PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO VÀ CON LẮC ĐƠN KHI CÓ LỰC MA SÁT

Trong quá trình dạy ôn thi THPT quốc gia, tôi nhận thấy dạng bài tập con lắc dao động chịu thêm tác dụng lực ma sát làm cho biên độ thay đổi, cơ năng thay đổi. Dao động là dạng bài tập thường gặp nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh. Nhiều học sinh nhớ công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do đó chỉ làm được các bài tập quen thuộc, do học sinh không hiểu kỹ lý thuyết vì vậy không nhớ và vận dụng được công thức vào các bài toán. Các lực ma sát từ bên ngoài làm thay đổi biên độ dao động của vật thường gặp là: vật dao động chịu thêm lực ma sát, lực cản của môi trường, thì biên độ của vật giảm… Vì vậy, việc tìm ra một hướng giải chung giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO VÀ CON LẮC ĐƠN KHI CÓ LỰC MA SÁT

Người viết: ………

Đối tượng: Học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi.

Dự kiến thời gian giảng dạy: 4 tiết.

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.

Trong các chương trình ôn thi THPT quốc gia thì chương dao động cơ làchương có kiến thức và các dạng bài tập nhiều và khó Đặc biệt trong chương này,dao động tắt dần là phần khó hơn cả Tuy nhiên, kiến thức về dao động tắt dần màsách giáo khoa cung cấp thì ít Số tiết luyện tập theo phân phối chương trình vềdạng bài tập này có một tiết lại càng làm cho học sinh khó hiểu và không vận dụng

để làm các bài tập được Do đó, việc cung cấp thêm cho học sinh các công thức đểlàm bài tập là rất cần thiết

Thực trạng việc giải bài tập phần dao động tắt dần của học sinh: Sách giáokhoa chỉ trình bày kiến thức về dao động tắt dần dạng lí thuyết không đưa ra côngthức làm bài tập Nếu học sinh gặp phải các bài tập tự luận đòi hỏi phải tính toán,phải sử dụng các công thức thì học sinh sẽ khó khăn áp dụng Theo phân phốichương trình số tiết dành cho việc luyện tập về dao động tắt dần được gộp chungvới dao động duy trì, dao động cưỡng bức, sự cộng hưởng và tổng hợp dao độngthành một tiết Với thời lượng như vậy, giáo viên khó có thể cho học sinh luyện tậpđược nhiều về dao động tắt dần Đặc biệt, đây lại là phần kiến thức khó

Trong quá trình dạy ôn thi THPT quốc gia, tôi nhận thấy dạng bài tập con lắcdao động chịu thêm tác dụng lực ma sát làm cho biên độ thay đổi, cơ năng thay đổi.Dao động là dạng bài tập thường gặp nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túngcho học sinh Nhiều học sinh nhớ công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do

đó chỉ làm được các bài tập quen thuộc, do học sinh không hiểu kỹ lý thuyết vì vậykhông nhớ và vận dụng được công thức vào các bài toán Các lực ma sát từ bênngoài làm thay đổi biên độ dao động của vật thường gặp là: vật dao động chịu thêmlực ma sát, lực cản của môi trường, thì biên độ của vật giảm… Vì vậy, việc tìm ramột hướng giải chung giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rấtcần thiết

Trong chuyên đề này tôi trình bày lý thuyết cơ bản về dao động tắt dần củacon lắc lò xo và con lắc đơn khi chịu tác dụng của lực mát, lực cản môi trường, từ

đó tôi đưa ra các dạng bài tập cơ bản và phương pháp tính nhanh khi làm bài tập

PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ.

A- LÝ THUYẾT

1- Định nghĩa: Dao động tắt dần là dao động có

biên độ giảm dần theo thời gian

2- Nguyên nhân: Lực cản của môi trường tác dụng lên

vật làm giảm cơ năng của vật Cơ năng giảm thì thế

năng cực đại giảm, do đó biên độ A giảm dẫn tới dao

động tắt dần Dao động tắt dần càng nhanh nếu môi

vật dao động quanh vị trí cân bằng O

Bài toán: Con lắc lò xo có độ cứng k, vật khối lượng m chuyển động với hệ số ma

sát không đổi  tại nơi có gia tốc trọng trường g Thời điểm ban đầu vật ở vị trí biênA

a- Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ?

b- Vật thực hiện được bao nhiêu dao động thì dừng lại?

c- Quãng đường đi được đến khi vật dừng lại?

d- Vị trí vật có vận tốc cực đại? Tính vận tốc cực đại đó?

phương pháp:

a-Lực ma sát trượt tác dụng lên vật: Fms= -mg

2

1 2

A A mg kA





A0

c- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: Khi dừng hẳn toàn bộ cơ năng của conlắc chuyển hoá hoàn toàn thành công của lực ma sát: kA2  mgS

2

1

→ S kA mg

 2

2

(1.3)

d- Vật dao động với vận tốc cực đại trong nửa chu kỳ đầu tiên khi qua vị trí x0

Mặt khác để đạt vận tốc lớn nhất khi hợp lực phục hồi và lực cản phải cân bằngnhau: kx0  mg→ x0 mg k (1.4)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng khi vật đạt vận tốc cực đại lần đầu tiên:

) (

2

1 2

2 0

0 2 2

0 2

2 k A x kx A x

mv     →v  (A x0) (1.5)

Có thể chia bài tập loại này làm ba dạng cơ bản:

Dạng 1: Độ giảm biên độ: Áp dụng các công thức sau.

+ Tìm độ giảm biên độ sau một chu kỳ

+ Biên độ mất sau N chu kỳ áp dụng các công thức :

+ Tìm phần trăm biên độ bị giảm sau N chu kì:

+ Phần trăm biên độ còn lại sau N chu kì:

Các bài toán vận dụng:

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có k =60 (N/m) và quả cầu có khối lượng m = 60 (g),

dao động trong không khí với biên độ ban đầu A =12 (cm) Trong quá trình daođộng con lắc luôn chịu tác dụng của một lực cản có độ lớn không đổi Fc Biếtkhoảng thời gian từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn là  = 120 (s) Xác định độlớn của lực cản?

kA A

A N

kAT T

N

4 



động là không đổi)→F C kAT 0 , 003 N

120 4

2 , 0 12 , 0 60

A A



là biên độ bị giảm trong 1 chu kì

+ Tìm phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì:

+ Phần trăm cơ năng bị mất (chuyển thành nhiệt) sau N chu kì:

Các bài toán vận dụng:

Ví dụ 1: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3%.

Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là

* Hướng dẫn:

Gọi A0 là biên độ dao động ban đầu của vật Sau mỗi chu kỳ biên độ của nó giảm3% nên biên độ còn lại là A = 0,97A0 Khi đó năng lượng của vật giảm một lượnglà

2 0

Dạng 3: Số dao động thực hiện được và thời gian trong dao động:

+ Số dao động vật thực hiện cho tới khi dừng lại:

+ Thời gian vật dao động đến lúc dừng lại:

Các bài toán vận dụng:

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật có khối lượng 600 g, lò xo có độ

cứng 100N/m Người ta đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 6 cm rồi thả nhẹcho nó dao động, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,005 Lấy g = 10 m/

s2 Khi đó số dao động vật thực hiện cho đến lúc dừng lại là

* Hướng dẫn giải:

Độ giảm biên độ sau một chu kỳ A4k mg

10 6 , 0 005 , 0 4

06 , 0 100

A N



Ví dụ 2: Một con lắc lò xo gồm vật dao động có khối lượng m = 1 kg, lò xo nhẹ có

độ cứng k = 100N/m Hệ dao động tắt dần trên mặt phẳng nằm ngang Ban đầu vật

có biên độ 5,0 cm sau 4 chu kỳ dao động thì biên độ chỉ còn 4 cm Coi chu kỳ daođộng của vật là không đổi và bằng chu kỳ dao động điều hòa và biên độ dao độngsau mỗi chu kỳ giảm theo cấp số nhân lùi vô hạn Tính phần năng lượng cần bổsung cho hệ để dao động của hệ được duy trì với biên độ ban đầu?

A.0,136(J) B 0,013(J) C 0,025(J)

D 0,083(J)

* Hướng dẫn giải:

- Biên độ A0 = 5 cm và cơ năng dao động W0 = 2

+ Sau chu kỳ thứ 2 biên độ còn lại là: A2 = q.A1 = q2A0

+ Sau chu kỳ thứ 3 biên độ còn lại là: A3 = q.A2 = q3A0

+ Sau chu kỳ thứ 4 biên độ còn lại là: A4 = q.A3 = q4A0

- Theo giả thiết ta có A4 = 4 cm nên ta suy đươc: 4 4

4 0

4 5

A q A

- Sau một chu kỳ biên độlà A1 = 54 4

5 cm và cơ năng dao động W1 = 2

1

2

1

kA = 0,112J

- Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là W = W0 – W1 = 0,013 (J)

C: BÀI TẬP CON LẮC LÒ XO NẰM NGANG CÓ LỰC MA SÁT LỚN:

Thiết lập các công thức

Trong bài toán này ta xem hệ số ma sát nghỉ cực đại bằng hệ số ma sát trượt

1-Tính chất của chuyển động:

Chọn gốc tọa độ O là vị trí của vật mà tại đó lò xo không bị biến dạng

Ta xét giai đoạn vật đi từ vị trí biên dương sang vị trí biên âm

Theo định luật II Newton ta có:

Vậy trong giai đoạn này, li độ của vật tuân theo quy luật biến thiên điều hòa với vị trí cân bằng tạm O 1 có tọa độ: x0 = mg

Kết luận: Trong mỗi giai đoạn chuyển động từ biên này sang biên kia li độ của vật

biến thiên điều hòa với vị trí cân bằng tạm thời (xét theo chiều chuyển động) đứng

trước vị trí mà lò xo không biến dạng một đoạn: x0 mg

k

µ

Lưu ý: Trong mỗi lần đổi chiều chuyển động, vị trí cân bằng tạm của vật thay đổi

từ vị trí O1 sang O2 hoặc ngược lại nên không thể kết luận chuyển động của vật làdao động

2-Vận tốc cực đại của vật khi đi từ biên này đến biên kia:

Khi vật qua O lần thứ n Gọi An là độ lớn của biên độ thứ n (tính từ vị trí cân bằng

– x0 x0

O1O

O2

Li độ của vật biến thiên điều hòa với biên độ A n nên đạt tốc độ cực đại khi qua vị trí cân bằng tạm thời trong giai đoạn chuyển động đang xét

Tốc độ này được tính bởi: vmax A An n k

a- Quy luật giảm của biên độ:

Xét trong trường hợp các vị trí biên nằm ngoài đoạn O 1 O 2

Gọi An; An + 1 lần lượt là biên độ khi vật qua O

lần thứ n (giả sử theo chiều âm của trục) và

lần thứ n + 1

Do hai vị trí biên này đối xứng với nhau qua

O1 nên ta có: A n 1  A 2x n  0

Vậy giá trị của biên độ sau mỗi lần qua O tạo

thành một cấp số cộng lùi với công sai: 0

Lúc vật dừng hẳn, tọa độ x của vật và cũng là độ biến dạng của lò xo

Lúc này lực đàn hồi cân bằng với ma sát nghỉ: k | x | F  msn µmg

Khi vật dừng hẳn lò xo vẫn có thể bị biến dạng một đoạn x với: 0

mg | x | x

k

µ

Vị trí dừng hẳn của vật phải có tọa độ từ – x0 đến x0, trong mỗi giai đoạn chuyển

động từ biên này đến biên kia, li độ của vật tuân theo quy luật biến thiên điều hòa

nên vật chỉ có thể dừng tạm tại vị trí biên

Vậy vị trí dừng hẳn của vật chính là vị trí biên của giai đoạn dao động cuối.

Để tìm vị trí này ta xét tỉ số: 0

0

A

n p 2x   ; trong đó n là số tự nhiên và 0 p < 1 

 A 2nx 2px 0  0  0

Biên độ của vật sau khi qua O lần thứ n: A A 2nx 2px n  0  0  0

Do A 2x n  0 nên nó chính là biên độ trong giai đoạn chuyển động cuối cùng

Ta có hai trường hợp sau:

x x 2p 1 0    với chiều dương của trục là

chiều chuyển động của vật trước khi dừng hẳn

+ Nếu 0,5 p 1    A 2px x n  0  0

Sau khi qua O lần thứ n, vật còn tới O thêm một lần

nữa và dừng hẳn tại vị trí có tọa độ

0

x x 2p 1 0    với chiều dương của trục là chiều

chuyển động của vật trước khi dừng hẳn

Có hai trường hợp đặc biệt về vị trí dừng của vật:

O1O

O1

x

A n

A n

Khip  0  A 0 n  Sau khi qua O lần thứ n, vật dừng tại vị trí biên trong giaiđoạn này.

Khi p 0,5   A x n  0 Sau khi tới O lần thứ n, vật quay về và dừng hẳn tại O

c- Quãng đường vật đã đi được:

Li độ lúc cuối của vật có độ lớn bằng độ biến dạng của lò xo lúc này nên ta có:

4-Thời gian chuyển động:

Khoảng thời gian để vật đi từ một vị trí biên nào đó tới vị trí biên kế tiếp làT

2 Nếu

tạm gọi “chu kì” là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đạt tới vị trí biên ở cùng một bên so với O thì “chu kì” lúc này cũng có giá trị đúng bằng chu kì dao

động riêng của con lắc lò xo

Khoảng thời gian vật đi từ biên ban đầu cho đến lúc dừng hẳn:

Số lần vật chuyển động từ biên này đến biên kế tiếp là n (nếu p = 0) và n + 1 nếu q

Dạng 1: Tính độ giãn hoặc độ nén của lò xo hoặc năng lượng con lắc lò xo:

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ có khối lượng 1 kg, lò xo có độ cứng 160 N/m Hệ số ma sát giữ vật và mặt ngang là 0,32 Ban đầu giữ vật ở vị trí

lò xo nén 10 cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10 m/s2 Quãng đường vật đi được trong s

1

T T t k

m T

Trong T2 đầu tiên vật đi được quãng đưong: 20-4=16cm;

Trong T6 tiếp theo có thể xem vật dao động điều hòa quanh vị trí lò xo giãn 2cm (

cm x

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo đặt theo phương ngang gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg

và lò xo có độ cứng 2 N/m Hệ số ma sát giữa vật và giá đỡ vật là 0,1 Ban đầu giữcho vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động tắt dần Lấy g = 10m/s2 Trong quá trình dao động lò xo có độ dãn lớn nhất là

Ví dụ 6: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng 200 gam, lò xo có

độ cứng 20 N/m, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1 Ban đầu vậtđược giữ ở vị trí lò xo dãn 10cm, sau đó thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần, lấy g =

O 1 O

Δl

A0

X0

A0O 2

10m/s2 Kể từ lúc thả, trong khoảng thời gian đầu tiên giữa hai lần lò xo dãn cựcđại, tỉ số tốc độ giữa hai thời điểm gia tốc của vật triệt tiêu là

Dạng 2: Tính vận tốc hoặc vận tốc trung bình của vật.

Ví dụ 1 (ĐH 2010): Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 0,02kg và lò

xo có độ cứng 1N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục

lò xo Hệ số ma sát trượt của giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo

bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10m/s2 Tốc độ lớnnhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là

2

1 2

1

kx

mv  ) thì quãng đường đi được là (A - x)

+ Độ giảm cơ năng của con lắc bằng công của lực ma sát |Ams|:

A mg kA

x mg kx

mv x

A mg kx

mv

2

1 2

- Vận tốc cực đại khi dao động đạt được tại vị trí x0: vmax = ω(A - x0)= 40 2(cm/s)

ngang với hệ số ma sát 0,2 Ban đầu vật ở vị trí cách vị trí lò xo bị nén một đoạn 10

cm rồi thả nhẹ cho chuyển động Lấy g = 10 m/s2 Tính công suất cung cấp nănglượng cho hệ để duy tri cho hệ dao động với biên độ ban đầu?

- Sau chu kỳ dao động đồng tiên thì biên độ là A1 = A0 - 4k mg = 8cm

- Cơ năng dao động còn lại W1 = 2

1

2

1

- Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là W = W0 – W1 = 0,18 J

Nên công suất cung cấp đề duy trì dao động cho hệ: P = T W = 0,91 (W)

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo với khối lượng vật nặng m = 400 g, độ cứng lò xo k =

50 N/m, đặt trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát trượt µ = 0,06 Ban đầu kéo vật

để lò xo dãn 8cm rồi buông nhẹ Lấy g = 10 m/s2 Tốc độ lớn nhất của vật sau khi lò

xo đã đạt độ nén cực đại có giá trị gần nhất với

A 73 cm/s B 75 cm/s C 84 cm/s D 85 cm/s

Dạng 3: Tính thời gian vật chuyển động.

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có độ cứng k =100N/m, khối lượng m = 400g, dao độngtrên mặt phẳng ngang Ban đầu người ta kéo vật để lò xo dãn 2 cm rồi thả nhẹ Biết

hệ số ma sát trượt là µ = 0,1 Tính thời gian ngắn nhất kể từ lúc thả vật cho đến lúc

lò xo không biến dạng lần thứ hai Lấy g = 10 m/s2

Biên độ ban đầu: A X x 1,6 cm 0  0  0 

Biên độ dao động sau khi qua O lần thứ nhất: A A 2x 0,8 cm 1  0  0 

Vậy sau khi thực hiện được nửa chu kì dao động đầu tiên, vật thực hiện tiếp 1/4 chu

kì kế tiếp rối đi từ vị trí cân bằng tạm O2 đến vị trí lò xo không biến dạng lần thứhai

Chu kì dao động tự do của con lắc: T 2 m 0,4 s

Biên độ ban đầu: A X x 0  0  0

Biên độ khi qua O lần thứ nhất: A A 2x X 3x 16 cm 1  0  0  0  0 

Tọa độ của vị trí đang xét: x x 8 cm  0   l

Chu kì dao động tự do của con lắc: T 2 m s

C- BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC ĐƠN.

Thiết lập các công thức

Con ℓắc đơn có chiều dài ℓ dao động tắt dần với một ℓực cản đều ℓà Fc, biên độ gócban đầu ℓà 01 = α0

1 Xác định độ giảm biên độ trong một chu kỳ.

Năng ℓượng ban đầu của con ℓắc ℓà: W1 = mgℓ

Khi về đến biên lần đầu, biên độ góc chỉ còn α02; Năng

ℓượng còn ℓại của con ℓắc khi ở biên WCL = mgℓ

Sau nữa chu kì năng ℓượng mất đi: W = AC

F

2 C (3.1)

Ta thấy rằng độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ không phụ

thuộc vào biên độ ban đầu và thời gian Như vậy sau một chu

3) Thời gian con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn: t = N.T (3.4)

Giải quyết tương tự như con lắc lò xo, thay tương ứng A thành S0; x thành s; với s

= αl, S0 = α0l

4) Để duy trì dao động cần 1 động cơ có công suất tối thiểu là:

(3.5) với

I- CÁCH GIẢI CÁC BÀI TẬP:

Các bài tập về con lắc đơn:

Bước 1: Tính độ giảm biên độ sau một chu kì:  = α01 - α02 = 4mgFc =

Thời gian con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn: t = N.T

Bước 3: Để duy trì dao động cần 1 động cơ có công suất tối thiểu là:

II-CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

DẠNG 1- TÍNH ĐỘ GIẢM BIÊN ĐỘ HOẶC NĂNG LƯỢNG, ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.

động, vật luôn chịu lực cản có độ lớn bằng 1% trọng lực của vật Biết biên độ giảm dần trong từng chu kỳ Sau khi vật qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật bằng

0 0,04

 Vật qua VTCB 20 lần ứng với 10 chu kỳ, biên độ giảm 0,040.10 = 0,40

Biên độ còn lại 50 – 0,40 = 4,60

phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ Biết lực căn của không khí tácdụng lên con lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật Coi biên độgiảm đều trong từng chu kỳ Số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là

1 , 0

ban đầu là 50 tại nơi có g = 10m/s2 Do có lực cản nên sau 10 dao động biên độ còn

40 Để duy trì dao động với biên độ góc ban đầu thì cần phải cung cấp cho con lắcmột công suất bao nhiêu?

m 100 Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g 9 , 8m/s2 với biên

độ góc 0  0 , 14rad Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực

ma sát nhỏ có độ lớn không đổi F C  0 , 002 N thì nó sẽ dao động tắt dần Tínhkhoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn?

A 14,20 (s) B 20,28 (s) C 24,24 (s) D 29,2(s)