hinh hoc 10

Một trong những quyển sách lý thú của chyên lê hồng phong

(Tái bản lần thứ 6 - chỉnh lí 1998)

CHƯƠNG 1 - VECTƠ BÀI 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ VECTƠ

|AB| : môđun của vectơ AB Z :

—> —_—

*® AB = CD ABDC là hình bình hành (thực sự hay suy biến)

phụ thuộc vào vị trí của O, được O B

gọi là tổng của hai vectơ a và b 8

: TXT07t8

www.sachhot.info

—> => — ` * Trục (O, i ) là đường thẳng định hướng trên đó đã chọn O

«Ổ Quy tắc hình bình hành : OA + OA' = OB là điểm gốc và ¡là vectơ đơn vị

_— —> _—— ~ ° = OB _ A = Xp— X

4 Phép nhân mot so vor mor vec AB + BC + CA = 0 hay BC = AC - AB (hệ thức Sa-lơ)

Định nghĩa

* V6iaz0 vam # 0 : vectơ m.a là một vectơ : ° I là trung điểm AB @ x, = ~~

* cùng phương với a

— cùng hướng với a nếu m > 0

— ngược hướng với a nếu m < 0 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để biến đổi biểu thức vectơ, ta sử dụng :

* Quy tac 3 điểm: Với A, B, C tùy ý :

* Cac quy tac tinh toan : cộng, trừ, nhân vectơ với số thực

GHICHÚ: Tính vectơ v theo các vectơ 8 ,B là thiết lập đẳng thức dạng

0 (vi O la trung diém cia EF)

* Biến đổi vế trái (xen chữ O) :

MA + MB + MC+MD =

—_` — —>x —> —> —> —> —

(MO + OA) + (MO + OB) + (MO + OC) + (MO + OD)

4MO + (OA + OB + OG + OD)

4MO (đpem)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G

a) Chứng minh rằng : GA + GB+GC = b) Đảo lại, chứng minh rằng nếu 1A + IB + Zz = thì I là trọng tâm tam giác ABC -

a) Gọi A` là trung điểm của BC, ta có :

GB + GC = 2GA” (quy tắc trung điểm)

Suy ra : GA + GB + GỠ = GA + 2GA°

ma GA + 2GA? = (tính chất trọng tâm)

Do đó : GÀ + GB + GỠ = (đpem)

www.sachhot.info

a) Tinh vecto Al theo cac vecto AB va AC

b) Goi J và K lân lượt là những điểm trên cạnh AC, AB sao

b) Gọi O là điểm trên đoạn MN và OM = 2ON Chứng minh —

rang : OA — 20B ~ 20C + OD = 0

8 Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ Goi G, G’ lan lugt Ia trong tam

tam giác ABC và A'R'C' co

_—> —> —> —>

a) Chứng tỏ : AA' + BB’ + CC’ = 3GŒ'

Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm

b) Giả sử A', B', C' lần lượt thuộc cạnh BC, CA, AB, Chứng

mỉnh rằng điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A’B’C’ có

cing trong tam la ; BA’ = —— = —

4 Cho lục giác ABCDEF có AB và EF nằm trên hai đường thẳng

vuông góc Chứng minh rằng điều kiện để hai tam giác ACE va

BDF cé cing trọng tâm là : AB? + BF2 = CD2,

5 Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại điểm O sao cho các vectơ

—> —> — —> _~> —> —>

OA, OB, OC, OD có độ dài bằng nhau và OA + OB + OC +

+ OD = Ữ Chứng minh ABCD là hình chữ nhật,

6 Cho tam giác ABC, goi I lA diém trén canh BC sao cho 2CI =

= 3BI, goi J la điểm trên BC kéo dai sao cho 5JB = 2C

— —> —> —>

a) Tinh AI, AJ theo AB va AC

bì Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tinh AG theo Al va Ad

ds: ca) AI = 3AB+2AC,A7 = 5AB_ 2A

9 Cho hình bình hành ABCD, tâm O Đặt AB = a

tính các vectơ sau đây theo a và b :

,AD = Hãy

a) AT (I là trung điềm cua BO)

b) BG (G là trọng tâm tam giác OCD)

OA + OB + OC = Ở và |OA| = |OB| = |OC| Chứng mỉnh

rằng tam giác ABC đều

11 Cho tam giác ABC cạnh BC = a, CA = b, AB = c Goi D, E, F lần lượt là chân các phân gidc trong vé tit A, B, C

a) Tinh AD theo AB, AC

11 www.sachhot.info

b) Chứng minh rằng nếu có : AD + BE + CF = 0 thi tam

giác ABC là tam giác đều

; wh b —> e —>

ds:a) AD = _~_ ,AB+_©_ Ac

12 Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC,

CA, AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng —_— —> —>

->

nếu AD + BE + CF = 0 thì tam giác ABC là tam giác đều

13 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC với trọng tâm G thỏa :

—> —> —> >

| |BC|.GA + |CA|.GB + |AB|GC = 0

thì tam giác ABC là tam giác đều

° Nếu muốn dựng điểm I, ta lấy A lam gốc, dựng

A một vectơ bằng vectơ v ; thì ngọn vectơ đó là điểm |

_ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hãy dựng các điểm I, J, K, L biết rằng :

8) lÁ -2!B = b) JA —- JB - 2JC =

«> —2AL — (AB — AL) + 3(AC — AL) = AB | _ + AC

« 4AU = 2AO — 2AB

= AL = lBể : đẳng thức này cho ta dựng được L

2 ˆ

Vi du 2: Cho trước hai điểm A, B và hai số œ và 8 với z + 8z0

8) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm | thỏa

—> _—

œlA +/@IB = b) Suy ra rằng với M là điểm bất kì, ta có ;

điểm 1 duy nhất thỏa alA +ØïB =

b) Ta có : zMA +/ MB = a(MĨ Gah + B(MI + TB)

—> —>

= ( + Ø)MI + œIA + 81B

= (+/Ø)MI (đpcm) ` NHẬN XÉT: Nếểùœ = 8 = = 1 thi điển Ï nói trên chính là trun di ig diém ctia

AB va (1) la quy tac trung diém quen thuộc

GHI CHÚ: Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng mình rằng, nếu A, B, C la 3

diém cho truéc va a, B, y là ba sốcho trước vôi a + B+ y # 0, thi:

© tén tai duy nhat diém I théa ala + BIB + vic = 0 =

yd @MA + BMB + yMC = (a +f + y).MI (2) voi M la diéin bal ki

14

——>

AB không đổi, nên tôn tại một

Cẩn chú ý rằng, nếu œ = = y = 1 thì điểm I nói trên chính là trọng tâm của

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm tùy ý

Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định | sao cho các đẳng thức vectơ sau thỏa với mọi điểm M

ở Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, M là một điểm bất kì Chứng

minh rằng các vectơ sau đây không đổi Tính môđun của chúng

és:a)8a —_b) aV'I, c) 2av2

4 Cho tứ giác ABCD, hãy tìm số k và điểm cố định I sao cho các

* hoặc biến đổi đẳng thức vectơ đã có về dạng (1) bằng các qui tắc

biến đổi quen thuộc

—_ —

*® hoặc tính các vectơ AB, AC theo hai vectơ không cùng phương đã

- chọn, rồi rút ra (1)

4

MB = 3MC + AB- ề AM = 3(AC- AM) > AM = 3a@_1Ap

| 2 2

Thay kết quả vào (1) và (2), ta được :

MP - AB-2 ac (3) và MN = l,AB- 3 Aở | 2 (4)

a) Ching minh I, G, B thẳng hàng, G là trọng tâm tam giác ABC

b) Chứng minh IJ cùng phương AC,

ohúng minh một đường thang di động, luôn

luôn đi qua một điểm cố định

—

MC = z.MA + (1 ~ ø).MB với M là điểm tày ý và œ là số thực bái lò

* Đặc biệt với 0 < ø <1 thì C G đoạn AB

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC,

a) M là điểm di động Dựng MN = 2.MA + 3MB — MỂ `

Chứng minh MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

b) Gọi P là trung điểm của CN, chứng minh rằng MP luôn luôn di

qua một điểm cố định khi M thay đổi

c) Kéo dài AB một đoạn BE = AB, gọi F là trung điểm của AC Vẽ

hình bình hành EAFG Đường thẳng AG cắt BC tại K Tính KB : KC,

b) Vì P là trung điểm CN, nên ta có:

Vay MP luôn luôn đi qua điểm cố định J

c) Để xác định giao điểm K của AG và BC, ta tính AG theo

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, M là một điểm di động trên cạnh BC

Vẽ MP, MQ lần lượt song song AC, AB cắt AB, AC theo thứ tự tại P và

Gọi E và F là trung điểm của AB va AC, thi :

—

AI = (—k)AE+k.AF € 1 thuộc đoạn EF

1 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, Gọi Hla

trực tâm tam giác ABC và AD là đường kính cia (0) -

a) Chứng minh HBDC là hình bình hành

b) Chứng minh HÀ + HB + HẺ =

và OÁ + OB + OC = OH Suy ra O, H và t ` rong tam € củ

2 Cho tam giác ABC, gọi I là điểm định bởi

—> —> —> -_

3.I1A-IB+2.IC = ổ Xác định giao điểm của :

a) IA véi BC

b) IG véi AB, G là trọng tâm tam giác ABC

ds: a) Al ct BC tai điểm J thỏa 2 JC — JB =ở

b) AB = 2AG - 4 Af > IG cit AB tai K thỏa

3 Cho tam giác ABC, trong tam G Goi IJ là điểm định bởi :

a) Chứng mỉnh jJ nằm trên đường thả

b) Chứng minh ở là trung điểm của BI

2

c) Gọi E là điểm thuộc AB định bởi AE = k.AB Định k để `

CE di qua J

—

4 Cho tam giée ABC, goi I, J Ja hai điểm thỏa : IA = 2.IB và

3.JA +2.JB = Chứng mỉnh IJ qua trọng tâm G của tam

giác ABC

=ƒ=Ấ-_x З> —

5 Cho tam giác ABC và vectơ v = 3 MA - 2 MB - MC với M là điểm bất kì

a) Chứng minh v là vectơ không đổi

bì Vẽ vectơ AD = v Chứng minh đường thẳng AD luôn luôn:

đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

c) Vẽ vectơ MN = y Goi P là trung điểm của CN Chứng minh

ring MP đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

6 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Một đường thẳng bất kì qua G

cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N

AB, AC _ 3

Chitng minh

AN

ds: Dit AB = a AM, AC = B.AN >

= AI = © AM+#/.AN (1: trung diém BC) 2 2 `

4 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Một đường thẳng bất kì

qua G cắt BC, CA, AB lần lượt tại I, J, K

Ching minh : + + = 0

— G1 Gi GK

8 Cho hình bình hành ABCD, gọi ILJ,K là các điểm định bởi

—> —> —> —> —> —> ,

AI = p.AB,AJ = q.AC và AK=n.AD Chứng minh rằng

điều kiện để I, J, K thing hang la: 1 = 142

q perf

23

www.sachhot.info

9 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho :

a) MA+k.MB = k.MC (k € R)

bì MA + (1 — k) MB + (1 +k) MC = 0 (k € R)

c) MA + (1 — k)MB - k.MC = 0(k eR)

ds: a) Đường thẳng qua A va sơng song BC

c) Đường trung bình song song AC

10 Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm di động lần lượt trên

tia AB và CA sao cho luôn luôn AM : AB = CN : CA Vẽ hình

bình hành MNCP

Tìm tập hợp những điểm P l

11 Cho góc xOy, M và N là hai điểm lần lượt di động trên Ox và

Oy sao cho luôn có : OM + ON = a (a là độ đài cho trước)

Tìm tập hợp trung điểm I của MN :

12 Cho tam giác ABC, M, N, P lần lượt đi động trên các cạnh BC,

CA, AB sao cho luôn có MB : MC = NC : NA = PA : PB Vẽ

_hình bình hành MNPAqQ

Tìm tập hợp những điểm Q

18 Cho tam giác ABC, một điểm M di động trên cạnh BC Những

đường thẳng qua M và lần lượt song song với AB và AC cắt AC

và AB theo thứ tự tại P và Q Tìm tập hợp trọng tâm G cia

tam giác MNP

14 Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c và I là tâm

đường tròn nội tiếp Chứng minh a.IA +b B+ c TỔ =

ds: AI cố BC tại điểm D thỏa b DB+o DC =

> AD là phân giác góc A

`

15 Cho tam giác ABC N là điểm bất kì trên trung tuyến AM Gọi `

I, J lần lượt là trung điểm của BN và CN MI cắt AB tại E, MJ

cắt AC tại F Chứng mỉnh EF song song BC

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

VẤN ĐỂ¡ TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG CUA 2 VECTƠ

* Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các hằng đẳng thức vectơ,

Thường phối hợp với phương pháp 1

PHƯƠNG PHÁP 3

Sử dụng định lí hình chiếu

Áp dụng : Biết tích vô hướng, ta có thể tính độ dài và góc của hai vectơ

Để tính độ dài đoạn AB, ta thường viết :

AB® = AB , nhé thé cé thé phan tich AB thahh binh phuong téng hay hiéu

hai vecto, va bién phép tinh canh bằng phép tính tích vô hướng

—#

—> —>

Ví dụ : AB = AB = (CA - CB)? = CA? + CB? — 2, CA CB

VÍ dụ 1 : ˆ Cho tam giác đầu ABC, cạnh bằng a, đường cao AH Tính -

các tích vô hướng sau :

— 2 (AB ~ AC) (2AB + BC) = Cổ (2AB + BỘ) = 2.OE AB - BC

=2.a.a.cos600 — a? = 0 Cách khác :

= AC? + AB?-2.AB.AC

www.sachhot.info

27

Do đó: AE.AC = AC’ + AB”- BCẺ

2 p24 8 _ 22

Bình phương hai vế ta được :

AB? + BC? + CA? + 2(AB BC + BỞ CÁ + CẢ AB) =

+ AB.BC+BC.CA+CA.AB=—3 †b+c

2 b) Ta có: AG = 1 (AB+ AC)

Ví dụ 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn

BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a

b) Thay AI = 2 (AC + AD) và BD AD - AB

ta có : AI.BD = 2 (AC + ADJ(AD - AB)

= 5 @C AD AC AB + AD? ~ AD

| AC.AD = AK.AD = 302

AD.AB = 0 wAD LAB

30

2 Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3 Tính :

— —>

a) AB.AC, suy ra cos A

b) Goi G la trong tâm tam giác ABC, tinh AG BC

—> —> —> —> —>

c) Tinh GA GB +GB.GC+GC.GA

đ) Gọi DB là chân đường phân giác trong của góc A Tính AD theo AB, AC Suy ra độ dài đoạn AD

b) Tính độ dài trung tuyến BM và.cosin của góc nhọn tạo bởi

BM và đường cao AH

ds: a) S=9; AC = V13 b) BM = V109 cosa = 3

4 Cho MMF là đường kính bất kì của đường tròn tâm O, bán kính

R A là điểm cố dinh va OA = d AM lai cắt (O) tại N

—> —>

Chứng minh rằng tích vô hướng AM.AM' và tích AM AN có

giá trị không phụ thuộc M

ñ Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam

giác ABC

— —>-_ —> — —> — Tính P = BC.AD + CA BE + AB.CF ds: P= 0

31 www.sachhot.info

6 Cho hai vectơ a và b thẻa|ä| = 1, || = 2,]ä- 2ö| = vĩ

b) Định k để góc hai vectơ (a + b) và (2ka — b) bằng 600,

7 Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = avV3 Goi AM

trung tuyén cua tam giác Cho biết AM BC = Lạ? Tính độ ¢

Chứng minh biểu thức MA MB + MC MD có gid tri khong dé

Tính giá trị này theo cạnh hình chữ nhật

b) Tinh AI (AB + AC), IB.IC,IA.IB theo a

11 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB =e Gọi AD là phân - giác trong của góc A

a) Tinh AD theo AB, AC

b) Suy ra độ dai AD = —= Vbep(p — a)

+c

vi p= = (atb+o)

VẤN ĐỀ2: CHỨNG MINH MỘT BANG THUC VE TICH

VÔ HƯỚNG HAY VỀ ĐỘ DÀI

3 Chứng mỉnh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và

a ee a —— -—- >_ —>

chỉ khi AB AD+BA BC +CB.CD +DC.DA = 0

4 Cho tứ giác lồi ABCD, có ®, q là trung điểm các đường chéo

Ching minh : a) AB.CD = 5 _(AD? + BC? — AC? - BD?)

b) AB? + BC? + CD? + DA? = AC? + BD? + 4PQ”

ð Cho nửa đường tròn đường kính AB; AC, BD là hai dây, cắt nhau

tại E Chứng mỉnh : AE AC + BE BD = AB?

6 Cho hình bình hành ABCD M là điểm tùy ý

a) Chứng minh rằng :

MA? + MC? - MB? = MDẺ + 2DA? — DB?

b) M di động trên đường thing A, xác định vị trí của M để

MA? + MC2 ~ MBÊ đạt giá trị nhỏ nhất

7 Cho tam giác ABC và M là điểm tùy ý

a) Chứng minh rằng vectơ ma = MA + MB - 2MC không phụ

"thuộc vị trí M

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng

—>> =>

minh ring : MA” + MB? — 2MC? = 2.MO.m

cœ) Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA? + MB? = 2 MC?

d) M di động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tìm

vị trí của M để MA? + MB ~ 2MC? đạt giá trị nhỏ nhất, giá tri

lớn nhất

8 Cho tam giác ABC, gọi l là trung điểm của trung tuyến AM, chứng

‘minh rằng : nà

9MA2 + MB + MCÊ = ami? + 9IA2 + IBZ + 1C?

9 Cho tam giác đều ABC cạnh a, M là điểm thuộc đường tròn ngoại ` tiếp tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

a) AB AC = AM? ~ Be ; (AB? + AC? — BC?)

b) AB? + AC? = 2AM? + AB”

2

c) AB? — AC? = 2.AB.MH

VAN BE3: * CHUNG MINH HAI VECTO VUONG GÓC

* THIẾT LẬP ĐIỂU KIỆN VUÔNG GÓC

GIẢI _ Cho tam giác ABC, đường cao BB' và CC” cắt nhau 1 tal H, ta’

chứng minh AH vuông góc BC Ta có

—x —> —> —> —> —>

HA.BC = HA BC + HB CA+HC.AB Ì

(vi HB.CA = HC.AB = 0)

= HA (HC — HB) + HB (HA — HC) + HC (HB — HA) =

Do đó : AH vuông góc BC, nói cách khác trong một tam giác

_ ba đường cao đồng qui tai H

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại

tiếp Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD Chứng

OE CD = (AE ~ AO)(AD ~ AC)

ma AK = = (AC + AD) (vi E là trong tam

3

5 _ AACD)

nén : OF C [ 5 -(AC + AD) ~ AO ](AD ~ AC)

= 1 (ap? -— Ac’) — AO AD + AO AC

Do đó : OE.CD = 1 (ac? — 4ap%) = 0

6 |

Ví dụ 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, cạnh đáy

AB = a, CD = b Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho : 8) AC vuông góc BD,

b) BD vuông góc trung truyến AM của tam giác ABC

mà: AC AD = ADZ = 2 (định lí hình chiếu)

AC AB = DƯ AB =DC AB = ab (định lí hình chiếu)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b Tìm điểm

D trên ÁC sao cho BD vuông góc với trung tuyến AM của tam

d) Trung tuyến BM của tam giác ABC vuông góc với trung

tuyến CN của tam giác BCD

b) h° = 2nb d) h? — 2b? + ab = 0

‘ds: a) h® = 4ab

e) h? = 2qb

3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi BH và CK lân

lượt là đường cao của tam giác Chứng minh OA vuông góc HK

4 Cho tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi H là điểm định bởi OH = OA + OB +OC

a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC

b) Tìm hệ thức giữa độ dài a, b, c của ba cạnh BC, CA, AB sao

cho ƠOH vuông góc với trung tuyến vẽ từ A của tam giác ABC,

5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (C), hai đường chéo

cắt nhau tại I Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BE

Chứng minh rằng nếu EI vuông góc CD thì FÏ vuông góc AD

6 Cho góc vuông xŠy và đường tròn (O) cắt §x tại A, B và cất Sy

VẤN ĐỀ4: TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MỘT DANG THỨC VỀ

TÍCH VÔ HƯỚNG HAY BO DAI

PHƯƠNG PHÁP

Để tìm tập hợp những điểm M thỏa đẳng thức cho trước, ta có thể sử dụng

_—_ —>

'Biến đổi đẳng thức cho trước về dạng MA MB = k (A, B: cố định, kgiá -

trị không đổi) như trong ví dụ 1

s Biến đổi đẳng thức cho trước về dạng AM.V = 0 , trong đó A là điểm

cố định và V là vectơ cố định như trong ví dụ 2

° Biến đổi đẳng thức cho trước vé dạng AM? = k, trong đó A là điểm cố định và k là số dương không đổi như trong ví dụ 3

Vi du 1: Cho tam giác ABC, †ìm tập hợp những điểm M thỏa :

a) MA.MB = k (giá trị cho trước) Biện luận

b) MA? + MA MB = 0 c) 2MB? + MB MC = &Ÿ (a : độ dài cạnh BC)

* Đặc biệt nếu k = 0, tạ có ngay MÃ MB = 0: tập hợp là

_ đường tròn đường kính AB

—

«> MA MĨ = 0 Œ là trung điểm AB)

-_ Tập hợp là đường tròn đường kính AI

Đặc biệt với k = 0 : tập hợp là đường thẳng qua A và vuông „ |

5 2 2 9 2 2 TA OA\2 2 2 9nI DA

b) Ta có : MA? — MB? + CA? — CB? = 0 MA2 = (MO + OA)? = MO? +0A?+2.MO.OA

<> (MA + MB)(MA — MB) + (CA + CB)(CA — CB) = 0 ‘MB? = (MO + OB)? = MO? + OB? + 2.MO OB

` => —> — —> , —> ~— > 9 2 2 — —>y ~

¢ 2MI.BA+2.CI.BA = 0 (1: trung diém AB) MC? = (MO +0C)? = MO? + OC? + 2.MO.0C

« BA (MĨ + CD = 0 _ (1) suy ra : SMA? = 2MB? + MC? @

_ —> i : = = OC kinh (1) © BA MJ = 0 _ -> 30A2 Lạ) có OA — 20B? - OC? = 0 OB = tbán kính)

TẢ MB - MÃ MC + MẺ -— MC MAMB- MAMC+MB -MC = BC? | định mn Ÿ

— —> —> — > —> ‹ aC) _=

_ Vậy tập hợp những điểm M là đường

thẳng qua O và vuông góc với vectd |

« 3.MG CB = BC? (2) (G là trọng tâm tam giác ABC) - —— GHI CHÚ: Cách giải câu (4) có thể tổng N /

quát hóa cho trường hợp M di động thoa vẽ a.MA? + B.MB? = krưới œ+ÿ =

—> —> —> —>

Goi H và G° lần lượt là hình chiếu của M và G lên BC, thế thì:

Vậy tập hợp là đường tròn tâm K, bán kính a s

GHI CHÚ : Cách giải câu a) va b) có the ing quát cho diém M di déng thoa :

bởi : ø.IA + BIB = 0hay ø1A + 81B + y.IC = 0

c) Gọi O là tâm tam giác đều ABC, ta có :

MA + MB + MC = 3.MO Binh phuong hai vế ta được :

cuối cùng ta được : — 4 Cho góc xÔy và một điểm M di động trong góc đó sao cho độ dài >

—> —> —» —» —> 2 hình chiếu của đoạn OM lên Ox gấp hai lần độ dài hình chiếu

MA MB + MB MC + MC MC MA = 3.0M" = 2a ~~ cia OM lén Oy Tìm tập hợp những điểm M

Do đó đẳng thức cho tương đương với: — - ð Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI M là điểm di

| > ae 5a? - dong trong géc BAC, có hình chiếu là H và K lên AB va AC

1 Cho đoạn AB, tìm tập hợp những điểm M thỏa : |

a) MA” — 2.MB? = k (kc : số thực cho trước)

b) 3MA? + MB? = AB?

BÀI ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

1 Cho tam giác ABC, đặt AB = u, AC = v

a) Tinh AG theo ư và v (G là trọng tâm tam giác ABC)

b) Goi E là điểm trên cạnh AB định bởi AE = Ì.BE, F là

3 Cho hinh vuéng ABCD canh bang a Tim tập hợp những điểm M

c) (MA + MB — MC)(MA — MD) = 0 2 Cho tit gidc ABCD M và N lần lượt là những điểm di động trên

trung điểm của MN

HD : Goi E va F lần lượt là trung điểm AD va BC Dat

AM =kAB, DN =k.DC (0 <Sk< 1) Sưy ra : EM = k.EF Tép

hop la doan EF

3 Cho tam giác ABC và vectơ Ử = 3.MA - 2.MB - MC với M là

điểm bất kì

a) Dựng AD = Ỷ AD cát BC tại E, chứng mỉnh rằng :

b) Dung MN = V Gọi P là trung điểm của CN, chứng minh

rằng MP đi qua điểm cố định khi M thay đổi

c) Tìm tập hợp những điểm N thỏa : 8.NA2 = 2NB + NC?

:b) MP = Ÿ MA - MB + MP đi qua điểm 1 cố định

2

` mà 3IÄ - 21B =

“ c) Tép hop la dutng thing uuông g& Uec‡ơ Vi va qua tam

O của đường tròn ngoại tiếp

4 Cho tam giác ABC, M là điểm định bởi :

b) Dinh x để MN qua điểm giữa I của BC Tinh IM : IN

c) Ching minh ring : AM? + AC? = 2(BC? + AB?)

b) L, j là các điểm định bởi BI = «BC và Ad = Bp AL Tinh

c) Dinh a, Ø để ởj là trọng tâm tam giác BMN

d) Chứng minh điều kiện để MN vưông góc BD là

IB = a.IC, JC = §.JA, vaKA = ».KB Ching minh rằng

điều kiện cần và đủ để AI, BJ, CK đồng qui la afy = —1 (Định

lí Ceva) -

7 Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 6, AB = 3, A’, B’, C? lần lượt là các điểm di động trên cạnh BC, CA, AB sao cho:

a) Tim tap hdp trong tam I cia tam gidc A’B’C’

b) Tập hợp đó là một đoạn thẳng Tính độ dài đoạn đó

HD ; : a) Goi i’ bổ È lân lượt là các ueciơ don vi cling hướng uới

8 Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý không thuộc các đườn;

thẳng AB, BC, CA Gọi A', B, C' theo thứ tự là các điểm đố

xứng của M qua trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Chứng

~ minh rang :

a) Ba đường thang AA’, BB’, CC’ déng qui tại mot 4 điểm Mụ

b) Đường thẳng MM¡ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động

—-— o> => == —> — —>

HD : a) MA + MA’ = MB+MB’ = MC + MC’ = MA+MB + MC

_ chứng tò AA', BB), CC' có cùng trung điểm Mỹ

b) MM, di qua điểm cố định là G, trọng tâm tam giác ABC

'9 Cho tam giác ABC vuông tại A, có: AB.CB = 4; AC BƠ = 9

a) Tính các cạnh tam giác ABC

b) Chứng ‘minh tap hợp những điểm M thôa :

(MÃ + 3MC)(2MB — MA) = 0 là đường tròn Tính bán kính đườn

tròn ấy

c) P, Q là hai điểm lần lượt di động trên tia AB và tia đối củ

ˆ tia CA sao cho lưỡn có AP : AB = 2 (CQ : AC) Vẽ hình chữ nhệ

APRQ Tìm tập hợp những điểm R

ds: a) AB = 2, AC = 3, BC = Vi3

b) Đường tròn đường hính lJ, uới :

— — - — —-> - IA+3IC =0, 2JB—JA = 0 Ban kinh la V5

, —x '! — —> —>

c) Dit CQ = RAC > AP = 2KAB Π> 0) Suy ra: CR = k.(AC + 2AB)

Tộp hợp là tia C+ cùng hướng uới uecld AC + 9AB

10 Cho tam giác ABC, BC = a, CÁ =-b, AB = c Gọi O là tam đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp

Chứng minh rằng điều kiện cần va da để OI vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC là ¿ 2 -1,1

11 Cho lục giác đều ABCDEF Trên đường chéo AC, CE lấy 2 điểm _

M, N sao cho ; AM = CN 2

AC CE a) Tinh BM, BN theo BA, BC và k

4

12 a) Goi A’, B, C' là các điểm theo thứ tự trên AB, BC, CA œ

tam giác ABC Biết rằng tồn tại điểm O sao cho :

„—> —> — —> _—> —

OA +OB +OC = OA’ + OB’ + OC’

Ching minh ring : AA = BB’ _ CC’

b) Goi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của BC, CA, AB với đười

tròn nội tiếp, Chứng minh rằng nếu AD + BE + CF = 0 thi ta

giác ABC là tam giác đều

18 Gọi O là tâm đa giác đều n cạnh A;Aa A,, M là điểm bất kì

Tổng bình phương tất cả các cạnh và các đường chéo bằng nˆR

_14 Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác vuông cân ABC, vuôn

tại C, lấy các điểm M, N, P sao cho MB _„ ÑC _ PA

Chitng minh CP vuông góc MN và CP = MN

lồ Trong tam giác ABC có trung tuyến CM vuông góc phân giá

16 Cho tam giác ABC, góc A nhọn, O là trung điểm BC Vẽ về phía

ngoài tam giác ABC các tam giác BAM, CAN vuông cân tại A

a) Chứng minh AB.AN = AC AM

— —=

b) Chứng minh AO.MN = 0 Tìm vai trò của đường thẳng AO

c) Chitng minh rang AM AN = -AB,AC và BN.CM = 0,

= CM | SỐ | d) Goi I, J là các trung diém cia BM, CN Chting minh tam

giác IOJ vuông cân

17 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P là các điểm định bởi :

CHƯƠNG' ¡ HỆ THỨC LƯƠNG

Bài HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Cho tam giác ABC vuông tại A AH là đường cao Ta có lẩi

sinB = cosC = AC sinC = cosB = AB

tgB = cotgC = ^p ¡ œgB = lốc = ao

B PHUONG PHAP GIAI TOAN

VẤN ĐỀ1: TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC

Ví dụ 1: Cho AABC vuông tại A, AB = 3a, AC = 4a, AH là đường

cao Tinh BC, BH, CH va AH

GIẢI : | rn

4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết rằng BH=a, Xét tam giác vuông AMB : AC = 2avỗB Tính các cạnh và đường cao AH của tam giác

AM = AB cosBAM — đs: AB = aV5 , BC = 5a, AH = 2a

| = 2R cosa 5 Cho tam giác ABC vuông tai A, AB = 3a, AC = 4a, dutng cao AH

do đó AN = AO+ON = R+_——— = se = ROT) a) Tính các cạnh và đường cao còn lại

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp \ và ngoại tiếp tam giác ABC

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH "Biết rằng ds: a) BC sina” AB nga! ỹ 2cosơ

ds: AB = 2, AC = 3, HB=4,HC= 2 ; AB = 3, — 0

13 18 7 Cho tam gidc can ABC cé AB = AC = a, ABC = a (0 <a < 45)

kính đường tròn nội tiếp tam giác ABK

BD = 16cm Hay tinh CD, AC va BC ˆ | b) ‘Tinh ban kin a

ds: AC = ldcm, BC = 20cm, CD = 12cm _ds:a) AH = acos22 ; b) r= —acosa(sina — cosa)

3 Cho tam giác ABC vuông tai A Biét rang AG = : và đường cao 8 Cho tam giác ABC vuông tại C, AD là đường phân giác trong của

9 Cho tam giác ABC, đường cao AH với BH = 2a, CH = a, BAC = 60

đs: ANH = 53 + VI¡)

10 Cho tam giác ABC; AH là đường cao, H thuộc cạnh BC Biết HA=15

HB = 6, HC = 4 Gọi I, F là hình chiếu của H trên AB, AC

1 Tính AT, AF, A, IF

-2 Goi M là điểm thuộc đoạn AH với ÍBM = a, L là hình chiế

của H trên MB Tinh IL theo a

5

2) IL = 8 (2cosz — sina)

VAN DE 2: CHUNG MINH CAC HE THUC

TRONG TAM GIAC

Trong tam giác vuông AHC, dựn;

đường cao HI, Trong tam giác vuông

Vi du 2: Cho hai tam giác vuông ABC và A'B'C' vuông tại A và A'

và đồng dạng với nhau Chứng minh rằng : a) aa’ = bb’ + cc’

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông Ở A; AH là đường cao HE, HF

lần lượt là các đường cao của các tam giác AHB, AHC Chứng minh rang:

1 Cho tam giác ABC cân đỉnh A ; CD là đường cao vẽ từ C Chứng

minh ring : AB? + BC? + CA? = BD? + 2AD? + 3CD?

2 Cho tam giác ABC vuông ở A Vẽ các trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh rằng : BE + CF = 5ADể

3 Cho hình vuông ABCD Một đường thẳng qua A cắt cạnh BC tại

M và đường thẳng CD tại I Chứng minh rằng :

1 _ 1,1 = HY

AB? AM? Al’

4 Cho tam giác ABC vuông ở A ; D là hình chiếu của A trên BC ;

E và F lần lượt là hình chiếu của D xuống AB và AC Chứng minh rang :

6 Cho tam giác ABC ; Á, 8, Ề là các góc nhọn AA' là đường c

xuất phát từ A, H là trực tâm và Œ là trọng tâm

a) Chứng minh rằng : tgB.tgC = AA’

b) Chứng minh : HG // BC tgB.tgC = 3

BÀI 2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG

TAM GIÁC THƯỜNG

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Cho tam giác ABC có AE

AM lần lượt là đường cao, đườn trung tuyến xuất phát từ A

1 Định lí hàm số cosin

a’ = b* +c? — 2be cosA

b? = a2 + ce? — 2ac cosB

c = a2 + bÊ — 9ab cosC

-8 =pr(p = 3P Ý€; nửa chu vi của tam giác ; r : bán

kính của đường tròn nội tiếp) :

_ B PHUONG PHAP GIAI TOAN

_vaweé1: TINH TOAN CAC YEU TO TRONG TAM GIAC

Ví dụ 1: Tính góc A của tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thỏa hệ

thức : b(bể — a2) = c(a2 — c”)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tai A, AB = 3, AC = 4 Tìm bán

kính đường tròn đi qua B, € và trung điểm của AC

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 5a, AC = 6a, BC = 7a Goi

trung điểm của AC là M Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Áp dụng định lí hàm số cosin trong AABM :

_ AB? + AM? — BMÊ _ 2ða2 + 9a? — 28a2 _ ca?

=

GIẢI

4 Cho tam giác ABC có AC = 2, AB = 3, BC = 4 Giả sử BD là

đường cao (D thuộc AC) Tìm độ dài đoạn CD

đã: CD = 11

4

5 Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM = 6, ƠN = 9 hợp nhau

một góc 1200 Tính các cạnh của tam giác đó _

2V13, AC = 4V7, BC = 2V19

đs: AB =

AB = 2V19, AC = 2V34, BC = 2V7:

6 Tit gidc ABCD 06 ABO = ẤDÈ = 90°, AB = a, AD = 3a, BAD = =60°

Tinh canh AC

ds: AC = 2a

V21

3

7 Cho tam giác ABC có a:b:c = v8.8 về — Y3

a) Tính các góc của tam giác ABC

b) Cho a = 2V3 Tinh bán kính đường tròn ngoại tiếp AABC

ds: aA = 120°, 8= 45° , C = 15°,

b)R = 2

_ 8 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O ; M là trung điểm AB Tính

bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDM, OMC, CDM

9 Cho tam giác ABC có Â = 602,hạ = V3, bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC bằng ð Tính các cạnh của tam giác

= 5V3, AB = 1+6V2, AC =

70

10 Cho tam giác ABC có B = 60Ÿ, bán kính đường tròn ngoại tiếp - |

tam giác ABC bằng 2 Tính bán kính đường tròn qua A, C và

tam I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

đs : Racr = 2 _

11 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4, AC = 5 Tính bán kính `

đường tròn đi qua B, C và trung điểm M của AB

15 Cho tứ giác lồi ABCD; biết góc xen giữa hai đường chéo bằng ø

1) Chứng minh rồng : Sagợp = ae BD sina

71 www.sachhot.info

9) Biết rằng ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC ; BD = a, -

tgA _ sinA.cosB _ tgB sinB cosA

8Re c) Goi I lA tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, (D tiếp xúc với các cạnh BC,

- Mặt khác, trong tam giác vuông IMB cho :

AB2 CE? - AC? BD? = {

b) Ching minh rang : AB:CE = AC BD @ b? +c? = 2a’

c) AF (F € BC) là đường phân giác trong của góc A Chứng minh

ce? = + (ca?+cp?-AB) — Lads p?_ Sy

Bp? = 1 (BA? + Bo? - AC” ) = 4@?+e2-2)

> AB’ CE? - AC? BD? = 1 ¢(2a? + ap? — 2) —

® b2 + c2 = 2a? (do AABC không cân ở A)

c) Theo tính chất của đường phân giác trong, ta có : ˆ.' '

AC FƠ b FB+FC btc

b+c

Ap dụng công thức hàm số cosin đối với AABEF, ta có :

75 www.sachhot.info

AF? = AB? + BF? — 2AB BFcosB

_ 8 Cho tam giác ABC, chứng minh rồng :

c) Néu a” +c? = 2b? thi 2 cotgB = cotgC + cotgA

5 Cho tứ giác ABCD I, J theo thứ tự là trung điểm của AC và BD

Chứng minh rằng :

AB? + BC2 + CDẺ + DA? = AC? + BDẺ + 41Jˆ,

Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình bình hành

6 Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN vuông góc nhau

Chứng minh rang :

AB® + AC? = BBO®

_T Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = © Ching minh ring

a) 2b? = a2 — 2

b) sin*7A = 2sin2B + sin2C

8 Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và các đường trung tuyến

T1

xuất phát từ đỉnh B, C là my, m, thỏa mãn :; €

78

a) Chứng mỉnh rằng : Qa? = bể + cố

b) Suy ra 2cotgA = cotgB + cotgC

9 Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh rằng :

10 Cho tam giác ABC có b + c = 2a Chứng minh rằng

12 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC

CA, AB theo thứ tự tại các điểm Ai,B¡,C¡ Chứng minh rằng :

| rr

SABiCi = an ‘

13 Cho tam gidc ABC vuéng 6 A, dutng cao AH ; r, r,, re ldn lugt

là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác vuông ABC,

AHB, AHC

79

www.sachhot.info