tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, bán kính R.. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.. 9 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trang 1KHAI THÁC T BÌNH PH Ừ ƯƠ NG C A Ủ
0
MA MB MC+ + ≥
uuur uuur uuuur
NGUYỄN LÁI
GV THPT chuyên Lương Văn Chánh
Xét bất đẳng thức (BĐT): (MA MB MCuuur uuur uuuur+ + )2 ≥0 (*) trong đó M là một điểm tuỳ ý nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, BA = c Đẳng thức xảy ra khi M ≡ G (trọng tâm tam giác) Ta khai thác BĐT trên theo hai hướng tích vô hướng sau
A/ SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG DẠNG : 2 2 ( )2
2 u vr r=uuru +urv − −uur uuru v
Tacó:(MA+MB+MC) 2 ≥ 0 ⇔MA2 +MB2 +MC2 + 2 MA.MB+ 2 MB.MC+ 2 MC.MA≥ 0
3 MA MB MC B A BC A C 0 a b c 3 M A MB M C
I/ Khi M ≡ O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, bán kính R ).
Lúc này : OA = AB = OC = R, nên BĐT (*) trở thành : a2 + b2 + c2≤ 9R2 (1)
+ dụng hệ thức sin, thay a= 2RsinA ; b= 2RsinB; c= 2RsinC ,vào (1) ta có
sin sin sin
4
A+ B+ C≤ (2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
+ Áp dụng BĐT Bunhiacovski ,từ (1) có
3
1
(a+b+c)2 ≤ a2 + b2 + c2 ≤ 9R2
⇒ 13 (a+b+c)2≤ 9R2⇒ 4R2(sinA + sinB + sinC)2≤ 27R2
⇒sinA + sinB + sinC ≤ 3 3
2 (3) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
+Tiếp tục vận dụng các hệ thức lượng tam giác và các BĐT Cauchy ,Bunhiacovski từ (1) suy ra
2
R
A+ B+ C ≤ S (4) ;
2
9
4
R
S
2
2
R
(6) ; 2p≤3 3R (7) : 2S≤3 3 R r (8)
sinBsinC (1 – cosA) + sinCsinA (1 – cosB) +sinAsinB (1 – cosC) ≤89 (9)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
trong đó S, p ,R, r ,ha, hb, hc là diện tích,nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp ,độ dài các đường cao phát xuất từ đỉnh A,B,C của tam giác ABC
II/ Khi M ≡ I : (tâm đường tròn nội tiếp tam giác, bán kính r).
Từ (*): a2 +b2 +c2 ≤ 3(MA2 +MB2 +MC2)⇒a2 + b2 + c2≤ 3(IA2 + IB2 + IC2). (10)
+ Gọi E là tiếp điểm cạnh AC với đường tròn tâm I nội tiếp tam giác Xét tam giác AIE vuông tại E có:
2
sin 2
r A
IE
IA= =
tương tự có:
IB =
2 sin B
r
; IC =
2 sinC
r
.
Thay IA, IB, IC các biểu thức trên vào (10)
I
A
E
Trang 2
+ +
≤ + +
2 sin 1 2 sin 1 2 sin
1 3
2 2
2 2 2 2 2
C B
A r
c b a
2 2 2 2
2
2 sin
1 2 sin
1 2 sin
1
r
c b
a C B
2
= + +
≥
r
p r
c b a
2
3
p
(11) Đẳng thức xảy ra khi
tam giácABC đều
+Tương tự thay IA2 = r2 + (p – a)2 , IB2 = r2 + (p – b)2 , IC2 = r2 + (p – c)2 vào (10)
⇒ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 3p2 – 9r2 (12) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
+Tiếp tục khai thác trong mọi tam giác ABC ta luôn có
cotgA + cotgB + cotgC ≥ 38 p r −3p r÷
. (12);
2 6 2 3 2
p ≤ R + r (13)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
III/ Khi M ≡ G : (trọng tâm tam giác ).
Từ (*) a2 + b2 + c2≤ 3(MA2 + MB2 + MC2) ⇒a2 + b2 + c2 = 3(GA2 + GB2 + GC2 ) (14) +Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các trung tuyến đi qua A, B, C
Thay GA =
a
m
3
2
, GB =
b
m
3
2
, GC =
c
m
3
2
vào (14) ta có đẳng thức
m +m +m = 3( 2 2 2)
4 a + +b c (15)
+ Ta có a2 + b2 + c2≤ 9R2 ; a2 +b2 +c2 ≥ 2 2
3
4 ) (
3
1 a+b+c = p
Từ (15) suy ra p2≤ 2 2 2
m +m +m ≤ 27 2
4 R (16) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
+Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 27 3
.
8
m m m ≤ R (17) +Từ (15) ta có :
( )2 2 2 2 ( 2 2 2) 2( 2 2 2 ) 2
4
27 sin
sin sin
3 4
3 3
1
R C
B A
R c b a m
m m m
m
m a+ b+ c ≤ a + b + c = + + = + + ≤
⇒ ma + mb + mc ≤ R
2
9
c b a c b a
2 9
1 1
+ +
≥ + +
1 1 1 2
⇒ (18) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
VI/ Khi M ≡ H : (trực tâm tam giác).
Từ (*) : a2 + b2 + c2≤ 3 (MA2 + MB2 + MC2) ⇒ a2 + b2 + c2≤ 3(HA2 + HB2 + HC2) (19)
+Giả sử tam giác ABC có ba góc nhọn
Vì tam giác ABC nhọn nên trực tâm H nằm trong tam giác ABC
Giả sử A’, B’, C’ là chân các đường cao AH, BH, CH xuống các cạnh BC, AC, AB
Xét tam giác HA’C vuông tại A’ ta có
cos 2 sin
cos sin
' '
sin
'
C R B
C AC B
CA CHA
CA
Tương tự ta cũng có: HB = 2RcosB, HC = 2RcosC
Thay các giá trị HA, HB, HC vào (19) ta có a2 + b2 + c2≤12R2(cos2A+cos2B+cos2C)
H
A
B
C A'
B' C'
Trang 33
1
(a+b+c)2≤ 12R2(cos2A+cos2B+cos2C)
⇒cos2A + cos2B + cos2C ≥
2
3
p R
(20) Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.
+Ta có S= ah a bh b ch c
2
1 2
1 2
c b
1
; 2
1
; 2
1
=
=
=
c b a
1 1 1 1
= +
Từ (19) : a2 + b2 + c2≤ 3(HA2 + HB2 + HC2) ⇒ 4 ( 1 1 1 ) 3 ( 2 2 2 )
2 2 2
h h h
S
c b a
+ +
≤ + +
3
HC HB HA h
h h
S
c b a
+ +
≤
+ +
⇒ HA2 + HB2 + HC2≥
2
2 3
S r
. (21) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
+Giả sử tam giác ABC nhọn Gọi A’, B’, C’, là chân đường cao AH, BH, CH lần lượt xuống các cạnh BC, CA, AB ta có:
S =S +S +S ⇒ + + = 1
ABC
AHB ABC
AHC ABC
BHC
S
S S
S S
S
' '
' '
'
= +
+
CC
HC BB
HB AA
HA S
cHC bHB aHA CC
HC BB
HB
AA
3(HA2 + HB2 + HC2)2≥ (a2 + b2 + c2)( HA2 + HB2 + HC2) ≥ (aHA + bHB +cHC)2 = 16S2
⇒HA2 + HB2 + HC2≥ 43S. (22) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
Mời các bạn tiếp tục khai triển (*) theo hướng
B/ SỬDỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG DẠNG: u vr r =uururu v .cos ,( )uur uuru v .
Khai triễn BĐT (*) :
Khi M ≡ O : 0 ≤ ) 2
OC OB
OA+ + = 3R2 +2R2 (cos2A + cos2B +cos2C)
Vậy : Trong mỗi tam giác ABC ta luôn có : cos2A + cos2B + cos2C ≥ 3
2
− (23)
Khi M ≡ I : 0 ≤( ) 2
IC IB
IA+ + =IA2 +IB2 +IC2 − 2IA.IB cosC − 2IB.IC cosA− 2IC.IA cosB
Ta có các bài toán sau:
+Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có :
2
(24)
+Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau, trong đó A, B, C là 3 góc của một tam giác
( )
sin sin sin
25
2
Lời giải: (24)
Gọi N là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh AB ta có:
IA = =
2 sin A
IN
2 sin A
r
; Tương tự :
I A
B
C N
Trang 4IB =
2
sin B
r
; IC =
2 sinC
r
C
Và chú ý:
2 sin )
2 90 cos(
) 2 180
cos(
cos
.
IB IA
C IB
IA B A IB
IA AIB IB
IA IB
Tương tự: IB IC=−IB.ICsin 2A ; IC IA=−IC.IAsin B2
BĐT⇔
+ +
−
+ +
≤
2
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2
sin 2
2 sin
1 2 sin
1 2 sin
1
2 2
2
2
B A
C C
A
B C
B
A r
C B
A r
2 sin
1 2 sin
1 2
sin
1
2 2
2
≥ +
+
C B
A
+ +
2
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 sin
B A
C C
A
B C
B
A
(a)
+ +
2
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin
2 sin
B A
C C
A
B C
B
A
+ +
2 sin 1 2 sin 1 2 sin
1
C B
Từ (a) và (b) ta có:
+ +
≥ +
+
2 sin 1 2 sin 1 2 sin
1 2 2 sin 1 2 sin 1 2 sin
1
2 2
Đẳng thức xãy ra khi tam giác ABC đều
Lời giải (25)
2
sin 2
sin 2 sin A B C >0 ta có :
+ +
2 sin
1 2
sin
1 2
sin
1 2
sin 2
sin
2
sin
2 2
C B
A
+ +
≥
2 sin 1 2 sin
1 2
sin
1
2
C B
2
sin 2
sin 2
Đẳng thức xãy ra khi tam giác ABC đều
2 sin 1 2 sin 1 2 sin
1 2
sin 2
sin 2
sin
2 2
2
=
+ +
C B
A C
B A
Khi và chỉ khi tam giác ABC đều
*Mặt khác, giả sử M, N, P là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC (có tâm I bán
kính r) với các cạnh AB, BC, CA ta sẽ có:
0 ≤ (IM+IN+IP)2 = 3r2 − 2r2 ( cosA+ cosB+ cosC)
Vậy trong mọi tam giác ABC ta có :
cosA + cosB + cosC ≤ 32. (26) , cosA.cosB.cosC ≤ 18 (27)
Bài toán thay lời kết :
Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có :
6cosA.cosB.cosC + sin2A + sin2B + sin2C ≤ 3 (28)
Trang 5Lời giải
Gọi A’, B’, C’, lần lượt là trung điểm BC, CA, AB
và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác,vì tam giác nhọn nên O nằm trong tam giác ABC ta có:
' ' ' OB OC
OA + + ⇔ ( OA‘2 + OB‘2 + OC‘2)2
≥ 2 OB’.OC’.cosA + 2 OA’.OC’.cosB + 2 OA’.OB’.cosC Mặt khác ta có:OA’= OB.c BOAos¼ ' = OB.cosA
Hay OA’ = R.cosA Tương tự ta có: OB‘ = RcosB, OC‘ = RcosC
Do đó BĐT ⇔ 6cosA.cosB.cosC + sin2A + sin2B + sin2C ≤ 3 (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều
*Bài toán trên cần chứng minh: cosA.cosB.cosC ≤ 18 và sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 94
rồi suy ra kết quả trên thì không thể ngắn hơn.
Trong khi khai thác BĐT tưởng chừng đơn giản (MA MB MCuuur uuur uuuur+ + )2 ≥0 chúng ta lại “khám phá”
ra cách giải bài này Điều đó chứng tỏ toán học rất lạ! Toán học có ở quanh ta, mong các bạn tiếp tục khai thác bình phương của một tổng Vectơ khác để “khám phá” ra điều mới, hấp dẫn hơn /.
O
A
B
C A'
B'
C'