Sau bao năm chinh chiến tôi cũng đã thu lượm được một vài bí kíp về các môn học trong rất nhiều hoàn cảnh khác nhau , nghe có vẻ giống phim trung quốc , mỗi lần rơi xuống vực lại có một bí kíp võ công mới xuất hiện. Nhưng phải nói rằng người may mắn cũng phải có một tố chất nào đó nhất định, yếu tố đọc hiểu được đặt lên đầu tiên và yếu tố còn lại là hoàn cảnh và sự thấm nhuần khi chúng ta không còn việc nào khác để làm . Tôi thấy tài liệu này khá thú vị và phù hợp cho giáo viên cũng như học sinh, hi vọng còn có thể cung cấp hơn nữa cho các bạn.
Trang 1CHỦ ĐỀ 8: BẤT PHƯƠNG LÔGARIT
A – KIẾN THỨC CHUNG
1 Định nghĩa
• Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit
2 Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho
, >0, ≠1
• Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:
loga f x( )>b; loga f x( )≥b; loga f x( )<b; loga f x( )≤b
3 Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit
• Đưa về cùng cơ sô
Nếu a>1
thì
( ) 0log ( ) log ( )
log 2x− > −1 1
là:
Trang 2A
31;
2log x− >1 2
>
x
12
<
x
hoặc
2532
>
x
D
12
log 2x − + <x 1 0
có tập nghiệm là:
Trang 3A
30;
B x> −1
C x>0
11
Trang 4A m<4
B − < <4 m 4
44
có tập nghiệm là
là:
Trang 5A
3
;2
Trang 6A
94
92
98
Câu 37: Số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức ln 1 x( + ≥ −) x ax2 luôn đúng với mọi số thực dương x
+ với
, ,
a b c
là các số nguyên dương và
a c
−
5 6 32
−
5 3 52
−
5 6 52
−
Câu 40: Cho hai số thực dương
10
2 102
110
Trang 7
Câu 41: Cho hai số thực x,
Câu 42: Cho hai số thực x,
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Câu 43: Điều kiện xác định của bất phương trình
Trang 8A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4.
Câu 48: Tập nghiệm của bất phương trình
Trang 10A
265
=
S
83
=
S
2815
=
S
115
< −
x
32
> −
x
.
Trang 12log 5 log+ x + ≥1 log mx +4x m+
nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡
Trang 13thỏa mãn logx+logy≥log(x3+y)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức
thỏa mãn logx+logy≥log(x y+ 2)
Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức
12
t t
t t
Trang 14
Câu 94: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình 3
Câu 96: Nghiệm của bất phương trình
52
−+ <
2 x−10 x + >3 0
x
là:
Trang 15∈ + ∞
x
A Có 4 giá trị nguyên B Có 5 giá trị nguyên
C Có 6 giá trị nguyên D Có 7 giá trị nguyên
Câu 102: Tập các giá trị của m để bất phương trình
2 2 2 2
loglog 1 ≥
−
x m x
nghiệm đúng với mọi x>0 là:
Trang 16Phát biểu nào sau đây là Sai:
A Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
D Bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên
Câu 114: Bất phương trình
log (2x+ +1) log (4x+ ≤2) 2
có tập nghiệm là:
Trang 17BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:
Câu 1: [DS12.C2.8.D01.a] Tập nghiệm của bất phương trình
Hướng dẫn giải Chọn D.
2
log x −2x+ > ⇔3 1 x −2x+ > ⇔3 2 x −2x+ > ⇔1 0 x−1 > ⇔ ≠0 x 1
Trang 18
log 2x− > −1 1
là:
A
31;
Ta có:
1 2
2log x− >1 2
>
x
12
<
x
hoặc
2532
>
x
D
12
>
x
Hướng dẫn giải Chọn A.
Điều kiện
12
Trang 191252
1 2
20
Trang 202 2
Điều kiện: x− > ⇔ >1 0 x 1
1 2
[Phương pháp tự luận]
3
4x 6
30
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
3
log X +
X
Nhấn CALC và cho X =1
(thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274 Vậy loại đáp án C và D.
Nhấn CALC và cho X = −1
(thuộc đáp án B) máy tính không tính được Vậy loại B
Câu 12: [DS12.C2.8.D01.a] Bất phương trình
( 2 )
2 3
log 2x − + <x 1 0
có tập nghiệm là:
A
30;
Trang 21[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
( 2 )
2 3
Nhấn CALC và cho X = −5
(thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277… Vậy loại đáp án A và B.
Nhấn CALC và cho X =1
(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
31;
Trang 22B x> −1
C x>0
11
x x
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
Trang 23[Phương pháp tự luận]
D m> −4
Hướng dẫn giải Chọn B.
Trang 24Câu 21: [DS12.C2.8.D01.b] Tập nghiệm của bất phương trình
log x− − >3 1 0
có dạng
( )a b;
Khiđó giá trị a+3b
bằng
373
Hướng dẫn giải Chọn B.
Điều kiện: x>3
Bất phương trình
1 3
⇔ x− > ⇔ − < ⇔ <x x
Trang 25So điều kiện,
103;
có tập nghiệm là
> ⇔ − + > ⇔ − + < ⇔ − + < ⇔ < <
Trang 26
Kết hợp điều kiện được x≥1
Câu 27: [DS12.C2.8.D01.b] Tập nghiệm của bất phương trình
1 2
là:
A
3
;2
Phương pháp: + Đặt điều kiện
.+ Rồi giải bất phương trình logarit
Cách giải:
1 2
Trang 27Hàm số xác định khi:
2 1
2 2
Trang 282 2
x x
x x
92
98
Trang 30Nên dễ thấy
2+ 2+2 −2 + − =2 0
là phương trình đường tròn
Trang 31Câu 37: [DS12.C2.8.D01.d] Số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức ln 1 x( + ≥ −) x ax2 luôn đúng với
mọi số thực dương x là
tối giản Tính S a b c= + +
Trang 325 6 32
−
5 3 52
−
5 6 52
−
Hướng dẫn giải Chọn D.
Theo giải thiết ta có:
A
102
10
2 102
110
Trang 33Câu 41: [DS12.C2.8.D01.d] Cho hai số thực x,
Điều kiện bài toán tương đương
Câu 42: [DS12.C2.8.D01.d] Cho hai số thực x,
Biết giá trị lớn
nhất của biểu thức
2
P= x y+
là
a b
Trang 34và b=2
Do đó S=11
Trang 35
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:
Câu 43: [DS12.C2.8.D02.a] Điều kiện xác định của bất phương trình
[Phương pháp tự luận]
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
5
log (X − +2) log (X + −2) log X +3
Nhấn CALC và cho X =1
máy tính không tính được Vậy loại đáp án C và D
Trang 36Nhấn CALC và cho
52
=
X
(thuộc đáp án B) máy tính hiển thị 1,065464369
Câu 46: [DS12.C2.8.D02.a] Điều kiện xác định của bất phương trình
6x 8 0
4
> −
+ >
x x
x
x
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
2
log (5X +15) log (− X +6X 8)+Nhấn CALC và cho
3,5
= −
X
máy tính không tính được Vậy loại đáp án C và D
Nhấn CALC và cho X = −5
(thuộc đáp án B) máy tính không tính được
Trang 37Bước thứ 3 sai vì điều kiện xác định của bất phương trình
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
3
Nhấn CALC và cho X =2
(thuộc đáp án A và D) máy tính không tính được Vậy loại đáp
án A và D
Nhấn CALC và cho X =7
(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536
So điều kiện suy ra x>3
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
Nhấn CALC và cho X =3
(nhỏ nhất) máy tính hiển thị 0 Vậy loại đáp án B
Trang 38Nhấn CALC và cho X =4
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dựa vào điều kiện ta loại A, C, D
Điều kiện:
2
11
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
1
;02
Trang 39A
1
;12
Câu 54: [DS12.C2.8.D02.a] Tập nghiệm của bất phương trình
− > >
x x
Trang 40Kết hợp (*) ⇒
1
;2 2
ĐK
23
Trang 41Câu 59: [DS12.C2.8.D02.a] Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất là x=0
Trang 42− ≤ ≤x
Hướng dẫn giải Chọn C.
Cách 1: điều kiện
34
Trang 43So sánh điều kiện chọn đáp án C
Cách 2: Bấm máy tính
+ dựa điều kiện loại A loại D
Câu 64: [DS12.C2.8.D02.b] Giải bất phương trình
=
S
83
=
S
2815
=
S
115
61,5
2017
504, 254
.Vì
{336;337; ;504}
∈ ⇒ ∈
.Vậy bất phương trình có 169 nghiệm nguyên dương
Câu 66: [DS12.C2.8.D02.b] Tìm tập hợp nghiệm S của bất phương trình
( 2 ) ( )
logπ x + <1 logπ 2x+4
Trang 44
Điều kiện x> −2
Do
14
x
Kết hợp với điều kiện x> −2
, nghiệm của bất phương trình đã cho là
Trang 45x x
−
⇔ ≤ ≤x
.Kết hợp với điều kiện tập nghiệm là
x x
5
< <x
hay
61;
Trang 46Câu 72: [DS12.C2.8.D02.c] Nghiệm của bất phương trình
< −
x
32
− < ≤ −x
Hướng dẫn giải Chọn C.
Trang 47BPT thoã mãn với mọi x∈¡
⇔
022537
⇔ 2< ≤m 3
Câu 76: [DS12.C2.8.D02.c] Biết
152
Trang 48Mà
152
2 2
Trang 49BPT thoã mãn với mọi x∈¡
⇔
022537
⇔2< ≤m 3
BÌNH LUẬN:
Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi trên R :
( ) ( )
2
2
00
000
0
>
+ = + + ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤
>
+ = + + > ∀ ∈ ⇔ ∆ <
m m
m
m m
Trang 50m m
m
m m
Câu 83: [DS12.C2.8.D02.d] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
Trang 51( ) 2 2
m
Câu 84: [DS12.C2.8.D02.d] Số giá trị nguyên của tham số m sao cho bất phương trình:
( 2 ) ( 2 )log 5 log+ x + ≥1 log mx +4x m+
nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡
m m
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡
Trang 52+ ≥
⇔ + ≤ −a b a b L
.Nên minS =14
=
P
Hướng dẫn giải Chọn C.
Điều kiện:
00
Trang 53Hướng dẫn giải
Trang 55PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:
Câu 90: [DS12.C2.8.D03.a] Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình
[Phương pháp tự luận]
[Phương pháp tự luận]
Trang 56[Phương pháp tự luận]
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ( )2
=
X
(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị 0,3773110048
Câu 93: [DS12.C2.8.D03.a] Cho bất phương trình
9 3
t t
t t
Trang 57Chọn A.
Câu 96: [DS12.C2.8.D03.b] Nghiệm của bất phương trình
52
−+ <
Điều kiện: x>0
Với điều kiện trên bất phương trình tương đương
Trang 58.4
Trang 59Khi đó
2 2
A Có 4 giá trị nguyên B Có 5 giá trị nguyên
C Có 6 giá trị nguyên D Có 7 giá trị nguyên
Hướng dẫn giải Chọn B.
Trang 60Vì m nguyên nên
loglog 1≥
−
x m x
nghiệm đúngvới mọi x>0 là:
Đặt
2 2
Bất phương trình ban đầu có nghiệm với mọi x>0
( )*
⇔ nghiệm đúng với mọi t>1
Trang 63PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:
Câu 106: [DS12.C2.8.D04.b] Bất phương trình
2
1log 3 1
31
Trang 64( 1) 1 2 1 2
log 4.3x− >2x− ⇔1 4.3x− >3 x− ⇔3 x−4.3x< ⇔ < < ⇔ <0 0 3x 4 x log 4
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính
( 1)
3
log 4.3X− −2X +1
Nhấn CALC và cho X =3
(lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493 Vậy loại đáp ánA.Nhấn CALC và cho X =2
máy tính hiển thị – 0.7381404929 Vậy loại B
Nhấn CALC và cho X =1
Tập xác định:
1
;4
Trang 65Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
Trang 66Kết hợp với tập xác định, ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
31;
Trang 672 2
Khi đó dấu “=” trong (1) xảy ra
Phát biểu nào sau
đây là Sai:
A Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
D Bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên
Bất phương trình
Trang 68≠ − ≠ −+ + >
Trang 69Cộng vế với vế của
′ = ⇔ = <
.Lập bảng biến thiên suy ra hàm số
( ) ≤ ( )1 =5ln 2 6ln 3 0− < ⇒ ′( )<0
.Suy ra hàm số
là nghiệm duy nhất của phương trình
( ) =0
f t
.Suy ra
( ) > ⇔0 ( ) > ( )4 ⇔ < ⇔4 6 < ⇔ <4 4096
.Nên số nguyên a lớn nhất thỏa mãn giả thiết bài toán là a=4095
.Lúc đó
2
.Nên phần nguyên của
2
log 2017a
bằng 22
Trang 70Chọn B.