Tổ 10 HSG 12 hà nội 2018 2019

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I , có đường cao AH.. Chứng minh rằng AQ 3AH... Lời giải Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh Điều kiệ

SỞ GD &ĐT HÀ NỘI

ĐỀ THI HSG KHỐI 12

(Đề gồm 01 trang)

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút

Họ và tên: SBD:

x y x





 có đồ thị là  C

và đường thẳng d có phương trình y x m,

m là tham số Tìm m để d cắt  C

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng các hệ số

góc của các tiếp tuyến với  C

tại A và B là lớn nhất

Câu 2 (5 điểm)

1) Giải phương trình cosx 1 x2

2) Giải hệ phương trình

2





Câu 3 (3 điểm) Cho dãy số  a n xác định bởi

*

n

n n

a



2

1

a) Chứng minh dãy số  a n là dãy số giảm.

b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt b n a1a2 a n. Tính xlimb n

 

Câu 4 (6 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I , có đường cao AH Gọi E là hình chiếu của B lên tia AI , HE cắt AC tại P Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết H6; 4 ;  P11;1

và M10; 4 

là trung điểm của BC

2) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     Một mặt phẳng  P cắt các tia AB , AD, AA,

AC lần lượt tại M , N , P, Q

a) Chứng minh rằng:

AQ AM AN AP .

b) Gọi H là hình chiếu của A lên  P

Chứng minh rằng AQ 3AH

Câu 5 (2 điểm) Cho các số thực , ,a b c không âm thỏa mãn a2b2c2  Tìm giá trị lớn nhất của1

biểu thức P a b c    4abc

****** Hết******

LỜI GIẢI CHI TIẾT HSG 12 HÀ NỘI 2018-2019

x y x





 có đồ thị là  C và đường thẳng d có phương trình y x m , m là

tham số Tìm m để d cắt  C

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng các hệ số góc của

các tiếp tuyến với  C

tại A và B là lớn nhất

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy

Tập xác định

1

\ 2

D  



Ta có 2 1

x y x





1







y x

Phương trình hoành độ giao điểm   2 2 2 1 0 (1)





x

Ta có:

0,



        



  

   

 



 

tại hai

điểm phân biệt A , B với mọi giá trị thực m

Gọi x , 1 x là hoành độ của điểm A và B khi đó 2 x , 1 x là nghiệm của phương trình (1)2

1 2

1 2











m

P x x

Suy ra tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với  C

tại A x y 1; 1

và B x y 2; 2

là

Vậy tổng hệ số góc lớn nhất của các tiếp tuyến với  C

tại A và B bằng 2 đạt được khi 0

m 

Câu 2

1) Giải phương trình cosx 1 x2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang

Xét hàm số f x  cosx x 21

với x   Ta có f x  sinx2x

, f x cosx2

Vì f x 0  x  f x 

đồng biến trên  Mà f  0 0

suy ra phương trình

  0

f x  có nghiệm duy nhất x  0

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra f x   0 x0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  0

2) Giải hệ phương trình

 

 

2







Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh

Điều kiện: y 3

 Từ  1

ta có: x23y22xy 6x 2y 3 0

   2

x y 32 2y2 4y 6 0

 

2

 y  y     y

 Từ  2

ta lại có: x2 y 5 2x y 3 x2 2x y   3 y 3 2 1  y 0

  y   y

Từ  3 và  4  y1

Thay y 1 vào hệ được x  2

Vậy hệ có nghiệm là

2 1

x y









 (thỏa mãn điều kiện)

Câu 3 Cho dãy số  a n xác định bởi

*

n

n n

a



2

1

a) Chứng minh dãy số  a n là dãy số giảm.

b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt b n a1a2 a n. Tính xlimb n

 

Lời giải

Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương

a) Xét hiệu

  .

n n n

a a a



2 2

1

Từ cách xác định dãy số ta có a n 0, n ¥ và * a n2 a n  1 0 a n1 a n 0,  n *

Vậy  a n là dãy số giảm.

b) Ta có

n

a



2

1





2

1

1

n

a

1

Suy ra

 

Lại có: Dãy số  a n là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn

Giả sử xlim n xlim n

a

a a



 

2

x a

Từ  1 và  2 ta có xlimb n

cao AH Gọi E là hình chiếu của B lên tia AI , HE cắt AC tại P Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết H6; 4 ;  P11;1

và M10; 4 

là trung điểm của BC

Lời giải

Tác giả: Bui Bai; Fb: Bui Bai

Nhận xét: Theo giả thiết thì H không thể trùng với M  ABC là tam giác thường

Kẻ đường kính AF của đường tròn  I  ACF

vuông tại C

Xét tứ giác AEHB có AEB AHB 900 và cùng nhìn cạnh AB

 Tứ giác AEHB nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm AB

ABH AEP

Mà AFCABH (cùng nhìn cạnh AC ).

AFC AEP

Lại có FCAC  HPAC

Có HP 5;55 1;1 

Chọn n AC 1;1

11;1

P AC

: 12 0

AC x y

4;0

HM 

Do đường thẳng BC chứa H M,  n BC 0;1



6; 4

H  BC

: 4 0

BC y

Có C BC AC  tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình

16; 4

C

Lại có M10; 4 

là trung điểm của BC  B4; 4 

Có AH BC n AH 1;0

6; 4

H  AH

AH x

Có A AH AC  tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình

 

6;6

A

Vậy A6;6 ; B4; 4 ;  C16; 4 

2) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     Một mặt phẳng  P cắt các tia AB , AD, AA,

AC lần lượt tại M , N , P, Q

a) Chứng minh rằng:

AQ AM AN AP .

b) Gọi H là hình chiếu của A lên  P

Chứng minh rằng AQ 3AH

Lời giải

Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu

a) Theo quy tắc hình hộp ta có:

ACAB AD AA  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

      

Ta có AC là đường chéo của hình lập phương ABCD A B C D.    

1 3

AB AD AA AC

Mà M , N , P, Q đồng phẳng nên

Mà

2

3

Câu 5 Cho các số thực , ,a b c không âm thỏa mãn a2b2c2  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức1

4a

P a b c    bc

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Phương Mai; Fb: Phương Mai

Không mất tính tổng quát giả sử a b c  thì từ

3

Mặt khác:

bc b c   a   bc    bc

Ta có:

P a  bc  b c  a  b c    bc     bc   bc  

Dấu bằng xảy ra khi  *

1

a

b c

bc  

Đặt

1 0

3

t bc   t

Suy ra được P2  1 2 16t  t2 8t2 32t3 4t2

Xét hàm số

 

6

12

t















 0 2; 1 50; 6 1, 4556

f  f    f  

Suy ra GTLN f t   2

khi

  *

1

0

2

a c b

t

c

a b



 









   







Kết luận: maxP  2, đạt được khi

1 2 0

a b c



 





 

 , hoặc các hoán vị của nó