TOÁN CAO CẤP HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

Page: Love NeverDies Toán cho các nhà kinh tế Giải bài tập giáo trình CHƯƠNG 8 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN NEU – Winter 2019..

Page: Love NeverDies

Toán cho các nhà kinh tế Giải bài tập giáo trình

CHƯƠNG 8

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

NEU – Winter 2019

Bài 1

0,1 1 3.0 2.1.0 1

  3  3  2 3

f a a a  a  a a  a (tương tự cho các giá trị còn lại)

Bài 2

0 2.0 3.0

f    

   2 2 2 2

;2 ;3

1 14

f a a a

a



Bài 3

a) Điều kiện: xy0  MXĐ:   x y; : ,x y ;xy0

Biểu diễn trên hệ Oxy, miền này là góc phần tư thứ I và thứ II, không kể 2 trục tọa độ

b) Điều kiện: x   y 0 x y  MXĐ:   x y, : ,x y ;xy

Biểu diễn trên hệ Oxy, miền này là phần hình phẳng nằm phía dưới đường thẳng y = x

c) Điều kiện:

4



x y  x y 

Biểu diễn trên hệ Oxy, miền này tạo thành hình tròn tâm O, bán kính bằng 2 tính cả biên

d) Điều kiện:

2 2

y y

Biểu diễn trên hệ Oxy, miền này là hình chữ nhật tâm O, chiều dài 4 song song Oy, chiều rộng 2 song song Ox, tính cả biên

Bài 4

b) x2y2  : z2 1 Trên hệ Oxyz, là toàn bộ phía trong của khối cầu tâm O, bán kính bằng 1 Bài 5

    1 0 1

0,1

u A u   

 => đường mức cần tìm là

1



Bài 6

  3

u A   đường mức cần tìm là x  y z 3

Bài 7

wu v  x y z  x y z

sin x sin y sin z 2 sin sinx y 2 sin sinx z 2 sin siny z

cos x cos y cos z 2 cos cosx y 2 cos cosx z 2 cos cosy z

Bước tiếp theo sử dụng 3 công thức:

a b a b

a b  

và cos cos 2sin sin

a b a b

a b   

           

wu v   xy  xy    x z xz    y z yz 

           

3 2 cos x y 2 cos y z 2 cos x z

Bài 8

Đặt u x y v;   , rút ngược lại ta có x y ;

u v u v

x  y 

  Thay vào f ta được:

u v u v u v u v

f xy xy  f u v            u  v  uv

Vậy,   2 1 2 1

;

f x y x  y  xy

Bài 9

a) Q20053 K L200 (không được rút gọn, vì nếu rút gọn thì vế trái không còn là Q nữa)

TRpQ K L K L TCw K K w L C L  0 15K8L50

3

Bài 10

350 3

QD p   p p  Q

2

TRpQ  Q Q  Q Q

3

40

Q K L vào ta được:

3 2

TR K L  K L  K L  K L K L

Bài 11

1 4; 2 2 3.4 2.4.2 4.2 48

b) Q1 D p 1 320 5 p1 p1 64 0,2 Q1 Q2 D p 2 150 2 p2  p2 75 0,5 Q2

1 1 2 2 64 0,2 1 1 75 0,5 2 2 64 1 75 2 0,2 1 0,5 2

Bài 12

a) U 4;3 4.3 4.3 24  đường bàng quan U24xy4y24

b) Nếu chi phí mua hai túi như nhau thì túi hàng mang lại lợi ích cao hơn sẽ được ưa chuộng hơn

 4;3 24

U  > U 5;2 5.2 4.2 18 x4,y được ưa chuộng hơn 3

c) Chị ta sẽ đổi nếu chị thấy rằng lợi ích của mình không bị giảm xuống (bằng hoặc hơn cũ)

Lợi ích với giỏ hàng đã chọn: U x 8;y38.3 4.3 36

Lợi ích khi đổi m hàng hóa A lấy 1 hàng hóa B là: U8m;4  8 m.4 4.4 48 4 m

48 4 m36  m 3

Vậy,

Bài 20

0

x x x x

f x f x f

0

y y y

f y f y f

Bài 21

3

y

u x  y x

b)    2  2

u  x yy   x yy   xy x yy 

y y

u  x yy   x yy   x  y x yy 

x x

x

y



 



1

y

x u

   

x

x



x x

y y y

y

x x

u e e

y y



x

x

u



 



1

y

x u

x y x y

x



 

   

f) Ta thấy rằng x2 y2  x x2  x x   , tương tự x 0 2 2

0

x y  x , do đó:

u x y x  x y x

2

x x x

u

y

u

Bài 22

a) u x   y z u y   x z u z   x y

b) u x 3x23y 1 2

3

y

u  z x u z 2yz 1 c)

x

x u

x y z

 

y u

x y z

 

z u

x y z

 

d) ue x3xy2xz2  2 2 2 3 2 2

x

u  x y z e   u y 2xye x3xy2xz2

3 2 2

2 x xy xz

z

u  xze  

Bài 23

 2  2

x x u x v

z u z  v z   y x u y v  y x y x  y x y  y x x x y

y y u y v

z u z v z   x u x y v  y x x y y

Bài 24

 2 2  2 2  2 2

x

z

y x y f x y xy f x y

x

2

z

y f x y

x x



 2 2  2 2  2 2  2 2 2  2 2

2

y

z

y

 2 2  2 2

2

z

2

Bài 25

Tính:  2 2 

,

y

f x y xy  ,  

y y

xy x

f x y xy f

xy xy





1 ,

2 2

y

x y x y

f x y xy

xy

x y xy





Tính:  2 2 

,

y

f x y xy 

  Đặt ux2  và y2 vxy  f u v ,  uv

 

3

y u y v y

v u xy x xy x xy

f u v u f v f y x

uv uv x y xy x y xy x y xy

Bài 26

 2 2  2 2  2 2

2

x

u

x y f x y xf x y x

2

u

y



Bài 27

x

u

x y x f y x x x f y x

x

sin sin  sin sin  cos sin sin 

y

u

y

cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos

Bài 28

df x y  f dx  f dy y dx xydydf dx dy

        2

f f x y f x y

1,1 1,1.1,2 1 0,584

f

    df 1,1 0,1 2.0, 2 0, 5 b) dx  x 5;dy   y 2   2

1,1 6.3 1 53

f

    df 1,1  5 2.2 9

Bài 29

x

x y x y x y x y y u

x y x y

11 2

y

x u

x y

 



  2 2

x y

ydx xdy

du u dx u dy

x y x y



x

x x y x x y xy u

x y x y

2 2

4

y

yx u

 

   

x y

du u dx u dy

d)

x

x

u



2

1 1

y

x u

xy x y



 

xy x y xy x y

Bài 30

a)

x y z

b) duu dx x u dy u dz y  z yzx yz1dxz x yzln x dyy x yzln x dz

Bài 31

a) u x 4x38xy2 u y 4y38x y2 2

x

u  x  y 2

y

u  y  x 16

xy yx

u u   xy

x y

d uu dx  u dxdy u dy    x  y dx  xydxdy y  x dy

x

u

x y

 

2

y

y u

x y

 

1

x

u

x y

  

2

2 2 2

2

y

x y u

x y



 

 22

2

xy yx

y

x y

    

2 xy

x y

c)

 2

7 2

x

y u

x y

 

7 2

y

x u

x y



 

14 2

x

y u

x y

  

28 2

y

x u

x y

 

 3

2

xy yx



   



2

1 1

x

u

y

x





2

1

y

x u

y

x



2

x

xy u

 

2

y

xy u

  

2

xy yx

2

d u dx dxdy dy

x y x y x y



Bài 32

     

0

0

x x

xy y

f y f f

y



0

y :      

0

0

xy x y



0

y :      

0

x x x x

f x f f

0

xy y y

y f

y

 



      Tương tự, các bạn tự xửf  yx 0,0  1

Bài 33

  2 2

x

x a

u

x a y b



 

2

.2

x

u

  2 2

y

y b

u

x a y b



 

2

.2

y

u

x y

u u  (dpcm)

Bài 34

2 2 4

3

x

u  x y z u y 2x yz3 4 3 2 3

4

z

u  x y z 2

2 4

6

x

u  xy z 2

3 4

2

y

u  x z

2

3 2 2

12

z

u  x y z uxy u yx 6x yz2 4 uyzu zy 8x yz3 3 u xz u zx 12x y z2 2 3

Ma trận Hess:

d u xy z dx  x z dy  x y z dz  x yz dxdy x y z dxdz x yz dydz

Bài 35

z z x

x

f



        

2

y

y

x x x x f

z y y zy y



2

z

z

x x x x

f

z y y z y y

 

z z z

x x x x x

df x y z dx dy dz

yz y zy y z y y

2

1 2 2

1

z x

x f

y z z y



 

x

f 

1

y

x x x x f

zy y zy z y

2

2

z z

z

x x x x

f

z y y z y y

     f  z21,1,1 0 (thôi không làm nữa đâu dài vcl  )

Bài 36

a)

3

8

K

Q L MPP

K K



Ý nghĩa: tại điểm (K=125, L =100) khi giữ nguyên L và tăng dùng K thêm 1 đơn vị thì sản lượng thu được tăng xấp xỉ 16 đơn vị

3 2

6

L

Q K MPP

L L



Ý nghĩa: tại điểm (K=125, L =100) khi giữ nguyên K và tăng dùng L thêm 1 đơn vị thì sản lượng thu được tăng xấp xỉ 15 đơn vị

b) L không đổi tức nó là hằng số MPPK giảm khi K tăng nghĩa là MPPK nghịch biến theo K

Tương tự như hàm số 1 biến, ta sử dụng đạo hàm để chỉ ra điều này:

3

K

K

K K K



=>K tăng thì MPPK giảm dần

c) Các bạn xử lý tương tự ý b) Tính (MPPL)′L sẽ thấy < 0

Bài 37

a) Lợi ích cận biên của hàng hóa A: MU x U 0, 4x 0,6y0,7

x





1,6 0,7

x

MU

x y x y x



 => x tăng thì MUx giảm dần, nghĩa là hàm lợi ích U phù hợp

với quy luật lợi ích cận biên giảm dần

(Các bạn xử lý tương tự cho MUy)

b) x U x 0, 4.x 0,6y0,7 0,4x 0,7 0, 4

Vậy, khi x tăng 1% và y không đổi thì lợi ích tăng xấp xỉ 0,4%

Bài 38

1

1 Q 125 12 1 2 2, 4 1

MC TC   Q Q  Q

2

2 Q 84 12 1 2 3,6 2

MC TC   Q Q  Q

Bài 39

D

p

p Q p m p p m p

D

m

s

Q m m

m Q p m p

35 0, 4 0,15 0,12

s

D s s

p

Q

   

Bài 40

a)   ta có: t 0 f tx ty ;  32   tx 3 ty t13 32x3y t f x y13  ,

 ,

f x y

 là hàm thuần nhất bậc 1/3

b)   ta có: t 0 f tx ty ;   2 tx ty3 ty tx t232x y3y xt f x y32  ,

 ,

f x y

 là hàm thuần nhất bậc 3/2

c)  t 0 ta có:              3 2 2 3 3 3 2 2 3 3  

f tx ty tz  tx  tx ty  ty tz  tz t x x yy zz t f x y z

 ,

f x y

 là hàm thuần nhất bậc 3

3

4 3

f tx ty tz t f x y z

tx ty tz t xyz



 ,

f x y

 là hàm thuần nhất bậc -9/4

Bài 41

Công thức Euler: x f xy f yzf zs f x y z  , , 

a) u x y , là hàm thuần nhất bậc 2 u x 4x3y u y 3x10y

x uy u x x y y x y  x  xy y  u (thỏa mãn công thức Euler)

b) u x y z , ,  là hàm thuần nhất bậc 0

2

x

x

x y z

x y z y z u

x y z x y z x y z

y

u



xz u

x y z x y z

  

x y z

x y z xy xz

xu yu zu u

x y z x y z

    (thỏa mãn công thức Euler)

Bài 42

Theo bài có:  ;  s  ,

f tx ty t f x y

Xét 1 điểm x y0, 0 bất kì thuộc miền xác định của f  , và x  t 0, ta có:

0

0 0

s s

x tu x

x tx x tx u x u x

u x

f x ty f tx ty f tu ty f tx ty t f u y t f x y

f tx ty

x tx tu tx t u x



 

0 0

x

u x x x

f u y f x y f x y f x y

u x x x



Từ đó suy ra:   1  

x x

f tx ty t  f x y => f x x y, là hàm thuần nhất bậc s - 1

Bài 43

a)   (tăng quy mô) ta có: t 1      0,4 0,3 0,7 0,4 0,3 0,7    

Q tK tL  tK tL t K L t Q K L t Q K L

Vậy, hàm sản xuất của hiệu quả giảm theo quy mô

b)  t 1 ta có:      0,6 0,8 1,4    

Q tK tL  tK tL  t Q K L t Q K L Vậy, hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô

c) Các bạn xử lí tương tự, trường hợp này là hiệu quả tăng

Bài 44

,

F x y x yy xa   32 23

3 3

x y

F x y y

y x

F x y x



,

F x y  x y a x y

   

x y

F

y x





c) Đặt F x y , xe yye xe xy

y x xy

y x xy

y



  

 

y

x

x

2

2

2

1

1 1

1

x

y x

x x











Bài 45

a) Đặt   2

F x y y  px 2

2

y



p



      

,

F x y x xyy 2 2

y

x y x y x y x y y x y x y y xy y y

2

2

x y

 



F x y y  yx

2

2

y

y y

y







y

3

2

x y



2

3 2

1

y





,

F x y x y x y a 2 3

y



  



2

y

  

2

 

        

2

 



2



 

(Thôi, vui thế đủ rồi, không thay y′ vào đâu =.= )