Thí sinh không được sử ụng tài liệu... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán Hư
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)
Thời gian àm bài: 150 hút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang -
Câu 1 (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n n hơn 1 thoả mãn n24 và n216 là các
số nguyên tố thì n chia hết cho 5
b) Tìm nghiệm nguyên của hương trình: x22 (y xy)2(x1)
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 2 3 5 2 3 5
A
b) Tìm m để hương trình:x2x3x4x5m có 4 nghiệm hân biệt
Câu 3 (2,0 điểm)
4 2 1 1
x x x x
b) Giải hệ hương trình:
10 0
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC R 3 cố định Điểm A i đ ng trên cung
n BC sao cho tam gi c ABC nhọn Gọi E là điểm đối ứng i B qua AC và F à điểm đối ứng i C qua AB C c đường tròn ngoại tiế c c tam gi c ABE à ACF cắt nhau tại
K (K không tr ng A) Gọi H à giao điểm của BE và CF
a) Chứng minh KA à hân gi c trong góc BKC à tứ gi c BHCK n i tiế
b) c định ị trí điểm A để iện tích tứ gi c BHCK n nh t, tính iện tích n nh t của tứ gi c đó theo R
c) Chứng minh AK uôn đi qua m t điểm cố định
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho 3 số thực ương x, y, z thỏa mãn: 12 12 12
1
x y z Tìm gi trị nhỏ nh t của
biểu thức:
P
- HẾT -
Họ và tên thí sinh: anh:
Thí sinh không được sử ụng tài liệu C n ộ c i thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)
(Hướng ẫn ch m gồm 05 trang)
I Một số chú ý khi chấm bài
ư ng n ch m thi ư i đây ựa ào ời giải sơ ư c của m t c ch, khi ch m thi, c n b ch m thi cần b m s t yêu cầu trình bày ời giải đầy đủ, chi tiết, h ô-gic à có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm
Thí sinh àm bài th o c ch kh c i ư ng n mà đúng thì t ch m cần thống nh t cho điểm tương ứng i thang điểm của ư ng n ch m
Điểm bài thi à t ng điểm c c câu không àm tròn số
II Đ -tha g điểm
Câu 1 (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n n hơn 1 thoả mãn n24 và n216 à c c số
nguyên tố thì n chia hết cho 5
b) Tìm nghiệm nguyên của hương trình: x22 (y xy)2(x1)
a) (0,5 điểm)
Ta có i mọi số nguyên m thì 2
m chia cho 5 ư 0 , 1 hoặc 4
+ Nếu n chia cho 5 ư 1 thì 2 n2 5k 1 n2 4 5k5 5;k *
nên n24 không à số nguyên tố
0,25
+ Nếu n chia cho 5 ư 4 thì 2 n2 5k 4 n2 16 5k20 5;k *
nên n216 không à số nguyên tố
Vậy 2
5
n hay n chia hết cho 5
0,25
b) (1,0 điểm)
x y xy x x y x y
Để hương trình (1) có nghiệm nguyên x thì ' theo y hải à số chính hương
0,25
' y 2y 1 2y 2 y 2y 3 4 y 1 4
'
4
x
x
1
y y
y
0,25
+ V i y3 thay ào hương trình (1) ta có: 2 2
+ V i y 1 thay ào hương trình (1) ta có: 2
Vậy hương trình (1) có 4 nghiệm nguyên : x y; 0;1 ; 4;1 ; 4;3 ; 0; 1
0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Câu 2 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 2 3 5 2 3 5
A
b) Tìm m để hương trình: x2x3x4x5m có 4 nghiệm hân biệt
a) (1,0 điểm)
0,25
2
4 ( 5 1) 4 ( 5 1)
3 5 3 5 2
5 5 5 5
(3 5)(5 5) (3 5)(5 5)
2
(5 5)(5 5)
15 3 5 5 5 5 15 3 5 5 5 5 2
25 5
20
2 2.
20
b) (1,0 điểm)
x x x y y hương trình (1) tr thành:
y y m y y m
Nhận t: V i m i gi trị y0 thì hương trình: 2
1
x y có 2 nghiệm hân biệt, o
đó hương trình (1) có 4 nghiệm hân biệt hương trình (2) có 2 nghiệm ương hân
biệt
0,25
49
4
m
0,25
Vậy i 49 144
thì hương trình (1) có 4 nghiệm hân biệt 0,25
Câu 3 (2,0 điểm)
b) Giải hệ hương trình:
10 0
a) (1,0 điểm)
Điều kiện: x1 (*)
Đặt x x 1 y (Điều kiện:y1 ** ), phương trình tr thành y22y 3 0 0,25
3
y
y
V i y 1 không thỏa mãn điều kiện ( )
Trang 42 2
3
5
x
x
thỏa mãn điều kiện ( ) Vậy hương trình có nghiệm x2
b) (1,0 điểm)
3 2
6 0 (1)
10 0
0,25
T hương trình (1) ta có
0,25
+ Trường h 1:
V i x y 0 không thỏa mãn hương trình (2)
Trường h 2: x2y thay ào hương trình (2) ta có:
Vậy hệ hương trình có 2 nghiệm x y; 2;1 ; 2; 1
0,25
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BCR 3 cố định Điểm A i đ ng trên cung n
BC sao cho tam gi c ABC nhọn Gọi E à điểm đối ứng i B qua AC và F là điểm đối ứng i
C qua AB C c đường tròn ngoại tiế c c tam gi c ABE à ACF cắt nhau tại K (K không tr ng A)
Gọi H à giao điểm của BE và CF
a) Chứng minh KA à hân gi c trong góc BKC à tứ gi c BHCK n i tiế
b) c định ị trí điểm A để iện tích tứ gi c BHCK n nh t, tính iện tích n nh t của tứ
gi c đó theo R
c) Chứng minh AK uôn đi qua điểm cố định
Trang 5P Q
N M
I
K
F
E
C B
A
a) (1,5 điểm)
Ta có AKB AEB ( ì c ng chắn cung AB của đường tròn ngoại tiế tam gi c AEB)
à ABE AEB (tính ch t đối ứng) suy ra AKB ABE (1)
AKC AFC ( ì c ng chắn cung AC của đường tròn ngoại tiế tam gi c AFC)
ACF AFC (tính ch t đối ứng) suy ra AKC ACF (2)
0,5
ặt kh c ABE ACF (c ng h i BAC ) (3) T (1), (2) , ( ) suy ra AKB AKC
Gọi P, Q ần ư t à c c giao điểm của BE i AC à CF i AB
2
BOC BAC BOC Trong tam gi c uông ABP
APB BAC ABP hay ABE ACF 300
0,25
Tứ gi c APHQ có
AQH APH PAQPHQ PHQ BHC (đối đ nh) 0,25
Ta có AKC ABE300, AKB ACF ABE300 (th o chứng minh hần a)
60
BKC AKCAKBAFCAEBACF ABE suy ra BHCBKC1800
nên tứ gi c BHCK n i tiế
0,25
b) (1,5 điểm)
Gọi (O’) à đường tròn đi qua bốn điểm B, H,C, K Ta có dây cung BC R 3,
0
60
BKC BAC nên bán kính đường tròn (O’) bằng b n kính R của đường tròn (O)
0,5
Gọi M à giao điểm của AH à BC thì MH uông góc i BC, k KN uông góc i BC
(N thu c BC), gọi I à giao điểm của HK à BC
Trang 61 1
BHCK
S BC HI KI BC KH (do HM HI; KNKI )
Ta có KH là dây cung của đường tròn (O’; R) suy ra KH 2R (không đ i)
nên S BHCK n nh t khi KH 2R và HM KNHK 2 R 0,25
2
BHCK
Khi HK à đường kính của đường tròn (O’) thì M, I, N trùng nhau suy ra I à trung điểm
của BC nên ABC cân tại A Khi đó A à điểm chính giữa cung n BC 0,25
c) (0,5 điểm)
Ta có BOC 120 ;0 BKC 600suy ra BOCBKC 1800
nên tứ gi c BOCK n i tiế đường tròn
0,25
Ta có OB=OC=R suy ra OBOCBKOCKO hay KO à hân gi c góc BKC
th o hần (a) KA à hân gi c góc BKC nên K ,O, A th ng hàng hay AK đi qua O cố định 0,25
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho số thực ương x, y, z thỏa mãn: 12 12 12 1
x y z Tìm gi trị nhỏ nh t của biểu thức:
P
Ta có
2 2
P
y
0,25
Đặt 1 a;1 b;1 c
x y z thì , ,a b c0 và a2 b2 c2 1
P
0,25
ng b t đ ng thức Côsi cho số ương ta có
2
2
2
3 3
a
Tương tự:
T (1); (2); ( ) ta có 3 3 2 2 2 3 3
3
a b c
hay x y z 3. Vậy gi trị nhỏ nh t của P à 3 3
2
0,25
- HẾT -