Về đồng dư đa thức

Luận văn "Về đồng dư đa thức" nghiên cứu về đồng dư đa thức theomôđun một đa thức, đồng dư đa thức theo môđun số nguyên tố và lũythừa một số nguyên tố.. Hơn nữa, chúng tôi cũng đưa ra đư

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Thị Kiều Nga

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS NguyễnThị Kiều Nga, cô đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giảtrong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã giảngdạy lớp cao học Toán K11A, các bạn học viên và đồng nghiệp đã tạo điềukiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tạitrường Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và ngườithân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học

và viết luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của cácthầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả

Nguyễn Thị Hoàn

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản về đa thức một ẩn 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Bậc của đa thức 4

1.1.3 Phép chia với dư 5

1.1.4 Nghiệm của đa thức 6

1.1.5 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của đa thức 7 1.2 Một số định lý cơ bản của số học 8

2 Đồng dư đa thức 10 2.1 Đồng dư đa thức với môđun một đa thức 10

2.2 Tập hợp gồm các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư môđun một đa thức 15

2.3 Trường A[x].(p(x)) 17

2.4 Đồng dư đa thức với môđun nguyên tố 18

2.5 Đồng dư đa thức với môđun lũy thừa nguyên tố 23

2.6 Đồng dư x2 ≡ a (mod m) 29

2.7 Phương trình đồng dư bậc hai tổng quát 35

3 Một số ứng dụng của đồng dư đa thức trong giải toán sơ cấp 38 3.1 Tìm đa thức dư khi chia đa thức f (x) cho g(x) trong A[x] 38 3.2 Chứng minh đa thứcf (x)chia hết cho đa thứcg(x)trongA[x] 40 3.3 Tìm điều kiện để f (x) chia hết cho g(x) 6= 0 trong A[x] 43

3.4 Bài toán về nghiệm của đa thức 513.5 Một số bài toán khác 51

Mở đầu

Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học Đa thứckhông chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ quantrọng được sử dụng trong các nghiên cứu của Giải tích như Lý thuyết điềukhiển, Lý thuyết tối ưu Trong các kỳ thi học sinh giỏi trong và ngoàinước các bài toán về đa thức cũng thường được đề cập đến Vì thế trongchương trình toán phổ thông đa thức là một chuyên đề quan trọng và cầnthiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi

Đồng dư đa thức là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâmkhi nghiên cứu về đa thức mà trường hợp đặc biệt là các phương trìnhđồng dư hoặc các đồng dư thức Theo [4], cho Alà một trường, f (x), g(x),p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0 Ta nói f (x) đồng dư với g(x) theo môđun p(x)

nếu và chỉ nếu f (x) − g(x) chia hết cho p(x) trong A[x] Vì thế "đồng dư

đa thức theo môđun một đa thức" có thể coi là tổng quát của khái niệm

"đồng dư thức" đã biết

Luận văn "Về đồng dư đa thức" nghiên cứu về đồng dư đa thức theomôđun một đa thức, đồng dư đa thức theo môđun số nguyên tố và lũythừa một số nguyên tố Các kết quả trong luận văn được tham khảo ở cáctài liệu [2], [4], [6], [7] Hơn nữa, chúng tôi cũng đưa ra được đặc trưng củađồng dư đa thức theo môđun một đa thức (Mệnh đề 2.1.2) và một số tínhchất của đồng dư đa thức theo môđun một đa thức (Định lý 2.1.3) Sửdụng đồng dư đa thức, chúng tôi nghiên cứu một số ứng dụng của đồng

dư đa thức trong giải toán sơ cấp

Luận văn gồm 3 chương

Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về đa thức và một sốtính chất số học cần thiết cho các chương sau

Chương 2: Nghiên cứu về đồng dư đa thức: Đồng dư đa thức theo môđun

một đa thức và một số trường hợp đặc biệt là môđun số nguyên tố và lũythừa số nguyên tố.

Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của đồng dư đa thức trong toán

sơ cấp

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và năng lực nghiên cứu cònhạn chế nên rất mong được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đọc đểluận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về đa thức một

ẩn và kiến thức về số học như khái niệm đa thức, bậc, nghiệm của đa thức,một số định lý thường gặp như Định lý phép chia với dư, Định lý Bezout,Viete, hàm Euler, một số định lý quan trọng của số học, nhằm thuậntiện cho việc theo dõi các chương sau

1.1 Một số kiến thức cơ bản về đa thức một ẩn

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Cho A là một vành giao hoán có đơn vị Một đa thứcmột ẩn với hệ số trên A là một biểu thức có dạng:

f (x) = a0 + a1x + + amxm,

trong đó ai ∈ A với mọi i = 0, m và x là một kí hiệu gọi là biến Khi đó,

ai gọi là các hệ số thứ i của đa thức, aixi gọi là hạng tử thứ i của đa thức,

a0 gọi là hạng tử tự do Kí hiệu A[x] là tập các đa thức một biến x với hệ

thuộc A[x] Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử m > n và

Quy ước ai = 0 nếu i > n và bi = 0 nếu i > m

Khi đó A[x] là một vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phépnhân các đa thức, A[x] gọi là vành đa thức một ẩn với hệ số trong A

1.1.2 Bậc của đa thức

Định nghĩa 1.1.3 Bậc của đa thức khác 0 trong A[x]

f (x) = a0 + a1x + + an−1xn−1+ anxn

là n nếu an 6= 0, kí hiệu deg f (x) = n

Quy ước, đa thức 0 không có bậc hoặc có bậc là −∞

Sau đây là tính chất về bậc của đa thức

Định lý 1.1.4 Giả sử f (x), g(x) là hai đa thức khác 0 thuộc A[x]

đẳng thức sẽ xảy ra nếu A là miền nguyên.

1.1.3 Phép chia với dư

Định lý 1.1.5 (Định lý phép chia với dư) Cho A là một vành giao hoán

có đơn vị và f (x), g(x) là hai đa thức thuộc A[x], g(x) là đa thức có hệ sốcao nhất khả nghịch trong A Khi đó tồn tại duy nhất q(x), r(x) ∈ A[x]

sao cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) và deg r(x) < deg g(x) nếu r(x) 6= 0

Các đa thức q(x) và r(x) trong định lý trên lần lượt gọi là đa thứcthương và dư trong phép chia f (x) cho g(x) Nếu r(x) = 0 thì ta nói f (x)

chia hết cho g(x)

Kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lý phép chia với dư trongtrường hợp đa thức g(x) là đa thức bậc nhất có hệ số cao nhất là 1

Hệ quả 1.1.6 (Định lý Bezout) Cho A là một vành giao hoán có đơn vị

và g(x) ∈ A[x], α ∈ A Khi đó dư của phép chia f (x) cho x − α là f (α).Chú ý 1.1.7 Cho f (x) ∈ A[x], α ∈ A Ta có lược đồ sau gọi là lược

đồ Horner để tìm thương và dư của phép chia f (x) cho x − α Giả sử

f (x) =

n

P

i=0

aixi, an 6= 0 Theo Định lý phép chia với dư, chia f (x) cho

x − α, ta được f (x) = (x − α)q(x) + r với r = f (α) và deg q(x) = n − 1

Nếu A là một trường, g(x) ∈ A[x], g(x) 6= 0 thì hiển nhiên hệ số caonhất của g(x) là khả nghịch Vì thế ta có ngay hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.8 Cho A là một trường và f (x), g(x) là hai đa thức thuộc

A[x], g(x) 6= 0 Khi đó tồn tại duy nhất q(x), r(x) ∈ A[x] sao cho

f (x) = g(x)q(x) + r(x) và deg r(x) < deg g(x) nếu r(x) 6= 0

1.1.4 Nghiệm của đa thức

Trong toàn bộ mục này, ta luôn giả sử A là một vành giao hoán cóđơn vị

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử A là một vành con của vành giao hoán K Cho

f (x) = a0 + a1x + + an−1xn−1+ anxn ∈ A[x] Khi đó, số α ∈ K đượcgọi là nghiệm của đa thức f (x) trong K nếu

f (α) = a0 + a1α + + an−1αn−1 + anαn = 0,

Từ Định lý Bezout ta có ngay bổ đề sau

Bổ đề 1.1.10 Phần tử α ∈ A là nghiệm của f (x) ∈ A[x] khi và chỉ khi

f (x) chia hết cho x − α

Định nghĩa 1.1.11 Cho K là vành giao hoán chứa vànhA, f (x) ∈ A[x],

α ∈ K Nếu tồn tại số tự nhiên k 6= 0 sao cho f (x) chia hết cho (x − α)k

nhưng f (x) không chia hết cho (x − α)k+1 thì α được gọi là nghiệm bộibậc k của f (x)

Nếuk = 1thìα được gọi là nghiệm đơn,k = 2thì α được gọi là nghiệmkép

Từ Định nghĩa 1.1.11, ta có ngay bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.12 Phần tử α ∈ K là nghiệm bội bậc k của f (x) ∈ A[x] khi

và chỉ khi f (x) chia hết cho (x − α)k

Sau đây là công thức Viete về mối liên hệ giữa các nghiệm của đa thứcvới các hệ số của đa thức đó

Mệnh đề 1.1.13 (Công thức Viete) Cho A là một miền nguyên và

1.1.5 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của đa thức

Trong toàn bộ phần này vành A là một trường

Định nghĩa 1.1.14 i) Một đa thức a(x) ∈ A[x] gọi là một ước chungcủa các đa thức f1(x), , fs(x) ∈ A[x] nếu a(x) là ước của fi(x) vớimọi i = 1, s

ii) Một ước chung a(x) của các đa thức f1(x), , fs(x) gọi là một ướcchung lớn nhất của f1(x), , fs(x) nếu a(x) là bội của mọi ước chung của

và chỉ nếu tồn tại 0 6= c ∈ A sao cho t(x) = c.a(x)

Ta có thể tìm ước chung lớn nhất của các đa thức dựa vào Định lý phépchia với dư

Bổ đề 1.1.16 Giả sử f (x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó r(x) = 0 hoặcdeg r(x) < deg g(x) Khi đó đa thức a(x) là ước chung lớn nhất của f (x)

và g(x) nếu và chỉ nếu nó là ước chung lớn nhất của g(x) và r(x)

Định nghĩa 1.1.17 i) Một đa thức b(x) ∈ A[x]được gọi là một bội chungcủa các đa thức f1(x), , fs(x) ∈ A[x] nếu b(x) là bội của fi(x) với mọi

i = 1, s

ii) Một bội chung b(x) của các đa thức f1(x), , fs(x) gọi là một bộichung nhỏ nhất của f1(x), , fs(x) nếu mọi bội chung m(x) của fi(x) với

i = 1, s đều là bội của b(x)

Tương tự như ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của các đa thức

f (x), g(x) chỉ khác nhau các nhân tử là hằng số khác 0 trong A

Bổ đề 1.1.18 Chob(x) ∈ A[x] là bội chung nhỏ nhất củaf (x), g(x) ∈ A[x].Khi đó đa thức t(x) ∈ A[x] cũng là bội chung nhỏ nhất của f (x), g(x) nếu

và chỉ nếu tồn tại 0 6= c ∈ A sao cho t(x) = c.b(x)

Sau đây chúng tôi nhắc lại một số kiến thức số học để chuẩn bị cho cácchương sau là: Hàm Euler, Định lý Euler, Fermat, Wilson

Ta có công thức tính hàm Euler như sau:

Giả sử n có phân tích tiêu chuẩn n = pα1

Định lý sau là hệ quả của Định lý Euler.

Định lý 1.2.5 (Định lý Fermat) Cho p là số nguyên tố và với a là sốnguyên bất kỳ Khi đó

ap ≡ a( mod p)

Hoặc phát biểu dưới dạng khác: Cho p là số nguyên tố, a là số nguyên,

(a, p) = 1 Khi đó

ap−1 ≡ 1( mod p)

Chương 2

Đồng dư đa thức

Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề về đồng dư đathức là: Đồng dư đa thức với môđun một đa thức, đồng dư đa thức vớimôđun nguyên tố và đồng dư đa thức với môđun lũy thừa nguyên tố Cáckết quả này được tham khảo ở [2], [4], [6], [7] Chúng tôi cũng đưa ra đặctrưng của đồng dư đa thức theo môđun một đa thức và một số tính chấtcủa nó

2.1 Đồng dư đa thức với môđun một đa thức

Trong mục này, chúng tôi trình bày về đồng dư đa thức với môđun một

đa thức Các kết quả chính trong mục này chúng tôi tham khảo trong [4].Trong suốt mục này, ta luôn giả thiết vành A là một trường

Định nghĩa 2.1.1 [4] Cho f (x), g(x), p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0 Ta nói đathức f (x) và g(x) đồng dư theo môđun p(x) nếu f (x) − g(x) p(x) Nếu

f (x) và g(x) đồng dư theo môđun p(x) thì kí hiệu là

(ii) f (x) và g(x) cho cùng một đa thức dư khi chia cho p(x);

(iii) f (x) = g(x) + p(x)t(x) với t(x) ∈ A[x]

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Vì A là một trường nên tồn tại phép chia có dưtrong A[x] Giả sử f (x) = p(x)q(x) + r(x)

Nếu r(x) 6= 0 thì deg r(x) < deg p(x) và g(x) = p(x)h(x) + s(x)

Nếu s(x) 6= 0 thì deg s(x) < deg p(x)

(iii) ⇒ (i) Hiển nhiên

Sau đây, chúng tôi đưa ra một số tính chất của đồng dư đa thứcvới môđun một đa thức Chú ý rằng các đa thức trong phần này đềuthuộc A[x]

Định lý 2.1.3 a) Quan hệ đồng dư của các đa thức thuộc A[x] theo môđun

đa thức p(x) là quan hệ tương đương trên A[x];

b) Nếu fi(x) ≡ gi(x) mod p(x)
với mọi i = 1, k thì

f1(x) ± f2(x) ± ± fk(x) ≡ g1(x) ± g2(x) ± ± gk(x) mod p(x)
;

f1(x)f2(x) fk(x) ≡ g1(x)g2(x) gk(x) mod p(x)
;

c) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x)
thì f (x)h(x) ≡ g(x)h(x) mod p(x)
;d) Nếuf (x) ≡ g(x) mod p(x)
thì f (x)±h(x) ≡ g(x)±h(x) mod p(x)
;e) Nếuf (x)+h(x) ≡ g(x) mod p(x)
thì f (x) ≡ g(x)−h(x) mod p(x)
;f) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x)
thì f (x) + h(x)p(x) ≡ g(x) mod p(x)
;g) Với t là một số tự nhiên bất kì Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x)
thì

ft(x) ≡ gt(x) mod p(x)
;

h) Nếu fi(x) ≡ gi(x) mod p(x)
với mọi i = 1, k Khi đó với mọi

ui(x) ∈ A[x], i = 1, k thì

u1(x)f1(x) + + uk(x)fk(x) ≡ u1(x)g1(x) + + uk(x)gk(x) mod p(x)

i) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x)
thì h(f (x)) ≡ h(g(x)) mod p(x)
;

k) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x)
và t(x) là ước chung của f (x), g(x), p(x)

thì

f (x)t(x) ≡ g(x)

t(x) mod

p(x)t(x)

t(x) mod p(x)

;

m) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p1(x)
, f (x) ≡ g(x) mod p2(x)
, ,

f (x) ≡ g(x) mod pk(x)
thì f (x) ≡ g(x) mod p(x)
với p(x) ∈ A[x]

là bội chung nhỏ nhất của p1(x), , pk(x);

n) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x)
, t(x) là ước của p(x) thì

g(x) − f (x) p(x) Kéo theog(x) ≡ f (x) mod p(x)
Vì thế quan hệ đồng

dư theo môđun đa thức p(x) có tính chất đối xứng

+ Với mọi f (x), g(x), h(x) ∈ A[x], giả sử f (x) ≡ g(x) mod p(x)
và

Vì t(x) là ước chung của f (x), g(x), p(x) nên ta có

f (x)t(x) =

g(x)t(x) + h(x)

p(x)t(x).

Vậy

f (x)t(x) ≡ g(x)

t(x) mod

p(x)t(x)

l) Vì f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên f (x) − g(x) = p(x)h(x), trong đó

h(x) ∈ A[x] Do t(x) là ước chung của f (x), g(x) nên f (x) − g(x) t(x).Suy ra p(x)h(x) t(x) Vì p(x), t(x)
= 1 nên h(x) t(x)

Đặt

h(x)t(x) = m(x) ∈ A[x].

Suy ra

f (x) − g(x)t(x) ≡ p(x)h(x)

t(x) = p(x)m(x).

Vậy

f (x)t(x) ≡ g(x)

t(x) (mod p(x)).

m) Vìf (x) ≡ g(x) mod pi(x)
, ∀i = 1, knênf (x)−g(x) pi(x),∀i = 1, k.Suy ra f (x) − g(x) là bội chung của p1(x), , pk(x) Giả sử p(x) là bộichung nhỏ nhất của p1(x), p2(x), , pk(x) Khi đó, ta có f (x) − g(x) p(x).Vậy f (x) ≡ g(x) (mod p(x))

n) Theo giả thiết f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên tồn tại h(x) sao cho

f (x) = g(x) + h(x)p(x) (2.1)

Vì t(x) là ước của p(x) nên tồn tại `(x) sao cho

p(x) = t(x)`(x) (2.2)Thay (2.2) vào (2.1) ta có f (x) = g(x) + h(x)p(x) = g(x) + [h(x)`(x)]t(x)

Vậy f (x) ≡ g(x) (mod t(x))

p) Giả sử d(x) = f (x), p(x)
, suy ra d(x)|f (x), d(x)|p(x)

Vì f (x) ≡ g(x) mod p(x)
nên

f (x) = g(x) + p(x)h(x) (2.3)

Suy ra g(x) = f (x) − p(x)h(x).

Do đó d(x)|g(x) Từ đó ta thấy d(x) là ước chung của g(x), p(x)
.Giả sử m(x) là ước chung của g(x), p(x) Từ (2.3) ta có m(x) là ướccủa f (x) nên m(x) là ước chung của f (x), p(x)

Mệnh đề 2.1.4 Giả sử m(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1

và f (x) là đa thức bất kỳ, f (x) ∈ A[x] Khi đó f (x) đồng dư theo môđun

m(x) với đa thức duy nhất r(x) mà deg r(x) < deg m(x) và r(x) gọi làphần dư có bậc nhỏ nhất theo môđun m(x)

Chứng minh Theo Định lý phép chia với dư, ta có

f (x) = m(x)q(x) + r(x) với deg r(x) <deg m(x)

Do đó f (x) ≡ r(x) mod m(x)

Hiển nhiên ta có mệnh đề sau đây

Mệnh đề 2.1.5 Giả sử r ∈ A và f (x) ∈ A[x] Khi đó

Vậy x + 1 chính là phần dư có bậc nhỏ nhất của f (x) theo môđun m(x)

2.2 Tập hợp gồm các lớp tương đương theo quan hệ

đồng dư môđun một đa thức

Cho p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0 Khi đó quan hệ đồng dư theo môđun p(x)

là một quan hệ tương đương trên A[x] Với mọi f (x) ∈ A[x], lớp tươngđương của f (x) theo quan hệ đồng dư môđun p(x), hay gọi là lớp đồng

dư của f (x) môđun p(x), viết [f (x)]p(x) hoặc [f (x)] nếu p(x) đã rõ

[f (x)]p(x) = ng(x) ∈ A[x] g(x) ≡ f (x) mod p(x)
o

Chú ý rằng [f (x)]p(x) = [g(x)]p(x) khi và chỉ khi f (x) ≡ g(x) mod p(x)

Định nghĩa 2.2.1 Tập hợp gồm các lớp đồng dư của các đa thức thuộc

A[x] theo môđun p(x) được ký hiệu là A[x]. p(x)

Với mọi b(x) ∈ [g(x)]p(x) thì b(x) gọi là đại diện của lớp đồng dư

[g(x)]p(x) Do đóg(x) là đại diện của[g(x)]p(x) Theo Định lý phép chia với

dư, với mọif (x) ∈ A[x], ta cóf (x) = p(x)q(x)+r(x) Giả sử deg p(x) = d

thì deg r(x) < d Suy ra f (x) ≡ r(x) mod p(x)
và do đó [f (x)]p(x) =[r(x)]p(x) Do r(x) là duy nhất nên mỗi lớp đồng dư môđun p(x) là đượcđại diện bởi duy nhất đa thức r(x) ∈ A[x] mà deg r(x) < deg p(x)

Do đó

A[x].(p(x)) = n[r(x)]p(x) r(x) ∈ A[x],deg r(x) <deg p(x)o

Mệnh đề sau đây cho ta biết được

A[x]

(p(x))

... ptrong đồng dư đa thức f (x) số hạng tương đương

có bậc nhỏ p cho ta đa thức nguyên r(x) có bậc nhỏ p cónghiệm tương tự đồng dư đa thức môđun p đa thức f (x)

Ví dụ 2.4.4 Xét đồng dư. ..

2.5 Đồng dư đa thức với môđun lũy thừa nguyên tố

Phương pháp chung để giải đồng dư đa thức f (x) ≡ (mod m),

m lũy thừa nguyên tố pk bắt đầu với nghiệm đồng dư đathức... xét trường hợpđặc biệt đồng dư đa thức theo mơđun đa thức Các kết chínhtrong mục tham khảo [2], [6], [7] Trước hết ta xét đồng dư tuyếntính

2.4 Đồng dư đa thức với môđun nguyên tố