SKKN Phương pháp giải các dạng tích phân

Mục đích Với những lí do ở trên, tôi đặt ra mục đích đi nghiên cứu và trình bày cơ sở lí thuyết của ph-ơng pháp tính tích phân theo các dạng hàm số, có ví dụ minhhoạ, cuối cùng là đ-a ra

báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến

I Lí do chọn đề tài

1. Giới thiệu

Phép tính tích phân là một trong những nội dung chủ yếu của ch-ơng trìnhtoán THPT, là một phép tính cơ bản của giải tích Vì vậy, việc học tốt nội dungnày là rất cần thiết đối với các em học sinh Phép tính tích phân còn giúp chúng

ta giải lớp các bài toán về tính diện tích và thể tích của các vật thể, các bài toán

về giới hạn Từ đó, ta thấy đ-ợc tầm quan trọng của bài toàn tích phân Cho

đến nay, ph-ơng pháp giải các dạng tích phân đã đ-ợc nghiên cứu đầy đủ vàsâu sắc Tuy nhiên, để có thêm một tài liệu tham khảo cho học sinh, năm học

2016 - 2017, 2017 - 2018 tôi đã tổng hợp lại một số dạng tích phân và ph-ơngpháp cơ bản tính tích phân theo một góc độ khác trong đề tài: Ph-ơng pháp tính một số dạng tích phân trong ch-ơng trình THPT Năm họcnày, tôi xin tiếp tục phát triển đề tài trên theo h-ớng tập hợp thêm các bài tậptrắc nghiệm ở ch-ơng 3 của đề tài

Số điện thoại: Email:

II Mục đích và nhiệm vụ

1. Mục đích

Với những lí do ở trên, tôi đặt ra mục đích đi nghiên cứu và trình bày cơ sở

lí thuyết của ph-ơng pháp tính tích phân theo các dạng hàm số, có ví dụ minhhoạ, cuối cùng là đ-a ra một số bài tập đề nghị

2. Nhiệm vụ

Nhiệm vụ cơ bản khi thực hiện đề tài là:

- S-u tầm và nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan đến các vần đềcủa đề tài

- Xây dựng đề c-ơng tổng quát và đề c-ơng chi tiết

- Thực hiện các nội dung nghiên cứu của đề tài: tập hợp và trình bày chính xáccác kiến thức liên quan đến tích phân và ph-ơng pháp giải

- Thông qua nội dung nghiên cứu đề xuất h-ớng pháp triển tiếp theo của đề tài

III Ph-ơng pháp nghiên cứu

- Ph-ơng pháp nghiên cứu lí thuyết: Tập hợp, s-u tầm nghiên cứu tài liệu, nhấtquán hoá và trình bày hoàn chỉnh những nội dung kiến thức liên quan đến đềtài

- Ph-ơng pháp thảo luận nhóm, tham khảo ý kiến chuyên gia

IV Cấu trúc của đề tài

Nội dung của đề tài đ-ợc trình bày thành ba ch-ơng Ch-ơng một là một sốkiến thức liên quan: tôi trình bày một số kiến thức liên quan nh- nguyên hàm,các công thức nguyên hàm, một số ph-ơng pháp tính nguyên hàm, định nghĩatích phân xác định, tính chất và ph-ơng pháp tính của nó Ch-ơng hai tôi trìnhbày nội dung chính của đề tài là ph-ơng pháp giải một số dạng tích phân xác

định nh-: Tích phân các hàm hữu tỉ, Tích phân các hàm vô tỉ, Tích phân cáchàm l-ợng giác, Tích phân các hàm siêu việt, Tích phân các hàm chứa trị tuyệt

đối Ch-ơng ba là một số bài tập trắc nghiệm theo h-ớng của các đề thi

Mục lục

Bảng chữ cái viết tắt 6

1 Kiến thức liên quan 7 1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 7

1.1.1 Định nghĩa 7

1.1.2 Các công thức tính họ nguyên hàm (tích phân bất định) 9 1.1.3 Một số ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm 10

1.2 Tích phân xác định 16

1.2.1 Định nghĩa 16

1.2.2 Tính chất 17

1.2.3 Ph-ơng pháp tính tích phân xác định I = b R a f (x)dx 17

2 Ph-ơng pháp giải một số dạng tích phân xác định 20 2.1 Tích phân của các hàm hữu tỉ và các hàm có thể hữu tỉ hóa 20

2.1.1 Ph-ơng pháp phân tích, sử dụng nguyên hàm cơ bản 20

2.1.2 Ph-ơng pháp đổi biến số 23

2.1.3 Ph-ơng pháp tích phân từng phần 25

2.2 Tích phân của các hàm vô tỉ 26

2.2.1 Sử dụng nguyên hàm cơ bản 26

2.2.2 Ph-ơng pháp đổi biến 27

2.2.3 Ph-ơng pháp tích phân từng phần 30

2.3 Tích phân của các hàm l-ợng giác 31

2.3.1 Biến đổi, sử dụng các nguyên hàm cơ bản 32

2.3.2 Ph-ơng pháp đổi biến 35

2.3.3 Ph-ơng pháp từng phần 37

2.4 Tích phân của các hàm siêu việt 39

2.4.1 Biến đổi, sử dụng các nguyên hàm cơ bản 39

2.4.2 Ph-ơng pháp đổi biến 40

2.4.3 Ph-ơng pháp tích phân từng phần 41

2.5 Tích phân của các hàm chứa giá trị tuyệt đối 43

3 Một số bài tập trắc nghiệm 47 3.1 Đề thi minh họa năm 2017 47

3.2 Đề thi thử nghiệm năm 2017 47

3.3 Đề thi tham khảo năm 2018 48

3.4 Một số bài tập khác 49

Ch-ơng 1

Kiến thức liên quan

1.1.1 Định nghĩa

1.1.1.1 Nhắc lại khái niệm vi phân

Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b) Cho x số gia ∆x sao cho: x + ∆x ∈ (a; b) Khi đó ta gọi tích f0(x)∆x hoặc y0∆x là vi phân của hàm số y = f (x) tại x ứng với số gia ∆x và kí hiệu

a) Định nghĩa Hàm số F (x) đ-ợc gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x)

trong khoảng (a; b) nếu F0(x) = f (x), ∀x ∈ (a, b)

b) Định lý (Ta thừa nhận định lý này)

Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a; b) thì:

i) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là nguyên hàm của f (x) trên khoảng đó.

ii) Ng-ợc lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f (x) trên khoảng (a.b) thì có thể viết G(x) = F (x) + C (C = const) Khi đó: {F (x) + C, C ∈ R}

đ-ợc gọi là họ nguyên hàm của f (x) trên khoảng (a; b).

c) Tính chất

Tính chất 1 Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x), H(x) là nguyên

hàm của hàm số h(x) thì:

i) F (x) + H(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) + h(x)

ii) F (x) − H(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) − h(x)

Tính chất 2 Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số h(x), k là một số thực thì

kF (x) là nguyên hàm của hàm số kf (x)

Tổng quát: ∀k1, k2, , kn là các số thực và F1(x), F2(x), , Fn(x) lần l-ợt là nguyên hàm của các hàm số f1(x), f2(x), , fn(x) thì k1F1(x)±k2F2(x)±ã ã ã±

knFn(x) là một nguyên hàm của hàm số k1f1(x) ± k2f2(x) ± ã ã ã ± knfn(x).

1.1.1.3 Định nghĩa tích phân bất định

a) Định nghĩa Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng (a; b) gọi

là tích phân bất định của hàm f (x) Kí hiệu: R

f (x) Hàm số d-ới dấu tích phân bất định.

f (x)dx biểu thức vi phân d-ới dấu tích phân bất định.

Chú ý. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng (a; b) là tích phân bất

định của f (x) trong khoảng đó.

Ph-ơng pháp 1. Biến đổi, áp dụng các công thức họ nguyên hàm

Ph-ơng pháp này ta dùng với những bài tập cơ bản, ta dùng các phép biến

đổi thông th-ờng để đ-a về các nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 1 Tính họ các nguyên hàm sau:

Tổng quát. Tính họ nguyên hàm sau

x

x + 1

+

1

x + 1 + C

Chú ý. Ph-ơng pháp dùng tích phân bất định trên là một trong những ph-ơngpháp cơ bản để tính tích phân hàm hữu tỉ

Ph-ơng pháp 3. Xác định họ nguyên hàm bằng ph-ơng pháp đổi biến

Kiến thức cơ bản: Ph-ơng pháp đổi biến số đ-ợc sử dụng phổ biến trong việctính các tích phân bất định cũng nh- tích phân xác định (ta xét ở ch-ơng sau).Ph-ơng pháp đổi biến để tính nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lí sau:

2) Nếu hàm số f (x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với

đạo hàm ϕ0(t) là những hàm số liên tục thì R

x = |a| sin t với − π2 ≤ t ≤ π2

x = |a| cos t với 0 ≤ t ≤ π

x = |a| tan t với − π2 < t < π2

x = |a| cot t với 0 < t < π

t − 1

t + 1

+ C

Hay I = 1

2 ln

3x − 1 +p(3x − 1)2− 1

2 1

8 0

= 529

... 2

Ph-ơng pháp giải số dạng tích phân xác định

hóa

ở tốn này, cần linh hoạt lựa chọn ph-ơngpháp sau để tìm nguyên hàm hàm số d-ới dấu tích phân Sau ápdụng... ph-ơng pháp đổi biến

Kiến thức bản: Ph-ơng pháp đổi biến số đ-ợc sử dụng phổ biến việctính tích phân bất định nh- tích phân xác định (ta xét ch-ơng sau).Ph-ơng pháp. .. Ph-ơng pháp dùng tích phân bất định ph-ơngpháp để tính tích phân hàm hữu tỉ

Ph-ơng pháp