ Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng

Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:

Fđh = kl + x với chiều dương hướng xuống

Fđh = kl - x với chiều dương hướng lên

Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): FMax = k(l + A) = FKmax (lúc vật ở vị trí thấp nhất)

Lực đàn hồi cực tiểu:

Nếu A <l FMin = k(l - A) = FKMin

Nếu A ≥ l FMin = 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)

5 Hệ lò xo

+ Cắt lò xo: Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ

cứng k1, k2, … và chiều dài tương ứng là l 1 , l 2 , … thì có: kl = k 1 l 1 = k 2 l 2 = …

2 2 2

1

mω A sin (ωt + φ) 2

1

mω A cos (ωt + φ) 2

Động năng và thế năng của vật dao động điều hòa biến thiên với tần số góc

’=2, tần số f’= 2f và chu kì '

2

T

T =

Mốc thế năng được chọn ở VTCB

Cứ sau T/4 chu kỳ thì động năng lại bằng thế năng (tại

2

A

x = ± )

Cơ năng

Cơ năng phụ thuộc cách kích thích cho hệ dao động

Cơ năng trong dao động điều hòa được bảo toàn va tỉ lệ với bình phương biên độ

Cơ năng trong dao động tắt dần không được bảo toàn, năng lượng mất đi bằng công của lực ma sát hoặc chuyển hóa thành nhiệt năng

PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 – Chu kỳ và tần số dao động của con lắc lò xo

2 2

m

k m

Mức độ 1: Nhận biết, thông hiểu

a, Một vật nặng gắn vào lò xo có độ cứng k = 40N/m thực hiện được 24 dao

động trong 12s Tính chu kỳ và khối lượng của vật Lấy 𝜋2 = 10

b, Vật có khối lượng m = 0,5kg gắn vào một lò xo, dao động với tần số f = 2Hz

Tính độ cứng của lò xo Lấy 𝜋2 = 10

N: Số dao động t: Thời gian

Với con lắc lò xo thẳng đứng Với con lắc lò xo nằm nghiêng góc 

c, Lò xo giãn thêm 4cm khi treo vật nặng vào Tính chu kỳ dao động tự do của

con lắc lò xo này Lấy 𝜋2 = 10

Ví dụ 3: Chu kỳ, tần số , tần số góc của con lắc lò xo thay đổi thế nào nếu:

Gắn thêm vào lò xo một vật khác có khối lượng bằng 1,25 lần khối lượng vật ban đầu?

Tăng gấp đôi độ cứng của lò xo và giảm khối lượng của vật di một nữa?

Hướng dẫn giải:

a 𝑇′ = 3𝑇2; 𝑓′ = 2𝑓3; 𝜔′ = 2𝜔3

b 𝑇′ =𝑇2; 𝑓′ = 2𝑓; 𝜔′ = 2𝜔

Ví dụ 4: Lò xo có độ cứng k = 1N/cm Lần lượt treo hai vật có khối lượng gấp 3

lần nhau thì khi cân bằng lò xo có các chiều dài 22,5cm và 27,5cm Tính chu kỳ dao động của con lắc lò xo khi cả hai vật cùng treo vào lò xo Lấy g = 10m/s2

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 5: Lò xo có độ cứng k = 80N/m Lần lượt gắn hai quả cầu có khối lượng

m1; m2 và kích thích Trong cùng khoảng thời gian, con lắc lò xo gắn m1 thực hiện được 10 dao động trong khi con lắc gắn m2 thực hiện được 5 dao động Gắn đồng thời hai quả cầu vào lò xo Hệ này có chu kỳ dao động 𝜋

2s Tính m1; m2?

Hướng dẫn giải:

Ta có : 𝑇1 = 10∆𝑡; 𝑇2 = ∆𝑡5 → 𝑇1

𝑇2 =12 → 𝑇2 = 2𝑇1Mặt khác: 𝑇2 = 𝑇12+ 𝑇22 = 5𝑇12 → 𝑇1 = 𝑇

√5 =2√5𝜋 → 𝑚1 = 1𝑘𝑔 → 𝑇2 = 2𝑇1 =

𝜋

√5→ 𝑚2 = 4𝑘𝑔

Ví dụ 6: Quả cầu có khối lượng m gắn vào một đầu lò xo Gắn thêm vào lò xo

một vật có khối lượng m1 = 120g thì tần số dao động của hệ là 2,5Hz Lại gắn thêm vật có khối lượng m2 = 180g thì tần số dao động của hệ là 2Hz Tính khối lượng của quả cầu, độ cúng lò xo và tần số dao động của hệ (quả cầu + lò xo) Lấy𝜋2 = 10

dao động với tần số f1 = 2,5Hz Tính độ cứng k của lò xo và m1 cho biết m2 = 225g Lấy𝜋2 = 10

Ví dụ 8: Một vật khối lượng m dao động với chu kỳ 0,3s nếu treo vào lò xo có

độ cứng k1, có chu kỳ 0,4s nếu treo vật vào lò xo có độ cứng k2 Tìm chu kỳ dao động của quả cầu nếu treo nó vào một hệ gồm:

a Hai lò xo k1 và k2 ghép nối tiếp

b Hai lò xo k1 và k2 ghép song song

* Viết phương trình dao động tổng quát: x = Acos(t + )

+ Tính  dựa vào điều kiện đầu t = 0

Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0

+ Trước khi tính  cần xác định rõ  thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác (thường lấy - π ≤  ≤ π)

+ Khi 1 đại lượng biến thiên theo thời gian ở thời điểm t0 tăng thì đạo hàm bậc nhất của nó theo t sẽ dương và ngược lại

2 Một số ví dụ

Mức độ: Thông hiểu - Vận dụng

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có

khối lượng m = 100 g, được treo thẳng đứng vào một giá cố định Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5 cm Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 3cm/s theo phương thẳng

đứng hướng xuống dưới Chọn trục toạ độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại

O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động Lấy g

= 10 m/s2 Phương trình dao động của vật nặng

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục

Ox với chu kì T = 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là L = 40 cm Chọn gốc thời gian lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm Phương trình dao động của con lắc

Hướng dẫn giải:

Ta có :- 𝜔 = 2𝜋

𝑇 = 10𝜋 (𝑟𝑎𝑑

𝑠 ) Biên độ dao động : L=40 → 𝐴 =𝐿

2=20cm Theo bài ra t=0 lúc {𝑥 = 0𝑣 < 0 ↔ {𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0𝑠𝑖𝑛𝜑 > 0 → 𝜑 = −𝜋

2 (rad/s) Vậy phương trình dao động là: 𝑥 = 20 cos (10𝜋𝑡 −𝜋2) (𝑐𝑚)

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc  = 300 so với mặt phẳng nằm ngang Ở vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn 5 cm Kích thích cho vật dao động thì nó sẽ dao động điều hòa với vận tốc cực đại 40 cm/s Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương Lấy g = 10 m/s2

Phương trình dao động của vật

Hướng dẫn giải:

-Tại VTCB: 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑘 ∆𝑙 →𝑚𝑘 =𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼∆𝑙 → 𝜔 = √𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼∆𝑙 = 10(𝑟𝑎𝑑𝑠 )

Ta có: 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴 → 𝐴 = 𝑣𝑚𝑎𝑥

𝜔 = 4(𝑐𝑚) Theo bài ra t=0 thì{𝑥 = 0𝑣 > 0 → {𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0𝑠𝑖𝑛𝜑 < 0 → 𝜑 =𝜋2

Vậy phương trình dao động là: 𝑥 = 4 cos (10𝑡 +𝜋2) (𝑐𝑚)

Mức độ: vận dụng cao

Ví dụ 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng m = 1 kg, lò xo nhẹ có

độ cứng k = 100 N/m Đặt giá B nằm ngang đỡ vật m để lò xo có chiều dài tự nhiên Cho giá B chuyển động đi xuống với gia tốc a = 2 m/s2 không vận tốc đầu Chọn trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương trên xuống, gốc tọa độ ở VTCB của vật, gốc thời gian lúc vật rời giá B Phương trình dao động của vật là?

Hướng dẫn giải:

- Ta có: 𝜔 = √𝑚𝑘 = 10 (𝑟𝑎𝑑𝑠 )

-Lúc đầu giá B và vật cùng chuyển động với gia tốc a:

+ Các lực tác dụng lên vât: 𝑃⃗ ; 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑁⃗⃗ đℎ

+ Theo đl II Niu tơn: 𝑃⃗ + 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁⃗⃗ = 𝑚𝑎 đℎ

+ Chọn chiều dương hướng xuống: Ta có: 𝑃 − 𝐹đℎ − 𝑁 = 𝑚𝑎 → 𝑁 = 𝑚𝑔 −

- Vậy vật rời giá B tại vị trí li độ: 𝑥 = ∆𝑙0− ∆𝑙 = 2𝑐𝑚

- Biên độ dao động của vật là: 𝐴 = √𝑥2+ (𝜔𝑣22) = 6(𝑐𝑚)

- Tại thời điểm t=0 thì 𝑥 = 6𝑜𝑠𝜑 = −2 →= 𝜑 =-1,91(rad)

Vậy phương trình dao động là: x 6cos 10t 1,91 cm.   

Ví dụ 5: Ba con lắc lò xo 1, 2, 3 đặt thẳng đứng cách đều nhau theo thứ tự 1, 2,

3 Ở vị trí cân bằng ba vật có cùng độ cao Con lắc thứ nhất dao động có phương

  cm, con lắc thứ hai dao động có phương trình x2 =

1,5cos(20t) cm Hỏi con lắc thứ ba dao động có phương trình nào thì ba vật luôn luôn nằm trên một đường thẳng?

Dạng 3: xác định lực cực đại, cực tiểu của lò xo; chiều dài lò xo

1 Phương pháp

a, Chiều dài lò xo: l0– là chiều dài tự nhiên của lò xo:

-Khi lò xo nằm ngang:

Chiều dài cực đại của lò xo: lmax = l0 + A

Chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin =l0 - A

- Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng hoặc nằm nghiêng 1 góc α:

Chiều dài khi vật ở vị trí cân bằng: lcb = l0 + ∆l Chiều dài cực đại của lò xo: lmax = l0 + ∆l + A

Chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin = l0 + ∆l – A

Chiều dài ở ly độ x: l = l0 + l+ x

b, Lực kéo về hay lực hồi phục

Lực kéo về hay lực hồi phục F = -kx = -m2x→ {𝐹𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝐴

𝑚𝑖𝑛 = 0

Đặc điểm:

* Là lực gây dao động cho vật (gây ra gia tốc)

* Luôn hướng về VTCB

* Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ

c, Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng

Có độ lớn Fđh = kx* (x* là độ biến dạng của lò xo)

* Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một(vì tại VTCB lò xo không biến dạng): 𝐹đℎ = 𝐹= kx

* Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng

+ Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:

* Fđh = kl + x với chiều dương hướng xuống

* Fđh = kl - x với chiều dương hướng lên

+ Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): FMax = k(l + A)= FKmax (lúc vật ở vị trí thấp nhất)

+ Lực đàn hồi cực tiểu:

* Nếu A <l FMin = k(l - A)= FKMin

* Nếu A ≥ l FMin = 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)

Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: FNmax = k(A - l) (lúc vật ở vị trí cao

Ví dụ 1: Con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k =

20 N/m treo thẳng đứng Cho con lắc dao động với biên độ 3cm Lấy g = 10 m/s2 Tính lực cực đại và cực tiểu tác dụng vào điểm treo lò xo?

Ví dụ 2:Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động với phương trình 𝑥 =

cos (10√5𝑡 +𝜋2) (𝑐𝑚) Lấy g = 10 m/s2 Tính lực cực đại và cực tiểu tác dụng vào điểm treo lò xo?

Ví dụ 3:Treo một vật nặng m = 200g vào một đầu lò xo, đầu còn lại của lò xo cố

định Lấy g = 10 m/s2 Từ VTCB, nâng vật lên theo phương thẳng đứng đến khi lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ thì lực cực đại và cực tiểu tác dụng vào điểm treo lò xo là bao nhiêu?

Ví dụ 4: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hoà với biên độ 10 cm Tỉ

số giữa lực cực đại và cực tiểu tác dụng vào điểm treo trong quá trình con lắc dao động là 7

3 Lấy g=𝜋2 = 10 Tính tần số dao động của con lắc

Ví dụ 5: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật nặng khối lượng m = 100g, lò xo có

độ cứng k = 40 N/m Năng lượng dao động của con lắc là W = 18.10-3J Lấy g =

10 m/s2 Tính lực đẩy cực đại tác dụng vào điểm treo lò xo?

Ví dụ 6: Con lắc lò xo treo thẳng đứng chiều dương hướng xuống, vật nặng có

m = 500g, dao động với phương trình 𝑥 = 10𝑐𝑜𝑠𝜋𝑡(𝑐𝑚) Lấy g = 10 m/s2 Tính lực tổng hợp tác dụng vào vật và lực tác dụng vào điểm treo lò xo ở thời điểm

Lực tác dụng vào điểm treo của lò xo: Fđh=k(: ∆𝑙0+ 𝑥) = 𝑚𝜔2(∆𝑙0+ 𝑥) =5,25(𝑁)

Ví dụ 7: Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với năng

lượng dao dộng là 1J và lực đàn hồi cực đại là 10N I là đầu cố dịnh của lò xo khoảng thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp điểm I chịu tác dụng của lực kéo

là 5 3 N là 0.1s Quãng đường dài nhất mà vật đi được trong 0.4 s là:

Lực kéo: 𝐹 = 𝑘𝑥 ↔ 𝑥 =𝐹𝑘 = 5503 = 103 = 𝐴23

Đây là vị trí đặc biệt suy ra khoảng thời gian điểm I bị kéo là T/6 = 0,1s

Suy ra T= 0,6s → 0,4 =2T/3= T/2 +T/6

Quãng đường đi được lớn nhất là Smax= ST/2+SmaxT/6= 2A+A =3A= 60cm

Ví dụ 8: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có chiều dài tự nhiên 20

cm và độ cứng 100 N/m, vật nặng có khối lượng 400 g Kéo vật nặng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng 6 cm rồi thả nhẹ cho con lắc dao động điều hòa

- Độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí cao nhất: A 

Vậy lực đàn hồi của lò xo khi vật ở vị trí cao nhất là:

 cn

Ví dụ 9: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng được kích thích cho dao động điều

hòa Thời gian quả cầu đi từ vị trí cao nhất đến vị trí thấp nhất là 1,5 (s) và tỉ số giữa độ lớn của lực đàn hồi lò xo và trọng lượng quả cầu gắn ở đầu con lắc khi

nó ở vị trí thấp nhất là 76/75 Lấy gia tốc rơi tự do là g = 2 (m/s2) Biên độ dao động là:

Hướng dẫn giải:

Dễ thấy T= 2t = 2.1,5 =3s; 2T 23 rad/s ; 2

km ; mg =kl

Ví dụ 10: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với chu kì T, biên độ A,

trong thời gian một phút vật thực hiện được 180 dao động toàn phần Trên

quãng đường đi được bằng biên độ A thì tốc độ trung bình lớn nhất của vật là

72cm/s Vật dao động dọc theo đoạn thẳng có chiều dài là?

Hướng dẫn giải:

Chu kì T= 60s/180 =1/3 s

Theo đề cho:Trên quãng đường đi được bằng biên độ A tốc độ trung bình lớn

nhất nghĩa là vật đi từ

-góc quay là π/3) là T/6 = 1/18s

Ta có A = v.t = 72.1/18 =4cm

Ví dụ 11:(ĐH – 2008) Một con lắc lò xo treo thẳng đứng Kích thích cho con

lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Chu kì và biên độ dao động của

con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng

xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân

bằng theo chiều dương Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2 và 2 = 10 Thời gian

ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là

Hướng dẫn giải:

min 2

Ví dụ 12: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng m = 100g,chọn gốc toạ độ tại vị trí

cân bằng chiều dương hướng lên trên.biết phương trình dao động của con lắc x = 4cos(10t +π/3)cm, g =10m/s2 Độ lớn lực đàn hồi tác dụng vào vật tại thời điểm

vật đã đi được quãng đường S= 3cm kể từ t =0 là: