ÔN TẬP HÀM SỐ

Hướng dẫn giải...  Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2... Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.. Tìm số phần tử của

   

Giải bất phương trình 2   2

x  m xm m  ta được tập nghiệm

 2; 1

S m m

Khi đó ycbt tương đương với 1; 2m2;m1 2 1

1 2

m m

 



 

 



Vậy có 3 giá trị nguyên của m cần tìm  Đáp án A

 Xét bài toán 3: Tìm m để hàm số 3 2  

0

yax bx cx d a  đồng biến (nghịch biến) trên đoạn có

độ dài bằng 

 Bước 1: Tính y fx m; 

 Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến) – tức là có 2 điểm cực trị

0 0

y

a







  



x x   x x   x x  x x 

 Bước 4: Sử dụng định lý Viet để được  * về theo ẩn m

 Bước 5: Giải phương trình  * sau đó so sánh với điều kiện ở Bước 2 và đưa ra kết luận cho bài toán

yax bx cx d a  y ax  bx c Sử dụng định lý Viet cho tam thức bậc 2 y 3ax22bxc có 2 nghiệm x x 1; 2

1 2

1 2

2 3

3

b

a c

x x

a









Ví dụ minh họa – Đọc kỹ và hiểu sâu

Câu 1: [NNT] Tìm m để hàm số 1 3 2  

3

y  x mx  m x m  đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2

2

m m

 



 



Hướng dẫn giải

y  x  mx m

Vì a    nên yêu cầu bài toán thỏa mãn  phương trình 1 0 y 0 có hai

nghiệm phân biệt x x thỏa 1, 2 x1x2  2

Khi a    thì các em sẽ thấy đồ thị hàm số này có dạng như sau 1 0

2 2

2

1 5 2

1 0

1 5

2

m

m









 









 Đáp án C

Câu 2: [NNT] Biết rằng hàm số  

3

2

3

x

y  m x  x nghịch biến trên x x1; 2 và đồng biến trên các khoảng còn lại của tập xác định Nếu x1x2  thì giá trị m là ? 6

Hướng dẫn giải

3

2

3

x

y  m x  x Tập xác định 

2

2

m









Theo đề: Hàm số nghịch biến trên x x1; 2 với x1x2  và đồng biến trên các khoảng còn lại của tập 6 xác định khi và chỉ khi y 0 có hai nghiệm x x thỏa mãn 1; 2 x1x2  6

2

2

1 2

2

6

a



  













 Đáp án D

Câu 3: [NNT] Tìm tất cả các giá trị thực m để   3 2  

f x  x  x  m x m đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1

4 m

4

m  

Hướng dẫn giải

 Ta có   2

f x   x  xm

 Để hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 thì f ' x  có hai 0

nghiệm phân biêt x x1; 2 x1x2 thỏa mãn x2x1  1

 Với    0 3m 6 0m  Theo Viet thì 2

1 2

2 1 3

m

x x

 









thay vào

 2

5

4

x x   x x  x x    m  m  kết hợp với điều kiện của 

 Đáp án D

Câu 4: [NNT] Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2  

yx  mx  m x nghịch biến trên đoạn

có độ dài bằng 2?

2

m m





 



Hướng dẫn giải

 TXĐD  

y  x  mx m

 Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2

0

y

  có hai nghiệm phân biệt x ,1 x thỏa mãn 2 x1x2  2

2

2

m





 Đáp án B

 Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số

Xét hàm số y f x  ax b

cx d



 với TXĐ là \

d D

c

  



Ta có

 2

y

cx d



 



Nếu adbc thì hàm số đã cho suy biến và trở thành hàm hằng Do đó 0

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó adbc 0

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó adbc 0

 Hàm số đồng biến trên miền      

 

0

;

a b c

 







 



 Hàm số nghịch biến trên miền      

 

0

;

a b c

 







 



Ví dụ minh họa – Đọc kỹ và hiểu sâu

Câu 1: [NNT] Giá trị của m để hàm số sau

2

y x





 đồng biến trên từng khoảng xác định là ?

Hướng dẫn giải

 Tập xác định D \ 2

 Ta có

 2

2 2

m y

x



 



 Để hàm số đồng biến trên  ; 2 và   thì 2;  y 0

 2

2

0 2

m

x





   m 2

 Đáp án C

Câu 2: [NNT] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2

1

y x





 đồng biến trên khoảng xác

định của nó

A m 1; 2 B m 2;   C m 2;   D m   ; 2

Hướng dẫn giải

 TXĐ D  \ 1 

 Ta có

 2

2 1

m y

x



 



 Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó thì

2

1

m

x



 m Suy ra 2 m 2;  

 Đáp án C

Câu 3: [NNT] Cho hàm số y mx 2m 3

x m



 với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

A 4 B 5 C Vô số D 3

Hướng dẫn giải

 Tập xác định D \ m

 Ta có

2 2

y

 

 Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

2

y   m  m  m Đến đây các em thấy y 0 tại các giá trị

1 3

m

m

 



 



nên em phải loại 2 giá trị này

Vậy m0;m1;m2

 Đáp án D

Câu 4: [NNT] Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số 3

2

mx y





 đồng biến trên từng

khoảng xác định

A  6; 6

 B 6;6 C  6; 6 D  6; 6

Hướng dẫn giải

2

m

D  

 

2

mx y





2 2

6 2

m y

x m

 





 Theo yêu cầu bài toán thì ta có y 0, x D  m2 6 0   6m 6

 Đáp án D

Câu 5: [NNT] Cho hàm số 2

2

mx y





 , m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 Tìm số phần tử của S 

Hướng dẫn giải

 Tập xác định \

2

m

D  



 Ta có

2 2

4 2

m y



 



 Để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1

 

2

0;1 2

m m



 







0 2 1 2

m m

m











 



 





0

2

m

m

m





 







 Đáp án C

Câu 6: [NNT] Tìm m để hàm số m 3x 4

y



 nghịch biến trên khoảng ;1

A m   4;1 B m   4; 1 C m   4; 1  D m    4; 1

Hướng dẫn giải

 Ta có tập xác định D\m và

2

2

y

 



 Để hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 

1

m





 



 4;1

1

m

m

 



 

 

 m    4; 1

 Đáp án C

Câu 7: [NNT] Cho hàm số y 2x 1





 Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

1

;1 2

 

 

 

?

2m B

1 2

2

m 

Hướng dẫn giải

 Tập xác định D \ m

 Ta có

 2

1 2m

y

x m



 



 Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

2

 

 

  

1

2

y    x  

 

1 2 0 1 2 1

m m m







 



 

 1

1

2 m

  

 Đáp án A

Câu 8: [NNT] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số m 1x 2m 12

y

x m



 nghịch biến trên khoảng 1;  ? 

Hướng dẫn giải

 Tập xác định D\m

 Ta có

2 2

12

y

 





 Hàm số nghịch biến trên khoảng  

2

12 0

1 1;

m

m m

m





 Đáp án D

 Loại 3: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc bốn trùng phương

Ví dụ minh họa – Đọc kỹ và hiểu sâu

Câu 1: [NNT] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4   2

yx  m x m đồng biến trên khoảng 1;3 

A m    ; 5 B m 2;  C m   5; 2 D m   ; 2

Hướng dẫn giải

y  x  m x , x 1;3x2 1 m  x 1;3

 Đặt   2

1

g x x  với x 1;3

  2

g x  x, g x 0x0 l

Ta có bảng biến thiên của hàm số g x như sau  

Vậy m  2

 Đáp án D

Câu 2: [NNT] Cho hàm số   4 2

f x mx  x  với m là tham số thực Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2020; 2020 sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;1

2

 

 

 ?

Hướng dẫn giải

y  mx  x x mx 

Với m  thì 0 y 4x0 x0 Hàm số đồng biến trên 0;   m thỏa mãn 0

0 0

x x

y

















Ta có BBT như sau

Dựa vào BBT, hàm số đồng biến trên khoảng 0;1

2

So sánh với điều kiện m 0m  4

Theo đề bài m  2020; 2020

m

 







   Có 2016 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

 Đáp án A

y  x  m  m x  m  m nghịch biến trong khoảng nào?

A 2;   B 0;   C ;0 D    4; 

Hướng dẫn giải

 Tập xác định của hàm số D  

y   x  m  m x

0

12x 2 3m 3m 1 x 0

2x 6x 3m 3m 1 0

0 1

6

x











0

x

 

Vì a    nên hàm số nghịch biến trên khoảng 3 0 0;  

 Đáp án B

Câu 4: [NNT] Có bao nhiêu giá trị nguyên m   20; 20 để hàm số 2 4   2

ym x  m x  đồng biến trên khoảng 1;  ? 

Hướng dẫn giải

 Với m  thì hàm số trở thành 0 y2x21 đồng biến trên 0;  nên hàm số cũng 

đồng biến trên khoảng 1;  

m  thỏa mãn 0

 Với m  thì hàm số đã cho làm hàm số trùng phương với hệ số 0 am2  0

4x m x 4m 1

2

2

0

x

x

m







 



Để hàm số đồng biến trên khoảng 1;  thì phương trình  x2 4m2 1

m



 vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt x ;1 x sao cho 2  1 x1x2 1

2

4 1 0

4 1 0

4 1

1

m

m

m

m

 





 





 



1 4 1 4

4 1 0

m

m











  





   





1 4 1

4

2 3

m

m m











    





 







Vậy điều kiện để hàm số đồng biến trên 1;  là  m   ; 2 3  2 3; 

Vì

 20; 20

m

m







 





m  19; 18; ;0; 4;5; ;19  có 36 giá trị

 Đáp án D

Câu 5: [NNT] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  2  4 2

y m  x  mx đồng biến trên 1; 

A m   hoặc 1 1 5

2

2

Hướng dẫn giải

y  m  x  mx x m  x m

y m  x  mx đồng biến trên 1;  y0, x 1; 

 2  2   

1

m m

m





     



Với m  khi đó 1  *    (mâu thuẫn) 1 0

Với m   khi đó 1  *   (đúng) nên nhận 1 0 m   1

 Nếu m2 1 0m  hoặc 1 m  1

2

1 5

1 2

1 5

2 2

m m

m m

 



















 Nếu m2 1 0  1 m 1

2

1

m

m

(Không xảy ra do  x 1; ) 

 Giá trị cần tìm m   hoặc 1 1 5

2

 Đáp án A

 Loại 4: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác

Ví dụ minh họa – Đọc kỹ và hiểu sâu

Câu 1: [NNT] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymxsinx đồng biến trên 

Hướng dẫn giải

 Tập xác định D  

 Ta có y mcosx

Hàm số đồng biến trên   y0,  x msin ,x   x m 1

 Đáp án C

Câu 2: [NNT] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y f x  x m x luôn đồng biến trên ?

2

2

m 

Hướng dẫn giải

 Tập xác định D  

 Ta có y  1 msinx

 Hàm số đồng biến trên   y'0, x msinx  1, x 

Trường hợp 1: m  ta có 0 0 1, x    Vậy hàm số luôn đồng biến trên 

Trường hợp 2: m  ta có 0 sinx 1, x 1 1 m 1

     

Trường hợp 3: m  ta có 0 sinx 1, x 1 1 m 1

       

Vậy m  1

 Đáp án C

Câu 3: [NNT] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x msinxcosx đồng biến trên 

m    

2

m

m    

Hướng dẫn giải

 Tập xác định D  

 Ta có y  1 mcosxsinx

 ycbt  y 1 mcosxsinx0,   x min 1 mcosxsinx 0,    x

(1)

Trước tiên ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x sinxcosx

 Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có

 

cos sin 2 cos sin 2

 Cách 2: Sử dụng tách nhóm thích hợp Đặt tsinxcosx2sin cosx xt2 1

Do đó mcosxsinx  m cosxsinx  m 2   2 m mcosxsinx 2 m

 Đáp án B

Câu 4: [NNT] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ym3x2m1 cos x nghịch biến trên 

3m B

2 4

3

m

   C  4 m 3 D 2 4

3 m

  

Hướng dẫn giải

 Ta có y m 3 2m1 sin x

 Hàm số nghịch biến trên   y0   x  2m1 sin x 3 m   x 

x





2 4

3

m

   

 Đáp án B

Câu 5: [NNT] Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số 1 3  

cos 4 cot 1 cos 3

y x x m x đồng biến trên khoảng 0;?

Hướng dẫn giải

 Ta có: 2  

2

4

sin

x

sin

x

 Hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ khi y 0, x 0;

3

2

4

sin

x

2

3

4 sin

sin

x

    , x 0;  1

 Xét hàm số:   2

3

4 sin

sin

x

  trên 0;

Có   2 sin cos 12 cos4

sin

x

x

4

6

2 cos sin

sin

x

5 4

2 cos

sin

x x

x





  0

2



    0;

Ta có bảng biến thiên như sau

Do đó  

0;

x





    m5m  5

Kết hợp với điều kiện m nguyên âm  m       5; 4; 3; 2; 1

 Đáp án A

DẠNG 3: BÀI TOÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỢP

 Loại 1: Đổi biến số

 Xét bài toán: Tìm m để hàm số y f u x   đồng biến hoặc nghịch biến trên miền

 ; 

D a b

Phương pháp giải:

 Cách 1: Đặt ẩn phụ

Đặt tu x tu x  Đổi miền giá trị từ miền x sang miền t  

 



 



 Nếu tu x 0 x D thì bài toán đồng biến (nghịch biến) sẽ trở thành bài toán tìm m để hàm số

 

y f t đồng biến (nghịch biến) trên miền D t u a u b   ; 

 Nếu tu x 0 x D thì bài toán đồng biến (nghịch biến) sẽ trở thành bài toán tìm m để hàm số

 

y f t nghịch biến (đồng biến) trên miền D t u a u b   ; 

 Cách 2: Các em tính trực tiếp đạo hàm và chú ý công thức đạo hàm của hàm số hợp yu x f   x

Ví dụ minh họa – Đọc kỹ và hiểu sâu

Câu 1: [NNT] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số cos 2

cos

x y

x m





 nghịch biến trên khoảng 0;

2



Hướng dẫn giải

2



2

  

Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số y t 2





 đồng biến trên khoảng 0;1 

 Ta có

 2

2

m y

 

 



2 0

1

0

m

m

m





 







2 1 0

m m m







 







0

m

 Đáp án A

Câu 2: [NNT] Tất cả các giá trị của m để hàm số 2 cos 1

cos

x y

x m





 đồng biến trên khoảng 0;2



  là ?

2

2

Hướng dẫn giải

 Đặt cos x t Ta có 0;

2

  

   t 0;1

2

       

nên yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số y 2t 1





 nghịch biến

với t 0;1

 Tính

 

2

1

2 1

0 0;1

1

m m

m

m m

m







  













 



 Đáp án D

Câu 3: [NNT] Tìm m để hàm số sin2

cos

y

x



 nghịch biến trên khoảng 0;

6



 

4

Hướng dẫn giải

 Ta có sin2 sin2

y



 Đặt tsinx với 0;

6

  

   

1 0;

2

t  

 

Vì hàm số ysinx đồng biến trên 0;

6



  nên bài toán trở thành Tìm m để hàm số

2

1

y

t





 nghịch biến trên

1 0;

2

 

 

 

 Ta có

2 2 2

1

y

t

 



Hàm số đã cho nghịch biến trên 0;1

2

 

 

 

1

2

     

 

2

        

2

2

t

t

Xét hàm số  

2

1 2

t

f t

t



 trên 0;1

2

 

 

 

, ta có  

2 2

2 2

t

t

      

 

 Hàm số nghịch biến trên 0;1

2

 

 

 

Vậy

1 0;

2

5 min ( )

4

 

 

 

 Đáp án A

Câu 4: [NNT] Cho hàm số  1 sin 2

sin

y

x m



 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;

2



 

2

m m

 



 



2

m m

 



 



1

m m





 



Hướng dẫn giải

 Điều kiện sin xm

 Điều kiện cần để hàm số  1 sin 2

sin

y

x m



 nghịch biến trên khoảng 0;2



  là

1 0

m m





 



2 2

sin

y

x m

 



.Ta thấy

cos

0 sin

x

x m





0;

2

   

 

Để hàm số  1 sin 2

sin

y

x m



 nghịch biến trên khoảng 0;2





0 1 0

y m m

 















 2

1

0

m m

m

m



 

 





2

1

1

0

m

m

m

m

 

  



 









 



2 1

m m





   



 Đáp án A

Câu 5: [NNT] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2 tan 1

tan

x y



 đồng biến trên

khoảng 0;

4



 

2

m

  C 0m 1 D 0m 2

Hướng dẫn giải

 Vì trên 0;

4



thì tan x nhận tất cả các giá trị thuộc khoảng 0;1 nên hàm số xác định trên  0;

4



khi  m 0;1 1

0

m m

 





 Ta có

2

cos tan

m y

 

 



4

     

1 2

m

  Vậy

1 1 0

2

m m

 







 Đáp án B

Câu 6: [NNT] Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số ( ) 2sin2

1 cos

x



 nghịch biến trên khoảng 0;

6



 

A 3m 5 B m  1 C m  0 D 9

2

m 

Hướng dẫn giải

2 2 2

2 cos sin 2 sin

1 cos

y

x

 



6

y    x   

2

6

  vì cosx 0 x 0;6



2

0;

x

x



 

Đặt tsinx 0;1

2

   

 

2

0;

2

t

t

Khảo sát hàm số g t trên khoảng   0;1

2

ta được  

1 0;

2

9 min

2

g t

 

 

 

2

m 

 Đáp án D

 Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp f u u f u   

Lập bảng xét dấu đạo hàm f  của hàm số và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa – Đọc kỹ và hiểu sâu

Câu 1: [NNT] Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đạo hàm f  x  x1 2 x1 3 2x Hàm

số y f x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1; 2  B  ; 1 C 1;1 D 2;  

Hướng dẫn giải

 Ta có     2  3 

1

2

x

x

 







 



 Lập bảng xét dấu của f x ta được bảng như sau