Tổ 10 HSG khối 12 đồng nai 2018 2019

b Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.. 2 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường AC và BD.. Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học

SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI

ĐỀ THI HSG KHỐI 12

(Đề gồm 01 trang)

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút

Họ và tên: SBD:

Câu 1 (5 điểm) Cho hàm số y = 2 x3− 3 ( m + 3 ) x2+ 18 mx + 8, m là tham số.

a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên ¡

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

c) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ ] − 1;0 bằng − 24

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình 8.25 8.10 15.2x− x− 2 1x+ = 0

b) Giải phương trình ( 1 2sin 4 tan 2 + x ) x = 1

Câu 3 (3,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) Tam giác BCD là tam

giác đều AB a = , BC a = 2

1) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( BCD ) .

2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường AC và BD

Câu 4 (3,0 điểm) Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A,B,C thực hiện trò chơi

như sau: Mỗi bạn A,B,C chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0thuộc khoảng ( − 6;6 ) và lần lượt thế vào ba tham số của hàm số y ax bx c = 4+ 2+ , nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh

A,B,C được nhận thưởng

Câu 5 (2,5 điểm) Giải hệ phương trình

( ) ( )

2

2 1 0 1

 − − − + =





− − = − −



Câu 6 (2,5 điểm)

P

2) Chứng minh rằng C3n n chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương

******Hết******

LỜI GIẢI CHI TIẾT HSG 12 ĐỒNG NAI 2018-2019 Câu 1 Cho hàm số y = 2 x3− 3 ( m + 3 ) x2+ 18 mx + 8, m là tham số.

a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên ¡

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

c) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ ] − 1;0 bằng − 24

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Oanh Nguyen

a) Ta có y ′ = 6 x2− 6 ( m + 3 ) x + 18 m

Hàm số đồng biến trên ¡ khi ( )2 2

′∆ ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ = .

b) Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi y ′ = 0 có hai nghiệm trái dấu

2

⇔ x − m + x + m = có hai nghiệm trái dấu ⇔ < m 0

c) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ ] − 1;0 bằng − 24

Ta thấy ' 0 6 2 6 ( 3 ) 18 0 3 [ 1;0 ]

=



= ⇔ − + + = ⇔  = ∉ −  x m

x

+ Nếu m = 3 hàm số đồng biến trên ¡ , nên hàm số đồng biến trên [ ] − 1;0 , suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ ] − 1;0 là y ( ) − = − ≠ − 1 66 24, nên m = 3 không thỏa mãn + Nếu m ≠ 3, khi đó ' 0 3 [ 1;0 ]

x m y

x

=



= ⇔  = ∉ − 

*)TH1: m ∉ − [ ] 1;0 , ta tính được y ( ) 0 8 = , y ( ) − = − − 1 3 21 m, min[ ]1;0 y min { y ( ) ( ) 0 , y 1 }

Địa chỉ truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang 2

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ ] − 1;0 bằng − 24 thì

( )

( ) ( )

1;0

m

y

 ∉ −



− = −



 − ≤



[ 1;0]

m

m m

 ∉ −



*)TH2: m ∈ − [ ] 1;0 , từ bảng biến thiên của hàm số

Suy ra min[ ]1;0 y min { y ( ) ( ) 0 , y 1 }

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ ] − 1;0 bằng − 24 (do y ( ) 0 8 = ≠ − 24) thì

( )

( ) ( )

1;0

m

y

 ∈ −



− = −



 − ≤



[ 1;0 ]

1

m m

 ∈ −



⇔ 

=

 do đó, không tồn tại giá trị của m Vậy m = 1

Câu 2 a) Giải phương trình 8.25 8.10 15.2x− x− 2 1x+ = 0

b) Giải phương trình ( 1 2sin 4 tan 2 + x ) x = 1

Lời giải

Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú

a)

2

2 1

x

+

  ÷ 

= −

 ÷

 

Vậy x = 1

4 2

x ≠ + π k π k ∈ ¢

Khi đó,

( 1 2sin 4 tan 2 + x ) x = 1 ⇔ sin2 2sin4 sin2 cos2 x + x x = x ⇔ sin2 cos2 cos6 cos2 x + x − x = x.

sin2 cos6 x x

π

2

2

x x k

x x k

k

 − = +



⇔ 

 − = −



∈ +

k

π π

π π

 = +



⇔ 

 = − +



Vậy phương trình có hai họ nghiệm

k

π π

π π

 = +





 = − +



Câu 3 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) Tam giác BCD là tam giác

đều, AB a = , BC a = 2

1) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( BCD ) .

2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường AC và BD

Lời giải

Tác giả: Yến Lâm; Fb: Yen Lam

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( BCD ) là 900

2) Gọi E là trung điểm BD , dựng hình chữ nhật BFCE Gọi H là hình chiếu của B trên

AF

Ta có BD FC / / ⇒ BD / / ( AFC ) .

Suy ra d BD AC ( , ) = d BD AFC ( , ( ) ) = d B AFC ( , ( ) )

Địa chỉ truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang 4

Mặt khác ta có: BH AF ⊥ ( ) 1

CF BF

⊥

Từ (1) và (2) suy ra BH ⊥ ( ACF )

Vậy BH d B ACF = ( , ( ) ) = d BD AC ( , ) .

Xét tam giác vuông ABF ta có:

2 3

2

a

Câu 4. Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A,B,C thực hiện trò chơi như sau:

Mỗi bạn A,B,C chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0thuộc khoảng ( − 6;6 ) và lần lượt thế

vào ba tham số của hàm số y ax bx c = 4+ 2+ ; nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh A,B,C

được nhận thưởng

Lời giải

Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien

Số phần tử của không gian mẫu : n ( ) Ω = 103.

Hàm số có ba điểm cực trị ⇔ < ab 0

Ta có :

0

2

x

x

a

=





Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A c ( ) 0; ,

2

;

− − − +

2

;

− − +

*)Trường hợp 1:

Nếu a < 0 thì A là điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục

hoành

5; 4; 3; 2; 1

A

a

∈ − − − − −





*)Trường hợp 2:

Nếu a > 0 thì B,C là hai điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành

2

0

0 0

0 0

0 4

B C

a

a b

b y

b c y

a



>

>

Suy ra được c > 0 và 4 a ∈ { 4;8;12;16;20 }

Ta có các khả năng sau:

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 1 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5(cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 2 a { 2;3;4;5 } ⇒ có 4 (cách).

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 3 a { 3;4;5 } ⇒ có 3 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 4 a { } 5 ⇒ có 1 (cách).

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 1 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 2 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 3 a { 2;3;4;5 } ⇒ có 4 (cách).

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 4 a { 3;4;5 } ⇒ có 3 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 5 a { } 4;5 ⇒ có 2 (cách).

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 1 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 2 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách)

Địa chỉ truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang 6

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 3 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách).

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 4 a { 2;3;4;5 } ⇒ có (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 5 a { 3;4;5 } ⇒ có 3 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 1 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách).

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 2 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 3 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách).

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 4 a { 2;3;4;5 } ⇒ có 4 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 5 a { 2;3;4;5 } ⇒ có 4 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 1 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách).

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 2 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 3 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách).

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 4 a { 1;2;3;4;5 } ⇒ có 5 (cách)

Với

2

4

b c

a

= ⇒ < , b = − ⇒ ∈ 5 a { 2;3;4;5 } ⇒ có 4 (cách)

Trong trường hợp này có 101 (cách)

Suy ra có tất cả 125 101 226 + = (cách)

Vậy xác suất là

226 113

1000 500 =

Câu 5 Giải hệ phương trình

( ) ( )

2

2 1 0 1

 − − − + =





− − = − −



Lời giải

Tác giả: Trịnh Văn Điệp; Fb: Trịnh Văn Điệp

Điều kiện: x ≥ 0,

2 3

y ≥

( ) 1 ⇔ ( x x y x3− 2 − 2) ( + x xy x2− − + ) ( xy x − + − ) ( ) 1 y2 = 0

⇔ − − + − − + − − − = .

( x y 1 ) ( x x y2 1 0 )

⇔ − − + + − = .

2

1

1 0

x y

= +



+) Với x y = + 1 thay vào ( ) 2 ta được:

2

y + − − = y y − − y ⇔ 3 y − − 2 y + − 1 2 ( y2− − = y 3 0 ) .

2 3

2 3 1 0

y

−

1

1 *

y

 = ⇒ =





⇔



Phương trình ( ) * vô nghiệm vì

1

1

3 y 2 y 1 <

− + + và y + > 1 1,

2 3

y

∀ ≥

Trường hợp này có nghiệm

5 3

;

2 2

  +) Với x x y2+ + − = 1 0 ⇔ − − = 1 x x2 y, vì x ≥ 0 ⇒ − − ≤ 1 x x2 1 ⇒ ≤ y 1

Kết hợp với điều kiện ta được

2

1

3 ≤ ≤ y

Ta có − − + = x x2 1 y ⇒ ≤ − − + ≤ 2 3 x2 x 1 1

2 2

3 3 1 0

0

− − + ≥



⇔ 

− − ≤

 0 x 3 6 21 0,3

− +

Địa chỉ truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang 8

Xét vế trái của ( ) 2 : f x ( ) = x x − − 2 với 0 ≤ ≤ x − + 3 6 21 7 ( ) 2

4 f x

Xét vế phải ta có f y ( ) = 3 y − − 2 2 y2 với 2 3 ≤ ≤ y 1.

2 3 2

y

Suy ra 1 ( ) 5

8

f y

nên phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

5 3

;

2 2

 

Câu 6 1) Cho ba số thực dương a b c , , Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 3 2 3 2 3

P

2) Chứng minh rằng C3n n chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương

Lời giải

Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu

1) Đặt

1

35

1

35

35

u b c

w a b

 = − + +



1 6 9 4 4 6 9 9 4 6 35

P

1 9 4 4 9 9 4

18 35

18 35

=  − +  + ÷  + + ÷  + + ÷  + + + ÷ ÷

18 2 16 2 16 2 16 125

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

3

w

5 ⇔ = = ⇔ = = u v a b c

2) Ta có

( )

3 ! 1.2.3 3 1 3 1.2.3 3 1 3 1 !

! 2 ! 1.2.3 2 ! 1.2.3 1 2 ! 1 ! 2 !

−

−

Nên C3n n chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương.

Địa chỉ truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang 10