Bất phương trình có dấu giá trị tuyệt đối

BẤT PHƯƠNG TRÌNHCÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trần Văn Toàn, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai.. Ngày 29 tháng 1 năm 2009 Tóm tắt nội dungBất phương trình có chứa dấu

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trần Văn Toàn, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,

Biên Hoà, Đồng Nai.

Ngày 29 tháng 1 năm 2009

Tóm tắt nội dungBất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối được học trong chương trình Toán Trunghọc phổ thông Tuy nhiên, trong chương trình hiện hành, cũng chỉ đưa ra một vài bài toánnhỏ mà phương pháp giải chủ yếu là dùng định nghĩa về giá trị tuyệt đối, tức là xét dấu củabiểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối để sao cho bất phương trình đang xét không cònchứa dấu giá trị tuyệt đối nữa Lấy ý tưởng chính từ một bài viết trong [1], tôi viết đề tàinày với mục đích là đưa thêm một cách giải nữa, chủ yếu là tránh việc xét dấu biểu thứcbên trong dấu giá trị tuyệt đối, mà công việc xét dấu này đôi khi thật sự không đơn giản

1 Các bất phương trình cơ bản

1.1 Vài kết quả lí thuyết

Sách Giáo viên Đại số lớp 10 (bộ hai) của Nhà xuất bản Giáo dục, xuất bản năm 2006, trang

• Nếu a < 0, các bất phương trình |f (x)| 6 a và −a 6 f(x) 6 a đều vô nghiệm

• Trường hợp bất phương trình |f (x)| > a chứng minh tương tự

2 Bây giờ, ta xét bất phương trình |f (x)|6 g(x) và hệ bất phương trình −g(x) 6 f (x) 6 g(x).Gọi D là tập xác định của bất phương trình |f(x)| 6 g(x) (Khi đó, D cũng là tập xác địnhcủa bất phương trình −g(x)6 f (x) 6 g(x))

Giả sử có số x0 ∈D thoả bất phương trình |f(x)| 6 g(x), tức là

|f (x0)| 6 g(x0) (1.1.1)

Ta chỉ xét trường hợp g(x0) > 0

• Nếu f (x0) > 0, thì |f (x0)| = f (x0) và bất phương trình (1.1.1) trở thành

f (x0) 6 g(x0) (1.1.2)Mặt khác, vì f (x0) > 0 và g(x0) > 0, nên

−g(x0) 6 f (x0) 6 g(x0)

(Cũng có thể nhận xét rằng, nếu |f (x0)| 6 g(x0), g(x0 > 0, thì −g(x0) 6 f (x0) 6g(x0).)

• Trái lại, nếu có x0 thoả −g(x0) 6 f (x0) 6 g(x0), ta cũng có |f (x0)| < g(x0)

– Nếu f (x0) < 0, từ |f (x0)| > g(x0) suy ra −f (x0) > g(x0) hay f (x0) < −g(x0)

Do đó, ta có f (x0) > g(x0) hoặc f (x0) < −g(x0) Tức x0 cũng thoả một trong hai bấtphương trình f (x) > g(x) hoặc f (x) < −g(x)

• Trái lại, giả sử có số x0 thoả f (x0) > g(x0) hoặc f (x0) < −g(x0)

– Nếu g(x0) < 0, hiển nhiên |f (x0)| > g(x0)

– Nếu g(x0) = 0, ta có f (x0) > 0 hoặc f (x0) < 0 Hay f (x0) 6= 0 Tức x0 cũng thoả

1 − |x|

1 + |x|

> 1

2.Lời giải Ta có

|y − 2| + 2|y − 2a + 2| 6 3 (1.2.5)

Bất phương trình (1.2.5) tương đương với



2x2 − 9x − 13 > 03x − 1 < 0

x > 13 +

√2574

x > 9 +

√854

x < 1

3

⇔ x < 13 −

√257

2 < x <

2 +√16

2 .

Ví dụ 1.2.11 Giải bất phương trình

|x − 1| + |x − 2| > 3 + x (1.2.8)

Ví dụ 1.2.13 Giải bất phương trình

||3x

+ 4x − 9| − 8| 6 3x− 4x − 1 (1.2.9)Lời giải (1.2.9) ⇔

oChú ý, trong bất phương trình (1.2.10) có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối và ta có thể đưa(1.2.10) về dạng |f1| 6 f2 Ta thấy, ứng mỗi dấu giá trị tuyệt đối, thì dấu biểu thức bên trong của

nó có hai trường hợp là (+) và (−) (ta không xét biểu thức bên trong dấu giá trị tuyện đối luôndương hoặc luôn âm) Do đó, với bất phương trình dạng (1.2.10), để thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối,

ta xét các khả năng sau: (+ +), (+ −), (− +) và (− −) Ở đây, kí hiệu (+ +) để chỉ dấu của f

và g đều dương

Ví dụ 1.2.15 Giải bất phương trình

|3x + 2| + |2x − 3| < 11 (1.2.11)Lời giải Để ý bất phương trình có dạng |f | < g

|f1| + |f2| + |f3| + · · · + |fn| < ftương đương với hệ gồm 2n bất phương trình

Ví dụ 1.2.17 Giải bất phương trình

|x2− 3x − 7| + |2x2− x − 9| + |3x2 − 7x − 5| < x + 15 (1.2.12)

2x2− 10x − 18 < 0,4x2+ 10x + 18 > 0,4x2− 4x − 8 < 0,4x2− 6x − 22 < 0,

Ví dụ 1.2.20 Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết

x > 4 +

√702

x > 132







x < 72

4 −√58

2 < x <

4 +√582

2 < x <

72

x > 132

o

Ví dụ 1.2.23 Tìm m để bất phương trình x2 + |x + m| < 2 có ít nhất một nghiệm âm

⇔ p 6 −1 ⇒ p − 2 < −9p − 6Kết luận

• Nếu p 6 −1, thì bất phương trình (1.2.17) có nghiệm là 6p + 3 6 x 6 p − 2;

• Nếu p > −1 bất phương trình (1.2.17) vô nghiệm

o

Ví dụ 1.2.25 Giải và biện luận bất phương trình theo tham số

|2x + 21p| − 2.|2x − 21p| < x − 21p (1.2.18)Lời giải Bất phương trình (1.2.18) tương đương với hệ

Lời giải Bất phương trình (1.2.19) có dạng |f |6 g.

x2+ (m + 1)x − m − 1 > 0,3x2− (m − 1)x − m + 1 > 0.Bất phương trình (1.2.20) đúng với mọi x thuộc R khi và chỉ khi mỗi bất phương trình của hệtrên đúng với mọi x thuộc R Điều này xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.2.28 Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x2+ 2x − 1 + |x − a| (1.2.21)lớn hơn 2

Lời giải Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm a để x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2, ∀x ∈ R

Lời giải Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm a để y = x2+ |x − a| + |x − 1| > 2, ∀x ∈ R

ở phía trên của đường thẳng y = 1 − ax Từ đó ta có đáp số 1 < a < 4 + 2√

Ví dụ 1.2.31 Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = 4x − x2+ |x − m|nhỏ hơn 4?

Lời giải Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm m để f (x) = 4x − x2+ |x − m| < 4, ∀x ∈ R.Bất phương trình trên có dạng |f | < g, ta tìm m để

m < 7 4

Hệ trên vô nghiệm Vậy không tồn tại m thoả yêu cầu đề bài o 1.2.1 Giải bất phương trình |x2+ x − 2| + |x + 4| > x2+ 2x + 6

Đáp số S = [−6; −1] ∪ [0; +∞) 1.2.2 Giải bất phương trình ||x2− 8x + 2| − x2| > 2x + 2

Đáp số S = (−∞; 0] ∪ [1; 2] ∪ [5; +∞)

1.2.3 Giải bất phương trình

x2 − 2x + 3

4

6 log√|2x+3|

x + 13

Lời giải Điều kiện để (2.2.9) xác định là x 6= 0, x 6= 1, x 6= −1, x 6= −2, x 6= −1

3.Khi đó, (2.2.9) ⇔ 1

Giải hệ trên ta được tập nghiệm của bất phương trình (2.2.9) là

5

 ... data-page="8">

oChú ý, bất phương trình (1.2.10) có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối ta đưa(1.2.10) dạng |f1| f2 Ta thấy, ứng dấu giá trị tuyệt đối, dấu biểu thức bên của

nó có hai... > 0)

2.1 Bất phương trình khơng chứa dấu giá trị tuyệt đối< /h3>

Ứng dụng phương pháp khoảng mục phần lớn để giải bất phương trình mũ

và bất phương trình logarit mà ta... bên dấu giá trị tuyện đối lndương ln âm) Do đó, với bất phương trình dạng (1.2.10), để thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối,

ta xét khả sau: (+ +), (+ −), (− +) (− −) Ở đây, kí hiệu (+ +) để dấu