Sol KHTN 2019

Lời giải bài toán hình học ngày thứ hai kì thiOlympic Chuyên KHTN năm 2019 Nguyễn Đức Toàn THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng Ngày 13 tháng 5 năm 2019 Đề bài: Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiế

Lời giải bài toán hình học ngày thứ hai kì thi

Olympic Chuyên KHTN năm 2019

Nguyễn Đức Toàn (THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng)

Ngày 13 tháng 5 năm 2019

Đề bài: Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp trong đường tròn (O) sao cho AD là đường kính của (O), đồng thời EA = ED Dựng ra ngoài ngũ giác ABCDE, tam giác BCF vuông cân tại F , và hai hình vuông ABM N , CDP Q Giả sử hai đường thẳng M Q và N P cắt nhau tại R Gọi S và

T lần lượt là trung điểm của M Q và Chứng minh rằng RT ⊥ EF

Lời giải: Trước tiên ta cần chứng minh 3 bổ đề:

Bổ đề 1: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Gọi K

là trung điểm đoạn thẳng M P Khi đó K, Q, N thẳng hàng

Bổ đề này chứng minh khá đơn giản, chúng ta đến với bổ đề thứ hai

Bổ đề 2: (Định lý Van Aubel ) Cho tứ giác ABCD Vẽ ra phía ngoài của tứ giác 4 hình vuông ABM N, BCP Q, CDRS, DAT V lần lượt có tâm là D, E, F, G Khi đó EG ⊥ DF

Các bạn có thể tham khảo cách chứng minh bổ đề tại đây

Bổ đề 3: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt thuộc AB, AC sao cho B, C, E, D đồng viên Vẽ

về phía ngoài tam giác ADE tam giác đều DEF Lấy điểm K sao cho ∠ABK = ∠ACK = 135o Khi đó A, F, K thẳng hàng

Chứng minh:

1

Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC tam giác vuông cân BT C Ta có 4ADE ∼ 4ACB ⇒ 4ADE ∪

F ∼ 4ACB ∪ T Suy ra AF, AT đẳng giác trong góc ∠BAC Lại có BT, BK đẳng giác trong góc

∠ABT , CT, CK đẳng giác trong góc ∠ACB Suy ra T, K là 2 điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC Suy ra AT, AK đẳng giác trong góc ∠BAC Suy ra A, F, K thẳng hàng

Trở lại bài toán:

Gọi K, L lần lượt là tâm 2 hình vuông ABM N và CDP Q

M N ∩ P Q = J, M A ∩ QD = U Gọi E0 đối xứng E qua O

Áp dụng bổ đề 1, ta được L, K, T thẳng hàng Áp dụng bổ đề 2 ta được KL ⊥ EF

Ta cần chứng minh K, L, R, T thẳng hàng

Dễ thấy E0, B, N thẳng hàng, E0, C, P thẳng hàng, D, M, B thẳng hàng, A, C, Q thẳng hàng Lại có ∠AMD = ∠AQD = 45o Suy ra AM QD là tứ giác nội tiếp

Từ đó áp dụng bổ đề 3, ta chứng minh được U, E0, J thẳng hàng

Áp dụng định lý Desargues cho 2 tam giác LM N và KQP , ta có: M N ∩ P Q = J, LM ∩ KQ =

U, LN ∩ P K = E0, mà E0, J, U thẳng hàng nên M Q, N P, KL đồng quy tại R hay R, K, L thẳng hàng Ta có điều phải chứng minh

2