Các Chuyen de da thuc

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

Trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào các iớp chuyên toán,có bài toán xác định đa thức hoặc tính các giá trị của đa thức.Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức tường gây lung túng cho sinh.Nguyên nhân chính là học sinh được trang bị đầy đủ các kiến cần thiết nhưng rời rạc ở các khối lớp và thường thiếu bài tập áp dụng Qua đây nhằm củng cố kiến thức về đa thức tong chương trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 rèn kỹ năng giải một số dạng toán trên từ đơn giản đến phức tạp mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ THCS

A/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY

1 Định lý Bơdu:

Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức tại x = a

Tức là: f(x) = (x - a).g(x) + f(a

Chứng minh : Gọi g(x) là đa thức thương và R là số dư thì:

f(x) =(x - a).g(x) + R

f(a) = (a - a).g(a) + R = R (đpcm)

2 phương pháp hệ số bất định:

Giả sử:    3 2 1

f x a x a x a x a

   3 2 1

g x b x b x b x b

Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì: a3b ;a3 2b2

a1b ;a1 0b0

Chứng minh:

Giả sử 4 giá trị phân biệt x ;x ;x ;x1 2 3 4 có: f x   1 g x1  1







Đặt c3a3b ;c3 2a2b ;c2 1 a1 b ;c1 0a0b0

Trừ từng vế của (1) và (2) được:

 3 3  2 2    

Vì x1x2�0nên

 2  2      

Tương tự từ (1) và (3) có :

 2  2      

Trừ theo từng vế của (5) và (6) rồi chia cho x2x3�0 được:

c2c x3 1x2x3 0

(7) Tương tự từ (1), (2), (4) có:

c2c x3 1x2x4 0

(8) Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:

c x3 3x40�c00

vì x3�x4x

3 – x4  0 Thay c3 = 0 vào (8) được c2 = 0 Từ đó và (6) được c1 = 0

Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm

II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2,3, ) khi biết ( n + 1) có giá trị của đa

thức:

Ví dụ 1 Cho đa thức: f x  a x 2 bx c, Xác định các hệ số a,b,c biết:

 0 2;  1 7;  2 14

f  f  f   

Lời giải

Theo bài ra ta có:

f(0) = 2 �0 c 2  �c 2

f(1) = 0 �a b 2 7   �a b 5  (1)

f(-2) = -14 �4a 2b 2   14�2a b  8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a = -1 và b = 6

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -x2 + 6x + 2

Ví dụ 2 Xác định đa thức bậc 3 biết: f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22

Lời giải

Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax3 + bx3 + cx +d

Theo bài ra ta có:

f(0) = 1 d = 1

f(1) = 0 a + b + c = -1 (1)

f(2) = 5 4a + 2b + c = 2 (2)

f(3) = 22 9a + 3b + c = 7 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x3 - 2x + 1

Ví dụ 3 Cho hàm số: y f x  ax2 bx c cho biết f(0)=2010, f(1)=2011,

f(-1)=2012,

Tính f(-2)

Lời giải

Theo giả thiết ta có: f(0) 2010  c 2010,

f(1) 2011    a b c 2011  a b 1

và f( 1) 2012     a b c 2012  a b 2=> a =32 , b 1

2





khi đó hàm số có dạng   3 2 1

2010

y f x  x  x

=> f(2) = 2017

* Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa

thức, còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số

* Bài tập áp dụng:

Câu 1 Tìm đa thức bậc 2 biết: f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) = 6

Câu 2 Tìm đa thức bậc 4 biết: f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31;

f(2) = 47

Câu 3: Cho đa thức: f x  a x 2bx c , Xác dịnh a, b, c biết: f  2 0, 2  0

và a là số lớn hơn c ba đơn vị

Câu 4: Cho hàm số f x  ax3bx2 cx d thỏa mãn:

 1 2, 0  1, 1 3, 1  7

2

f   f� �� � 

� � Xác định giá trị a, b, c và d

Câu 5: Xác định đa thức: P x  a x 3bx2cx d

, biết:

 0 2017, 1  2,  1 6,  2 6033

Dạng 2: Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác

Ví dụ 3 Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư bằng 14

Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3)

Lời giải Cách 1: Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 1 và cho x – 3 theo theo thứ tự

là A(x) và B(x)

Ta có:

f(x) = (x – 1).A(x) + 4 với mọi x (1)

f(x) = (x – 3).B(x) + 14 vỡi mọi x (2)

Gọi thương của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là C(x) và dư là R(x).Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của số chia nên bậc của nó nhỏ hơn bậc 2 nên R(x)

có dạng ax + b

Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) +ax + b với mọi x (3)

Thay x =1 vào (1) và (3) ta được : f(1) = a + b

Thay x =3 vào (2) và (3) ta được : f(3) =14; f(3) = 3a + b

Vậy đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là 5x – 1

Cách 2:

f(x) = (x – 1).A(x) + 4

nên (x – 3).f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1)

f(x) = (x – 3).B(x) + 14

nên (x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2)

Lấy (2) – (1) ta được:

[(x – 1) – (x – 3) ].f(x) =(x – 1)(x – 3) [A(x) – B(x)] + 14(x – 1) – (x – 3)

nên 2f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x – 2

f(x) = (x – 1)(x – 3)

Ta thấy 5x – 1 có bậc bé hơn bậc số chia vậy số dư cần tìm là 5x – 1

Ví dụ 4 Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia x2 + 1 dư 2x + 3 Tìm đa thức dư khi chia f(x) cho (x + 1).(x2 + 1)

Lời giải

Theo định lý Bơ du ta có f(-1) = 4 (1)

Do bậc của đa thức chia(x + 1)(x2 +1) là 3

Nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c

f(x) = (x + 1)(x2 + 1) q(x) +ax2 + bx +c

= [(x +1) q(x) + a](x2 +1) + bx + c – a (2)

mà f(x) chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có b = 2 (4) ; c – a = 3 (5)

Mà f(-1) = 4 nên a – b + c = 4 hay a – 2 + c = 4 (6)

Từ (5) và (6) suy ra:

a , c

Ta được đa thức cần tìm: x

2 + 2x +

Ví dụ 5 Tìm đa thức dư của phép chia: x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 –1

Lời giải Cách1:

Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia

Ta thấy xn – 1 chia hết cho x – 1 với mọi số tự nhiên n nên x2n – 1 chia hết cho x2

– 1; x6 – 1, chia hết cho x2 – 1

Ta có: x7 + x5 + x3 + 1 = x7 – x + x5 – x + x3 – x + 3x + 1

= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1

Dư của phép chia: x7 + x5 + x3 +1 chia cho x2 – 1 là 3x + 1

Cách 2: Xét giá trị riêng

Gọi thương của phép chia là Q(x) dư là ax + b

Ta có: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b với mọi x

Đẳng thức đúng với nên với x = 1 ta được: 4 = a + b (1)

Với x = - 1 ta được –2 = - a + b (2)

Từ (1), (2) a = 3; b = 1

Vậy dư của phép chia là: 3x + 1

* Bài tập áp dụng:

Câu 1 Tìm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho (x + 3) dư 1, chia cho (x – 3) dư

8 Chia cho (x + 3)(x – 3) thì được thương 3x và còn dư

Câu 2 Tìm đa thức dư của phép chia: x99 + x55 + x11 + x +7 cho x2 + 1

Dạng 3: Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số

Ví dụ 6 Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyênkhông âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn: f(8) = 2003

Lời giải

Xét đa thức

f(x) = anxn + an –1xn-1 + + a1x + a0 với a0, a1 an-1, an đều là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8

Do f(8) = 2003 nên an.8n + an-1.8n-1 + +a1.8 + a0 = 2003

Ở đây a0, a1, , an-1, an là các chữ số của 2003 được viết trong hệ ghi số

cơ số 8 Thực hiện việc chia 2003 cho 8 được dư a0 = 3 lại lấy thương chia cho

8, liên tiếp như vậy ta được đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + 3

* Bài tập áp dụng:

Câu 1 Tìm đa thức f(x) các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 5 và

f(5) = 352

Dạng 4: Xác định đa thức f(x) thoả mãn 1 hệ thức đối với f(x)

Ví dụ 7 Tìm đa thức P(x) bậc 4 thỏa mãi các điều kiện sau:

P(-1) = 0 và P x  P x 1  x x 1 2x 1 , x R.      �

Lời giải

Với x = 0 thì P 0   P 1 0

Với x = - 1 thì P 1    P 2 0

Do đó P(x) nhận -1, 0, -2 là nghiệm

Đặt P x  x x 1 x 2 ax b        vớ a ≠ 0.

Với x = 1 thì P(1) = P(0) + 6 = 6 Suy ra: a + b = 6 (1)

Với x = 2 thì P(2) = P(1) + 30 = 36 Suy ra:

3 2a b

2

 

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

1

a b

2

 

Vậy 1   2 

P x x 1 x 2 2

* Bài tập áp dụng:

Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau ít nhất 4 giá trị phân biệt của x: x.P(x – 1) = (x – 2).P(x)

III PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐA THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC.

Giới thiệu phương pháp: Các nhiều phương pháp để giải bài toán xác định đa thức chủ yếu là dùng đa thức thuần nhất; hai đa thức đồng nhất; định

lý Bơ du; hệ số bất định khi xác định đa thức bậc n mà đã biết n + 1 giá trị của

nó Song có nhiều bài toán không thể tìm được đa thức bằng cách trực tiếp mà phải dùng phương pháp dùng đa thức phụ để xác định đa thức hoặc tính giá trị riêng của đa thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 8 Cho đa thức f(x) bậc 4 với hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) =

10, f(2) = 20, f(3) = 30. Tính:

f(12) + f(-8) +15 10

Phân tích bài toán:

- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x)

- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x)

Thuật toán tìm đa thức phụ.

Bước 1:

Đặt g(x) = f(x) + h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x)

Trong đề bài bậc của h(x) nhỏ hơn 3 nghĩa là:

g(x) = f(x) + ax2 + bx + c

Bước 2:

Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0

Tức là:

0 = 1+ a + b + c

0 = 20 + 4a + 2b + c

0 = 30 + 9a + 3b + c

�

�

�

�

�

Giải hệ phương trình được : a = 0; b = -10; c = 0

Theo phương pháp hệ số bất định:

Suy ra: h(x) = - 10x

Hay: g(x) = f(x) – 10x

Lời giải

Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x g(1) = g(2) = g(3) = 0

Do bậc f(x) là bậc 4 nên bậc của g(x) là 4 và g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – 3 suy ra:

g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0)

f(x) = g(x) + 10x = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) + 10x

Ta có f(12) = (12 – 1)(12 – 2)(12 – 3)(12 – x0) + 10.12

= 11.10.9 (12 – x0) + 10.12 = 10.[99.(12 – x0) + 12]

f(-8) = (-8 – 1)(-8 – 2)(-8 – 3)(-8 – x0) + 10.(-8)

= (-11).(-10).(-9) (-8 – x0) + 10.(-8) = -10.[99.(-8 – x0) + 8]

Suy ra: f(12) + f(-8) = 10.[99.(12 – x0) + 12] + (-10).[99.(-8 – x0) + 8]

= 10(1200 – 99x0 + 784 + 99x0)

= 10.1984

Ta tính được:

10

Ví dụ 9 Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6)

Phân tích bài toán:

- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x)

- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x)

Lời giải

+ Tìm đa thức phụ:

Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = 0

a, b, c là nghiệm của hệ phương trình

0 = 3 + a + b + c

0 = 11+ 9a + 3b + c

0 = 27 + 25a + 5b + c

�

�

�

�

� Giải hệ ta được: a = - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – 2

+ Tính giá trị f(x):

Bậc f(x) là bậc 4 nên g(x) là bậc 4 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0)

�f (x) g(x) ( x    2 2) (x 1)(x 3)(x 5)(x x ) x    0  22

Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112

Ví dụ 10 Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là một số nguyên, thoả mãn f(1999) = 2000 và f(2000) = 2001

Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số

Phân tích bài toán:

- Đa thức bậc 3 mà mới biết hai giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x)

- Bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x)

Lời giải

+ Tìm đa thức phụ

Đặt g(x) = f(x) + ax + b Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 tương đương

với a, b là nghiệm của hệ:

0 = 2000 +1999.a + b

0 = 2001+ 2000.a + b

�

�

� Giải hệ ta được : a = b = - 1

Nên đặt g(x) = f(x) – x – 1

+ Tính giá trị của f(x):

Giả sử kZ là hệ số của x3 của đa thức f(x) Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên:

g(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0); f(x) = g(x) – (–x – 1)

f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + 1

Ta có f(2001) = k 2 1 2001 + 2002 = 2k 2001 + 2002

f(1998) = k (-1) (-2) 1998 + 1999 = 2k 1998 + 1999

f(2001) – f(1998) = 2k 2001 + 2002 – 2k 1998 + 1999

Tính được f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1)

Vì 3(2k + 1) là hợp số Vậy f(2001) – f(1998) là hợp số

Ví dụ 11 Tìm đa thức bậc 3 biết rằng khi cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x – 3 đều dư 6 và

f(-1) = -18

Phân tích bài toán:

- Đa thức cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x –3 đều dư 6, theo định lý Bơ du ta có f(1) = f(2) = f(3) = 6 Tìm đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) với h(x) có bậc là 2

- Bậc của f(x) là 3, có ba giá trị của đa thức nên hệ số của f(x) phụ thuộc vào

tham số

Lời giải

+ Tìm đa thức phụ:

Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) = 6

Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0

là nghiệm của hệ

0 6 a b c

0 6 4a 2b c

0 6 9a 3b c

   

�

�    

�

�    

� Giải ra ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – 6

Với g(1) = g(2) = g(3) = 0

+ Xác định f(x):

Do bậc f(x) là 3 nên bậc g(x) là 3 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 2); (x – 3) g(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3)

� (n là hệ số của x3 trong đa thức f(x))

f(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) + 6

�

Mặt khác f(-1)= -18 � n = 1 � f(x) = x3 – 6x2 + 11x

Ví dụ 12. Tìm đa thức bậc 3 biết f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1

Lời giải

Cách 1: Đã giải ở dạng 1

Cách 2: +Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) =f(x) +ax2 +bx + c

Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = 0 a, b, c là nghiệm của hệ

Hệ ta được: a = 5, b = -7, c = -10

Nên đặt g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10

Với g(x) = g(1) = g(2) = 0

+ Xác định f(x)

Do bậc f(x) là 3 và bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho x; x – 1; x – 2 Gọi m là hệ số của x3 của đa thức f(x) thì g(x) = mx(x – 1)(x – 2)

2

f(x) mx(x 1)(x 2) 5x    7x 10 0 

�

Mặt khác; f(3) = 1m =

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -

* Bài tập áp dụng:

Câu 1: Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 Tìm

số dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1)

Câu 2: Xác định a, b để đa thức: ax3 + 12x2 + bx + 1 là lũy thừa bậc 3 của một

đa thức khác

Câu 3: Tìm các số a, b, c để x3 –ax2 + bx – c = (x – a)(x – b)(x – c)

Câu 4: Tìm đa thức dư của phép chia x30 + x4 + x2015 + 1cho x21

Câu 5: Tìm giá trị của a để đa thức f(x) = x4 + 5x3 – 2x2 + ax + 40 chia hết cho

đa thức x2 – 3x + 2 khi đó giá trị nhỏ nhất của thương là bao nhiêu?

Câu 6: Tìm đa thừc(x) bậc 2 biết f(0) = 19, f(1) = 5; f(2) =1995

Câu 7: Tìm đa thừc(x) bậc 3 bi ết f(0) =2; f(1)=9; f(2) =19; f(3) =95

III- CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI

Câu 1 Cho đa thức P x( ) ax 2 bx c a�* thỏa mãn P 9 P 6 2019

Chứng minh P 10 P 7 là một số lẻ

(Trích đề chuyên Phan Bộ Châu năm 2019-2020)

Câu 2 Xác định các hệ số a và b để đa thức P x  x42x33x2ax b là bình phương của một đa thức

(Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019)

Câu 3 Cho các đa thức P x 

và Q x 

thoả mãn P x  1Q x  Q 1 x  x

2

Biết rằng các hệ số của P x 

là các số nguyên không âm và P 0  0

Tính

   

P 3P 3 P 2

(Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019)

Câu 4 Cho các đa thức P x  x3ax2bx c; Q x   x22016x 2017 thỏa mãn

các điều kiện P x  0

có ba nghiệm thực phân biệt và P Q x    0

vô nghiệm Chứng minh rằng P 2017  1008 6 (đề 22)

(Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019)

Câu 5 Cho đa thức P x( )ax2  Biết ( )bx c. P x chia cho x + 1 dư 3, ( ) P x chia cho

x dư 1 và ( )P x chia cho x – 1 dư 5 Tìm các hệ số a, b, c.

(Trích đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2015-2016)

Câu 6 Tìm các số thực a, b, sao cho đa thức 4x4 11x32ax2+ 5bx – 6 chia hết cho đa thức x2 – 2x – 3

(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013)

Câu 7 Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 dư 1; f(x) chia cho x – 4 dư 8;

f(x) chia cho (x + 3)(x – 4) thì được 3x và còn dư

Câu 8 Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư 6 và

P(- 1) = - 18