hàm số bậc nhất và bậc hai

TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa: Điểm Ia; b là tâm đối xứng của đồ thị y = fx  với phép biến đổi toạ độ: hai điểm bất kỳ thuộc d ta sẽ có được đồ thị của d.. D¹ng to¸n 2: Xét

khi đó D gọi là tập xác định của hàm số

2 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b)

1 Một hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a, b) nếu với x1,

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

 Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu với mọi xD ta có:

Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a là trục đối xứng của đồ thị y = f(x)

 với phép biến đổi toạ độ:

5 TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Định nghĩa: Điểm I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị y = f(x)

 với phép biến đổi toạ độ:

hai điểm bất kỳ thuộc (d) ta sẽ có được đồ thị của (d)

 Nếu b = 0, đồ thị của (d) đi qua gốc toạ độ O và điểm A(1, a)

 Nếu b  0, đồ thị của (d) đi qua hai điểm B(0, b) và C(b

a, 0)

Hệ số góc: hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d)

 Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2):

(d1): y = a1x + b1 với a1  0, (d2): y = a2x + b2 với a2  0

2 44

a



+ q

Như vậy, nếu gọi (P0): y = ax2 thì để có được đồ thị của parabol y = ax2 + bx + c

ta tịnh tiến hai lần như sau:

1 Tịnh tiến (P0) sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái p đơn vị nếu p < 0, ta nhận được đồ thị hàm số y = a(x  p)2

và nhận đường thẳng x = 

2

b

a làm trục đối xứng và:

 Hướng bề lõm lên trên nếu a > 0

 Hướng bề lõm xuống dưới nếu a < 0

Từ đồ thị hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên:

b

hàm số đạt cực tiểu

Vậy, ta có kết luận:

o Hàm số đồng biến trên khoảng (-;-

2

b

a)

o Hàm số nghịch biến trên khoảng (-

b

hàm số đạt cực đại

 Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua S

 Nối ASB để đ-ợc một góc rồi thực hiện vẽ đ-ờng cong parabol lựon theo

  > 0 Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phõn biệt

  = 0 Parabol tiếp xỳc với trục hoành

  < 0 Parabol khụng cắt trục hoành

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIấN QUAN

-b/2a

-b/a

-  /4a

 f(x) = 1

2

( )( )

x x x





  

Vậy, tập xác định của hàm số là D = [1; 1][2; +)

 Chú ý: Trong câu a), nếu các em học sinh biến đổi hàm số về dạng y = 1

3

x rồi khẳng định hàm số xác định khi x + 3  0  x 3 và do đó tập

D = \{3} Đây là lời giải sai vì phép biến đổi hàm số không phải là phép biến đổi tương đương

víi x x

;2

 

x x

 Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên:

 Ở câu a), miêu tả điều kiện có nghĩa của biểu thức trong dấu căn

Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm đúng với x[1; 3]

 Nghiệm đúng với x = 1, x = 2

 | 2 17 | 1

| 3 23 | 1

m m

3

m m

Vậy, với m = 8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với x  [1; 3]

Điều kiện đủ: Với m = 8, ta có:

Vậy, với m = 8 thoả mãn điều kiện đầu bài

D¹ng to¸n 2: Xét sự biến thiên của hàm số

Phương pháp thực hiện

Ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:

Ph-¬ng ph¸p 1: Sử dụng định nghĩa

Ph-¬ng ph¸p 2: Thực hiện theo các bước:

 Nếu A < 0 với mọi x1, x2(a, b) và x1  x2 thì hàm số nghịch biến trên (a, b)

ThÝ dô 1 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

 Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên

 Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên

= 1

2[(x1 + x2)

2 +6(x1 + x2) + 9] + 1

2[(x1 + x2) + 3]

2 + 1

Vậy, hàm số đồng biến trên

ThÝ dô 3 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

a y = f(x) = 2 1

x x



 b y = f(x) =

211

53(3x 1) 

2

3 + 1

53(3x 1) >

2

3 + 2

53(3x 1)

x

 

 Với x1, x2  \{1} và ở về cùng một phía so với 1, ta có:

 

  > 0 Vậy, hàm số luôn đồng biến trên \{1}

ThÝ dô 4 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

 Nếu x1, x2 > 0 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (0; +)

 Nếu x1, x2 < 0 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (; 0)

 Nếu x1, x2 > 1 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (1; +)

 Nếu x1, x2 < 1 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (; 1)

b Để hàm số đồng biến trên (2; +) điều kiện là:

A > 0 với mọi x1, x2(2; +) và x1  x2  2a > 0  a < 0

Vậy, với a < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài

 Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ

ThÝ dô 1 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a y = f(x) =

211

x x

x x

 d y = f(x) = |x|3(x21)

x

21

x x

 = –f(x) Vậy, hàm số lẻ

f(x) = 12

(x) 1 = 2

11

x  = f(x),

do đó, nó là hàm chẵn

Trường hợp 2: Với m = 1, ta được:

y = 1

1

x Hàm số này xác định trên D = \{1} là tập không đối xứng do đó hàm số không chẵn, không lẻ

 Ngoài ra nó không chẵn, không lẻ

ThÝ dô 5 Cho a, b  , xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:

b

với g(x) là hàm lẻ tuỳ ý trên

D¹ng to¸n 4: Sơ lược về phép tịnh tiến

Phương pháp thực hiện

Sử dụng kết quả: Trong mặt phẳng toạ độ, cho (G) là đồ thị của hàm số y = f(x),

p và q là hai số tuỳ ý Khi đó:

1 Đồ thị hàm số y = f(x) + q có được khi tịnh tiến (G)

 Lên trên q đơn vị nếu q > 0

 Xuống dưới q đơn vị nếu q < 0

2 Đồ thị hàm số y = f(x  p) có được khi tịnh tiến (G)

 Sang phải p đơn vị nếu p > 0

 Sang trái p đơn vị nếu p < 0

Vậy, muốn có đồ thị của hàm số này ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị

ThÝ dô 2 Hãy lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Oy để nhận được

đồ thị hàm số y =

272

x x

Vậy, muốn có đồ thị của hàm số này ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 2 đơn vị

 Chú ý: Các em học sinh hẳn sẽ thắc mắc về lí do xác định được phép biểu

diễn trên cho hàm số y =

272

x x

x x



 = f(x) + b

 2 72

x x

x x

1 Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối

xứng, ta thực hiện theo các bước sau:

2 Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:

 hàm số (1) là hàm số chẵn  tham số

3 Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường thẳng y = a,

ta thực hiện theo các bước sau:

 M1(x1; y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = a

ThÝ dô 1 Tìm trục đối xứng của đồ các thị hàm số:

Y = (X + a) + 4(X + a) + 3 là hàm số chẵn

Ta có:

Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 = X2 + 2(a + 2)X + a2 + 4a + 3 (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn

Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x = a (a  0)

Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m–1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1 là chẵn

Ta có:

Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m – 1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1

= X4 + (4a + 4m)X3 + (6a2 + 12ma – 2m + 2)X2 +

+ (4a3 + 12ma2 – 4ma + 4a – 2m)X +

+ a4 + 4ma2–2(m–1)a2–2ma + 1 (1) Hàm số (1) chẵn:

thoả mãn điều kiện đầu bài

D¹ng to¸n 6: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Phương pháp thực hiện

1 Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng, ta

thực hiện theo các bước sau:

Y + b = f(X + a)  Y = F(X) (1)

2 Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm

đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:

Y + b = f(X + a)  Y = F(X) (1)

 hàm số (1) là hàm số lẻ  tham số

3 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = f(x) đối xứng qua điểm I(a, b), ta thực

hiện theo các bước sau:

 M1(x1, y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua I

  x1, y1 thoả mãn:

1 1

( )22

ThÝ dô 1 Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số sau:

a Giả sử hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng

Với phép biến đổi toạ độ:

Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(0; 3)

b Viết lại hàm số dưới dạng:

22(2x 1)

 Giả sử hàm số nhận điểm I(a; b) làm tâm đối xứng

Với phép biến đổi toạ độ:

b a

b a

2)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân

biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ

Hai điểm A(xA,

3 hoặc m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài

D¹ng to¸n 7: Tìm phương trình đường cong đối xứng

ThÝ dô 1 Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua

đường thẳng y = 1, biết:

a (C): y = 2x + 3 b (C): y = 1

1

x x





a Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = – 2x – 1

b Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1; y1)  (C) với y1 = 1

1

11

x x



sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1   x1, y1 thoả mãn:

x x





Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1)

Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(1; 1)

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1, y1)(C) với y1 = 1 2

1

( 1)2

x x



 (1)

sao cho M đối xứng với M1 qua điểm I(1; 1)   x1, y1 thoả mãn:

1

1

22

21

x x



b Gọi A và B theo thứ tự là hai giao điểm nói trên Tính diện tích

 y > 0  x < 3, ứng với phhần đồ thị phía trên trục Ox

 y  0  x  3, ứng với phhần đồ thị phía dưới trục Ox

 Tia Ot trùng với đồ thị hàm số y = 2x với x  0

 Tia Ot' trùng với đồ thị hàm số y = 1

2x với x < 0

b Đồ thị gồm hai tia:

 Tia A1B đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3)

 Tia A2B đi qua hai điểm A(0; 4) và B(2; 3)

ThÝ dô 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

1

y = |x  1|

I

1

a Tìm m để hàm số là đồng biến, nghịch biến, không đổi

b Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định

x y

 



  

Vậy, đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định M(–2 ; –1)

ThÝ dô 5 Cho họ đường thẳng (dm) có phương trình:

(dm): (m1)x + (2m3)ym1 = 0

1 Xác định m để:

a (dm) đi qua A(2, 1)

b (dm) có hướng đi lên

c (dm)//Ox

d (dm) vuông góc với đường thẳng (1): 3x + 2y100 = 0

e (dm) song song với đường thẳng (2): x2y + 12 = 0

2 Tìm điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua

x y





  

Vậy, đường thẳng (dm) luôn đi qua điểm cố định M(5 ; – 2)

ThÝ dô 6 Cho hai hàm số f(x) = (m2 + 1)x  4 và g(x) = mx + 2, với m  0

Chứng minh rằng:

a Các hàm số f(x), f(x) + g(x), f(x)  g(x) là các hàm đồng biến

ThÝ dô 7 Cho hàm số y = f(x) = ax + b, với a  0

a Chứng minh rằng với một giá trị x0 tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng

tìm được hai số m và n sao cho f(m) < f(x0) < f(n)

b Chứng minh rằng hàm số bậc nhất không có giá trị lớn nhất và nhỏ

từ đó, ta chọn m = x0 + 1 và n = x0  1

b Giả sử trái lại hàm số có:

 Giá trị lớn nhất f(x1) ứng với x1

 Giá trị nhỏ nhất f(x2) ứng với x2

Theo kết quả câu a), luôn tìm được hai số m và n sao cho:

f(x1) < f(n)  f(x1) không phải là giá trị lớn nhất

f(x2) > f(m)  f(x2) không phải là giá trị nhỏ nhất

ThÝ dô 8 Cho hàm số y = f(x) = ax, với a  0

a Chứng minh rằng f(kx1) = kf(x1) và f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

b Các hệ thức trong câu a) còn đúng với hàm số:

y = g(x) = ax + b, với b  0 hay không ?

a Ta có:

f(kx1) = a(kx1) = akx1 = k(ax1) = kf(x1), đpcm

f(x1 + x2) = a(x1 + x2) = ax1 + ax2 = f(x1) + f(x2) , đpcm

g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2)  a(x1 + x2) + b = (ax1 + b) + (ax2 + b)

 ax1 + ax2 + b = ax1 + ax2 + 2b  b = 0, loại

Vậy, hệ thức g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) không đúng

D¹ng to¸n 2: Lập phương trình đường thẳng

Phương pháp thực hiện

Thực hiện theo các bước:

ThÝ dô 1 Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng:

a Đi qua hai điểm A(4, 3) và B(2, 1)

b Đi qua điểm A(1, 1) và song song với Ox

a Ta có:

A(4, 3)  (d): y = ax + b  3 = 4a + b (1)

B(2, 1)  : y = ax + b  1 = 2a + b (2)

Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a = 2 và b = 5

Vậy, phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = 2x  5

b Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1, 1) và song song với trục hoành nên có phương trình: y = 1

ThÝ dô 2 Cho hàm số y = ax  3a

a Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) Vẽ đồ

thị hàm số với a vừa tìm được

b Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng tìm được trong a)

a Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) khi và chỉ khi:

4 = a.0  3a  3a = 4  a = 4

3 Vậy, hàm số có dạng y = 4

3x + 4

Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0)

b Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng

Trong OAB vuông tại O, ta có:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận được

Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số

y = f(x) sang trái 2 đơn vị

c Vì số nghiệm của mỗi phương trình đúng bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với

đồ thị của các hàm số y = x24x + 2 và y = x22, do đó chúng đều có cùng số nghiệm

ThÝ dô 2 Cho hai hàm số (P1) và (P2), biết:

 Bảng biến thiên:

 2

2

2

Đồ thị: Hoành độ giao điểm của (P1) và (P2) là nghiệm phương trình:

b Viết phương trình đường thẳng đi qua đỉnh của (P0) và giao điểm

của (P0) với Oy

c Xác định m để (Pm) là Parabol Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol

(Pm) khi m thay đổi

d Chứng tỏ rằng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ điểm

(d)

A B

C

y

x S1

(P2)

 ,

41

m )

Để nhận được phương trình quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi, ta thực hiện việc khử m từ hệ:

1141

m x m y m

1

y y y y

 

   2x + y  2 = 0

Vậy, quĩ tích đỉnh Sm là đường thẳng (): 2x + y  2 = 0

d Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua, khi đó:

x y





 

Vậy, họ (Pm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 0)

ThÝ dô 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = |x1|(x + 3)

Thực hiện theo các bước:

B-íc 1: Vẽ đồ thị hàm số (P): y = ax2 + bx + c, với a  0

B-íc 2: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c gồm hai phần:

 Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị (P)

 Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của (P) qua trục hoành

B-íc 3: Dựa vào đồ thị ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = ax2 + bx +

c

ThÝ dô 1 Cho hàm số (P): y = x2 + 2x3

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên, tuỳ theo giá trị của m, hãy cho biết số

nghiệm của phương trình |x2 + 2x3| = m

Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A(3; 0), B(1; 0)

b Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x2 + 2x3| (phần đường đậm) và đường thẳng (d): y = m, ta được:

 Với m < 0, phương trình vô nghiệm

 Với m = 0, phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 3

 Với 0 < m < 4, phương trình có bốn nghiệm phân biệt

 Với m = 4, phương trình có ba nghiệm phân biệt

 Với m > 4, phương trình có hai nghiệm phân biệt

D¹ng to¸n 5: Lập phương trình Parabol

Phương pháp thực hiện

Thực hiện theo các bước:

Trong bước này ta cần lưu ý các điều kiện thường gặp sau:

 Điểm A(x0, y0)  (P) ta nhận được điều kiện:

b x

a y

a y

a y

 (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm có hoành độ bằng x0

ta nhận được điều kiện:

0

02

a

b x

a

b x

b

a

ThÝ dô 1 Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết rằng parabol đó:

a Đi qua hai điểm M(1; 5) và N(2; 8)

b Đi qua điểm A(3; 4) và có trục đối xứng là x = 3

Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a =  1

 I(2, 2)  (P)  2 = 4a + 2b + 2  2a + b = 2 (2) Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a = 1 và b = 4

a b a b

ThÝ dô 2 Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c

a Đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 1), C(1; 1)

b Có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm D(3; 0)

c Có giá trị cực tiểu bằng 1 và đi qua hai điểm A(2; 1), B(0; 3)

Vậy, phương trình (P) có dạng: y = x2  x  1

b Ta có:

 D(3; 0)  (P): y = ax2 + bx + c  0 = 9a + 3b + c (1)

 I(1; 4)  (P): y = ax2 + bx + c  4 = a + b + c (2)