Bài toán cực trị và ứng dụng trongviệc giải bài thi trắc nghiệm I.Lý do chọn đề tài: Trong vật lý, có một số đại lượng được xác định bằng một số biểu thức là những hàm cực trị.. Khi một
Trang 1Bài toán cực trị và ứng dụng trong
việc giải bài thi trắc nghiệm
I.Lý do chọn đề tài:
Trong vật lý, có một số đại lượng được xác định bằng một số biểu thức
là những hàm cực trị Khi một đại lượng A nào đó biến đổi, có thể làm cho đại lượng B biến đổi nhưng chúng ta có thể tìm được giá trị của A để B đạt cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) Trong thực tế, bài tập yêu cầu tìm giá trị của một đại lượng để các đại lượng khác có giá trị cực trị ( chúng tôi tạm gọi những bài toán dạng này là bài toán cực trị) là những bài toán thường gặp Để giải các bài toán dạng này cần phải sử dụng một số tính chất đặc biệt của các hiện tượng vật lý hoặc sử dụng các phương pháp tìm cực trị của toán học
Đặc biệt hơn, trong một vài trường hợp, đây còn là cách duy nhất để giải bài tập trắc nghiệm khi bài ra không cho đầy đủ dữ kiện Vì vậy trong chuyên đề nhỏ này chúng tôi xin được trình bày về phương pháp giải các bài toán cực trị thường gặp trong vật lý và ứng dụng của nó trong việc làm bài thi trắc nghiệm
II.Cơ sở lý thuyết.
1. Sử dụng hiện tượng cộng hưởng điện: Trong mạch điện xoay chiều, khi
LC
ω = thì dòng điện hiệu dụng qua mạch đạt cực đại IMax = U
R và công suất của dòng điện đạt giá trị cực đại PMax = U.I
2. Sử dụng các phương pháp toán học:
- Sử dụng đạo hàm
- Sử dụng bất đẳng thức côsi: a + b ≥ 2 a b. ( dấu bằng xảy ra khi a = b)
- Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai: y = ax2 + bx + c
+ với a >0 yMin khi x =
2
b a
−
+ với a < 0 yMax khi x =
2
b a
−
- Dùng tính chất của phép cộng véc tơ: ar − ≤ + ≤ +br a br r ar br
Trang 2III.Một số trường hợp cụ thể:
1.Thay đổi L hoặc C hoặc f để Imax hoặc Pmax
Để giải bài toán dạng này, chúng ta sử dụng hiện tượng cộng hưởng điện trong đoạn mạch không phân nhánh RLC: Dòng điện đạt cực đại khi
ZL = ZC hay 2 1
LC
ω = Khi đó IMax = U
R và PMax = U.I.( với ω =2 fπ )
2.Thay đổi R để PMax :
2
2
2 2
U P
R
R
=
− +
vậy Pmax khi ( )2
R
R
− + nhỏ nhất mà ( )2
R
R
−
≥ − nên Pmax
khi ( )2
R
R
−
= hay khi đó:
3.Thay đổi C để UC Max
C
Z U
2 2
C
U U
R
=
2
2 1
C
U U
=
+ − + (*) Đặt y =
2
2 1
và 1
C
x Z
=
ta có y= (R2 +ZL2)x – 2ZL +1
R= Z L−Z C
PMax = 2
2
U R
Trang 3Từ (*) ta có UCmax khi yMin
Mà theo tính chất của tam thức bậc hai, yMin khi x = -
2
b
a (a>0) Vậy UC Max khi:
4.Thay đổi L để ULmax
Hoàn toàn tương tự như trường hợp 3 chúng ta có: ULmax khi:
5.Thay đổi f để ULmax
( )2 2 2 2
2
2 1
L
+
2
2 2
1
2 1
L
U U
R
C
+
2
1
L
U U
R
Đặt
2
1
R y
và 2
1
x
ω
= ta có
2 2
1
R
Vì U không đổi nên ULmax khi ymin ⇔
2
b x a
−
= (a>0)
L C
L
Z
Z
+
=
C L
C
Z
Z
+
=
Trang 42
2 2
1
2
R
R
ω ω
−
−
f
ω
6 Thay đổi f để UCMax
C
Z U
2
2 1
C
U U
=
2 2
2 1
C
U U
=
C
U U
=
Đặt y L C= 2 2 ω 4 +(R C2 2 − 2LC)ω 2 + 1 và x = ω 2
⇒ y L C x= 2 2 2 +(R C2 2 − 2LC x) + 1
Do U không đổi nên UCmax khi yMin ⇔
2
b x a
= − ( do a > 0 )
IV Một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm biến trở R, cuộn cảm có độ tự cảm L=15,9mH, điện trở R0=40Ω và một tụ điện có điện dung 10 2
7
C
π
−
Hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch có tần số f=50HZ và giá trị hiệu dụng U=10 V Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên biến trở R đạt cực đại
2 2 2
2 2
2 2
LC R C
L C
Trang 5
Giải
Công suất tiêu thụ trên biến trở R: PR=RI2=( ) ( )
2 2
RU
⇔
( )
2
2
2
R
RU P
=
2 2 2
0
0
2
R
U P
R
=
Do U và R0 không đổi nên PRmax khi 2 ( )2
R
+
Mà theo Định lý Cosi thì 2 ( )2 2 ( )2
( )2
2
Giá tri PMax đạt được khi: 2 ( )2
R
R
Với ZC= 1
C
1
1 10
2 .50
7
π π
7Ω
ZL= Lω=15,9.10-3100 3,14=5Ω
Ta có : R2 - R02 = (5-7)2= 4
Vậy R2 = 164 hay R = 164 Ω
Ví dụ 2:
Cho đoạn mạch xoay chiều nối tiếp gồm điện trở R0 = 100Ω cuộn cảm thuần có độ tự cảm L 2H
π
= và một tụ điện có điện dung C biến đổi Một
vôn kế có điện trở rất lớn mắc giữa hai bản cực của tụ điện hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch là: u= 100 2 sin 100( πt V) .Biến đổi điện dung C đến một
giá trị C0 thì thấy vôn kế chỉ giá trị cực đại bằng 125 V Tìm R0, C0
Giải
2
U
U = = 100V; I = 0,5 2A; cảm kháng ZL = Lω=100Ω
Trang 6Khi thay đổi C để UCmax từ UC = zCL = ( )2
0
C
Z U
0
2
2 1
C
U U
=
Đặt
0 2
2 1
y
+
= − + và x = 1
C
z ta có: ( 2 2) 2
UCmax khi ymin ⇔ 2 2
1 2
L
Z b
x
−
+ (do a > 0)
( )
0
C
L
Z
Z
+
( )
0
125 2
U
R
Từ (1)và (2) ta tính được: R0=266,7Ω, C0 =5,7µF
Ví dụ 3:
Cho hai lực đồng quy có độ lớn bằng 9N và 12N trong số các giá trị sau, giá trị nào là độ lớn của hợp lực?
A 1N B.2N C.15N D 25N
Giải
Theo tính chất của phép cộng vectơ, ta có: ar − ≤ + ≤ +br a br r ar br
Nếu gọi F là hợp lực ta có: 12 9 − ≤ ≤ + ⇔F 12 9 3 ≤ ≤F 21
Vậy trong số các giá trị đó, F=15N là giá trị của hợp lực