Kỹ thuật tích phân của hàm ẩn

Cho hàm số fx có đạo hàm liên tục trên đoạn[ ]0;1 thỏa mãn điều kiện: 1 2 ' D.7 Khi gặp các dạng toán mới này tôi bắt gặp sự lúng túng, mất phương hướngtrong việc tìm ra cách giải của h

MỤC LỤC

Mục

lục……… 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN CỦA " HÀM ẨN "

Người thực hiện:Trần Ngọc Tiến Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

Mục lục

1.Mở đầu……… 1

1.1.Lí do chọn đề tài……….1

1.2.Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 2

1.4.Phương pháp nghiên cứu………3

2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………3

2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….4

2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề………4

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……….20

3.Kết luận, kiến nghị………21

3.1.Kết luận……… 21

3.2.Kiến nghị………22

Tài liệu tham khảo………22

1.Mở đầu

1.1.Lí do chọn đề tài

Trong chương trình bậc THPT thì bộ môn Toán học luôn là môn học quan trọng nhất Để đạt được kết quả cao trong môn học này đòi hỏi người học kiên trì, chịu khó, nỗ lực phấn đấu, luôn tìm tòi sáng tạo trong học tập Và để giúp học sinh học tập tốt đòi hỏi người dạy phải luôn tự học tập, nghiên cứu, trau dồi kiến thức, phải tâm huyết, đam mê, tỉ mỉ, kiên nhẫn trong giảng dạy và nghiên cứu Qua nhiều năm giảng dạy tôi thấy có rất nhiều học yêu thích và đam mê môn toán nhưng kết quả đạt được lại chưa cao Bên cạnh đó thì trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi tốt nghiệp quốc gia luôn có nhiều cách khai thác kiến thức trong chương trình ở nhiều khía cạnh khác nhau để tạo ra nhiều dạng toán khó

Kì thi mà được cả xã hội quan tâm hiện nay là kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia

Kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia là kì thi quan trọng nhất đối với bậc trung học phổ thông Để chuẩn bị tốt cho kì thi và để đạt được kết quả cao trong kì thi thì học sinh ngoài việc học đều tất cả các môn học còn phải đặc biệt hóa các môn xét điểm vào các trường Đại học, nhất là các trường danh tiếng Bộ môn toán học là bộ môn cần đạt được kết quả cao nhất để hoàn thành mục tiêu tốt nghiệp quốc gia và xét tuyển vào các trường chuyên nghiệp Muốn làm tốt nhiệm vụ này, học sinh ngoài việc đầu tư nhiều thời gian còn phải tìm tòi các phương pháp học hiệu quả sáng tạo để thu được kết quả cao Bộ môn toán học trong trường THPT là môn học tương đối khó nhưng chứa đựng nhiều nép đẹp quyễn rũ và đầy tính sáng tạo Để chuẩn bị tốt cho kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia Bộ giáo dục và đào tạo đã chỉ đạo học sinh ôn tập và đưa ra đề thi minh họa, bên cạch đó các trường THPT trong cả nước cũng ra đề kiểm tra chất lượng ôn tập tốt nghiệp quốc gia, trong các đề thi này chứa đựng nhiều dạng toán mới nhất là những câu

hỏi để phân loại học sinh ở phần vận dụng cao, chẳng hặn như các dạng toánmới về tích phân

VD: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần 1

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn[ ]0;1

thỏa mãn điều kiện:

1

2 '

D.7 Khi gặp các dạng toán mới này tôi bắt gặp sự lúng túng, mất phương hướngtrong việc tìm ra cách giải của học sinh và nếu chỉ vận dụng các kiến thức cơbản thì thực sự rất khó để tìm ra lời giải cho bài toán này, trong khi đó các tàiliệu, các chuyên đề về vấn đề này còn chưa nhiều Và còn nhiều câu hỏi về đồthị của hàm ẩn, bài toán thực tế…vv

Trước thực trạng của vấn đề tồn tại tôi thiết nghĩ mình chọn và nghiên cứu một

trong những chủ đề nóng của kì thi đó là: " Kĩ thuật tính tích phân của hàm ẩn" nhằm giúp các em ôn tập tốt hơn và đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp

THPT quốc gia sắp tới

1.2 Mục đích nghiên cứu

-Các vấn đề trình bày trong sáng kiến này nhằm mục đích cung cấp cho học sinh

lớp 12 các phương pháp tính tích phân của "hàm ẩn" trên cơ sở sử dụng các kĩ

thuật tính tích phân cơ bản được trình bày trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12

-Giúp học sinh nhận dạng và phân loại các bài toán về tích phân của "hàm ẩn" -Hình thành các phương pháp tính tích phân của "hàm ẩn" dựa trên các phương

pháp tính tích phân cơ bản qua đó bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kĩnăng giải toán, khả năng vận sáng tạo các phương pháp tính Qua đó giúp họcsinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và niềm đam mê đối với toán học

-Nâng cao khả năng tư duy độc lập, sáng tạo, tự học, tự bồi dưỡng và khả nănggiải quyết những dạng toán mới trong kì thi, để từ đó thu được kết quả cao nhấttrong kì thi tốt nghiệp quốc gia sắp tới

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về tính tíchphân của hàm ẩn

b Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này thuộc chương trình Giải tích của bậc trunghọc phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã

sử dụng các phương pháp sau:

- Nghiên cứu lí luận: Dựa trên việc tìm đọc, nghiên cứu, phân tích các tài liệu liên quan Rút kinh nghiệm trong thực tiễn giáo dục Từ đó xây dựng cơ sở lý luận của đề tài.

- Kết hợp với điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, trò chuyện, điều tra phỏng vấn học sinh, đồng nghiệp.

- Thống kê, xử lí số liệu: So sánh, phân tích, rút kinh nghiệm.

Hệ thống lại cho học sinh những kiến thức cơ bản về các phương pháp tính tíchphân: phương pháp đặt ẩn phụ và phương phương pháp tích phân từng phần.Thông qua các ví dụ và cách giải cơ bản dẫn dắt học sinh đến các bài toán vềtích phân hàm ẩn một cách tự nhiên, nhẹ nhàng Bằng các cách giải đơn giản,sáng tạo dựa trên sự khai thác các phương pháp đã biết, phân dạng và hình thànhphương pháp giải cho một dạng toán mới để cho học sinh thấy sự vận dụng linhhoạt trong việc giải quyết dạng toán mới và khó hơn rất nhiều, và thường rơi vàmức độ vận dụng hoặc vận dụng cao trong các đề thi thử tốt nghiệp quốc gia củacác trương THPT trên cả nước Các ví dụ minh họa trong các đề tài này đượcchọn lọc từ nhiều tài liệu tham khảo và các đề thi thử tốt nghiệp quốc gia trongnhững năm gần đây, đặc biệt là trong năm học 2017-2018, và được sắp xếp theothứ tự từ dễ đến khó Trong các giờ học trên lớp tôi đã lồng ghép các ví dụ mộtcách tự nhiên để xem xét phản ứng từ phía học sinh, khơi gợi cho các em sự tò

mò và từ đó dẫn dắt các em đi tìm tòi, suy luận sáng tạo cách giải từ nhữngphương pháp cơ bản để từ đó rút ra được các phương pháp giải bài toán tíchphân của hàm ẩn Qua đó cho các em thấy sự hiệu quả trong việc sử dụng "kĩthuật tính tích phân của hàm ẩn"

2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận.

a Lí luận chung:

Chủ trương của ngành giáo dục phổ thông là phát huy tính tích cực, tự giác , chủđộng sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiệncủa từng lớp, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rènluyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lạiniềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh

g ( ) f (u ).u (x )x =

+ Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x J∈ thì hàm

u b

2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong qua trình học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy các bài toán về tínhtích phân trong các đề thi tốt nghiệp quốc gia là rất đa dạng và phong phú, đặcbiệt trong đề minh họa môn toán năm học 2017-2018 của Bộ giáo dục và cáctrương THPT trên cả nước khai thác rất sâu về phương pháp tính tích phân vàxuất hiện dạng toán mới : tính tích phân của" hàm số ẩn" Đứng trước các bàitoán dạng này học sinh thường lúng túng, bế tắc trong việc đi tìm phương phápgiải nhanh và hiệu quả vì:

- Học sinh thường quen với cách tính tích phân của các hàm số cụ thể, và thường

có cách giải tổng quát như: tích phân của hàm số phân thức hữu tỷ, tích phân củahàm số lượng giác, tích phân hàm số chưa ẩn dưới dấu căn thức…vv Trong khi

đó lần đầu tiên học sinh bắt gặp các bài toán về tích phân của " hàm số ẩn"

- Số lượng các bài toán về tích phân của " hàm số ẩn" xuất hiện phổ biến trongcác đề minh họa tốt nghiệp của các trường THPT trên cả nước và trong cả các đềthi thử tốt nghiệp của các sở giáo dục trên khắp các tỉnh thành trong cả nước

- Trong khi đó các tài liệu và chuyên đề viết về vấn đề này còn chưa nhiều, chưaphổ biến và chưa cập nhật cùng với các chuyên động của mùa thi

2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Đầu tiên tôi hệ thống lại cho học sinh những kiến thức cơ bản về các phươngpháp tính tích phân: phương pháp đặt ẩn phụ và phương phương pháp tích phântừng phần Thông qua các ví dụ và cách giải cơ bản dẫn dắt học sinh đến các bàitoán về tích phân hàm ẩn một cách tự nhiên, nhẹ nhàng

Sau đó bằng các cách giải đơn giản, sáng tạo dựa trên sự khai thác các phươngpháp đã biết, phân dạng và hình thành phương pháp giải cho một dạng toán mới

để cho học sinh thấy sự vận dụng linh hoạt trong việc giải quyết dạng toán mới

và khó hơn rất nhiều, và thường rơi và mức độ vận dụng hoặc vận dụng caotrong các đề thi thử tốt nghiệp quốc gia của các trương THPT trên cả nước Các

ví dụ minh họa trong các đề tài này được chọn lọc từ nhiều tài liệu tham khảo vàcác đề thi thử tốt nghiệp quốc gia trong những năm gần đây, đặc biệt là trongnăm học 2017-2018, và được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó Trong các giờhọc trên lớp tôi đã lồng ghép các ví dụ một cách tự nhiên để xem xét phản ứng

từ phía học sinh, khơi gợi cho các em sự tò mò và từ đó dẫn dắt các em đi tìmtòi, suy luận sáng tạo cách giải từ những phương pháp cơ bản để từ đó rút rađược các phương pháp giải bài toán tích phân của hàm ẩn Qua đó cho các emthấy sự hiệu quả trong việc sử dụng "kĩ thuật tính tích phân của hàm ẩn"

Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã hướng dẫn cho học sinh nhậndạng, phân loại bài toán và dẫn dắt học sinh tìm ra cách giải bài toán từ nhữngcách giải cơ bản trong sách giao khoa theo hệ thống ví dụ bài tập được sắp xếptheo trình tự logic và được biên soạn công phu như sau

a.Phương pháp giải chung

Các bài toán về tích phân của hàm số ẩn được khai thác rất sâu và được cho ởnhiều dạng khá phong phú, nhưng dạng toán thường bắt gặp trong các đề thi là: Cho hàm số f(x) xác định và hàm liên tục trên đoạn, hoặc khoảng K nào đó và

thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán yêu cầu tính

b a

7 5

D.7Một dạng khác nữa cũng khá phổ biến là:

Cho hàm số f(x) xác định và hàm liên tục trên đoạn, hoặc khoảng K nào đó vàthỏa mãn điều kiện cho trước là một phương trình hàm và khai thác thành một

phương trình chứa tích phân cần tìm Bài toán yêu cầu tính

b a

C.

3

ln 2 2

+ Nếu giả thiết cho dưới dạng tích phân của hàm số chứa đạo hàm cấp 1, cấp 2,thì ta thường vận dụng phương pháp tích phân từng phần để làm xuất hiện tíchphân của hàm số cần tìm Lưu ý vận dụng các hệ thức đặc biệt từ điều kiện củagiải thiết

+ Đặc biệt có các bài toán mà giải thiết cần sử dụng sáng tạo cả hai phương phápmới tìm ra cách giải

Bước 2: Tiến hành giải quyết bài toán dựa vào hai phương pháp tính tích phân

cơ bản là : phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phân hoặcphối hợp cả hai phương pháp

Bước 3: Sử dụng các hệ thức và tính chất đặc biệt của tích phân từ đó tìm ra kếtquả

b.Phân loại theo phương pháp giải:

b.1 Sử dụng kĩ thuật đổi biến số để tính tích phân của" hàm ẩn":

Phương pháp đổi biến số là một trong hai phương pháp cơ bản để tính tích phân

và được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa giải tích lớp 12 và được lấy các

ví dụ minh họa rất phong phú, đa dạng Qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôithấy học sinh nắm rất tốt phần kiến thức này, thông thạo ở cả 2 phương pháp đổibiến số trên từng loại hàm số cụ thể như: hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượnggiác, hàm số chưa ẩn dưới dấu căn thức , hàm số siêu việt…Tuy nhiên khi bắtgặp các dạng toán về tích phân của hàm ẩn thì gần như không có một phản ứng

gì về ý tưởng giải bài toán Đứng trước thực trạng của vấn đề tôi đã đi tìm tòi,nghiên cứu và sáng tạo cách giải quyết các bài toán dạng này trên cơ sở nhữngphương pháp cơ bản trong sách giáo khoa một cách sáng tạo và khéo léo Xintrình bày bài giải ấn tượng đầu tiên

Ví dụ 1: Câu 50 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Thái Bình lần 5 năm 2018

Giả sử hàm số

đồng biến trên khoảng (0;+∞), y=f (x)liên tục và nhận

giá trị dương trên khoảng (0;+∞)và thỏa mãn:

2 (2) 3

và

2 ' (x) (x 1) f(x)

Sử dụng điều kiện giả thiết

' 2

Đến lúc này thì bài toán đã có hướng giải rõ ràng bằng cách lấy tích phân hai vế

và sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

d f f

(x) (x)

d f

dx f

Ví dụ 2: Câu 41 đề thi thử TNQG trường THPT Chu Văn An (Hà nội) lần 3 năm

2018 Cho hàm số y=f (x)liên tục trên R , và thỏa mãn điều kiện:

− C

1 3

D

2 3

−

Đọc giả thiết bài toán ta thấy đây là một phương trình rất phức tạp và rất khó để tìm ra ý tưởng giải bài toán Thế nhưng với cảm hứng trong việc chinh phục được ví dụ 1 thì ta định hướng bài toán bằng cách lấy căn bậc 3 hai vế của

1 2

Đối chiếu với các đáp án của bài ta chọn : Đáp án B

Một ví dụ được ra theo cùng xu hướng trên nhưng mang tính vận dụng cao hơn

Ví dụ 3: Câu 50 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp lần 1 năm 2018 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn Rthỏa mãn điều kiện

f ≥ ⇒ f = − f ≤ ⇒ =y f(x)

nghịch biến ⇒ f(x) f(0) 0< = vô lí

Nếu :

' (x) 1 (x) 1 (x) 0

Suy ra:

1 (1) e

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R \ 0{ }

thỏa mãn điều kiện{ }

∫

bằng:

C.

3

ln 2 2

Giả thiết là một phương trình khó Đối với học sinh khá, giỏi cũng rất khó nhận

ra để có thể khai thác giả thiết theo cách giải ở các ví dụ trên, vì đây là một tổngbình phương phức tạp: x f2 2 (x) (2 x 1)f(x) + − =xf' (x) 1, x R\ 0 − ∀ ∈ { }

Mới đầu nhìnvào giả thiết này ta dễ bị choáng ngợp vì quá phức tạp, nhưng sau đó ta lại thấy

có nét gì đó liên quan đến một hằng đẳng thức quen thuộc, từ ý tưởng này tôibiến đổi được như sau

Thêm một bài toán hay nữa cũng giải theo phong cách này

Ví dụ 6: Đề thi thử TNQG trường THPT QuảngXương I –ThanhHóa- lần 3

Cho hàm số f(x) dương, xác định và hàm liên tục trên đoạn[ ]0;1

thỏa mãn điều

kiện

2 0

C

2009 2

D.505

Bài toán này rất phức tạp, từ cách khai thác giả thiết cho đến tìm mối liên hệ với tích phân cần tính là tương đối khó Bài toán này đòi hỏi rất cao ở tính sáng tạo trong cách khai thác giả thiết Ta giải quyết bài toán này như sau:

Đầu tiên ta áp dụng tính chất của nguyên hàm:

' '

Ví dụ 7: Câu 42 đề thi thử TNQG trường THPT Chu Văn An TP Hà nội lần 1 năm 2018.Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn[ ]0;1

thỏa mãn điều kiện

π

=

C

I 20

π

= D

Ví dụ tương tự nhưng yêu cầu cao hơn

Ví dụ 8: Đề thi thử tốt nghiệp quốc gia của Sở GD&ĐT Bình Phước- lần 1 năm

2018 Cho số thực a>0.Giả sử hàm số f(x) dương, xác định và hàm liên tục trên

đoạn[ ]0;a

Thỏa mãn điều kiện:f(x) f(a x) 1.− = Tính

a 0

1 dx

=

C.I a= D

2a I 3

K =∫ f dx=

.Tính

2 2 0

I = ∫ xf (x ) dx

A

I 4 =

B.I 16= C.I 8= D.I 32=Đối với bài toán này thì rất nhiều học sinh có ý tưởng giải theo hướng tìm mối liên hệ giữa tích phân K và I Đây là ý tưởng hoàn toàn chính xác, vấn đề của chúng ta là dẫn dắt các em sử dụng phương pháp đổi biến cho hợp với giả thiết thì sẽ cho lời giải hay để từ đó kích thích trí sáng tạo của học sinh và hình thành niềm đam mê đối với môn toán Xin được trình bày ý tưởng như sau: