bài tập bất phương trình mũ

Sau bao năm chinh chiến tôi cũng đã thu lượm được một vài bí kíp về các môn học trong rất nhiều hoàn cảnh khác nhau , nghe có vẻ giống phim trung quốc , mỗi lần rơi xuống vực lại có một bí kíp võ công mới xuất hiện. Nhưng phải nói rằng người may mắn cũng phải có một tố chất nào đó nhất định, yếu tố đọc hiểu được đặt lên đầu tiên và yếu tố còn lại là hoàn cảnh và sự thấm nhuần khi chúng ta không còn việc nào khác để làm . Tôi thấy tài liệu này khá thú vị và phù hợp cho giáo viên cũng như học sinh, hi vọng còn có thể cung cấp hơn nữa cho các bạn.

CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Định nghĩa

• Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit

2 Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho

, >0, ≠1

• Phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

loga f x( )=b

3 Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

• Đưa vê cùng cơ sô



( ) 0log ( ) log ( )

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Câu 6: Số nghiệm của phương trình

( )2log x−1 =2

bằng

Câu 8: Số nghiệm của phương trình

( )2

x x

1 log+ x− 3log x =log x−1

có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Câu 16: Số nghiệm của phương trình

Giá trị lớn nhất của

log 5;log 2;log 3m

tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự)

A

3 5log 5 log 32

( )2;3

Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

có tập nghiệm là tập nào sau đây?

A

{ }1;2

13;

x x

( ) 33 2

2 01

Câu 34: Số nghiệm của phương trình

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4

Câu 38: Số nghiệm của phương trình log2(x+ − =3) 1 log 2 x

Bước 1: Điêu kiện

Bước 2: Từ điêu kiện trên phương trình trở thành

2log (x− +1) 2 log (x− =2) 0 ⇔2log [(2 x−1).(x−2)] 0= ⇔ −(x 1)(x− =2) 1

So với điêu kiện nhận

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Không sai bướcnào

Câu 40: Giải phương trình

.Giá trị x nào sau đây là nghiệm của phương trình trên?

A

15

Câu 49: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

log x+ 1 + = 2 log 4 − +x log 4 +x

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

Câu 50: Tìm số nghiệm của phương trình

?

A

11

B

12

b b a b c b

Câu 57: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình

2log x +log x+ =3 m

có ba nghiệmthực phân biệt

log (x− =1) log (mx−8)

có hainghiệm thực phân biệt là:

2

< <m

B

392

của biểu thức

tối giản Tính

log x+log y=log x y+

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 64: Cho hai số thực

2 23

10

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Câu 65: Phương trình

2

5log 2 log

2

A Có một nghiệm âm và một nghiệm dương B Vô nghiệm

C Có một nghiệm âm D Có hai nghiệm dương

Câu 66: Nghiệm bé nhất của phương trình

trở thành phương trình nào?

t t

18

14

34

Câu 71: Phương trình

Câu 73: Gọi

1

x

, 2

là

A

1125

725

630625

Câu 75: Giả sử phương trình:

5 25log x−2log x − =3 0

có hai nghiệm

Câu 82: Biết phương trình

2 2

[ ]1;4 là

A 3< ≤m 4

103

A

14

≤

m

B

12

4

≤ ≤m

D

12

A

138

<

m

138

>

m

138

≤

m

130

Câu 98: Tìm m để phương trình

A 2 nghiệm dương B 1 nghiệm dương

C Phương trình vô nghiệm D 1 nghiệm kép

Câu 102: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình

Câu 106: Biết rằng khi

,

m n

là các số dương khác 1, thay đổi thỏa mãn m n+ =2017

thì phương trình

8logm x.logn x−7 logm x−6 logn x−2017 0=

luôn có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân

biệt m và n Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

=

S

7003

=

S

6503

=

S

D S =200

Câu 109: Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b+ =10

Gọi m,n là hai nghiệm củaphương trình

(loga x) (logb x)−2loga x−3logb x− =1 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 110: Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b+ =10

Gọi m,n là hai nghiệm củaphương trình

(loga x) (logb x)−2 loga x− =3 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S mn=

A

2794

814

D

452

Câu 111: Cho ba số thực

là hai nghiệm

của phương trình

=

S

B

7003

=

S

C

6503

A

31

2π −

B

32

2π −

C π−1

D

92

2π +

Câu 113: Cho

,

a b

nguyên dương lớn hơn 1 Biết

11loga xlogb x−8loga x−20logb x− =11 0

có tích hai nghiệm là số tự nhiên nhỏ nhất Tính S=2a+3b

8 logm x logn x −7 logm x−6 logn x−2017 0=

Khi P là một số nguyên, tìm tổng m n+để P nhận giá trị nhỏ nhất?

có hai nghiệm phân biệt

 

 

 :

A m< −3

73

3

− ≤ ≤m

.

C

73

>

m

73

có nghiệm thuộc

có nghiệm thuộc [32;+∞)

< <m

D 2< <m 3

PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA

Câu 125: Phương trình

2log (4 2 ) 2− x = −x

tương đương với phương trình nào sau đây?

D Cả 3 đáp án trênđêu sai

Câu 126: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

có bao nhiêu nghiệm?

110

Câu 131: Với giá trị nào của m thì phương trình

3 2

log (4x+2m )=x

có 2 nghiệm phân biệt?

A

12

<

m

B

3 42

> − x

m

C

10

2

< <m

D m>0

2log cotx =log cosx

Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên

có bao nhiêu nghiệm

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

Câu 135: Cho phương trình

2

2 3

Câu 138: Tập hợp các giá trị của m để phương trình m×ln 1 2( − x)− =x m

có nghiệm thuộc

Câu 140: Biết phương trình

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

BẢNG ĐÁP ÁN

PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:

Câu 1: [DS12.C2.6.D01.a] Cho hàm số

2 3( ) log (= −2 )

Điêu kiện:

2−2 >0

02

Câu 2: [DS12.C2.6.D01.a] Tìm tập nghiệm S của phương trình

4log x− =2 2

1818

Điêu kiện: x>1

.Phương trình tương đương vớix− = ⇔ =1 8 x 9

1logx+ 2x +2x − + =3x 1 3

Hướng dẫn giải Chọn B.

Điêu kiện:

10

Ta có phương trình tương đương

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Hướng dẫn giải Chọn B.

4

2 2 2log x −2 =8 ( )1

Câu 6: [DS12.C2.6.D01.a] Số nghiệm của phương trình

( )2log x−1 =2

Hướng dẫn giải

bằng

Hướng dẫn giải Chọn B.

44

Câu 8: [DS12.C2.6.D01.a] Số nghiệm của phương trình

( )2

log x x−1 =1

là

Hướng dẫn giải Chọn C.

2log x x+3 = ⇔1 x x+ = ⇔3 2 x +3x− =2 0

Vậy

1+ = −2 3

x x

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và

x x

1+

x x

x

Câu 13: [DS12.C2.6.D01.b] Phương trình

1 log+ x− 3log x =log x−1

có bao nhiêu nghiệmnguyên?

x

(thỏa mãn điêu kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

2 3

[Phương pháp tự luận]

Phương trình xác định khi và chỉ khi :

2 2 2

được

2log ( 1)−

không xác định,

Thay

12

−

không xác địnhVậy loại A, C, D chọn đáp án B.

Câu 18: [DS12.C2.6.D01.b] Điêu kiện xác định của phươg trình

2log (2x x −7x−12) 2=

.Giá trị lớn nhất của ab là:

.+) Nếu a= ⇒ =2 b 250⇒ab=500

.+) Nếu a= ⇒ =1 b 500⇒ab=500

.Vậy giá trị lớn nhất của ab là 500

log 5;log 2;log 3m

tạo thành cấp số cộng (theothứ tự)

A

3 5log 5 log 32

Nhắc lại công thức

A, B, C được gọi là cấp số cộng khi 2.B= +A C

(theo thứ tự)

Điêu kiện

01

Để

log 5;log 2;log 3m

tạo thành 1 cấp số cộng thì:

Chọn C

Câu 21: [DS12.C2.6.D01.c] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, phương trình

ln

= x

m x

có 2 nghiệm phân biệt thuộc

( )2;3 khi và chỉ khi

Phân tích: Đặt

2log m a= ≥0

.ta sẽ xét như sau, vì đây là hàm số chẵn nên đối xứng trục

Oy Do vậy ta sẽ xét hàm

( )P2, khi đó đồ thị hàm số

Lúc làm thì quý độc giả có thể vẽ nhanh và suy diễn nhanh

Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì

90

1−

⇔ x =e x

11

⇔ =

+

x e

Câu 24: [DS12.C2.6.D01.d] Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

sin sin

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:

Câu 26: [DS12.C2.6.D02.a] Số nghiệm của phương trình

So điêu kiện nhận nghiệm x=2

nên phương trình có 1 nghiệm

Câu 27: [DS12.C2.6.D02.a] Phương trình

Câu 29: [DS12.C2.6.D02.a] Tìm tập nghiệm S của phương trình

là

Hướng dẫn giải Chọn C.

.Khi đó

2log(x − − + =x 6) x log(x+ +2) 4

Câu 31: [DS12.C2.6.D02.a] Giải phương trình

Phương trình tương đương với:

x x

( ) 33 2

2 01

Điêu kiện của phương trình là

3

2

216

+

−

x x

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính

ln X −6X + −7 ln X− =3 0

Ấn SHIFT CALC nhập X=4 (chọn X thỏa điêu kiện xác định của phương trình), ấn = Máy

hiện X=5.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình:

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =

Máy không giải ra nghiệm Vậy đã hết nghiệm

Câu 35: [DS12.C2.6.D02.a] Gọi 1 2

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 5 và –2

Câu 36: [DS12.C2.6.D02.a] Số nghiệm của phương trình

nên khi2

, học sinh đã sai lầm ở bướcnày Vậy đáp án chính xác là đáp án C.

Câu 38: [DS12.C2.6.D02.a] Số nghiệm của phương trình log2(x+ − =3) 1 log 2 x

x

⇒ =

là nghiệm duy nhất của phương trình

Câu 39: [DS12.C2.6.D02.a] Trong giờ kiểm tra, một học sinh giải phương trình

2

2log (x− +1) log (x−2) =0

bằng 3 bước như sau:

Bước 1: Điêu kiện

Bước 2: Từ điêu kiện trên phương trình trở thành

So với điêu kiện nhận

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Không sai bướcnào

Hướng dẫn giải

Dò từng bước của học sinh để tìm lỗi sai

Bước 1: Đây là bước tìm điêu kiện, không có lỗi gì

Bước 2: Học sinh giải bài này đã sai ở việc đem mũ 2 ra ngoài mà không đặt

(x−2)

trongdấu trị tuyệt đối

Phương trình đúng phải là:

2log (x− +1) 2log x− =2 0

2loga b =2loga b

Rõ ràng với điêu kiện đã giải:

12

Kết hợp với điêu kiện ta có

1 2 17

= +

x

là nghiệm của phương trình

Câu 41: [DS12.C2.6.D02.a] Điêu kiện xác định của phương trình

2log(x −6x+ + − =7) x 5 log(x−3)là:

D x< −3 2

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

Điêu kiện phương trình:

x x

x

x

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính

2log(X −6X+ + − −7) X 5 log(X −3)

Nhấn CALC và cho X =1

máy tính không tính được Vậy loại đáp án C và D.

Nhấn CALC và cho X =4

(thuộc đáp án B) máy tính không tính được. Vậy loại B.

Câu 42: [DS12.C2.6.D02.a] Điêu kiện xác định của phương trình

[Phương pháp tự luận]

PT xác định khi và chỉ khi:

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính

log (X − +5) log (X+ −2) 3

Nhấn CALC và cho X =1

máy tính không tính đượC. Vậy loại đáp án B và C.

Nhấn CALC và cho X =5

(thuộc đáp án D) máy tính không tính đượC. Vậy loại D Câu 43: [DS12.C2.6.D02.a] Điêu kiện xác định của phương trình

và

5log

1+

x x

xác định

0

11

x x

.Giá trị x nào sau đây là nghiệm của phương trình trên?

log(tan1 ) log(tan 2 ) log(tan 3 ) log(tan 89 ) log[tan1 tan 2 tan 3 tan 89 ]

=log[ tan1 cot1 tan 2 cot 2 tan 45 cot 45 ] log1 0

Vậy phương trình đã cho trở thành:

3log (x− = ⇒ − = ⇔ =2) 0 x 2 1 x 3

(nhận)Quan sát thấy A,B,C không phải giá trị nghiệm cần tìm

3

3 2

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính

=

X

(số nhỏ nhất) ta thấy sai Vậy loại đáp án A.

Nhấn CALC và cho X =1

ta thấy sai Vậy loại đáp án D.

Nhấn CALC và cho X =2

ta thấy sai Vậy loại đáp án C.

log x+ 1 + = 2 log 4 − +x log 4 +x

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

x x

Điêu kiện:

112

B

12

C m<3

D m>3

Hướng dẫn giải

*Cách 1: Dùng công thức

CALC với giá trị X = −1

được giá trị 0 vậy m=1

thì phương trình đã cho có nghiệm1

CALC với giá trị X = −1

được giá trị 0.5263244 vậy m= −1

thì phương trình đã chokhông có nghiệm x= −1

Suy ra loại câu A, làm thêm trường hợp m= −2

nữa ta có thể kết luận đáp án đúng là B

Những bài có điêu kiện dài như thế này không nên giải ngay từ đầu, ta cứ để đó khi nào cầnđến sẽ thay giá trị vào.

Bài này không có biến x nên hiểu a là nghiệm của phương trình

3

loga+ 3 log− −a3 0= ⇔loga+ =log −a3⇒ + = − ⇔ =a 2 4 a a 1

So với điêu kiện đầu đê bài ta thấy 1 là nghiệm của phương trình

Sai lầm: Với thói quên đặt điêu kiện

01

nên nhiêu bạn không nhận a=1

**Các bạn cũng có thể dùng Casio giải như các bài ở trên nhé! Tuy nhiên với những bài hỏi

“số nghiệm” thì phải SOLVE với nhiêu giá trị để đảm bảo không thiếu nghiệm

⇔ =

−

m x m

Phương trình có nghiệm x>2

3

2log (3x− + =1) 1 log (2x+1)

và2

82

Giá trị a b c+ +là:

Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình biến đổi thành:

và đường thẳng

32

Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình

( )* có ba nghiệm phân biệt khi

Điêu kiện:

30

2log mx−6x +2log −14x +29x− =2 0

có 3 nghiệmthực phân biệt khi:

A m<19

B m>39

C

3919

Lập bảng biến thiên suy ra đáp án C.

Câu 59: [DS12.C2.6.D02.d] Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2 2

f x x

x

trên

(1;+∞) Ta có

2

9'( ) 1= − ; '( ) 0= ⇔ = ±3

x

.Bảng biến thiên

Để Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔

Đường thẳng

=

y m

cắt đồ thị hàm số( )

=

y f x

trên

(1;+∞) tại hai điểm phân biệt ⇔ 4< <m 8

.Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu 60: [DS12.C2.6.D02.d] Tìm m để phương trình

2log mx−6x +log −14x +29x− =2 0

có 3nghiệm phân biệt:

A

3919

2

< <m

B

392

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ⇔

(*) có 2 nghiệm phân biệt

1

;214

Bảng biến thiên

Dựa vào bẳng biến thiên, suy ra (*)có ba nghiệm phân biệt

Câu 61: [DS12.C2.6.D02.d] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai

nghiệm thực phân biệt:

− ≤ ≤m

Hướng dẫn giải Chọn C.

( )

2 2

Cách 1: Dùng định lí vê dấu tam thức bậc hai.

Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình

5 0 1 0

Cách 2: Với điêu kiện có nghiệm, tìm các nghiệm của phương trình

f x

rồi so sánh trực tiếp các nghiệm với 1 và −1

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng

log x+2y =logx+log y

Biết giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

tối giản Tính

S a b= +

3minS =2 4

S = −x y

A

4 53

2 23

10

Hướng dẫn giải

S S

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:

Câu 65: [DS12.C2.6.D03.a] Phương trình

2

5log 2 log

2

A Có một nghiệm âm và một nghiệm dương B Vô nghiệm

C Có một nghiệm âm D Có hai nghiệm dương

Hướng dẫn giải Chọn D.

Điêu kiện: 0< ≠x 1

2

5log 2 log

2

2 2

2log 2 0

⇒ =x

là nghiệm nhỏ nhất

Câu 67: [DS12.C2.6.D03.a] Nếu đặt

2log

=

trở thànhphương trình nào?

log x −20log x+ = ⇔1 0 9 log x−10logx+ =1 0

Câu 69: [DS12.C2.6.D03.a] Nếu đặt

2log

trở thànhphương trình nào?

t t

18

14

34

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

Điêu kiện:

04116

Đặt

2log

=

,điêu kiện

42

Khi đó phương trình trở thành:

11



x t

=

x x

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là

12và

14

Câu 71: [DS12.C2.6.D03.a] Phương trình

Hướng dẫn giải

[Phương pháp tự luận]

Điêu kiện :

12

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay x=1

(thuộc B, D) vào vế trái ta được 3 0=

vô lý, vậy loại B, D,Thay x= −1

vào

5log 2x−1

ta được

( )

5log −3

không xác định, nên loại AVậy chọn đáp án C.

Câu 73: [DS12.C2.6.D03.b] Gọi

1

x

, 2

log (125 ) logx x x=1

là

A

1125

725

630625

5 2

có hai nghiệm

Hướng dẫn giải Chọn D.

Điêu kiện x>0

Pt

5 2

15

Ta có ( 1 ) ( )

2

3log x − 3 1 log+ x− 3 0= ( 1 ) ( )

2

1 3

phương trình có hai nghiệm

là hai nghiệm của phương trình

2

24(log 2) 1

2

1

2 2

x

x x

x x

[Phương pháp trắc nghiệm]

Đáp án B,D có tích âm thì có thể 1

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính

log 2log 2 log

Nhấn CALC và cho X =1000

(số lớn nhất) ta thấy sai Vậy loại đáp ánD.

100

=

X

Câu 80: [DS12.C2.6.D03.b] Nếu đặt

2log 5 1

A

3 3

1 2

20494+ =

Đặt

2log

2

2 3

t

(thỏa mãn điêu kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

3 3

1 2 3

8;

44

2 6

Câu 84: [DS12.C2.6.D03.b] Nghiệm của phương trình

tối giản,tính a b+

(l)2

(thỏa mãn điêu kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

14