DẠY HỌC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SITHÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên trường CĐSP Hà Nam Bất đẳng thức là một chuyên đề rất lí thú đối với các em học si
Trang 1DẠY HỌC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN
Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên trường CĐSP Hà Nam
Bất đẳng thức là một chuyên đề rất lí thú đối với các em học sinh khá giỏi Nhưng, trong thực tế học tập, phần lớn các em học sinh thường
tỏ ra lúng túng khi áp dụng các bất đẳng thức đã học vào các bài toán
cụ thể Bất đẳng thức Cô si đã được các em học sinh làm quen từ chương trình THCS song hầu hết các em chưa khai thác tốt vai trò của BĐT này trong quá trình giải toán.Bài viết này của tôi với mong muốn giúp các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi có cái nhìn sâu sắc hơn nữa về BĐT Cô si Đồng thời giúp các em rèn luyện kĩ năng sử dụng thành thạo BĐT Cô si trong quá trình giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị Trong khuôn khổ bài viết, tôi chỉ nêu một phương pháp sử dụng BĐT Cô si, đó là phương pháp “Cân bằng đều”
Trước hết, ta nhắc lại BĐT Cô si:
BĐT Cô si với 2 số: cho a,b ≥ 0 : a+b ≥ ab
2
BĐT Cô si với 3 số: a,b,c ≥ 0 : a+b+c ≥ abc
3
Tổng quát với n (n≥ 3) số: ai ≥ 0, i=1 ,n
n
n n
a a a a
a
a
2 1 2
Dấu = xảy ra khi a1= a2 = = an
Phương pháp chứng minh sử dụng bất đẳng thức Cô si:
Bước 1: Dự đoán khi nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
Bước 2: Với dự đoán trên sử dụng kĩ thuật cân bằng đều ghép các
hạng tử của bài toán với các hạng tử thích hợp
Bước 3: Áp dụng BĐT Cô si.
Bài toán 1: Cho a ≥ 4, chứng minh rằng:
4
17 1
≥ +
a a
4
17
a
Trang 2Khi = 4 ⇒ 1 =14
a
a nên không thể sử dụng BĐT Cô si cho 2 số a và
a
1
vì dấu = không xảy ra
B2: Vậy phải sử dụng BĐT Cô si cho 2 số aα và a1 Vấn đề đặt ra là chọn α như thế nào cho hợp lí? Theo dự đoán trên, dấu = xảy ra khi
4
=
a nên ta có:
=
=
4
1
a
a a
α
16
1
=
⇒ α
Lời giải:
Ta có: a+1a =161a+1a+1516a
Theo BĐT Cô si:
2
1 16
1 2
1
16 + ≥ =
a
a a
a
Cho a ≥ 4 ⇒
4
15 16
15
≥
a
Vậy +1 ≥ 21+154 =174
a
Nhận xét: Từ bài toán trên, ta có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn với cách làm tương tự như sau: cho a≥n (n≥ 1).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Α =a+a1 hoặc a a
β
α + 1
=
Β với α,β là các số thực dương
Bài toán 2: Trước hết, ta sẽ có một bài toán đơn giản sau:
1) Cho a,b,c ≥ 0 và a+b+c = 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
c b
a3 3 3
+ +
=
Nhận xét: với giả thiết a,b,c≥ 0 và vai trò của a,b,c bình đẳng như
nhau nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi a =b =c= 1.Từ đó ta có lời giải
của bài toán như sau:
Ta có: Α = a3+ b3+ c3 = ( a3+ 1 + 1 ) ( + b3+ 1 + 1 ) ( + c3+ 1 + 1 ) − 6
Theo BĐT Cô si: a3+1+1≥ 3a
b3+1+1≥ 3b
c3+1+1≥ 3c
suy ra Α = a3+b3+c3≥ 3(a+b+ c)−6= 3 (1)
Trang 3Đẳng thức xảy ra khi a=b=c= 1.
Nhận xét: việc làm xuất hiện a+b+c đảm bảo cho vế phải của (1) là
hằng số Nếu trong biểu thức A, vai trò của a,b,c không bình đẳng
thì ta phải chọn các số như thế nào để vế phải của biểu thức mới cũng
vẫn là hằng số, nghĩa là ta vẫn làm xuất hiện các thừa số a,b,c với
các hệ số bằng nhau?
Ta sẽ trình bày phương pháp này với một ví dụ cụ thể sau và từ đó độc
giả có thể tự đưa ra lời giải tổng quát cho các bài toán tương tự khác
2) Vẫn giả thiết như bài toán trước,tìm GTNN B = a3+64 b3+c3.
Phân tích: trong biểu thức B, vai trò của a, c như nhau, ta đưa vào
các tham số α , β để biến đổi:
( α α ) 64 β β ( α α ) 4 α 2 β
3
−
− + + +
+ + +
= + +
=
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số hạng trong ngoặc, ta có:
c b
a3 3 3
64 +
+
=
+
(*)
Đẳng thúc xảy ra khi
= + +
=
=
=
3
4
c b a b
c a
β
α
4
⇒ α β
Hơn nữa, để biểu diễn vế phải của (*) theo a+b+c thì các hệ số
α β
, 3
, × phải bằng nhau, do đó ta có:
=
+
×
=
3 4
2
β
α
β α
Giải hệ này ta được
=
= 17 12 17 24 β α
Từ sự phân tích trên ta có lời giải của bài toán như sau:
Trang 4
+ +
+
+ +
+
+ +
= +
+
17 24
17 24 17
12 17
12 64
17 24
17 24
3 3
3 3
3 3
3 3
3
3 3
3 3
3 3
3
c b
a c
b
a
17
12
3 3
3
2
−
Theo BĐT Cô si:
17 24
3 3
3
3
+
+
17 242
2
3 (2)
17 12 17
12
3 3
3 3
+ +
17
12
2
2
×
× (3)
17 24
3 3
3
3
+
+
17 242
2
3 (4)
⇒ a3 b3 c3
64 +
17 12
17 12
3 2
3 2
2
2
3 × × a + b + c − × = (5)
Đẳng thức ở (5) xảy ra khi
=
=
= 17 24 17 3
c a b
64 + +
= Β
17 122
3
Bài toán3: Trước hết, ta cũng có ví dụ đơn giản sau:
1) Cho a,b,c ≥ 0 và a+b+c= 3.Tìm GTLN(3 ab+ 3 ac + 3 bc).
Trang 5Phân tích:Việc có mặt căn bậc 3 mà chỉ có 2 thừa số trong căn làm ta nghĩ đến sự xuất hiện của số 1 và biến đổi hợp lí để xuất hiện giả thiết:
Lời giải:
Theo Cô si: 3 ab = 3 a 3 b 1 ≤ a+3b+1
3 ac = 3 a 3 c 1 ≤ a+3c+1
3 bc = 3 b 3 c 1 ≤ b+3c+1
⇒ 3 ab+ 3 ac+ 3 bc ≤ ( ) 3
3
3 2
= + + +b c a
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c= 1
Vậy GTLN (3 ab+ 3 ac+ 3 bc)= 3.
Nhận xét: Ở bài toán trên do các hệ số của 3 ab, 3 ac, 3 bc bằng nhau nên ta dễ dàng đưa ra lời giải của bài toán Vậy trong trường hợp các
hệ số này không bằng nhau thì sao? Ta có bài toán :
2) Cũng với giả thiết như trên, tìm GTLN ab+ 2 ac+ bc
Phân tích: do vai trò của a, c như nhau nên ta đưa vào các tham số dương α , β và bién đổi:
bc ac
α
αa b + 2 a c+ b c
≤ +( + )+ +
+
β
β α
2
1 2
1
= ( )
+ +
+ + + 2a 1 b 1 2 c
2
1
β
β α α
Đẳng thức xảy ra khi
= + +
=
=
=
3
c b
a
c b
c
a
b a
β β
α α
⇔
+
=
+
=
=
α
2 2 2
2
2 3
3
b
c a
(**)
Ta phải tìm α , β thoả mãn thêm điều kiện: + 2 = 1 + = 1 + 2
β
β α α
Trang 6⇔
+
= +
=
2 1
1
α β α
β
α
⇔
+
=
−
= 2
1 3
1 3 β α
Suy ra ab+ 2 ac+ bc ≤ ( )( ) ( 3 1)
2
3 1
3 2
1
+
= + + + a b c
Đẳng thức xảy ra khi a,b,c thoả mãn (**)
2
3
ab
Trên đây tôi đã trình bày phương pháp “Cân bằng đều” thông qua một số
bài toán nhỏ, hy vọng bài viết này có thể giúp ích quý thầy cô và bạn đọc khi
giảng dạy và học tập về phần BĐT Cô si
Sau đây, mời các bạn giải một số bài tập sau:
1) Cho a ≥ 3.Tìm Min
a
a+ 12
= Α
2) Cho a,b,c > 0 và a+b+c≤ 23 CM = + + +1+1+1 ≥152
c b a c b a S
3) Cho a,b,c > 0 và a+b+c≤ 23 CM
4
27 1 1 1
2 2 2
≥ + + + + +
=
c b a
S a b c
4) Cho a,b,c > 0 và
2
3
≥ + +b c
3
3 3
3
≥ +
+ +
+ +
=
c b a b a c c a b
5) Cho x,y,z,t ≥ 0 và x+y+z+t= 4.Tìm GTNN
x3+ y3+ z3+t3
8