MEGABOOK-2018 Cho tam giác ABC cân tại A.. Biết rằng độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q.. Tìm công bội q của cấp số nhân đó
Trang 1Câu 1 (MEGABOOK-2018) Cho dãy số có và n ∈ N* Tính
Đáp án C
Ta có
n 1
+
n
n
− +
Vậy
n 1
2
3
−
÷
Câu 2 (MEGABOOK-2018) Một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là được tính theo
Đáp án C
Tổng n số hạng đầu là
2
S = +u u + + u =5n +3n, n∈¥*
Tổng số hạng đầu tiên là
2
1 1
S = =u 5.1 +3.1 8=
Tổng 2 số hạng đầu là:
2
S = +u u =5.2 +3.2 26 8 u= = + ⇒u = = + = + ⇒ =18 8 10 u d d 10
Câu 3 (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC cân tại A Biết rằng độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q Tìm công bội
q của cấp số nhân đó
1
n n
n 1
n
+ = + +
+
n
lim u
n
S
2 n
1
Trang 2A B C D.
Đáp án B
Tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AM nên tam giác AMB
vuông tại M, với M là trung điểm BC
Đặt
2
Theo định lý Pitago ta có:
2
4
2
2 4 a 2 4 4 2 1
( )
2
2 2
2
= <
Câu 4: (MEGABOOK-2018) Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
2 n
với
*
n∈¥
Tìm số hạng tổng quát
n
u của cấp số cộng đã cho
A
n
u =2n 3+
B
n
u =3n 2+
C
n 1 n
u =5.3 −
D
n 1 n
8
5
−
= ÷
Đáp án A
Ta có:
1
1
d
2
=
+ = = + − ÷ ⇔ ⇔ ⇒ = +
=
2
+
2
+
2
− +
=
2 2 2
2
− +
=
Trang 3Câu 5: (MEGABOOK-2018)Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng:
A 56
o
B 102
o
C 252
o
D 168
o
Đáp án C
Giả sử 4 góc A< B, C, D ( với A B C D< < <
) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa mãn yêu cầu với công bội q Ta có:
3
3
q 3
A B C D 360
=
+ + + =
Câu 6 (MEGABOOK-2018): Xét ( )
3
n 3 n
A 195
+
= −
+
Có bao nhiêu số hạng dương của dãy?
Đáp án D
n
n 3 !
+
Ta có
n
> ⇔ + + < ⇔ + − < ⇔ < <
Vậy
n= 1;2;3; 4
nên có 4 số hạng dương của dãy
Câu 7 (MEGABOOK-2018)Một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu
n
S được tính theo công thức
n
S =5n +3n, n∈¥
Tìm số hạng đầu
1
u
và công sai d của cấp số cộng đó
A
1
u = −8,d 10=
B
1
u = −8,d= −10
C
1
u =8,d 10=
D
1
u =8,d= −10
Đáp án C
Trang 4Tổng n số hạng đầu 2 ( *)
S = +u u + + u =5n +3n; n∈¥
Tổng số hạng đầu tiên là
2
1 1
S = =u 5.1 +3.1 8=
Tổng 2 số hạng đầu là
2
S = +u u =5.2 +3.2 26 8 u= = + ⇒u =18 8 10 u= + = + ⇒ =d d 10
Câu 8 (MEGABOOK-2018)Cho số hạng thứ m và thứ n của một cấp số nhân biết số hạng thứ
(m+n)
bằng A, sổ hạng thứ
(m−n)
bằng B và các số hạng đểu dương Số hạng thứ m là:
A
m
2n
B
A
A
÷
m n
A B
÷
D
( )AB 2n
Đáp án B
Ta có
m n 1
m n 1
B
+ − +
− −
−
= =
= =
Mặt khác
n
m 1
m
m n 1
m n 1
−
−
− + −
+
=
Tương tự ta có thể tính được
m 2n n
B
A
= ÷
Câu 9 (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập
thành một cấp số cộng Biết
, giá trị
x y+
là:
A 4
B 1
C 2
D 3
Đáp án A
Ta có:
Trang 5a c 2b sin A sin C 2sin B
Câu 10 : (MEGABOOK-2018) Cho dãy số
2
n 1 n 1 n
=
Tính
n
lim u
Đáp án D
Ta có
2 2
1 2
= − ⇔ = = − ÷ = − ÷ − − ÷
= = − ÷ − ÷ − ÷
−
Do đó
n 1 n 1 n 2 n n 3 n 1 4.2.3.1 n 1
2n
Suy ra
n
n 1
2n
+
Câu 11: (MEGABOOK-2018) Cho
a b c
2
π + + =
và cota, cotb, cotc tạo thành cấp số cộng Gía trị cota.cotc bằng
Đáp án C
Ta có
Trang 6( )
cot cot b.cot c cot cot b cot c
a a a a
+
+
Mà cota+cot c 2cot b=
Do đó ta được cot cot b.cot c 3cot ba = ⇒cot cot c 3a =
Câu 12 (MEGABOOK-2018)Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một
cấp số cộng và một cấp số nhân Tính giá trị của biểu thức
(b c) (c a) (a b) 2
Đáp án C
Ta có a, b, c là số hạng thứu m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân nên:
m 1
n 1
p 1
−
−
−
= + − = − = −
= + − = ⇔ − = −
= + − = − = −
Do đó
n p d m n d
Câu 13: (MEGABOOK-2018)Biết số nguyên tố abc có các chữ số theo thứ tự lần lượt lập thành cấp số nhân Giá trị
2 2 2
a + +b c
là
Đáp án B
Số đó là 421, đây là số nguyên tố (chỉ chia hết cho 1 và chính nó)
Ta thấy 4, 2, 1 theo thứ tự lần lượt lập thành cấp số nhân có công bội
1 q 2
=
Giá trị
2 2 2
a + +b c
là 21
Trang 7Câu 14: (MEGABOOK-2018) Cho dãy số
( )un
thỏa mãn
1
* 2
n 2 n 1 n
=
¥
Tính
n
2
u
lim
n +1
A.
1
4
B.
1 3
C.
1 2
D
3 4
Đáp án C
Ta có
u + =2u + −u + ⇔1 u + −u + =u + −u + ⇔1 v + −v +1 v =u + −u
Do đó
n
v
lập thanh một cấp số cộng công sai bằng 1 nên
n 1 n n 1
u + −u =v = + −v n 1 d 2 n 1 n 1= + − = +
Từ đó ta có
u − =u u −u − + u − −u − + + u −u = + − + − + +n n 1 n 2 2
n
n n 1
2
+
⇔ = + − + − + + + =
Vậy
n
n n 1
+
Câu 15 : (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân công bội 2 Khẳng định nào sau đây đúng?
A
a = +b c
B
b = +a c
C
c = +a b
D
1
a b+ = =c
Đáp án A
Trang 8Ta có
B 2A,C 2B 4A= = =
mà
A 7 2
7 4 C 7
π
=
+ + = π ⇒ =
π
=
Thế vào
π+ π
π
Câu 16 : (MEGABOOK-2018)Cho ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
P
+ +
=
+ +
có dạng
x y x, y∈¥
Hỏi
x y+
bằng bao nhiêu:
Đáp án B
Ta có:
a c 2b+ = ⇔ =a 2b c− ⇔a = 2b c− ⇔a +8bc 4b= +4bc c+ ⇔a +8bc= 2b c+
Do đó
+ + +
với t 2b c= +
, dấu bằng xảy ra khi
1
3
+ =
Vậy
x y 11.+ =
Câu 17 (MEGABOOK-2018): Có hai cấp số nhân thỏa mãn
+ + + =
+ + + =
với
công bội lần lượt là
1 2
q ,q Hỏi giá trị của
1 2
q +q
là:
A
1
2
B
3 2
C
5 2
D
7 2
Trang 9Đáp án C
Biến đổi giả thiết thành
2
2 4 4
1 1
2
2
2 8
2 8
2 8 1
1
225 15
85
=
−
=
1 q
q 2
=
− − − + = ⇔
=
Do đó
1 2
5
2
+ =
Câu 18 : (MEGABOOK-2018) Cho cấp số cộng
( )un
và gọi
n
S
là tổng n số hạng đầu tiên
của nó Biết
S =77, S =192
Tìm số hạng tổng quát
n
u
của cấp số cộng đó
A
n
u = +5 4n
B
n
u = +3 2n
C
n
u = +2 3n
D
n
u = +4 5n
Đáp án B
1
1 12
1
7.6d
2
Khi đó
n 1
u = + −u n 1 d 5 2 n 1= + − = +3 2n
Câu 19(MEGABOOK-2018)Đặt
( ) ( 2 )2
f n = n + +n 1 +1
Xét dãy số
( )un
sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n
f 1 f 3 f 5 f 2n 1
f 2 f 4 f 6 f 2n
−
=
Tính
n
lim n u
A
n
B
n
1 lim n u
3
=
C
n
D
n
1 lim n u
2
=
Trang 10Đáp án D
Xét
2 2
2 2
f 2n 1
−
Đặt
( )2 2
2
2 n
i 1
2
g n
=
− +
+ +
∏
Câu 20 : (MEGABOOK-2018) Biết
x, y, x 4+
theo thứ tự lập thành cấp số cộng và
x 1, y 1, 2y 2+ + +
theo thứ tự lập thành cấp số nhân với x, y là số thực dương Giá trị của
x y+
là:
Đáp án D
Từ giả thiết ta có:
+ + =
+ + = + + + = + = − ⇒ = −
Do đó giá trị của
x y+
là 4
Trang 11Câu 21: (MEGABOOK-2018) Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Giá trị lớn nhất
của biểu thức
3 3 3
= + + ÷+ − + +
là
x y 1 x, y< ∈¥
Hỏi
3 3
x +y
có giá trị là?
Đáp án B
Ta có
2
ac b=
do đó
( )2 2
3 3 3
b
Suy ra
3 3 3
= + + ÷+ − + +
Dùng đạo hàm ta tìm được
tmax f t2;2 f 2 2 2
nên
3 3
x +y =16
Câu 22: (MEGABOOK-2018) Tìm x để ba số
ln2; ln 2( −1); ln 2( +3)
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
2
log 5
D
2
log 3
Đáp án C
Áp dụng tính chất cấp số cộng:
k 1 k 1 k
u − +u + =2u , k 2≥
( )
x 2x x
2 x
5
= −
=
Trang 12Câu 23 : (MEGABOOK-2018)Cho dãy số
n
(u )
thỏa mãn
1
1
9
+
=
Tính
n
lim u
A
1
2
B
1 3
C
3 4
D
2 3
Đáp án C
2
1
9
Đặt
v = 4u + −1 2
Lúc này
1
3
+
đây là cấp số nhân với
1
1
3
Do đó
2
n 1 2
n 1
n
1
3
1
−
−
÷ ÷
÷
Vậy
n
3 lim u
4
=
Câu 24 : (MEGABOOK-2018) Một cấp số cộng có số hạng đầu là
1
u =2018,
công sai
d= −5
Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm
A
406
u
B
403
u
C
405
u
D
404
u
Đáp án C
Trang 13Ta có: Số hạng tổng quát
n n
u =u + −n 1 d 2018 5 n 1= − −
Gọi
k
u
là số hạng đầu tiên nhận gía trị âm, ta có:
k k
2023
5
= + − = − − < ⇔ < − ⇔ >
Vì k∈¢
nên ta chọn k 405.=
Vậy bắt đầu số hạng
405
u thì nó nhận giá trị âm
Câu 25: (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC cân tại A Biết rằng độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q Tìm công bội q của cấp số nhân đó?
A
q
2
+
=
B
2 2 2 q
2
+
=
C
q
2
− +
=
D
2 2 2 q
2
− +
=
Đáp án B
Tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AM nên tam giác AMB vuông tại M, với M là trung điểm BC
(Dethithpt.com)
Đặt
2
BC a= ⇒AM aq, AB aq = =
Theo định lí Py-ta-go, ta có:
( )
2 2
2
BC
4
q
2
=
=
Trang 142 2 2 q
q
q
2
=
= −