Nội suy đa thức định lý và áp dụng

cận của phư ơng pháp nhằm giú p độc giả hiểu sâu hơn cơ sở và cấu trúc của lý thuyết các bài toán nội suy.Một số dạng ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kỳ thi học sinh

NGUYỄN VĂN MẬU■

NỘI SUY DA THỨD

NHÀ XUÁT BẢN ĐẠI HỌC QUỔC GIA HÀ NỘI

Mục lục

M ờ đ ầ u 7

C h ư ơ n g 1 K iên thức chuân b ị 11 1.1 K hông gian tuyến tính Toán tử tuyến t í n h 11

1.1.1 K hông gian tuyến t ừ ủ ì 15

1.1.2 Toán tử tuyến t ứ ì h 18

1.1.3 K hông gian riêng Toán tử V o lterra 24

1.2 Toán tử khả nghịch p h ả i 26

1.2.1 Toán tử ban đ ầ u 35

1.2.2 C ông thức Taylor, Taylor-Gontcharov 48

1.2.3 Các v í d ụ 52

1.3 Một số tính chất của toán tử khả nghịch trái 62

C h ư ơ n g 2 M ột số d ạng khai triển và đ ồ n g nhất thức 69 2.1 M ột số tính chất cơ bản của hàm s ố 69

2.2 M ột số đ ồ n g nhất thức dạng đại số - lượng giác 78

2.3 Tính toán trên tập số n gu yên và đa thức nguyên 99 2.4 Biểu diễn m ột số lớp hàm s ố 120

C h ư ơ n g 3 Các bài toán n ộ i su y cổ đ iể n 137 3.1 Khai triển và nội su y T a y l o r 139

3.2 Bài toán nội su y L a g r a n g e 161 3.3 N ội su y Nevvton và khai triển Taylor - Gontcharov 172

3.4 Bài toán nội su y H e r m it e 175

3.5 Bài toán nội su y Lagrange - N e w t o n 186

3.6 Bài toán nội su y N ew ton - H e r m it e 188

C hư ơ ng 4 N ộ i su y th eo yếu tố h ìn h học và n g u y ên hàm 193 4.1 N ội su y theo các nút là điểm d ừ n g của đ ồ thị 193

4.2 H àm số chuyển đổi các tam giác 198

4.3 Biểu diễn đa thức và ngu yên hàm của nó 212

4.4 D ạng nội su y và tính chất hàm lồi, lõm bậc cao 221

C hư ơ ng 5 N ộ i su y bất đ ẳng thức 243 5.1 N ội su y bất đẳng thức bậc hai trên m ột đoạn 243

5.2 Tam thức bậc tuỳ ý và hàm phân thức chính quy 255 5.3 C huyển đổi và đ iều chỉnh các bộ số theo thứ tự dần đều 261

5.4 Một số m ở rộng của định lý J e n s e n 272

5.5 N ội su y bất đẳng thức trong lớp hàm đơn điệu 284

C hư ơ ng 6 ứ n g d ụ n g n ội su y trong xấp xỉ hàm số 311 6.1 Tính chất cơ bản của đa thức lượng g i á c 311

6.2 Đa thức C h e b y s h e v 317

6.3 ư ớ c lượng đa thức 321

6.4 Xấp xỉ hàm số theo đa thức nội s u y 333

6.5 Một số bài toán về đa thức nhận giá trị ngu yên 338

4 Nội su y đa thức .

C hư ơ ng 7 Bài toán n ội su y cô đ iển tổ n g quát 355 7.1 Bài toán nội suy cổ điển tổng quát 355

7.2 Bài toán nội su y Taylor m ở r ộ n g 365

7.3 Bài toán nội su y Lagrange m ở r ộ n g 367

7.4 Bài toán nội su y Nevvton m ở r ộ n g 370

7.5 Bài toán nội su y H erm ite m ở rộng 373

Mục lục 5

C h ư ơ n g 8 N g u y ê n hàm sơ cấp của hàm hữ u tỷ 377

8.1 Định nghĩa và các tính chất của hàm sơ cấp 377

8.1.1 N g u y ên hàm của các hàm số hữu tỉ 382

8.1.2 N g u y ên hàm của hàm số đại s ố 383

8.1.3 Tích phân e l l i p t i c 384

8.1.4 Đ ịnh lý L iouville về sự tồn tại nguyên hàm sơ cấp 387

8.2 Một số thuật toán tìm nguyên hàm của hàm hữu tỉ 397 8.2.1 Thuật toán L a g r a n g e 397

8.2.2 Thuật toán H erm ite 401

8.2.3 Thuật toán H o r o w it z 413

8.3 Một số v í dụ áp d ụ n g 419

8.3.1 N g u y ên hàm của m ột số lớp hàm tổng quát 419 8.3.2 M ột số hàm số không có nguyên hàm sơ cấp 427 8.3.3 Tích phân của các hàm số n g ư ợ c 435

C h ư ơ n g 9 N ội su y trong dãy số 439 9.1 Không gian và đại số các dãy s ố 439

9.2 Đạo hàm và nguyên hàm của dãy s ố 443

9.3 Phép tính sai phân và các tính chất cơ b ả n 445

9.4 Một số đ ẳn g thức trong biến đổi dãy s ố 449

9.5 Một số bài toán liên quan đến nội suy trong dãy số 470 C h ư ơ n g 10 Các bài toán n ội su y trừu tư ợ n g 487 10.1 Tính chất của toán tử khả nghịch p h ả i 487

10.1.1 Toán tử ban đ ầ u 492

10.1.2 Các toán tử m ủ, sin, cosin và nghịch đảo phải V o lt e r a 499

10.1.3 N h ận xét về toán tử khả nghịch trái 503

10.2 C ông thức Taylor và T a y lo r-G o n tch a ro v 504

10.3 Các p h ép toán trên nghịch đảo phải Volterra 511

10.4 Đa thức sin h bởi toán tử khả nghịch p h ả i 515

10.5 Các bài toán nội su y trừu t ư ợ n g 524

10.6 Các bài toán biên trừu tượng 525

10.6.1 Bài toán giá trị ban đâu 525

10.6.2 Bài toán biên hỗn hợp thứ n h ấ t 535

Tài liê u th am k h ả o 549 6 Nội su ỵ đa thức .

Mở đầu

C huyên đề về các bài toán n ội su y đa thức và n h ữ n g vấn đề liên quan đến nó là m ột phần quan trọng của đ ại số và giải tích toán học Các sinh viên và học viên cao học th ư ờ n g phải đ ố i m ặt với n h iều dạng toán loại khó liên quan đ ến ch u yên đ ề này Các bài toán nội su y có vị trí đặc biệt trong toán h ọc k h ôn g chỉ n h ư là

n h ữ n g đối tượng đ ể ngh iên cứu mà còn đ ó n g vai trò n h ư là m ột công cụ đắc lực của các m ô hm h liên tục củ n g n h ư các m ô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết p h ư ơ n g trình, lý thuyết xấp

xỉ, lý thuyết biểu d iễ n ,

Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi q u ốc gia, O lym pic Toán

p h ổ thông, O lym pic sinh viên quốc tế và O lym p ic sin h v iên quốc gia giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến nội su y (thường mới chỉ d ừ n g lại ở n ội su y Lagrange và khai triển Taylor) rất hay được đề cập và thuộc loại khó và rất khó Các bài toán về khai triển, đ ồn g nhất thức, ước lư ợ n g và túứì giá trị cực trị của các tổng, tích củng như các bài toán xác đ ịn h giới hạn của m ột biểu thức cho trước thường có m ối quan h ệ ít n h iều đến các bài toán nội su y tương ứng.

Các bài toán nội su y và đặc biệt các bài tập về ứ n g d ụ n g cô n g thức nội su y thường ít được đề cập ở các giáo trình cơ bản và sách tham khảo về đại số và giải tích toán học Đ ây là m ột ch u yên đ ề rất cần cho giáo viên hệ C huyên Toán và củ n g là ch u y ên đ ề cần nâng cao bậc sau đại học cho các học viên cao h ọc và n g h iên cứ u sinh.

Đ ể đáp ứ n g nhu cầu hoàn chỉnh hệ th ố n g các ch u y ên đ ề bậc

sau đại học, ch ú n g tôi viết cuốn sách này nhằm cu n g cấp m ột tài liệu cơ bản về các vấn đề liên quan đ ến nội su y (trừu tư ợng và

cổ điển) và m ột số vấn đề ứ ng d ụ n g liên quan Đ ồn g thời^ củ n g cho phân loại m ột số dạng toán về nội suy bất đẳng thức và thuật toán giải chúng.

C uốn sách chuyên đề này là giáo trình d ù n g cho sin h viên đại học, sau đại học và các giáo viên bậc trung học p hổ thông thuộc chuyên ngành Toán học và ứ ng d ụ n g Toán học mà tác giả

đã giảng dạy cho các học viên cao học chuyên ngành G iải tích, Phương pháp toán sơ cấp, Toán học tính toán của Đại học Q uốc gia Hà N ội, Đại học Đà N an g, Đại học Q uy N hơn, Đại học Thái

N gu yên , Đại học H ồng Đ ứ c ,

Các chuyên đ ề được trmh bày m ột cách hệ thống dưới dạng đơn giản, chủ yếu dựa vào các phư ơ ng pháp sơ cấp (trừ ra các chương về nội su y trừu tượng) đ ể d ễ tiếp cận các dạng toán mới.

C uốn sách gồm phần m ở đầu và 10 chương.

Chươn<^ 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 2. Một số dạng khai triển và đ ồn g nhất thức đa thức

Chương 3 Các bài toán nội su y cổ điển

Chương 4. N ội su y theo yếu tố hình học và nguyên hàm

Chương 5. N ội su y bất đẳng thức

Chương 6 ú n g d ụ n g nội su y trong xấp xỉ hàm số

Chương 7. Bài toán nội su y cổ điển tổng quát

Chương 8. N g u y ên hàm sơ cấp của hàm hữu tỷ

Chương 9. N ội su y trong dãy số

Chương 10. Các bài toán nội su y trừu tượng

N goài ra, ch ú n g tôi củng đưa vào xét m ột số vấn đ ề liên quan đến hệ thống ứ ng d ụ n g các bài toán nội su y như là m ột cách tiếp

cận của phư ơng pháp nhằm giú p độc giả hiểu sâu hơn cơ sở và cấu trúc của lý thuyết các bài toán nội suy.

Một số dạng ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề ra của các

kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và O lym pic quốc tế M ột số các bài toán m inh họa khác được trích từ các tạp chí Kvant, M athematica, Crux, các sách giáo khoa và sách giáo trình cơ bản về giải tích, các

đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế cũng như m ột số đề thi

O lym pic sinh viên trong nhữ n g năm gần đây.

Trong cuốn sách này, có trình bày m ột số kết quả mới chưa

có trong các sách hiện hành, chủ yếu trích từ kết quả của tác giả

và đ ồn g ngh iệp tại các sem inar khoa học liên trường tại Đại học Khoa học Tự nhiên Hà N ội và m ột số báo cáo khoa học đăng trong Kỷ yếu H ội nghị khoa học "Các chuyên đề Toán chọn lọc của H ệ trung học phổ thông Chuyên" (xem [1]-[16]), nên đòi hỏi độc giả cũng phải tốn khá nhiều thời gian tìm hiểu thì mới lĩnh hội được đầy đủ ý tứ và cách thức tiếp cận của phư ơng pháp Tuy nhiên, bạn đọc củng có thể bỏ qua các đề m ục mới đ ể tập trung đọc các phần có nội du n g quen thuộc trước rồi sau đó hãy quay lại phần kiến thức nâng cao.

N h ân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS N gu yễn Văn N ội, H iệu trưởng trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học

Q uốc gia Hà N ội, PGS.TSKH Vũ H oàng Linh, Phó hiệu trvrởng trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Q uốc gia Hà N ội và PGS.TS N g u y ễn H ữu Nhân, Trưởng p h òn g Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã hết sức ủng hộ trong suốt hai năm qua đ ể cuốn giáo trình này được hoàn thành trong năm 2016 này.

Hà N ội, 10 tháng 04 năm 2016

N g u y ễn Văn M ậu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

C hương này trình bày ngắn gọn các kiến thức sơ đẳng cần sử

d ụ n g cho các bài toán nội su y ở các chương sau.

1.1 Không gian tuyến tính Toán tử tuyến

là X o y và được gọi là tích hay hợp thành của X và y.

Đ ịn h n gh ĩa 1,1 (N hóm ) M ột nhóm là m ột cặp (G, o), trong đó

G là m ột tập hợp không rỗng và o là m ột luật hợp thành trên G, thỏa m ãn các điều kiện sau đây:

đ ả o c ủ a X, s a o c h o X o x ' — x ' o X — e.

M ệnh đề 1.1 Giả sử (G, o) là m ột nhóm Khi đó:

(i) Phần tử trung lập của G là d uy nhất.

(ii) Với m ọi X G G, phần tử nghịch đảo của X là d u y nhất.

N hận xét 1.1 Luật hợp thành của một nhóm củng thường được

kí hiệu bởi các dấu Khi luật hợp thành được kí hiệu bởi hợp thành của cặp phần tử (x ,y ) e G X G được ký hiệu là x ỵ

hay đơn giản x ỵ và được gọi là tích của X và y. Phần tử trung lập của nhóm được gọi là phần tử đơn vị, kí hiệu e. Phần tử nghịch đảo của X được kí hiệu là

Khi luật hợp thành được kí hiệu bởi + , hợp thành của cặp phần tử (x ,y ) e G X G được ký hiệu là X + 1/ và được g ọ i là tổng của X và I/ Phần tử trung lập của nhóm được gọi là phần tử không, kí hiệu 0 Phần tử nghịch đảo của X được gọi là phần tử đối, kí hiệu là (^ x ).

M ệnh đề 1.2 (Luật giản ước) Giả sử G là m ột nh óm (với phép hợp thành tlieo lối nhân) Khi đó, với m ọi a, b, c G G , a c = bc kéo theo a - b, v à ca = cb kéo theo a = b.

M ệnh đề 1.3 Giả sử tập G không rỗng được trang bị m ột phép nhân kết hợp, sao cho với m ọi a , b ^ G các phư ơng trình ax — b

và I/ÍỈ = b đều có nghiệm X, I/ trong G Khi đ ó G là m ột nhóm

Đ ịn h n gh ĩa 1.2 (N h óm giao hoán) N h óm (G, o) được gọi là ^iao hoán (hay Abeỉ) nếu

X o I/ = I/ o X, với mọi X, I/ G G.

Từ đây về sau, nếu không nói gì, luật hợp thành trong một nhóm tùy ý thường được kí hiệu theo lối nhân C òn luật hợp thành trong m ột nhóm A bel thường được kí hiệu theo lối cộng

Đ ịn h n gh ĩa 1.3 Giả sử G là m ột nhóm Một tập con không rỗng

s c G được gọi là m ột nhóm con của G n ếu s khép kín đối với

luật hợp thành trong G (tức là X o 1/ G s với m ọi x , ỵ e S) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G (tức là G s với m ọi T e S).

Khi đó, s được trang bị luật hợp thành, là thu hẹp của luật hợp thành trong G Với phép toán này s lập thành m ột nhóm

N ếu M , N là các tập của nhóm G, ta đặt M o N = { x o y : x e

M , ỵ G N } N ếu G là m ột nhóm Abel thì tập M + N được gọi

là tổng đại số của các tập M và N Tổng {x } + M được viết tắt là T + M.

Đ ịn h n gh ĩa 1.4 (Vành) Ta gọi m ột vành là m ỗi tập hợp V (ữ

cùng với hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng + : V X V ^ V

xác định bởi ( x , y ) I—> X + y, và phép nhân ■: V X V V xác định bởi {x, y) X ■ y, thỏa m ãn ba điều kiện sau đây:

(VI) V Va m ột nhóm A bel đối với phép cộng;

(V2) Phép nhân có tính kết hợp;

(V3) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng

{x + ỵ ) ■ z = X ■ z + y ■ z, z ■ { x + y) = z ■ X + z ■ y, y x , ỵ , z e y

Đ ịn h n gh ĩa 1.5 Giả sử V là m ột vành M ột tập con không rỗng

s c V được gọi là m ột vành con của V nếu s là m ột nhóm con của nhóm cộng V và khép kín đối với phép nhân, tức là với m ọi

,v, y e s kéo theo X • y e s.

Khi đó, s củng là m ột vành với hai phép toán là hạn chế của các phép toán tương ứng của V lên s

N ếu M, N là các tập của vành V, ta đặt M - N = { x - i / : x e

M , y e N } Tập M ■ N được gọi là tích đại số của các tập M và N

Đ ể cho gọn, ta viết x M = { x } ■ M, M x = M { x ) , trong đó M c V

và ,t e V.

Đ ịn h n gh ĩa 1.6 Vành V được gọi là giao hoán nếu phép nhân của

nó giao hoán Vành V được gọi là có đơn vị n ếu ph ép nhân của nó

có đơn vị, tức là có phần tử 1 e V sao cho ĩ x — x ĩ = X, Vx e V Phần tử đơn vị của vành nếu tồn tại là d u y nhất vì nếu 1 và r đều là đơn v ị của V thì 1 = 1.1' = 1'.

Ta nhắc lại m ột số tính chất sơ đ ẳng của vành.

6 N ếu V là m ột vành giao hoán thì

(x + y ) ” = f ; c ' x y - ' , v x , y e V , n e n

(= 0

Cho X là m ột phần tử của vành V có đơn vị 1 N ếu tồn tại phần tử Xr e V (tương ứ ng X/ Ễ V) thỏa m ãn điều kiện X ■ Xr = \

(tương ứ ng Xị ■ X = \ ) thì phần tử X được gọi là khả nghịch phải

(tương ứ ng khả nghịch trái). N ếu phần tử X khả nghịch phải và khả ngh ịch trái thì nó được gọi là khả nghịch. Trong trường hợp này ta có Xi — xị ■ Xr = Xỵ Phần tử Xr được gọi là nghịch đảo của X

và được ký hiệu là

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Vành giao hoán V ^ {0} được gọi là không có ước của không nếu với x , ỵ e \/ mà ATI/ = 0 thì ta suy ra hoặc X = 0 hoặc y = 0.

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Vành giao hoán V c ó đơn vị 1 7^ 0 được gọi là trường, n ếu m ỗi phần tử khác không của R đều khả nghịch.

V í dụ. Tập V các số thực và tập c các số phức cù n g với p hép cộng và phép nhân thông thường là các trường.

Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Trường X được gọi là đóng đại số nếu mỗi đa thức bậc n với các hệ số trong X có đ ú n g n nghiệm.

V í dụ. Trường R các số thực không đ ón g đại số, còn trường c các số phức đ ó n g đại số.

1.1 Không gian tuyến tính Toán tử tuyến tính 15

1.1.1 K h ô n g g ian tu y ến tín h

Đ ịn h n g h ĩa 1.10 ([21]) Không gian tuyến tính trên trường T các

vô hướng là m ột n h óm cộng giao hoán X sao cho phép nhân các

p h ầ n tử của X bởi các vô hư ớng của T được xác định và thỏa

m ãn các đ iều kiện sau:

Đ ịn h n g h ĩa 1.11 ([21]) C ho X là m ột k hông gian tuyến tính và

0 y c X Giả sử tổng hai phần tử của y và tích m ột phần tử của y vói m ột vô hư ớng đ ều thuộc y Tập con y c X như vậy

đư ợ c gọi là tập tuyến tính, đa tạp tuyến tính hay không gian con của X.

C ho £ là tập con tùy ý của không gian tuyến tính X Tập tuyến tính nhỏ nhất của X chứa E được gọi là bao tuyến tính của £ và ký

n

h iệu bởi linE Ta có linE = { x e X : x = tịXị, } , trong đ ó tj là

;=1 các vô hư ớ ng và Xj G E.

Đ ịn h n g h ĩa 1.12 ([21]) Ta nói phần tử X G X phụ thuộc tuyến tính trên tập E hoặc trên các phần t ử của E n ếu X G ImE N ếu X không

p h ụ thuộc tuyến từứì vào tập E thì ta n ói X độc lập tuyến tính trên tập E. Tập E được gọi là độc lập tuyến tứìh nếu không tồn tại phần

tử X G E p h ụ thuộc tuyến tữửi vào tập chứa các phần tử còn lại của E, tức là vói m ọi X e E, X ^ lin E \{ x }

Từ d ạn g của tập lin £ ta su y ra các phần t ử X\ , X 2, ,Xn G E

độc lập tuyến tứứì, n ếu từ đ ẳng thức t ị Xi + + t„Xn = 0 ta có

fi = Í2 = • ■ ■ = - 0.

Đ ịn h n gh ĩa 1.13 ([21]) N ếu số k các phần tử độc lập tuyến tính cực đại của không gian tuyến tính X là hữ u hạn thì k được gọi là

số chiều của không gian X và ký hiệu bởi dim X, trong trường hợp này m ột tập gồm k phần tử độc lập tuyến tính của X gọi là cơ sở

của nó N gư ợc lại ta nói số chiều của không gian X vô hạn và viết dim X = + 00 N ếu d im X < +CO thì ta gọi X là hữu hạn chiều và nếu dim X = +00 thì X được gọi là vô hạn chiều.

Đ ịn h n gh ĩa 1.14 ([21]) M ột không gian tuyến tính X được gọi là

không gian k chiều (thứ n gu yên k) nếu trong X c ó k phần tử độc lập tuyến tính và không có Ả: + 1 phần tử độc lập tuyến tính Trong trường hợp này m ột tập k phần tử độc lập tuyến tính của X gọi là

cơ sở của nó Các k h ôn g gian k chiều với k ^ Oì a m ột số nguyên gọi là không gian hữu hạn chiều. M ột không gian không hữu hạn chiều, tức là với m ọi k đ ều tìm được k phần tử độc lập tuyến tính của nó, gọi là không gian vô hạn chiều.

Không gian là k chiều với cơ sở là x-[ = ( 1 ,0, , 0 ) , X 2 = { 0 , 1 , , 0 ) , , Xị^ = { 0 , 0 , , k) K hông gian c [ a , b] các hàm số liên tục trên khoảng đ ón g [a, b] là không gian vô hạn chiều vì dù

k lớn bao nhiêu củng có k phần tử của nó độc lập tuyến tính, đ ó

là t , t ^ iK

Đ ịn h n gh ĩa 1.15 N ếu số các phần tử độc lập tuyến tính lớn nhất thuộc không gian tuyến tính X hữu hạn thì ta gọi số này là số chiều của không gian X và ký hiệu bởi dim X N gư ợ c lại ta nói số chiều của không gian X vô hạn và viết dim X = + 00 N ếu dim X < +00

thì X là hữu hạn chiều và nếu dim X = +00 thì X là vô hạn chiều.

Đ ịn h n gh ĩa 1.16 Tập B các phần tử của k h ôn g gian tuyến tính X trên trường vô hướng T được gọi là cơ sở n ếu m ỗi phần tử X G X đều có thể biểu d iễn m ột cách d u y nhất dư ới dạng tổ hợp tuyến tứih của các phần tử của B.

Đ ịn h n gh ĩa 1.17 Tích Đ ề các X X Y của hai không gian tuyến tính

X ró y là không gian tất cả các cặp có thứ tự { x , ỵ ) với phép cộng các phần tử và phép nhân m ột phần tử với vô hư ớng xác định bởi ( x i,y i) + (X2, y2) = (xi + X 2, ỵ ĩ + 1/2); t { x , y ) = { t x , t ỵ )

1.1 Khôiig <^iau tuyến tính Toán tử tuyến tính 17

với mọi x , X ị , X 2 e X; i/, i/i, i/2 e Y ; t e T

Đ ịn h n gh ĩa 1.18 ([21]) N ếu y và z là các không gian con của không gian tuyến tính X và nếu y n z = {0 }, tức là phần giao của y và z chỉ có phần tử 0 thì tập y + z được gọi là tổng trực tiếp

của các không gian y và z và ký hiệu bởi y 0 z

Chú ý rằng từ đ iều kiện y n z = { 0 } t a su y ra m ỗi phần tử -V G y 0 z có thể viết dưới dạng X — y + z, trong đó y G y và

2 G z , m ột cách d u y nhất N ếu X = y 0 z thì ta nói X phân tích thành tổng trực tiếp của y và z.

C ho X là không gian tuyến tứih trên trường các số thực Khi

đó X có thể nhúng được vào không gian tuyến tính trên trường các số phức ([21]).

Thật vậy, xét không gian tất cả các cặp có thứ tự (x ,y ) với các phép toán được định nghĩa như sau

18 Cìiươn<ị ĩ Kiếti tỉiức chuẩn hị

cùng phép cộng và nhân vô hướng

+ [y] = [x + y X t x], với x , ỵ e x,t e I '

là m ột không gian tuyến tính trên trường vô hư ớng T

Đ ịn h n gh ĩa 1.19 ([21]) Không gian X / X q được gọi là không gian thương Số khuỵết (hay đối chiều) của k h ôn g gian con Xq là số chiều của không gian thương X /X q

Đ ịn h n gh ĩa 1.20 ([21]), N ếu không gian tuyến tính X là m ột vành (với cùng cách định nghĩa phép cộng) thì X được gọi là vành tuỵến tính hay đại số.

V í dụ 1.1 Không gian C"[0,1] các hàm số xác định trên khoảng

đ óng [0,1] và có đạo hàm liên tục cấp n là k h ôn g gian tuyến tính

vì đạo hàm của tổ hợp tuyến tính hai hàm số nh ư thế là tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm đó.

V í dụ 1.2 Không gian C“ [0,1] các hàm số khả vi vô hạn lần trên khoảng đóng [0,1] là không gian tuyến tính.

1.1.2 Toán tử tu y ến tín h

Đ ịn h n gh ĩa 1.21 ([20], ) Giả sử X và Y là hai k hông gian tuyến tính trên cùng m ột trường vô hướng T M ột ánh xạ A từ tập tuyến tính dom A của X vào y được gọi là toán tử tuyến tính nếu

y4(x + y) = A x + A y với m ọi x , y ^ dom A ,

A ( t x ) = t A x với m ọi X e d o m A , t ^ T

Tập dom A được gọi là miền xác định của toán t ử A

Giả sử G c d o m A Đặt A G = {A x : X e G } Theo định nghĩa, A G c y Tập A G được gọi là ảnh của tập G. Tập A dom A

được gọi là miền giá trị của toán t ử A (tập các giá trị của A ),

ký hiệu là Im /l và là không gian con của y

V í dụ. Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng

T Toán t ử Ịỵ : X ^ X xác định bởi Ị ỵ x — -V với m ọi X G X là

m ột ánh xạ tuyến tính N ó được gọi là toán t ử đồng nhất trên X.

Đ ịn h n g h ĩa 1.22 Đ ồ thị của toán tử tuyến tính A là tập tích Đề các X X y xác định bởi

với m ọi X], ^2 G X và m ọi ŨC,Ẹ> G T )

2) N ếu A e L { X Y ) thì A(Ox) = Oy, ở đây Ox và Oy lần lượt là phần tử k h ôn g trong X và y.

Đ ịn h lý 1.1 Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính trên cùng

m ột trường vô h ư ớ n g T , { x i, , x „ } là m ột cơ sở của X và 1/1, ,

y,i là n phần tử (vectơ) của y Khi đ ó tồn tại d u y nhất A e L { X

Y ) sao c h o A x ị — y,', với m ọi i e { 1 , 2 , , n}.

N h ận xét 1.2 M uốn xác đ ịnh m ột ánh xạ tuyến tính chỉ cần xác định ảnh của các vectơ cơ sở M ỗi hệ n vectơ của Y xác định một ánh xạ tuyến tính từ X đ ến y N h ư vậy, có thể có vô số ánh xạ tuyến tính từ X đ ến Y n ếu y 7^ {0

Đ ịn h n g h ĩa 1.23 Toán tử đồn^ nhất trong không gian X là toán tử /x xác đ ịnh bởi l ỵ X = X với m ọi X e X.

Sau này n ếu k h ôn g gây nhầm lẫn, ta sẽ ký hiệu / thay cho

lỵ-Đ ịn h n g h ĩa 1.24 ([20]) N ế u toán tử /4 G L(X ^ Y) là tương ứng 1-1 thì toán t ử nghịch đảo được định nghĩa theo cách: Với m ỗi

y e /4domy4

— X, trong đ ó X e dom A và y = A x

Đ ể ý rằng, theo giả thiết, m ỗi I/ ứng với m ột A' G d om A duy nhất và dom = A dom A c Y, d om / 4^ = dom A c X

Với m ỗi X G d o m A , nếu I/ = A x thì { A ~ ^ A ) x = A ~ ^ { A x ) =

Theo định nghĩa, nếu A đẳng cấu thì nó khả nghịch, toán tử nghịch đảo A~^ củng là tương ứ ng 1-1 và d o m A ” ^ = Y,

dom = X Do đó củng đẳng cấu.

Đ ịn h ngh ĩa 1.26 (, [20]) Tổng của hai toán t ử A , B e L { X -> y ) và

tích của toán tử A G L(X ^ Y ) với vô hướn<Ị của T được xác định như sau: d om í/4 + B) = dom A n dom B và

B — A v a c được gọi là hiệu của các toán t ử B v a A; p hép toán " —

" được gọi là phép trừ Theo định nghĩa, nếu B - A xác đ ịnh tốt thì B - y4 = B + { — A ) trên dom A n d om B.

Đặt L q { X ^ Y) = { A e L { X ^ Y) : dom A = X } D o tổng của hai toán tử tùy ý thuộc Lo(X -> Y') xác định tốt, kết hợp và giao hoán và ứng với m ỗi cặp toán t ử A , B G L o ( X -> y ) tồn tại toán t ử c = B — A nên Lo(X Y) là m ột nhóm Abel Phần tử trung hòa của nhóm này là toán tử không 0 sao cho 0 X = 0 với

7.í Kliôn‘ị gian tuụến tinh Toán từ tuyến tính 21

m ọi X G X Sau này ta ký hiệu toán tử không 0 bởi 0 Từ công thức (1.1) ta su y ra nhóm Abel Lo(X ^ y ) là không gian tuyến tính trên trường

Giả sử X là không gian tuyến tính n chiều với cơ sở { x i , , ,v„} và Y là không gian tuyến tính m chiều với cơ sở {1/1, , y m)

trên cùng m ột trường vô hướng F Khi đó tồn tại sự tương ứng 1-1 giữa các toán tử /4 G Lo(X Y) và các ma trận

trong đó AXị = £ với aịk e {) = 1 , 2 , , n ; k = 1 , 2 , ,

Ta sẽ ký hiệu toán tử A và ma trận của nó cùng m ột ký tự /4.

Đ ịn h lý 1.2 ([20]) Giả sử X, y , z là các không gian tuyến tính trên cùng một trường vô hướng dim X = n ,d i m y = p, dim Z = m

22 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

n

Vậy ta có Q = ^ tịaịi^ {k = 1 ,2, , rn). Các hệ số aịi^ xác

/=1 định phép biến đổi cơ sở , x „ } thành cơ sở { y \ , , y „i} bởi toán tử y4 D o đó, tồn tại sự tương ứng 1-1 giữa các toán tử

Ta sẽ ký hiệu toán tử A và ma trận của nó cùng m ột ký tự A.

Đ ịn h nghĩa 1.27 ([20]) Giả sử X, y , z là các không gian tuyến tính trên trường vô hướng, A G L(X —)• Y ) , B e L ( Y —>■ Z ) v à

B dom B c dom A c Y Tích A B của hai toán tử A và B xác định bởi

{ A B ) x = A { B x ) với m ọi X G dom B. (1.2)

Theo định nghĩa, A B G L { X Z) Tích (nếu nó xác định tốt)

có tính phân phối đối với phép cộng các toán tử và tính kết hợp.

Đ ịn h nghĩa 1.28 ([20]) Hai toán tử A và 6 được gọi là ^iao hoán

nếu cả hai sự chồng chất A B , B A đều tồn tại v ằ A B — B A trên dom A n dom B.

Dặt L(X) = L(X X) và Lo(X) = Lo(X ^ X) = {A e L(X) : d o m A = X } C ông thức (1.2) chỉ ra rằng Lo(X) không những là không gian tuyến tính mà còn là vành tuyến tính theo phép nhân các toán ứ A , B G Lq { X) xác định bởi tích A B của chúng Thật vậy, nếu A , B e L q { X ) thì B d o m B c d o m /4 = X

Do đó, A B xác định tốt với m ọi A , B G Lq{ X) Vành tuyến tính Lq(X) có đơn vị là toán tử đ ồn g nhất l ỵ = ỉ. Tuy nhiên L q ( X ) là vành không giao hoán.

Đ ịn h ngh ĩa 1.29 ([21]) Toán tử p G L o ( X) được gọi là toán tử chiếu nếu — p , trong đ ó = p ■ p.

N ếu p G Lo(X) là toán tử chiếu thì ỉ — p củng là toán tử chiếu.

Mỗi toán tử chiếu xác định sự phân chia không gian X thành tổng trực tiếp X = y © z , trong đ ó Y = { x e X : P x = x } , z = { x e

được gọi là hạt nhãn của toán tử A.

Tập hợp ker/1 là không gian con tuyến tính của A. s ố chiều của nhân của toán ứ A G L(X —)• y ) được gọi là số khuỵết

(nullity) của A và ký hiệu bởi (X/{, tức là í X a — d im k e r /l Ta có dim X = dim A dom /1 + dim kerA nếu A e L { X ^ Y)

Đ ịn h n gh ĩa 1.31 ([20]) Không gian khuyết của toán tử /4 e L(X Y) là không gian thương Y /y 4 d o m A số khuyết (deíiciency) ịỈA

của toán tử e L(X —> y ) xác định bởi đẳng thức

ịỈẠ = d i m Ỵ / / l d o m i 4 Theo định nghĩa 1.19, Ẹ>A chính là đối chiều của m iền giá trị của A.

Đ ịn h ngh ĩa 1.32 ([22]) Toán tử A G L o ( X —>■ Y) được gọi là

kỉiả ì^hịch phải (trái) nếu tồn tại toán tử B G L q { Y -> X) sao cho

AB = ỈỴ (tương ứng B A = /x).

Đ ịn h lý 1.3 ([22]) Cho G Lo(X ^ Y) Khi đó

1 A khả nghịch phải khi và chỉ khi nó là toàn ánh, tức là = 0,

2 A khả nghịch trái nếu và chỉ nếu ker A — {0 } , tức là ữCyị = 0,

3. N ếu A vừa khả nghịch trái vừa khả nghịch phải thì A khả nghịch.

Đ ịn h n g h ĩa 1.33 ([20]) Cho X là không gian tuyến tính Toán tử tuyến tính A với dom A = X v ằ lấy giá trị trên trường vô hướng

T (R hay C) được gọi là \)]úếm hàrii tuyến tính xác đ ịnh trong X Ta

ký hiệu X ' là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác đ ịnh trong không gian tuyến tính X.

N ếu X là không gian n chiều sinh bởi các phần tử (.ti, , )

/ xác định một cách duy nhất bởi các giá trị của nó trên các phần

tử của cơ sở của X.

Đ ịn h n gh ĩa 1.34, Toán tử A G í>o(X —> Y) được gọi là hữu hạn

n thì ta nói A là toán tử n chiều.

1.1.3 K hông gian riêng Toán tử V olterra

Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường đ ó n g đại số T

và /4 c L q { X) ' V ô hướng Ả e được gọi là ẹ/á trị chính q u y của

A nếu toán tử y4 - A/ khả nghịch Tập tất cả các vô hư ớng A mà không phải là giá trị chính quy của A được gọi là p h ổ c ủ a A và ký hiệu là spectry4 Hiển nhiên spectr/4 c J-~.

Đ ịn h nghĩa 1.35 ([22]) N ếu A G sp ectr/l và tồn tại X e X sao cho

X ^ 0 v à ( A — À l ) x = 0, tức là tồn tại nghiệm không tầm thường của phương trình A x = Ax thì A được gọi là trị riên<^ của A và V được gọi là vectơ riêng ứng với trị riêfi<Ị A. Bao tuyến tính của tất

cả các vectơ riêng ứng với trị riêng A được gọi là khôn<^ gian riên<ị

của toán tử A ứng với trị riêng A.

Theo định nghĩa, m ỗi không gian riêng có dạng {.Y G X :

A x = Ax} = ker(/4 - ẢI ) , vì thế nó là không gian con của X Tất cả các trị riêng của ma trận v u ô n g cấp A = {(ỉịk)ịi^^YJj

nghiệm của phương trình det(y4 - ẦI) = 0

Đ ịn h ngh ĩa 1.36 ([22]) Giả sử ^ = c Ta nói toán tử /l G Lo(X)

là toán tử đại số nếu tồn tại đa thức P (í) = Po + P \ t + +

với ịiQ, ,pfsj e c sao cho P { A ) = 0 trên X.

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử P (í) định chuẩn, tức

là P!^] = 1 Toán tử đại số A G Lo(X) là toán tử bậc N nếu không tồn tại đa thức định chuẩn Q { t ) bậc m < N sao cho Q (A ) = 0 trên X Đa thức P (í) như thế được gọi là đa thức đặc trưng của A

và nghiệm của nó được gọi là nghiệm đặc trưng của A.

Ví dụ-. Một toán tử 4 G L q { X ) được gọi là ánh xạ lũy thừa bậc

n nếu A" = I v à ^ 1 với k = 1 , 2 , , n - l N ếu n — 2 thì

ta nói A đối hợp Theo định nghĩa, m ỗi ánh xạ lũy thừa bậc n là

m ột toán tử đại số với đa thức đặc trưng t" - 1 và các nghiệm đặc trưng ỉằ ì , £ , , trong đó f = e "

Đ ịn h lý 1.4 ([21]) N ếu s e Lo(X) thì các điều kiện sau là tương đương:

(a) s là toán tử đại số với đa thức đặc trưng n " í = i

N ếu hàm số thực K { t , s ) thỏa m ãn điều kiện |i< (í,s)| ^ L ự ) ,

với L(f) là hàm số không âm, khả tích trên [0, T] thì phương trình (1.3) có nghiệm d u y nhất.

Đ ịn h n gh ĩa 1.37 ([22]) Toán tử /l G Lo { X) được gọi là toán t ử Volterra nếu toán ị ử I — Ả A khả nghịch với m ọi vô hướng A Tập

tất cả các toán tử Volterra thuộc L o ( X) ký hiệu là V (X ).

N ếu A e V ( X ) thì phư ơng trình thuần nhất ( / — Ả A ) x = 0 chỉ có nghiệm không với m ọi vô hướng A

Đ ịn h lý 1.5 (Bielecki, [22]) Cho X là không gian tuyến tính trên trường đ ón g đại số và y4 e V ( X ) Xét các toán tử = ( ỉ — ẢA) ~^ với m ọi A G C ho A / 0 tùy ý cố định Khi đó

(i) N ếu dim k er/l = 0 thì A \ không có vectơ riêng;

(ii) N ếu dim kerv4 > 0 thì có ít nhất m ột vectơ riêng ụ = l ,

tức là A \ không phải là toán tử Volterra.

C h ứ n g m i n h Giả sử rằng A 7^ 0 là phần tử cố định tùy ý và tồn tại phần t ử u 0 sao cho với m ột ụ ^ 0 ta có A \ U — ụu (Trường hợp Ị.Ỉ = 0 tầm thường) Từ đó, ( / — = A \ U = ụu và

u = Ị-i{I - Ả A ) ư , và ta có đẳng thức

N ếu }1 I thì đẳng thức (1.4) có thể viết như sau:

(í - 1 /

Từ đây và giả thiết A e \/(X ) ta suy ra 1/ = 0 (bởi vì toán tử

ỉ — [ ị ỉ ả / { ịỉ - l)]/4 khả nghịch), trái với giả thiết rằng u 0. D o

đó, s ố ụ ^ \ không thể là trị riêng của m ỗi toán tử A \ (A Ỷ 0) Xét trường hợp ỊI = 1 Từ phư ơng trình (1.4), ta có —Ả A u = 0

Do A 7^ 0 nên A u = Q. N ếu dim kerẤ = 0 thì u = 0, m âu thuẫn

Do đó // = 1 không là vectơ riêng của A \ N ếu dim ker y4 > 0 thì tồn tại w 7^ 0 sao cho A u = 0 Từ đó u là vectơ riêng của ứng

Đ ịn h ngh ĩa 1.38 ([20]) Toán tử D e L(X) được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại m ột toán t ử R e L q { X) sao cho R X c dom D và

D R = ỉ. Toán tử R được gọi là nghịch đảo phải của D.

Tập hợp tất cả các toán tử khả nghịch phải thuộc L(X) được

kí hiệu là R { X ) , còn tập hợp tất cả các nghịch đảo phải của toán

Theo định nghĩa, nếu y là m ột nguyên phân của X thì D y = X

Thật vậy, nếu y là m ột ngu yên phân của X thì tồn tại m ột chỉ số

7 e r sao cho y = RyX. Từ đó ta su y ra Di/ = DR^ X = X do

Đ ịn h ngh ĩa 1.40 ([20]) Giả sử D G R { X ) Khi đó, nhân của toán

tử D được gọi là không gian các hăng số trên D và được kí hiệu là ker D Mỗi phần tử 2 € ker D được gọi là m ột hằng số.

Đ ể ý rằng, theo định nghĩa, m ột phần tử 2 G X là m ột hằng

số của D nếu và chỉ nếu D z 0.

Tính chất 1.2 N ếu D G R { X ) , R G 7^D thì = I v ớ i k =

1 , 2 ,

C h ứ n g m i n h (Bằng phương pháp qui nạp) Với /c = 1 ta có D R —

ỉ theo định nghĩa của D Giả sử rằng = I với k là m ột số nguyên dư ơng tùy ý Khi đ ó = D { D ^ R ^ ) R = D R = ỉ.

trường hợp này ta chỉ cần biết m ột ngu yên phân và tất cả các nguyên phân khác có được bằng cách thêm vào m ột h ằng số Do

Tính chất 5. Giả sử D G R { X ) v a R \ G 1Z d - Khi đó m ỗi nghịch đảo phải của D có dạng

Đ ảo lại, giả sử rằng ta có K] Ễ TZ d v a R G 71D được chọn tùy

ý Đặt A = R — R ị Theo định nghĩa, A G Lo(X) và A X c d om D

7.2 Toán từ kìiả n<ịìiịch phải 29 V'ì DR-[ = ỉ, D R = Ị nên

Ri + ( / - K ] D ) A = Ri + ( / - R i D ) ( R - R i )

= Ri + R - R i ( D K ) ~ R i + Ri(DKi)

= Ri + R - Ri - + Ri = R.

N hận thấy rằng nếu D G R { X ) , R G TZd và X G X thì từ R.v = 0 su y ra X = 0 Thật vậy, X = D R x = 0.

Trước khi chuyển sang xét các ví dụ ta sẽ trình bày phát biểu của một số bổ đề (có thể xem chứ ng m inh chúng ở [20]).

Kí hiệu c [a, b] là không gian tất cả các hàm số liên tục trên

a, /7] N hắc lại rằng với các hàm số thuộc c [a, b] ta có có phát biểu sau (xem Kuratowski, 1969):

1 M ỗi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] là giới hạn của m ột dãy hội tụ đều các hàm số tuyến tính từng đoạn.

2 Giả sử rằng ta có m ột dãy {x,,} các hàm số xác định với

t G [a, b] mà có các đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] và giả sử rằng dãy { x'„} hội tụ đ ều đến m ột hàm số 1/ G C[a, b], trong

đó x '(f) = ^ -^ (0 là m ột hàm khả vi tùy ý khi a < t < b v a x' { a) là đạo hàm bên p h ả i, x' { b) là đạo hàm bên trái Hơn nữa, giả sử rằng, tồn tại m ột điểm c e [a, b] sao cho dãy

x „ (c)} hội tụ Khi đó dãy { x „ (f)} hội tụ với m ỗi t G [a, b

Hơn nửa, nếu x (f) = lim x„ (í) thì x '(f) — ỵ { t ) = lim

Ta nói rằng hàm số ặ xác định trên [a, b] là nguyên hàm của hàm số X G C[a, b] nếu Ị ' { t ) — x { t ) với a ^ t ^ b.

Bổ đề 1.1 ([20]) Cho ÌQ e [a, b] và m ột số thực tùy ý c. N ếu hàm

s ố x { t ) xác đ ịn h trên khoảng [a, b] có n gu yên hàm ặ { t ) thì tồn tại một n gu yên hàm rj{t) của x { t ) sao cho ?;(fo) = c.

Bổ đề 1.2 ([20]) M ỗi hàm số liên tục trên khoảng đ ón g có m ột nguyên hàm trong khoảng này.

30 Chương ỉ Kiến thức chuẩn bị

V í dụ 1.3 ([20]) Cho X = C[ a, b] Đặt D = d / d t Từ bổ đ ề 1.1 và 1.2 ta suy ra rằng với m ỗi hàm s ố X ^ c [a, b] tồn tại d u y nhất m ột nguyên hàm ậ sao cho ặ{ t o) = 0 , trong đó ío cố định tùy ý trong

a, b] Đ ể ý rằng d o Ị là m ột hàm số có đạo hàm liên tục X e c [a, b'

nên ^ e C[a, b]. Ta đặt ngu yên hàm d u y nhất này như sau

í

Ị { t ) = Ị x { s ) d s

to

(đọc: ệ { t ) bằng tích phân từ to đến t của x (s) theo s).

Các số to và t được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân

N hận xét rằng biến s dưới dấu tích phân là m ột biến biểu kiến Thật vậy, nếu ta thay s bởi m ột kí tự tùy ý ta củng thu được m ột kết quả nh ư vậy.

1.2 Toán tủ khả n<ịhịch phải 31

X e dom D (bởi vì x { t ) — x(ío) là nguyên hàm d u y nhất của

x ' ( t ) mà có giá trị bằng 0 tại điểm to). D o đó, nếu x{ t o) 7^ 0 thì

R D x Ỷ Vi vậy, R D Ặ I.

Tích phân bất định của hàm số X G C[ a, b\ được kí hiệu bởi / x { t ) d t (đọc: tích phân của x { t ) theo t). N h ư vậy, theo định nghĩa với to e [a, b] cố định tùy ý

ị x { t ) d t = I Ị x { s ) d s

V í dụ 1.4 ([20]) Cho n ^ { { t , s ) e w : a ^ t , s ^ b} Ký hiệu

C ( f ì) là không gian tất cả các hàm số thực x { t , s ) xác định và liên tục với ( t , s ) e n Đặt D = d / d t , d om D = { x 6 C ( n ) :

x ( t , s o ) e Í7] v ớ i m ỗ i So e [a,í?] c ố đ ị n h } , v à ( R x ) ( f , s ) =

ị' x { u , s ) d u với { t , s ) G n K h iđ ó D e R (X ), trong đ ó X = C ( 0 )

và R là nghịch đảo phải của D Hơn nửa, trong trường hợp này

k erD = {x = x { t , s ) : x { t , s ) = (p{s), (p G c [íỉ,ử ]} Thật vậy,

d q ì ( s ) / d t = 0 với m ọi s G [a,b]. Mặt khác, nếu d x { t , s ) / d t = 0 với -V G C ( 0 ) thì x { t , s ) = (p{s) với m ọi ( t , s ) e n Từ dạng của Iihân của D ta su y ra d im k erD = + 00 Toán tử D = d / d t không khả nghịch trong C ( n ) , bởi vì trong trường hợp tổng quát

32 Chươìi<Ị ĩ Kiến thức chuẩn bị

1, cấp 2 liên tục với (f,s ) G n Toán tử D là toán tử khả n gh ịch phải trong không gian C ( 0 ) Thật vậy, nếu ta đặt (R o x )(f,s) =

V í dụ 1.6 ([20]) Giả sử X là không gian (s) tất cả các dãy {.v„}, Xi, e

]R, n G N với phép cộng và phép nhân với vô hướng được xác định như sau: N ếu X = { x „ ] , y = [ y „ ] e X, A e R thì X + V =

{Xn + 1/ « } / Ax = {A x„} Khi đ ó X là không gian tuyến tính trên

34 Chương 1 Kiếỉì tlìức chuẩn bị

ĩì^\

= >/«+2 + ^ XI (^ + 1 )”’ '•/» +

2-»;-m = l

Do đó X = {x„} = 0 khi và chỉ khi y = {y,,} = 0 và toán tử

Ị - ẢR khả nghịch với m ọi A e R Từ đ ó R là toán tử Volterra Hơn nửa.

( / - ẢR) = li, trong đó y = { \ j n] , u = {h„} e (s), A e c

— V\> — y«+i + E ('^ + 1)^ Vvíỉ+i-yc — 1 /2 , .)•

(1.9) fc=i

V í dụ 1.7 ([20]) Vành tuyến tính giao hoán X được gọi là đại số Leibnitz nếu tồn tại m ột toán tử D G R { X ) thỏa m ãn điều kiện Leibnitz

D { x y ) = x D y + y D x , với x , y e dom D (1.10) Khi đó, tích phân bất định thỏa mãn đ ẳn g thức sau

T Z o [ x Dy ) = xy - K o i ỵ D x ) , với x , y e dom D. (1-11)

C ông thức này được gọi là thức tích phẩn từ n g phần đối với tích phân bất định. Theo (1.5) công thức (1.11) có thể viết lại như sau

X = C[ a, b] là m ột vành tuyến tính giao hoán với phép nhân

th ô n g thường các hàm số Hơn nửa, toán tử D = d / d t thỏa mãn

đ iề u kiện Leibnitz vì

f2 = f , F X ^ ker D,

(ii) FR = 0.

Từ định nghĩa ta su y ra rằng

Fz — z, với m ỗi 2 G ker D (1-13)

H ơn nửa, ta có D F = 0 trên X, ker F = R X và ker D n ker f =

0 } Thật vậy, theo định nghĩa Fx G ker D với m ỗi X G X, do đó

D F x = 0 D o X tùy ý nên DF = 0 Từ tính chất FR - 0 su y ra rằng ker F = R X Giả sử bây giờ 2 G ker D và Fz = 0 Khi đó, theo (1.13), ta có 2 = Fz = 0 Đ iều này chứng tỏ ker D n ker f = {0}.

Đ ịn h lý 1.6 ([20]) Cho D G R { X ) Đ iều kiện cần và đủ đ ể toán

tử F e L(X) là toán tử ban đầu của D ứ ng với m ột R e TZ d là

F = ỉ - R D trên d om D (1.14)

C h ứ n g m i n h Điều kiện cần. Giả sử F là m ột toán tử ban đầu của

D ứ ng với m ột R ^ TZ d - C ho X G d om D cố định tùy ý Đặt u —

X G dom D tùy ý nên ta có công thức (1.14).

Điều kiện đủ. Giả sử F = / - R D trên d om D Khi đó, = ( / -

RD) ^ = l ^ - R D - R D + R ( D R ) D = I - R D = F, v ằ F ìà m ột toán tử chiếu D o D f = D ự - R D ) = D - { D R ) D = D - D = 0

nên f dortiD c ker D Hơn nữa, nếu z G ker D thì D z = 0 Vì thế,

Fz = ( / - R D ) z = z - R D z = z. Từ đây ta su y ra F là p hép chiếu lên ker D Do f K = ( / — R D ) R = R — R = 0 nên F là toán tử ban đầu của D ứ ng với R.

M ệnh đề 1.4 ([20]) N ếu toán t ử A e L { x ) khả nghịch thì toán tử ban đầu khác 0 của A không tồn tại.

C h ứ n g m i n h Thật vậy, cho B e L(X) là m ột nghịch đảo của A ,

tức là BA = Ị, A B = Ị. N ếu ta đặt f = / - B A thì ta có

F = Ị - B A = l - ỉ = 0.

Từ m ệnh đề này ta su y ra rằng toán tử ban đầu không tầm thường chỉ tồn tại với toán tử khả nghịch phải mà không khả nghịch D o vậy ta có định lý sau

Đ ịn h lý 1.7 ([20]) H ọ 'JZ d — tất cả các nghịch đảo phải của toán tử D e R { X ) cảm sinh d u y nhất họ = {F^}-ygr các toán tử ban đầu của D được xác định bởi đẳng thức Fy =

Ị — R j D trên dom D với m ỗi 7 G r.

T ính chất 1.7 Với m ọi Cí,Ẹ>,'y G r toán tử ĩẹ,R^ — FaRy không phụ thuộc vào cách chọn toán t ử Ry e TZd-

C h ứ n g m i n h Thật vậy, từ công thức (10.10) ta su y ra rằng FịịRj -

F / x R y = Rry — R ị ị — { R j — = R í v — R ị ị = F ạ R ị x

Tính chất 2 chỉ ra rằng toán tử F^Ry — F[^R^ chỉ phụ thuộc vào

c á c c h ỉ s ố IX, /3 Đ iều này c h o p h é p ta đ ặ t

như sau: N ếu X G x , a , ^ e r tùy ý và y G X là m ột nguyên phân

b ấ t kì c ủ a X thì

Tính chất 1.12 Giả sử D G R ( X ) , d i m k e r D 7^ 0, f và f i 7^ f là các toán tử ban đầu của D, và F tương ứ ng với nghịch đảo phải

R G TZ[). Khi đó với m ỗi z G k erD tồn tại m ột X e X sao cho

f \ R x = z.

C h ứ n g m i n h Thật vậy, do f i là toán tử ban đầu của D nên f]

là m ột ánh xạ lên k erD Vì thế, F ị R X = k erD d o dom R X

{R e Lo(X)) Cho 2 G k erD cố định tùy ý Khi đó tồn tại một

X (E X sao cho f 1R x = 2.

Các định lý 1.6 và 1.7 đặc trưng cho các toán tử ban đầu bởi các nghịch đảo phải Đ ịnh lý sau chỉ ra rằng các nghịch đảo phải củng có thể đặc trưng bởi các toán tử ban đầu.

Đ ịn h lý 1.8 ([20]) Giả sử D G R { X ) , F G Lo(X) là phép chiếu lên không gian các hằng số Khi đó F là toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải R = R \ — FR\ với m ọi Rị G 7Zo và R

được xác định m ột cách d u y nhất, không phụ thuộc vào sự chọn

R-[ G 7Z d

C h ứ n g m i n h Vì DF = 0 và DRi = / nên D R = D { R \ — F R \ ) =

D R \ - DPR^ị = I. Vậy R là m ột nghịch đảo phải của D D o F ^ = F

nên ta có FR = f ( R i - F R i ) = FRi - = FRi - FRi = 0.

D o đó, F là m ột toán tử ban đầu của D ứng với R. Bây giờ ta

sẽ chỉ ra rằng R được xác định một cách d u y nhất, không phụ thuộc vào sự chọn Ri G TZd- Giả sử R 2 e ĩ I d và R 2 Ỷ ^1- Đặt

R3 — R 2 - FIÌ2. Tương tự như trên ta chứng m inh được rằng

Rt, là m ột nghịch đảo phải của D và f là m ột toán tử ban đầu của D ứ n g với R3, nghĩa là F = / — K3D trên dom D Từ đó R3 -

TZ d = { R + FA : A e L q { X ) } (1.23)

và tập hợp tất cả các toán tử ban đầu của D có dạng

:FD = { F { I - A D ) : A e L o { X ) } (1.24)

C h ứ n g m i n h N ếu R-[ = R + FA v ó i A e L o ( X) thì D R i — D ị R +

FA) = D R + D F A = I. D o vậy, R] G TZ d - Mặt khác, n ếu R\ e

TZ d thì DR] — I v ầ F R ị = R\ - R nên Rị = R + FR\ = R + FRi - FR = R + f (Ki - R) do FR = 0 Đ ặ t A ^ - R thì

R\ = R + FA, trong đó A G Lo(X) Vậy tập hợp T l o c ó dạng (1.23) Bây giờ giả sử rằng Ri e TI d c ố định tùy ý N ếu f] là toán

tử ban đầu ứ ng với R\ thì trên d om D ta tìm được Fi = I — R-[D =

Ỉ - { R + F A ) D = Ị - R D - F A D = F - F A D = f ( / - A D ) Do

Fi tùy ý nên ta có được (1.24).

Đ ịn h lý 1.10 ([20]) Giả sử F q , F i , , F,n là các toán tử ban đầu của D G R { X ) ứ ng với các nghịch đảo phải R q , R i, , Rni tương ứng Đặt F = trong đó aQ, ai , , a n t là các vô hướng

1.2 Toán tử khả n<ịhịch phải 41 sau:

Xét tập hợp {Í^clcelíỉ/)] trong đó { R c x ) t = J x { s ) d s với X e

c [ a, b] Theo định lý 1.7 nó cảm sinh họ các toán tử ban đầu có

trong đó x ,y G c^[ a, b] và [»(s)]f| = u { c 2 ) - u{ c i ) , với u e C[ a, b

a ^ C\,C2 ^ h.