Cực trị hàm số trùng phương

Cực trị hàm số trùng phươngCực trị hàm số trùng phương , Hàm số có ba điểm cực trị.. Tìm để đồ thị hàm số : 1 Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều 2 Có ba điểm cực trị tạo thà

Cực trị hàm số trùng phương

Cực trị hàm số trùng phương

, Hàm số có ba điểm cực trị

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

,

tam giác ABC là tam giác cân tại A và Oy là trục đối xứng

Tam giác ABC vuông

Tam giác ABC đều

Ví dụ 1 Tìm để đồ thị hàm số :

1) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

2) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32.

Lời giải.

TXĐ:

Ta có

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

1) Ta có tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC đều khi và chỏ

khi

(do ) Vậy là giá trị cần tìm.

2) Gọi H là trung điểm của BC, suy ra Do đó

Vì tam giác ABC cân tại A nên

Vậy là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2 Cho hàm số (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có

ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

Lời giải.

Ta có:

Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là:

Do tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi

(do ) Vậy là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3 Cho hàm số (1), m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Lời giải.

Ta có:

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Vậy là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 4 Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị thực của để

đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính vòng tròn nội tiếp lớn hơn 1.

Lời giải.

Ta có :

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số:

Gọi H là trung điểm BC, suy ra

Suy ra

Mặt khác chu vi là :

Mà ta có

Vì ta có

Do đó ta có trở thành :

Kết hợp với điều kiện ta có kết luận là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 5 Cho hàm số (1) Tìm để đồ thị hàm số (1)

có ba điểm cực trị cùng với điểm nội tiếp được một đường tròn Lời giải.

Ta có:

Nếu không thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị:

,

Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên Oy, suy ra

Gọi M là trung điểm của AC, suy ra

.

Ta có: $$\left\{ \begin{matrix} & I{{A}^{2}}=I{{D}^{2}} \\ & \

overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AC}=0 \\ \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{(a-2m-1)}^{2}}=49+{{(a-3)}^{2}}\ text{ (1)} \\ & \frac{3m-1}{4}+\left( \frac{9{{m}^{2}}-22m-7}{8}+a \right)\ frac{9{{m}^{2}}-6m+1}{4}=0\text{ (2)} \\ \end{matrix} \right.$$

Từ (1) thay vào (2) ta có được:

(*)

Do

(do ) nên

Vậy là giá trị cần tìm.