MÔN THI: Toán Thời gian làm bài 150 phút.
Trang 1HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH.
NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: Toán (Thời gian làm bài 150 phút)
Trang 2Câu Ý Nội dung Điểm
1
(2,5đ)
1.1
x<− x≥
⇔ x2+4x+ +4 2x2− −1 2 2x2−1 7 7+ = 0
2
(x 2) ( 2x 1 7) 0
2
2
2 0
2 2
2
x x
x x
x
x
= −
+ =
0,25 0,25
0,25
1.2
(1.0đ)
Điều kiện :
2 2
x x x
x y y
− ≥
− ≥
+ − − ≥
Từ (2) ⇔(x2 – 4)(x2 + 4) ≥ ⇔0 x2− ≥4 0 kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y2 – 2y + 1 0≥ ; Đúng với mọi giá trị của y
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)
0.5đ 0,5
1.3
(0,75đ) Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0
⇔x2 – 2y – 5 = 0 ⇔ x2 = 2y2 + 5 ⇔x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k Z∈ )⇔ 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5⇔2y2 = 4k2 + 4k – 4
⇔y2 = 2(k2 + k – 1) ⇔y chẵn
Đặt y = 2n; (n Z∈ ) ⇔4n2 = 2(k2 + k – 1) ⇔2n2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và
k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) ⇔(*) vô nghiệm⇔pt đã cho vô nghiệm
0,25 0,25 0,25
2
(2,0đ)
2.1
(1,0đ)
Để n+18 và n−41 là hai số chính phương
2
18
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30
Từ n+ =18 p2 =302 =900 suy ra n=882 Thay vào n−41, ta được 882 41 841 29− = = 2 =q2 Vậy với n=882 thì n+18 và n−41 là hai số chính phương
0,5 0,5
2.2
( 1,0đ) Gọi số cần tìm là : ab=10a b+ (a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết: 10a b a+ = + b là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương,
do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
10a b a+ = + b⇔10a b a+ = +2a b b+ ⇔2 5a − b =a
⇔ − = (vì a≠0)
0,5
Do đó a phải là số chẵn: a=2k, nên 5− b k= Nếu b= ⇒ = ⇒1 a 8 81 8= + 1 9= (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b= ⇒ = ⇒4 a 6 64 6= + 4 8= (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b= ⇒ = ⇒9 a 4 49 4= + 9 7= (thỏa điều kiện bài toán)
0, 5
3
3,25đ)
3.1
(1,0)
d
d '
D
B
I E N
P
H O
M