Trong không gian cho một hình cầu S tâm O có bán kính R và một điểm S cho trước sao cho SO = 2R.. Từ S kẻ các tiếp tuyến với mặt cầu với tiếp điểm thuộc đường tron C1.. Trên mặt phẳng P
Trang 1CHO
HS
CHUYÊN
KHTN
ĐỀ THI THỬ THPT CỦA TRƯỜNG CHUYÊN Đại hoc KHTN - Đại học Quốc Gia Hà Nội
PGS.TS Nguyễn Vũ Lương
Nguyễn Văn Sơn
Câu 1 Phần ảo của số phức z = −1 − 4i
5 + i là
19
19
9
26. Câu 2 Mô đun của số phức z = 1 + 4i + (1 − i)3 là
Câu 3 Tìm phần thực của số phức z = (1 − i)2011
Câu 4 Nghiệm phức khác 2 của phương trình z2− (i − 1)z + 2i − 6 = 0 là
Câu 5 Căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i là
A 2 + i và −2 − i B 1 + i và −1 − i C 3 + i và −3 − i D 1 + 2i và −1 − 2i Câu 6 Trong không gian cho một hình cầu (S) tâm O có bán kính R và một điểm S cho trước sao cho SO = 2R Từ S kẻ các tiếp tuyến với mặt cầu với tiếp điểm thuộc đường tron (C1) Trên mặt phẳng (P ) chứa đường tròn (C1) ta lấy điểm E thay đổi nằm ngoài mặt cầu (S) Gọi N là hình nón có đỉnh là E và đáy là đường tròn (C2) gồm các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E đến mặt cầu (S) Biết rằng hai đường tròn (C1) và (C2) luôn có cùng bán kính Tính theo R bán kính
R0 của đường tròn cố định mà E di động trên đó
A R0 = R
√ 15
0 = R
√ 15
0 = 3R
0 = R
√ 17
Câu 7 Xét lưới ô vuông (8 × 8) trên hệ trục toạ độ Xuất phát từ điểm (0, 0) ta đi trên các cạnh
ô vuông sang phải và lên trên đến điểm (8 × 8) Số đường đi từ (0, 0) đến (8 × 8) là
Câu 8 Có 6 đại biểu A, B, C, D, E, F đăng ký phát biểu trong một hội nghị Số cách xếp thứ tự phát biểu sao cho đại biểu A phát biểu trước B là
6!
3. Câu 9 Xét đa giác lồi 10 đỉnh, số tứ giác có 4 cạnh là 4 đường chéo của đa giác bằng
Câu 10 Giá trị của tổng S = C3
3 + C3
4 + · · · + C3
100 bằng
Câu 11 Hệ số lớn nhất trong khai triển của P (x) = (1 + 2x)20 là
A C14
20.214 B C13
20.213 C C12
20.212 D C15
20.215 Câu 12 Nghiệm của phương trình log23x = log3 √2
x bằng
A log32
1 + 2 log32. B.
2 + log23
2log1812
Câu 13 Ký hiệu a = log25, b = log23, giá trị của log1840 bằng
A 1 + 2a
2 + a
3 + a
2 + a
1 + 2b. Câu 14 Giá trị của biểu thức A = log23 log34 log45 · · · log6364 bằng
Trang 2CHO
HS
CHUYÊN
KHTN
Câu 15 Phương trình log2
x 4x2 + log2√
x
2
x = 3 có một nghiệm x = 1 và một nghiệm khác 1 bằng
Câu 16 Phương trình log22x + log3 6
x =
1 + log3 6
x
log2x có số nghiệm bằng
Câu 17 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 1
x2√
1 + x2 là
x4√
1 + x2 + C B −
√
1 + x2
√
1 + x2
√
1 + x2
x2 + C Câu 18 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 5x
sin x là
C 1
1
2sin 4x + sin 2x + x + C.
(sin x +√
3 cos x)2 là
A −1
4cot
x + π 3
4cot
x +π 3
+ C
C 1
4tan
x + π 3
4tan
x +π 3
+ C
Câu 20 Họ tất cả các nguyên hàm của f (x) = (x − 1)
10
(x + 1)12 là
A 1
22
x − 1
x + 1
9
10
x − 1
x + 1
10
+ C
C 1
22
x − 1
x + 1
11
11
x − 1
x + 1
10
+ C
Câu 21 Họ tất cả các nguyên hàm của f (x) = ln2x là
Câu 22 Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất Muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao nhiêu?
A √32
1
3
√
2
1 2π. Câu 23 Cho hàm số y = log21 + 2
√
x 2 +1, giá trị của y0(√
3) bằng
A 2
√
5
2√ 3
5√ 5
3 . Câu 24 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x
√
2+ (1 − x)
√
2 với 0 < x < 1 bằng
A 1
√
2
√ 2
Câu 25 Giá trị lớn nhất của hàm số y = sin4x cos6x bằng
1
32
55 Câu 26 Cho y = x
2+ x + 3
x + 3 , số tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm (−3; −5) bằng
Trang 3CHO
HS
CHUYÊN
KHTN
Câu 27 Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ (có hai nắp) có thể tích 1000l để chứa nước Tính bán kính đáy R (đơn vị mét) của cái bồn hình trụ đó sao cho ít tốn vật liệu nhất
A R =r 13
3
r 1 2π(m). C R =
3
r 1
3
r 2
π(m). Câu 28
Cho khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh 1
Gọi M, N, P, L lần lượt là tâm các hình vuông
ABB0A0, A0B0C0D0, ADD0A0 và CDD0C0 Gọi Q là
trung điểm của BL Tính thể tích khối tứ diện M N P Q
(tham khảo hình vẽ bên)
1
√ 2
√ 3
27.
M
A0
B0
D0 N
C0 L A
P
Câu 29 Có bao nhiêu giá trị của m 6= −3 để đường thẳng y =
(m + 3)2
m + 3 − 27
(m + 3)2 − 2 tiếp xúc với đồ thị y = x
2+ x + 3
x + 3 .
Câu 30 Cho y = x3− 3x2, hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1; −2)
Câu 31 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
√
x2+ 1
x + 1 trên miền x > 0 là
√
2 − 1
Câu 32 Giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 + sin
4x
2 + cos2x +
1 + sin2x
2 + cos4x bằng
5
2. Câu 33 Cho hàm số y = 4 cos x cos
x +2π 3
cos
x − 2π 3
, y(4n)(x) (đạo hàm bậc 4n) bằng
Câu 34 Trong những đồ thị của các hàm số sau, hàm số nào thoả mãn ymin.ymax < 0
Câu 35 Giá trị của S = C200 + C201 + · · · + C2010 bằng
A 219+1
2C
10
20 B 220− 1
2C
10
20 C 219− 1
2C
10
20 D 220+1
2C
10
20 Câu 36 Giá trị của m để y = mx − 2 là tiệm cận xiên của đồ thị y = x
2+ x + 3
Trang 4CHO
HS
CHUYÊN
KHTN
Câu 37 Giới hạn M = lim
x→1
2
√ x+3− 4
Câu 38 Hàm số y =
1 sin 2x +
1 sin 4x +
1 sin 8x + cot 8x
sin x có giá trị lớn nhất bằng
Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (−1; 0; 2) và đi qua điểm A (0; 1; 1) Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A 8
4
Câu 40 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2+ 4x − 8y + 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (P ) : 2x + y + 3z − 3 = 0 Biết (P ) cắt (S) theo một đường tròn, tìm tọa độ tâm I và bán kính của r của đường tròn đó
A I 8
7;
25
7 ; −
16 7
và r = 2
√ 854
8
7; −
31
7 ; −
2 7
và r =
√ 854
C I
−8
7;
31
7 ;
2 7
và r =
√ 854
−8
7;
31
7 ;
2 7
và r =
√ 854
Câu 41 Trong không gian Oxyz„ cho hai đường thẳng d1:
x = 1 + t
y = 2 − t
z = 3 + 2t
và
d2: x − 1
y − m
z + 2
−1 , (m ∈ R) Tìm giá trị của tham số m để d1, d2 cắt nhau
Câu 42 Trong không gian Oxyz, cho điểm H(6; 1; 1) và 2 đường thẳng d1: x − 1
y + 1
z 1
và d2:
x = 2
y = t
z = −1 + t
Gọi (P ) là mặt phẳng chứa d1 và song song d2 Khi đó khoảng cách từ H
đến (P )
Câu 43 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10; 6; −2), B(5; 10; −9) và mặt phẳng (α) : 2x+ 2y + z − 12 = 0 Điểm M di động trên mặt phẳng (α) sao cho M A, M B luôn tạo với (α) các góc bằng nhau Biết rằng M luôn thuộc đường tròn (C) cố định Cao độ của tâm đường tròn là
Câu 44 Trong không gian Oxyz„ cho (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d : x − 4
y
1 =
z + 4
−4
và tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x − 3)2+ (y + 3)2+ (z − 1)2 = 9 Khi đó mặt phẳng (P ) cắt trục
Oz tại điểm nào trong các điểm sau đây?
Câu 45 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a, tam giác BCD cân tại C và BCD = 120÷ ◦, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Mặt phẳng (P ) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M , N , P Tính thể tích của khối chóp S.AM N P
A a
3√
3
2a3√ 3
a3√ 3
a3√ 3
12 . Câu 46 Cho khối tứ diện ABCD có BC = 3, CD = 4, ABC =÷ BCD =÷ ADC = 90÷ ◦ Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng 60◦, cô-sin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) bằng
Trang 5CHO
HS
CHUYÊN
KHTN
A
√
43
4√ 43
√ 43
2√ 43
43 . Câu 47 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1; 0), song song với mặt phẳng (P ) : x − y − z = 0 và có tổng khoảng cách từ các điểm M (0; 2; 0) và N (4; 0; 0) tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất Véc-tơ chỉ phương của ∆ là
A # »u∆= (0; 1; −1) B # »u∆= (1; 0; 1) C # »u∆= (3; 2; 1) D # »u∆ = (2; 1; 1) Câu 48 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1−1), B(−1; 2; 0), C(3; −1; −2) Giả sử M (a; b; c) thuộc mặt cầu (S) : (x − 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 861 sao cho
P = 2M A2− 7M B2+ 4M C2 đạt giá trị nhỏ nhất Giá trị |a| + |b| + |c| bằng
Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; 0; 1), C(−2; 2; 3) Đường thẳng ∆ qua trực tâm H của tam giác ABC và nằm trong mặt phẳng (ABC) cùng tạo với các đường thẳng AB, AC một góc α < 45◦ có một véc-tơ chỉ phương là #»u = (a; b; c) với c là
số nguyên tố và a, b là số nguyên Giá trị biểu thức ab + bc + ca bằng bao nhiêu?
Câu 50 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x = 1 + 3a + at
y = −2 + t
z = 2 + 3a + (1 + a)t
Biết rằng khi a thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua điểm M (1; 1; 1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ Tìm bán kính của mặt cầu đó
A 5√
5