Do tổng AN AC AB AM + không đổi nên tích AN AC AB AM.
Trang 1Kỳ thi chọn HS dự thi HSG sơ tuyển tỉnh
Năm học : 2006-2007 Môn thi : Toán Khối : 9
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề
Bài 1: Cho ba số a,b,c ∈ Z thoả mãn điều kiện ab+bc+ca=2006
CMR : A=(a2+2006)(b2+2006)(c2+2006) là số chính phơng
Bài 2: a, Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn phơng trình :
2x2-2xy = 5x+y-19
b, Giải phơng trình:
(2x2-x+1)(2x2+3x+1) =5x2
Bài 3: Cho a,b,c là ba số dơng.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
b a
c a c
b c b
a
3 2 3 2 3 2
3
+
+ +
+ +
Bài 4: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Vẽ qua G một đờng thẳng xy cắt hai
cạnh AB,AC lần lợt tại M và N ( M,N không trùng với A)
a, CMR : + = 3
AN
AC AB AM
b, Gọi S và S’ lần lợt là diện tích của tam giác ABC và tam giác AMN
CMR : S’ ≥ 94 S
Trang 2K x
D H G
A
M
A
y N
I H
Bµi gi¶i :
Bµi 1: Tõ gi¶ thiÕt ab+bc+ca=2006 suy ra a2+2006= a2+ ab+bc+ca =(a+b)(a+c)
T¬ng tù : b2+2006=(b+c)(c+a) ; c2+2006=(a+b)(b+c)
A=(a2+2006)(b2+2006)(c2+2006) = (a+b)(a+c)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)=
= [ (a+b)(a+c)(b+c) ]2 lµ sè chÝnh ph¬ng
Bµi 2:a) Tõ PT : 2x2-2xy = 5x+y-19 ⇔2x2-2xy - 5x-y+19=0
⇔2x(x-y)+(x-y)-6x+19=0 ⇔(x-y)(2x+1)-3(2x+1)+22=0
⇔(2x+1)(x-y-3)+22=0 ⇔(2x+1)(y+3-x)=22
Do 2x+1 sè lÎ suy ra
=
− +
=
+
22 3
1 1
2
x y
x
⇔
=
=
19
0
y
x
hoÆc
=
=
⇔
=−+
=+
4
5 2 3
111
2
y
x x y
x
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (0;19), (5;4)
b) §Æt 2x2+x+1=y ta cã (y-2x)(y+2x)=5x2⇔y2- 4x2=5x2⇔y2-9x2=0
⇔ (y-3x)(y+3x)=0 ⇔y=3x hoÆc y=-3x
Víi y=3x thay vµo ta cã 2x2+x+1=3x ⇔ 2x2-2x+1=0
Víi y=-3x thay vµo ta cã 2x2+x+1=-3x ⇔ 2x2+4x+1=0
Bµi 3: Ta cã (
b a
c a c
b c b
a
3 2 3 2 3
2 + + + + + )[a(2b+3c)+b(2c+3a)+c(2a+3b)]=
+ +
+ +
+
2 2
2
3 2 3
2 3
c a
c
b c
b
a
( a 2b 3c ) (2 b( 2c 3a)) (2 c( 2a 3b))2≥ (a+b+c) 2
( Bunhiacopxki) Ta l¹i cã
3
) (a b c 2
ca
bc
3
) (
5
) (
2
2
= + +
+ +
≥
c b a
c b a
DÊu “=” x¶y ra khi
c b a b a a c c b a
c
b a c a
c b
a c b c
b
a
c
b
a
=
=
⇒ +
= +
= +
⇒ +
+
= +
+
=
+
) 3 2 (
3 2 ) 3 2 (
3 2 )
3
2
(
3
2
VËy MinP =
5
3
khi a=b=c
Bµi 4: a) KÎ BH//xy, CI//xy Gäi D lµ giao cña AG vµ BC
th× D lµ trung ®iÓm cña BC
∆BHD=∆CID(c.g.c) nªn DH=DI
Theo Ta let ta cã
AG
AI AN
AC AG
AH AM
AB
=
Suy ra
AG
AD AG
AI AH AG
AI AG
AH AN
AC AB
3
3
2
2
=
=
AD
AD
b) KÎ BK vµ MH vu«ng gãc AC
S= BK AC
2
1
; S’= MH AN
2
1
;
AC
AN BK
MH
S
S
.
¸ '
=
⇒
Ta cã ∆AMH~∆ABK
AB
AM BK
MH =
AC
AN AB
AM S
S
.
¸ '
=
Trang 3Do tổng
AN
AC AB
AM + không đổi nên tích
AN
AC AB
AM
. nhỏ nhất khi
2
3
=
=
AN
AC AB AM
Suy ra
AC
AN AB
AM S
S
.
á '
4
9 2
3 2
3 = ⇒ '≥