chuyen de gia tri tuyet doi

Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngợc lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.. Mọi số đều lớn hơn hoặc

Trang 1

Chuyên đề 2: Các dạng toán về giá trị tuyệt đối

( Dành cho lớp 6 – 7 ) A- Phần kiến thức:

I- Các kiến thức về giá trị tuyệt đối:

1 Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số

đối của nó

* TQ: Nếu a0  a a

Nếu a 0  a  a

2 Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm

* TQ: a  0

3 Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngợc lại

hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau













b a

b a b

a

4 Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ

hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó

* TQ:  a aa và  a a a 0 ;aa  a 0

5 Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn

* TQ: Nếu ab 0  a  b

6 Trong hai số dơng soa nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

* TQ: Nếu 0 ab a  b

7 Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.

* TQ: a.b a.b

8 Giá trị tuyệt đối của một thơng bằng thơng hai giá trị tuyệt đối.

* TQ: b a b a

9 Bình phơng của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phơng số đó.

* TQ: 2 2

a

a 

10 Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối

của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

* TQ: a b ab và a b ab  a b 0

II

– Một số kiến thức về bất đẳng thức:

1 Định nghĩa: Cho hai số a và b hệ thức quan hệ a > b, a < b, a  b, a  b đợc gọi là các bất đẳng thức Trong đó: a đợc gọi là vế trái của bất đẳng thức

b đợc gọi là vế phải của bất đẳng thức Dấu >, <,  ,  đợc gọi là chiều của bất đẳng thức

2 Tính chất mở đầu của bất đẳng thức:

0 0 0 0

































b a b

a

b a b

a

b a b

a

b a b

a

3 Hai bất đẳng thức cùng chiều, ngợc chiều.

a) Hai bất đẳng thức: a > b và c > d đợc gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều

b) hai bất đẳng thức a > b và c < d đợc gọi là hai bất đẳng thức ngợc chiều

4 Các tính chất quan trọng của bất đẳng thức:

Trang 2

4.1: Nếu cộng ( hoặc trừ ) hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số thì ta đợc

một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

* TQ:

c b c a b

a

c b c a b

a





















( Chú ý: Tính chất trên còn đợc gọi là tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép trừ )

4.2: Quy tắc chuyển vế trong bất đẳng thức:

Nếu chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một bất đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó

* TQ: acb ab c

4.3: Nếu nhân ( hoặc chia) hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số d ơng thì

ta đợc một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

* TQ: m > 0 ta có:

m

b m

a b a

b m a m b a









4.4: Nếu nhân ( hoặc chia ) hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì

ta đợc một bất đẳng thức mới ng ợc chiều với bất đẳng thức đã cho.

* TQ: n < 0 ta có: ab n a n.b và

n

b n

a b

a  

4.5: Nếu cộng vế với vế của hai hay nhiều bất đẳng thức cùng chiều thì ta đ ợc bất

đẳng thức mới cùng chiều với các bất đẳng thức đã cho.

d

c

b

a















( Chú ý: Không đợc trừ vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều )

1 7 3 5















là sai

4.6: Nếu trừ vế với vế của bất đẳng thức thứ nhất với bất đẳng thức thứ hai ngợc chiều với nó thì ta đợc một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức thứ nhất.

d

c

b

a

















( Chú ý: Không đợc cộng vế với vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều )

7 8 3 5





















là sai

4.7: Một số tính chất biến đổi các bất đẳng thức mà cả hai vế đều dơng.

a) Cho a, b, c, d là các số dơng ta có:

d b c a d

c

b

a











b) Cho a, b là các số dơng ta có:

) ( , n N*

b a b









c) Cho a, b cùng dấu, ta có:

b a b

a  11

B Các dạng toán :

I Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1 : A(x)  k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho

tr-ớc )

* Cách giải:

- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm )

- Nếu k = 0 thì ta có A(x)  0  A(x)  0

- Nếu k > 0 thì ta có: 













k x

A

k x A k

x A

) (

) ( )

(

Trang 3

Bài 1.1: Tìm x, biết:

a) 2x 5  4 b)

4

1 2 4

5 3

1





3

1 5

1 2

1





8

7 1

2

4

3





a)

2

1 3

2

15

4









x

a) 2 3x 1  1  5 b) 1 3

2 

x

2

1 5

2





5

1 2 3

1





x

4

3

4

1







4

5 4

1 2

3

4

7 4

3 5

4 2

3





6

5 3

5 2

1

4

3

5

,

3

1 :

4

9

5

,

6  x  b) : 4 51 27

2

3 4

11





2

1 4

3 : 5 , 2 4

15





6 3

2

4

:

3

5

21





= = = = = = = *&*&* = = = = = = =

2 Dạng 2: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách giải:

Vận dụng tính chất: 













b a

b a b













) ( )

(

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x A

a) 5x 4 x 2 b) 2x 3  3x 2  0 c) 2  3x  4x 3 d)

0 6 5

1

7x  x 

2

1

2

3





5

3 8

5 2

7 4

5







4

1 3

4 3

2 5

7





0 5 2

1

6

5

8

7







x

3 Dạng 3: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách giải 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá

trị tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải nh sau:

) (

)

(x B x

Điều kiện: B(x)  0 (*)













) ( )

(

) ( ) ( )

( ) (

x B x

A

x B x A x

B x

điều kiện ( * )

* Cách giải 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a0  a a

Nếu a 0  a  a

Ta giải nh sau: A(x) B(x) (1)

Trang 4

 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm đợc với

điều kiện )

 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm đợc với điều kiện )

a) x 3 2x

2

1



 b) x 1  3x 2 c) 5x x  12 d) 7  x  5x 1

a) 9 x  2x b) 5x  3x 2 c) x 6  9  2x d) 2x 3 x  21

a) 4  2x   4x b) 3x 1  2 x c) x 15  1  3x d) 2x 5 x 2

a) 2x 5 x 1 b) 3x 2  1 x c) 3x 7  2x 1 d) 2x 1  1 x

a) x 5  5 x b) x 7  x 7 c) 3x 4  4  3x d) 7  2x  7  2x

4 Dạng 4: đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

B

x

A( )  ( )  ( ) 

x ( Điền giá trị của x khi A(x) = 0, B(x) = 0, C(x) = 0 thiều thứ tự

tăng dần từ trái sang phải )

)

( x

A Kết quả bỏ

dấu giá trị

tuyệt đối

)

( x

B

)

( x

C

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tơng ứng )

a) 4 3x 1  x  2x 5  7x 3  12 b) 3x 4  2x 1  5x 3  x 9  5

5

1 8 5

1 5

1

5

1 2 2

1 3 2

a) 2x 6  x 3  8 b) 3x 1  x 1  4

c) x 5  x 3  9 d) x 2  x 3  x 4  2

e) x 1  x 2  x 3  6 f) 2x 2  4  x  11

a) x 2  x 3  2x 8  9 b) 3x x 1  2x x 2  12

c) x 1  3x 3  2x 2  4 d) x 5  1  2x x

e) x  2x 3 x 1 f) x  1  x x x 3

a) x 2  x 5  3 b) x 3  x 5  8

c) 2x 1  2x 5  4 d) x 3  3x 4  2x 1

5 Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:

)

D(x C(x)

B(x)

Điều kiện: D(x)  0 kéo theo A(x)  0 ;B(x)  0 ;C(x)  0

Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)

Trang 5

a) x 1  x 2  x 3  4x b) x 1  x 2  x 3  x 4  5x 1

2

1 5

3

2     

 d) x 1 , 1  x 1 , 2  x 1 , 3  x 1 , 4  5x

101

100

101

3 101

2 101

1





100 99

1

4 3

1 3

2

1 2

.

1





99 97

1

7 5

1 5

3

1 3

.

1





401 397

1

13 9

1 9

5

1 5

.

1





6 Dạng 6: Dạng hỗn hợp:

a)

5

4 2

1

2

1

2







4

3

x x

x  

a)

5

1 2

1

5

2 4

3 1 2

1







4

3

2

a) x x  x

4

3

4

3 2 4

3 2 2

1



















4

3 2 4

3

2

1







x

a) 2x 3  x 1  4x 1 b) x 1  1  2 c) 3x 1  5  2

7 Dạng 7: A  B 0

Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phơng pháp bất đẳng thức

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi

và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0

* Cách giải chung: A B  0

0 0











B A B

A

B2: Khẳng định: A B  0









0 0

B A

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:

a) 3x 4  3y 5  0 b) 0

25

9





 y y

x c) 3  2x  4y 5  0

7

2 4

3

13

23 17

11 5 , 1 4

3 2

1 3

2









0 2008

x

* Chú ý1: Bài toán có thể cho dới dạng A  B  0 nhng kết quả không thay đổi

* Cách giải: A  B  0 (1)

Trang 6

Từ (1) và (2)  A B  0









0 0

B A

a) 5x 1  6y 8  0 b) x 2y  4y 3  0 c) x y 2  2y 1  0

a) 12x 8  11y 5  0 b) 3x 2y  4y 1  0 c) x y 7  xy 10  0

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tơng tự nh tính chất không

âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tơng tự

Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

a) x y 2  y 3  0 b) x 3y2007  y 42008  0

c)   2006 2007 1 0















x

Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :

a)  12  32 0











x

2

1 4 2

2

1 2 1 3

2000





















x

3

2 10 3

7 5





x

25

6 5

4 2008

2007 2

1

4

3

2

















x d) 2007 2x y2008 2008y 42007  0

8 Dạng 8: A  B AB

* Cách giải: Sử dụng tính chất: a b ab

Từ đó ta có: a  b ab  a b 0

a) x 5  3  x  8 b) x 2  x 5  3 c) 3x 5  3x 1  6

d) 2x 3  2x 5  11 e) x 1  2x 3  3x 2 f) x 3  5  x  2x 4  2

a) x 4  x 6  2 b) x 1  x 5  4 c) 3x 7  3 2  x  13

d) 5x 1  3  2x  4  3x e) x 2  3x 1  x 1  3 f) x 2  x 7  4

II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: A  B m với m 0

* Cách giải:

* Nếu m = 0 thì ta có A  B  0









0 0

B A

* Nếu m > 0 ta giải nh sau:

m

B

A   (1)

Do A  0 nên từ (1) ta có: 0 B  m từ đó tìm giá trị của B và A tơng ứng

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) x 2007  x 2008  0 b) x y 2  y 3  0 c)   2 2 1 0







y y x

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

Trang 7

a) x 3y5  y 4  0 b) 5  3  4 0









Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:

a) x 4  y 2  3 b) 2x 1  y 1  4 c) 3x  y 5  5 d)

7 3

2

5x  y 

Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) 3x 5  y 4  5 b) x 6  4 2y 1  12 c) 2 3x  y 3  10 d)

21 3

4

3 x  y 

Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) 2 3 2 3







y d)

2 12

3 2



y

2 Dạng 2: A  B m với m > 0

* Cách giải: Đánh giá

m

B

A   (1)

0 0

0











B A B

A

(2)

Từ (1) và (2)  0 A B m từ đó giải bài toán A B k nh dạng 1 với 0 k  m

a) x  y  3b) x 5  y 2  4 c) 2x 1  y 4  3 d) 3x  y 5  4

a) 5x 1  y 2  7b) 4 2x 5  y 3  5 c) 3x 5  2y 1  3 d)

7 1 2

4

1

2

3 x  y 

3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a b ab xét khoảng giá trị của ẩn số Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) x 1  4  x  3 b) x 2  x 3  5 c) x 1  x 6  7 d) 2x 5  2x 3  8

Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.

a) x + y = 4 và x 2  y  6 b) x +y = 4 và 2x 1  y x  5

c) x –y = 3 và x  y  3 d) x – 2y = 5 và x  2y 1  6

Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:

a) x + y = 5 và x 1  y 2  4 b) x – y = 3 và x 6  y 1  4

c) x – y = 2 và 2x 1  2y 1  4 d) 2x + y = 3 và 2x 3  y 2  8

4 Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:

* Cách giải : A(x).B(x) A(y)

Đánh giá: A(y)  0  A(x).B(x)  0  nxm tìm đợc giá trị của x

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) x 2x 3 0 b) 2x 12x 5 0 c) 3  2xx 2 0 d)

3x 15  2x 0

a)  2  xx 1  y 1 b) x 3  1  x y c) x 2  5  x  2y 1  2

a) x 1  3  x  2y  1 b) x 2  5  x  y 1  1 c) x 3 x 5   y 2  0

5 Dạng 5: Sử dụng phơng pháp đối lập hai vế của đẳng thức:

* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B

Trang 8

Đánh giá: A  m (1)

Đánh giá: B  m (2)

Từ (1) và (2) ta có: 







m B m A B

A

a) x 2  x 1  3  y 2  2 b) 5 1 121 3











y x x

c)

2 6 2

10 5









x











y x x

a)

 5 2 2

8 1

2

3











y x











y y

x x

c)

 3 2

12 5

3

1









y x











y y

x

a)  

3 1

14 7

2 2















y y

y

5 2 3

20 4

2 2







y x

c) 2 2007 3 20086 2











y







y y

x

=====================================================

III – rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3 , 5 x 4 , 1

a) Ax 3 , 5  4 , 1  x b) B  x 3 , 5  x 4 , 1

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:

a) Ax 1 , 3  x 2 , 5 b) B   x 1 , 3  x 2 , 5

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) Ax 2 , 5  x 1 , 7 b)

5

2 5

1





B c) C x 1  x 3

Bài 4: Rút gọn biểu thức khi

7

1 5

3





x

a)

5

4 5

3 7

1





6

2 5

3 7

1







B

Bài 5: Rút gọn biểu thức:

a) Ax 0 , 8  x 2 , 5  1 , 9 với x < - 0,8 b) 9

3

2 1

,

4   



1

,

4

3

2



x

c)

5

1 8 5

1 5

1

2    

5

1 2 5

1



2

1 3 2

1

3  



==============&=&=&==============

IV – Tính giá trị biểu thức:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) M = a + 2ab – b với a  1 , 5 ;b  0 , 75 b) N =

b

a 2

2  với a  1 , 5 ;b   0 , 75

Trang 9

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) A 2x 2xy y với

4

3

; 5 ,

x b) B  3a 3ab b với ; 0 , 25

3

1



a

c)

b

a

3

5



3

1







2

1



x

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:

a) 6 3 3 2 2 4





3

2





x b) B  2x  3y với ; 3

2

1





x

c) C  2x 2  3 1  x với x = 4 d)

1 3

1 7

5 2









x

x x

2

1



x

======================

V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) A 0 , 5  x 3 , 5 b) B  1 , 4  x  2 c) 43 52







x

1

3

2







x

D

e) E  5 , 5  2x 1 , 5 f) F   10 , 2  3x  14 g)

12 3 2 5

G

h) 2,55,85,8

x

H i) I   2 , 5  x  5 , 8 k) K  10  4x 2

l) L 5  2x 1 m)   12 3

x





x N

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A 1 , 7  3 , 4  x b) Bx 2 , 8  3 , 5 c) C  3 , 7  4 , 3  x

d) D 3x 8 , 4  14 , 2 e) E  4x 3  5y 7 , 5  17 , 5 f) F  2 , 5  x  5 , 8

g) G 4 , 9 x  2 , 8 h)

7

3 5

2





x

H i) I  1 , 5  1 , 9  x

k) K  2 3x 1  4 l) L 2 3x 2  1 m) M  5 1  4x  1

Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) 5 43 157 3





x

A b) 31815 21217

x

B c) 54 3 5 204 58

y x

C

d) 6 2 2 2432 1 6











x y x





x y x E

a) 277 55 114





x





y





x

x C

a) 5 45 78 24









x

A b) 56 56 148 35

y

B c) 1215 3  3 282 135

x y x C

Trang 10

a) 21344 66 533





x





y











x

x C

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

a) Ax 5  2  x b) B 2x 1  2x 6 c) C  3x 5  8  3x

d) D 4x 3  4x 5 e) E  5x 6  3  5x f) F  2x 7  5  2x

a) A 2x 3  2x 5 b) B  3x 1  4  3x c) C  4x 5  4x 1

a) A  x 5 x 4 b) B  2x 3  2x 4 c) C   3x 1  7  3x

a) A  2x 5  2x 6 b) B  3x 4  8  3x c) C   5 5  x  5x 7

a) Ax 1  x 5 b) Bx 2  x 6  5 c) C  2x 4  2x 1

3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a b ab

a) Ax 2  x 3 b) B 2x 4  2x 5 c) C  3x 2  3x 1

a) Ax 5  x 1  4 b) B 3x 7  3x 2  8 c) C  4x 3  4x 5  12

a) Ax 3  2x 5  x 7 b) Bx 1  3x 4  x 1  5

c) Cx 2  4 2x 5  x 3 d) Dx 3  5 6x 1  x 1  3

Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

1  



A

Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:

1

6  



B

Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2 1

C

Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 3

D

Tiêu đề	Các dạng toán về giá trị tuyệt đối
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	738,5 KB