Chuyờn đề toỏn 6 : dãy số cách đềuNgười viết : Tạ Phạm Hải Giỏo viờn trường THCS thị trấn Hưng hà Thỏi bỡnh A.Lý thuyết cần nhớ Xột bài tập : Hóy liệt kờ 10 phần tử liờn tiếp đầu tiờn c
Trang 1Chuyờn đề toỏn 6 : dãy số cách đều
Người viết : Tạ Phạm Hải Giỏo viờn trường THCS thị trấn Hưng hà Thỏi bỡnh A.Lý thuyết cần nhớ
Xột bài tập : Hóy liệt kờ 10 phần tử liờn tiếp đầu tiờn của tập hợp :
1 A = { x ϵ N / x = 2n + 1 , n ϵ N }
2 B = { x ϵ N / x = 3n + 1 , n ϵ N }
Giải :
Ta cú A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; }
B = { 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 ; 25 ; 28 ; } Cỏch viết tập A , B liệt kờ như trờn ta được một dóy số Khi đú x = 2n + 1 là
cụng thức để viết tập A ; x = 3n + 1 là cụng thức để viết tập B , chỳng được gọi là số hạng tổng quỏt của dóy A , B Vỡ hiệu giữa hai số hạng liờn tiếp bất kỡ của mỗi dóy (số lớn trừ số nhỏ ) luụn là một số khụng đổi , nờn cỏc dóy trờn được gọi là cỏc dóy số cỏch đều Hiệu hai số hạng liờn tiếp của dóy gọi là khoảng cỏch của dóy , kớ hiệu là d
1 ) Vớ dụ : Cỏc dóy số sau đõy gọi là cỏc dóy số cỏch đều hữu hạn
Dãy số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … , n có số hạng tổng quát là n với n ϵ N , d = 1
Dãy số 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , … , 3n + 1có số hạng tổng quát là 3n + 1 với n ϵ N , d = 3
v v
2 ) Một số cụng thức của dóy cỏch đều :
Xột dóy cỏch đều hữu hạn tổng quỏt : a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; ; an
• khoảng cách là d = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 =
• n là số số hạng của dãy
• an l số hạng cuối cùng của dãyà
Ta cú một số cụng thức sau đõy ( đó học ở tiểu học )
Số hạng thứ n của dóy được tớnh bằng cụng thức : an = a1 + ( n – 1)d
Số số hạng của dóy được tớnh bằng cụng thức : an a1 1
n
d
−
Trang 2Để tớnh tổng S cỏc số hạng của dóy cộng: a a a a a1, , , , , ,2 3 4 5 an Ta viết:
n n
−
−
L L
2 S = ( a a + n) ( + a + an− ) + + L ( an− + a ) ( + an + a ) ( = a a n + n)
Do đú ta cú cụng thức tớnh tổng của dóy cỏch đều là : ( 1 )
2
n
a a n
S = +
Chú ý : Nếu các số hạng của dãy là các số tự nhiên thì dãy còn đợc gọi là dãy đồng d
B BÀI TẬP
Bài 1 : trong cỏc dóy số sau đõy dóy số nào là dóy số cỏch đều
• 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ;
• 1; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; 16 ;
• 1 ; 4 ; 9 ; 25 ; 36 ; 49 ;
Bài 2 : Viết cỏc dóy số biết số hạng tổng quỏt của nú là :
• a n = 3n + 2 , n ϵ N
• a n = 5n + 1 , n ϵ N
Bài 3 : a) Tớnh tổng cỏc số tự nhiờn lẻ cú hai chữ số
b) Tớnh tổng cỏc số tự nhiờn chẵn cú hai chữ số
c) Tớnh tổng 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + + 2008
Bài 4 : Cho tổng S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 2009
1 Tổng trờn cú bao nhiờu số hạng ?
2 Tớnh giỏ trị của tổng S
3 Để viết tất cả cỏc số hạng của tổng trờn thỡ dựng hết bao nhiờu chữ số ?
Bài 5 : Cho dóy số 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ;
1 Tỡm số hạng tổng quỏt và viết thờm ba số hạng tiếp theo của dóy
2 Tớnh tổng của 100 số hạng liờn tiờp đầu tiờn của dóy
3 Tớnh tổng 1 + 5 + 9 + 13 + + 9999
4 Viết 100 số hạng liờn tiếp đầu tiờn của dóy thỡ dựng bao nhiờu chữ số ?
5 Chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp cỏc số hạng của dẫy trờn là chữ số nào ?
Bài 6 : Cho dóy số 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ;
1 Tỡm số hạng tổng quỏt và viết tiếp ba số hạng tiếp theo của dóy
2 Số hạng thứ 2008 của dóy bằng bao nhiờu ?
3 Tớnh tổng 100 số hạng liờn tiếp đầu tiờn của dóy
4 Viết 100 số hạng liờn tiếp đầu tiờn của dóy phải dựng hết bao nhiờu chữ số ?
Trang 3Bài 7 : Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10
Lời giải
Ngoài cách giải bình thờng theo công thức , ta có thể giải nh sau :
Ta đa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi
đó ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 (1011 9899).98
9910 2
+
Vậy : E = 4954,05
Bài 8 : Cho dóy số 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; với n ∈ Z+
a Số hạng thứ 200 của dóy là số nào ?
b Để viết 100 số hạng liờn tiếp đầu tiờn của dóy thỡ cần bao nhiờu chữ số ?
c Tớnh tổng 300 số hạng liờn tiờp đầu tiờn của dóy
d Chữ số thứ 1000 của dãy là chữ số nào ?
Bài 9 : Tỡm số tự nhiờn x biết rằng
a (x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) + …+ ( x + 100 ) = 5750
b 1 + 2 + 3 + 4 +… + x = 820
c 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + ( 2x + 1 ) = 225
Bài 10 : a ) Hóy viết số 108 thành tổng của 9 số tự nhiờn liờn tiếp
b ) Hóy viết số 100 thành tổng của 10 số hạng liờn tiếp của dóy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ;
c ) Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Lời giải c õu c :
Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = ( 4006)
.2004 ( 2003).2004 2
a a
a
+ +
Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028⇔ a + 2003 = 4007 ⟺ a = 2004
Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010
Bài 11: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viột liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy : 1; 3; 5; 7;
Giải : Dóy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 cú 5 chữ số
Dóy 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; ; 97 ; 99 cú : ( + 1 ).2 = 45.2 = 90 chữ số
Trang 4Dóy 101 ; 103 ; 105 ; 107 ; ; 997 ; 999 cú : ( + 1 ).3 = 450.3 = 1350
c/số
Như vậy viết từ 1 đến 99 dựng hết 5 + 90 = 95 chữ số nờn cũn lại 999 – 95 = 904 chữ số nữa là đến chữ số thứ 1000 cần tỡm Ta thấy viết từ 101 đến 999 dựng hết 1350 chữ số nờn chữ số thứ 1000 cần tỡm phải nằm trong cỏc số hạng cú 3 chữ số của dẫy đó cho
Vỡ 904 chia cho 3 bằng 301dư 1 nờn chữ số thứ 1000 của dẫy đó cho là chữ số thứ
2 của số hạng thứ 302 của dẫy 101 ; 103 ; 105 ; ; 997 ; 999
Đú là số : 101 + ( 302 – 1).2 = 703 ( theo cụng thức )
Võy chữ số thứ 1000 của dẫy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; là 0
Bài 12 : Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng?
1 ; 1 + 2 ; 1 + 2 + 3 ; 1 + 2 + 3 + 4 ;
H
ớng dẫn : Vì công thức tổng quát để tính tổng 1 + 2 + 3 + 4 + + n là : ( 1)
2
n n+
Số hạng thứ n của dãy đã cho bằng: ( 1)
2
n n+
Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4 Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6
Bài 13: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành một số A.
Tớnh tổng cỏc chữ số của A
b) Cũng hỏi như trờn nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thờm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng làm thay
đổi kết quả) Tạm chưa xột số 100 Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50 cặp: 0 và 99; 1
và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18 Tổng cỏc chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1 ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
Bài 14 : ( Viết dẫy số biết tổng của nú )
a Hãy viết số 108 thành tổng của một dãy các số tự nhiên liên tiếp
b Hãy viết số 100 thành tổng của một dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp
c Hóy viết số 5050 dưới dạng tổng cỏc số tự nhiờn liờn tiếp
Giải
a Giả sử 108 viết đợc thành tổng của k số tự nhiên liên tiếp là :
( n + 1 ) + ( n + 2 ) + ( n + 3 ) + … + ( n + k ) = 108 ,với n ∈ N
áp dụng công thức tính tổng vế trái ta có
[( n + 1) + ( n + k )].k : 2 = 108 hay ( 2n + k + 1)k = 216 Vậy 2n + k + 1 và k đều
là các ớc của 216 với k < 2n + k + 1
Ta có : 216 = 1.216 = 2.108 = 3.72 = 4.54 = 6.36 = 8.27 = 9.24 = 12.18 = 24.9
= …
Trang 5Ta lại thấy nếu k chẵn thì 2n + k + 1 lẻ và nếu k lẻ thì 2n + k + 1 chẵn nên chỉ cần xét những phân tích 216 thành tích hai thừa số chẵn lẻ khác nhau
• Nếu k = 1 thì không thỏa mãn vì lời giải không có ý nghĩa
• Nếu k = 3 thì 2n + k + 1 = 72 ⇔ 2n + 4 = 72 ⇔ 2n = 68 ⇔ n = 34 và ta có phân tích là : 108 = 35 + 36 + 37 đúng
• Nếu k = 8 thì 2n + k + 1 = 27 ⇔ 2n + 9 = 27 ⇔ 2n = 18 ⇔ n= 9 và ta có phân tích là : 108 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 đúng
• Nếu k = 9 thì 2n + k + 1 = 24 ⇔ 2n + 10 = 24 ⇔ 2n = 14 ⇔ n =7 và ta có phân tích là : 108 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 đúng
Vậy bài toán có 3 đáp số nh trên
b Giả sử 100 viết đợc thành một dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp là :
(n +2) + (n + 4) + (n + 6) + … + (n + 2k) = 100 , với n là số nguyên lẻ và n > - 2 , k ∈ N
⇔ kn + 2.( 1 + 2 + 3 + 4 + … + k ) = 100 ⇔ kn + 2.k.(k + 1 ) : 2 = 100
⇔ nk + k.(k + 1 ) = 100 ⇔ k.( n + k + 1 ) = 100 Vậy k và n + k + 1 là các ớc của 100 với
n + k + 1 > k > 1
Ta có 100 = 2.50 = 4.25 = 5.20 = 10.10
• Nếu k = 2 thì n + k + 1 = 50 ⇔ n = 47 và ta có phân tích là 100 = 49 + 51
• Nếu k = 4 thì n + k + 1 = 25 ⇔ n = 20 Loại vì n chẵn
• Nếu k = 5 thì n + k + 1 = 20 ⇔ n = 14 Loại vì n chẵn
• Nếu k = 10 thì n + k + 1 = 10 ⇔ n = - 1 Và ta có phân tích là :
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 đúng
Và ta có hai đáp số nh trên
Bài 15 : Cho
1 2 3 4
1 2,
3 4 5,
6 7 8 9,
10 11 12 13 14,
S S S S
= +
= + +
= + + +
= + + + +
Tớnh S100 ?
Hướng dẫn: Số số hạng của S1, , S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100
ĐS: S100 = 515100
Bài 16 : Viết dóy số 1 , 2 , 3 , 4 , …, hết m chữ số Biết m Tỡm
Bài 17 : Tỡm n và a biết 1 + 2 + 3 + 4 + … + n =
Bài 18 :
Cho 2009 điểm phõn biệt sao cho khụng cú 3 điểm nào thảng hàng Cứ nối hai điểm bất kỡ ta được một đường thẳng Hỏi nối được bao nhiờu đường thẳng với 2009 điểm đó cho ?
Trang 6Bài 19 : Trên bảng của lớp học có viết dãy số tự nhiên là :
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , , 1969 , 1970 Hãy xóa 2 số hạng bất kì của dãy và thay vào đó bởi hiệu của chúng Chứng minh rằng có làm nh vậy bao nhiêu lần thì cũng không bao giờ đạt đợc kết quả là số còn lại trên bảng chỉ là chữ số 0
Bài 20 : Hai ngời chơi một trò chơi nh sau : Ngời thứ nhất đọc lên một số bất kì trong các
số từ 1 đến 10 ; ngời thứ 2 cộng thêm vào số đó một số nào đó không lớn hơn 10 rồi đọc lên tổng tìm đợc ; tiếp theo ngời thứ nhất lại cộng thêm vào tổng đó một số nào đó trong nhóm
từ 1 đền 10 rồi lại đọc lên tổng tìm đợc ; và cứ nh thế tiếp tục mãi Ngời thắng cuộc chơi là ngời đọc lên số 100 trớc Hỏi ngời thứ nhất phải đọc lên số nào để chắc chắn thắng cuộc ?