SKKN.2018-CHUẨN

Trong chương trình môn toán THPT bài toán GTLN - GTNN của hàm sốđược giới thiệu trong chương I của sách giải tích 12 có vai trò quan trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toá

Việc giải một bài toán trắc nghiệm nói chung là một quá trình mò mẫm,tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán Có người phải mò mẫm rất lâu,thử hết cách này đến cách khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giảirất nhanh Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác?Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà người giải toán có thểtrải qua để đi đến các lời giải thoả đáng là gì?

Trong chương trình môn toán THPT bài toán GTLN - GTNN của hàm sốđược giới thiệu trong chương I của sách giải tích 12 có vai trò quan trọng và làm

cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan đến hàm số

Trong chương trình toán THPT, hiện nay được thay đổi hình thức thiTHPT Quốc gia từ giải toán tự luận sang trắc nghiệm Việc giải thành thạo cácbài toán trắc nghiệm nhanh, chính xác thể hiện khả năng lựa chọn công cụ, sựlinh hoạt và sáng tạo trong suy luận và phân tích bài toán Đồng thời các em họcsinh phải nắm vững lý thuyết các dạng toán, tự tổng hợp được kiến thức và biết

sử dụng sự hỗ trợ đắc lực của máy tính cầm tay

Mặt khác, học sinh ở Trung tâm GDNN-GDTX đa số các em học một cáchthụ động, lười suy nghĩ, bắt chước nhiều hơn là sáng tạo, tư duy logic của các

em chưa được rèn dũa, chưa biết tìm tòi, khai thác giả thiết, xâu chuỗi kiến thức

để đi đến tìm hướng giải bài toán, Một số ít các em học khá, muốn học nângcao để thi vào các trường Đại học, Cao đẳng thì chưa có nhiều cọ sát cũng nhưtài liệu về các bài toán vận dụng cao

Với hướng ra đề trắc nghiệm thi THPT Quốc gia như hiện nay thì các bàitoán vận dụng lí thuyết GTLN - GTNN của hàm số rất đa dạng, cụ thể trong cácbài toán hình học, bài toán lãi suất, bài toán áp dụng trong các ngành xây dựng,khoa học, kinh tế và nhiều lĩnh vực khoa học khác Mục đích để học sinh thấyđược vai trò quan trọng của toán học trong thực tế Từ những lí do nói trên vớimong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán, tôi chọn đề tài

nghiên cứu là: “Ứng dụng bài toán Giá trị lớn nhất (GTLN) - Giá trị nhỏ nhất

(GTNN) của hàm số giải toán trắc nghiệm thực tế để ôn thi THPT Quốc gia”

2 Thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2.1 Thời gian nghiên cứu

Từ thực tiễn dạy học theo hướng đổi mới phương pháp, đổi mới kiểm trađánh giá của Bộ giáo dục trong hai năm gần, Tác giả tìm hiểu nghiên cứu vấn đềnày trong năm học 2016-2017 và năm học 2017-2018

2.2 Đối tượng nghiên cứu

Cách giải bài toán trắc nghiệm thực tế bằng phương pháp tìm GTNN của hàm số

GTLN-3 Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến

Để giải tốt dạng toán trắc nghiệm thực tế sử dụng phương pháp đạo hàmthì học sinh cần phải có nhiều kĩ năng và kiến thức toán vững vàng đồng thời sửdụng MTCT hiệu quả Trước tiên ta phải hiểu bài toán yêu cầu như thế nào, từ

đó thiết lập được hàm số phụ thuộc theo một biến với lưu ý các điều kiện dàngbuộc của biến số và kết quả thu được phải phù hợp với bài toán thực tế đã cho

Xác định nội dung và hướng dẫn học sinh khối 12 kỹ năng giải nhanh,gọn bài toán trắc nghiệm trong quỹ thời gian ngắn nhất đọc được kết quả chínhxác trên cơ sở trình bày chi tiết lý thuyết và hệ thống các bài tập trắc nghiệm cụthể, nhằm giúp học sinh khối 12 tích lũy thêm một phần kiến thức quan trọngtrong hệ thống kiến thức trọng tâm của lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia và gópphần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán

Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giảitoán cho học sinh

Xây dựng các phương pháp giải bài toán thực tế theo hướng rèn luyện kỹnăng tư duy nhanh, kết hợp với các thủ thuật tính toán giải toán nhanh cho họcsinh

Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải toáncho học sinh

3 Đóng góp của sáng kiến để nâng cao chất lượng dạy và học

Giúp học sinh có tính tự giác, chủ động tiếp cận với các bài toán thực tế

sử dụng phương pháp đạo hàm Qua việc giải toán sẽ góp phần giúp học sinhphát triển tư duy, khả năng nhận biết tốt và phân loại bài tập liên quan đếnGTLN - GTNN của hàm số Vì vậy chất lượng giảng dạy được nâng cao

Đóng góp thêm một tài liệu tham khảo về giải bài toán trắc nghiệm thực

tế trong hệ thống các bài tập liên quan đến hàm số của lớp 12 phục vụ cho cácthầy cô giáo trong công tác giảng dạy và cho các học sinh ôn thi THPT Quốc gianhằm nâng cao chất lượng thi THPT Quốc gia của các trường THPT nói chung

và Trung tâm GDNN – GDTX huyện Mê Linh nói riêng

Phần II NỘI DUNG Chương I: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ MÀ SÁNG KIẾN TẬP

TRUNG GIẢI QUYẾT

Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phương pháp dạy học để hiểu

rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán Nghiên cứu sách giáo khoa, sáchtham khảo về bài toán GTLN - GTNN của hàm số và các kiến thức toán học liênquan, để thấy được vị trí và tầm quan trọng của nó, cũng như những vấn đề về

nội dung và phương pháp giảng dạy bài toán GTLN - GTNN của hàm số theo

hình thức tự luận và trắc nghiệm

Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái niệm,cách thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới Thực chất của sựhình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạpcác thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bàitập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể

Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho họcsinh cần:

Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm vàmối quan hệ giữa chúng

Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập,các đối tượng cùng loại

Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiếnthức tương ứng

Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Ngay

cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợpkhông có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suynghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết

Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài Đây là

một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài toán

Bước 2: Tìm cách giải: Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ

có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bàitoán hay liên hệ các giả thiết

Bước 3: Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành

một chương trình gồm các bước theo một trình tự nhất định và thực hiện nhanhcác bước đó, đưa ra kết quả chính xác

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải: Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả

của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn

đề, từ đó sáng tạo ra bài toán mới

Đối với sáng kiến này tôi nhận thấy các bài toán thực tế đều được xâydựng từ dạng toán học thuần túy Để học sinh giải toán trắc nghiệm thực tếnhanh, chính xác thì người học phải nắm chắc kiến thức về toán học và kiếnthức của các môn học khác Vì thế tôi sẽ hướng dẫn học sinh làm tốt các bài trắcnghiệm toán học thuần túy, từ đó dẫn dắt, đan xen với các bài tập trắc nghiệmthực tế để học sinh thấy được tầm quan trọng của toán học

Chương II: GIẢI PHÁP

A LÝ THUYẾT

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa:

* Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f (x) trên miền xác định D:

* Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f (x) trên miền xác định D:

Định lý về sự tồn tại GTLN - GTNN: “Nếu hàm số liên tục trên đoạn

a b thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó”; 

2 Một số lưu ý khi xác định GTLN và GTNN của hàm số

* Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN,GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f

3 Phương pháp tìm GTLN - GTNN của hàm số yf x  bằng đạo hàm trên đoạn Da b; 

n D

* Ngoài cách sử dụng đạo hàm như đã trình bày ở trên, đôi khi để giảiquyết nhanh bài toán ta có thể sử dụng thêm các kiến thức về cực trị của hàm sốbậc hai hay các bất đẳng thức đã học

4 Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT tìm GTLN - GTNN của hàm số

Step 0,2 (Bước nhảy 0,2 giá trị)

Ấn “=” (có bảng giá trị của hàm số tại rất nhiều điểm của x)

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Vận dụng bài toán GTLN - GTNN của hàm số để giải bài toán trắc nghiệm thực tế lợi nhuận kinh tế

Bài 1: Một ô tô khách có sức chứa tối đa là 60 hành khách Nếu một

chuyến xe trở x hành khách thì giá cho mỗi khách là

2

340

A Xe thu được lợi nhuận cao nhất là 60 khách

B Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135 đồng

C Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160 đồng

 Giá trị lớn nhất của f x là 160 $ khi   x 40

Nhận xét: Sau khi thiết lập được hàm số f x là hàm bậc 3 yêu cầu học 

sinh sử dụng máy tính cầm tay tìm GTLN của f x trên   0;60 để được kết

quả nhanh nhất

Bài 2: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyển kinh doanh xe gắn máy các

loại Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xeHonda Future với chi phí một chiếc là 27 triệu đồng, bán với giá 31 triệuđồng/chiếc Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua là 600 chiếc.Nhằm đẩy mạnh tiêu thụ, doanh nghiệp giảm giá bán, ước tính một triệu/chiếcthì số lượng xe bán ra/năm tăng 200 chiếc Vậy doanh nghiệp phải định giá bánmới là bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được cao nhất?

0

135

A 30,5 triệu/ 1 chiếc B 30 triệu/ 1 chiếc

C 32 triệu/ 1 chiếc D 32,5 triệu/ 1 chiếc

 Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là: 6800 200x x 

Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: 6800 200 27 x

Lợi nhuận mà công ty đạt được là:

Lập BBT  Lợi nhuận max  x30,5

Nhận xét: Sau khi thiết lập được hàm số f x là hàm bậc 2 yêu cầu học 

sinh sử dụng máy tính cầm tay tìm GTLN của f x để được kết quả nhanh nhất 

+ Vì lý do giải toán trắc nghiệm trong khoảng thời gian ngắn nên 1 số bàitập học sinh có thể làm tắt 1 số bước như khi giải phương trình f x  tìm'  0được nghiệm thì có thể tìm được kết quả bài toán

Bài 3: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết nếu cho thuê

một căn hộ giá 2 triệu đồng/tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗilần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100.000 đồng/tháng thì có thêm 2 căn hộ

bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê căn hộ vớigiá bao nhiêu/ tháng?

2

2100.000.000 10

100.000

x x

Bài 4: Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật

không có nắp và có các kích thước x y z dm Biết tỉ số hai cạnh đáy là, ,  

tỉ số giữa chiều cao h và bán kính đáy R của bể là bao nhiêu?

h

239

h

73

Bài 1: Trong các khối trụ có cùng diện tích toàn phần bằng  Gọi (S) là

khối trụ có V lớn nhất Chiều cao của (S) bằng ?

R h

R



Bài 2: Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy có bán kính R Một

mặt phẳng (P) di động song song với đáy hình nón cắt hình nón theo đường tròngiao tuyến (L) Dựng hình trụ có một đáy là đường tròn (L), một đáy nằm trênđáy hình nón có trục là trục của hình nón Gọi x là chiều cao hình trụ, giá trị của

R V

Nhận xét: Với bài tập này nếu hướng dẫn cho học sinh giải theo cách 1 sẽ

nhẹ nhàng hơn so với cách 2 Vì cách 2 phải sử dụng bất đẳng thức Cô - si sẽlàm cho học sinh sợ hơn

Bài 3: Cho hình nón có đỉnh S, chiều cao h và bán kính đáy bằng R Mặt

phẳng   qua S cắt hình nón tạo ra một thiết diện tam giác Diện tích lớn nhấtcủa thiết diện bằng:

Thiết diện là tam giác SMN cân tại S

Kẻ bán kính OA của hình nón vuông góc với MN tại H

Đặt x OH

0

Tam giác OHM vuông tại H có:

Vậy thiết diện có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi giao tuyến của   với

mặt đáy của hình nón cách tâm của đáy một khoảng bằng 2 2

2

Nhận xét: Cũng như bài 1 bài tập này, nếu giải cách 2 sẽ thuận lợi đối với

những học sinh học tốt bất đẳng thức nếu không sẽ hướng dẫn cho học sinh làmcách 1 học sinh sẽ hứng thú hơn

Bài 4: Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, hình nón có

diện tích xung quanh lớn nhất khi:

A M

H

N

O h S

Gọi r h, lần lượt là bán kính và đường sinh của hình nón.

Đặt SAB , theo định lý sin ta có:

S

N O M R

M'

N' O'

Bài 5: Có 1 tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm

Người ta cắt ở 4 góc của tấm nhôm đó 4 hình

vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng

3 Một số bài toán trắc nghiệm thực tế tổng hợp

Bài 1: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính  2 (m) Nam muốnmắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhậnđược nhiều ánh sáng nhất Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểuthị bởi công thức: C csin2

 ( là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn,

c - hằng số tỉ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, : khoảng cách từ mép bàn tớibóng điện) Khoảng cách Nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là:

x

Bài làm

Gọi hlà độ cao của bóng điện so với mặt bàn h 0; Đ là bóng điện, I là

hình chiếu vuông góc của Đ lên mặt bàn MN là đường kính của mặt bàn (hìnhvẽ)

Bài 2: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng.

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cásau một vụ cân nặng P( )n 480 20 n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trênmột đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

A 10 B 12 C 16 D 24

Bài làm

Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ n 0, ta có:

Cân nặng một con cá là: P n  480 20 n (gam)

Cân nặng n con cá là: n P n   480n 20n2 (gam)

Xét hàm số: f n  480n 20n2 n 0; 

 

Lập BBT  n 12 Thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 3: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức

  0,024 230 

G x  x  x , trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao

huyết áp (x được tính bằng mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân caohuyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất?

Vậy G x đạt giỏ trị lớn nhất khi   x 20

Bài 4: Trong lĩnh vực thủy lợi, cần phải xõy dựng

nhiều mương dẫn nước dạng “Thủy động học”

(Ký hiệu diện tớch tiết diện ngang của mương là S,

l là độ dài đường biờn giới hạn của tiết diện này,

l - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương,

mương được gọi là cú dạng thủy động học nếu

với Sxác định, l là nhỏ nhất) Cần xỏc định cỏc kớch thước của mương dẫn nướcnhư thế nào để cú dạng thủy động học? (nếu mương dẫn nước cú tiết diện ngang

Bài 5: Đường dõy điện 110 kv kộo từ trạm phỏt (điểm A)

trong đất liền ra Cụn Đảo (điểm C), biết

chi phớ là 5000 USD,chi phớ cho mỗi km dõy điện

trờn bờ là 3000 USD Hỏi điểm G cỏch A bao nhiờu

x y

Đ i ệ n x

A G

B C

để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất?

Bài 1: Cần phải làm cái cửa số mà phía trên là hình bán nguyệt,

phía dưới là hình chữ nhật có chu vi là a (m) (a chính là chu vi hình

bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình

chữ nhật dây cung của hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước

của nó để diện tích cửa số là lớn nhất?

Bài 2: Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với

chu vi cho trước là a làm cho diện tích của hình quạt là cực đại

Dạng của hình quạt này phải như thế nào?

Bài 3: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp

trong nửa đường tròn bán kính 10 cm Biết một cạnh

của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn

10 cm