Đề thi học sinh giỏi 12 - tỉnh Thanh Hóa (2003->2009)

Tính khoảng cách từ A đến mfOxy biiết góc xOy=600... M thuộc cạnh AA’ Xỏc định vị trớ M để tam giỏc BMD’ cú điện tớch bộ nhất tớnh diện tớch bộ nhất đú Bài 82đ Viết phương trỡnh đường t

Năm học 2003_2004 Bảng B

Bài 1 (6đ)

1/ cho đường cong ( C ) có phương trình : =  π π 

∈ 3 ÷

sin víi x ;

2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với ( C ) và trục hoành

2/ cho hàm số

2

Tìm m=? để hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị

Bài 2 ( 5 đ) Giải các phương trình

2

1/ sin sin sin os x =1

2/ log log ( 2)

Bài 3 (5 đ)

1/ xác định số nghiệm  π 

∈ 0;2

x của phương trình 2 sinx + 2cosx = π

2/Không dùng máy tính so sánh log 2002 2003 vµ log 2003 2004

Bài 4 (4đ) Cho một góc tam diện Oxyz

1/ A là một điểm trên Oz sao cho OA=25a (a>0) Khoảng cách từ A đến Ox; Oy

Tương ứng là 7a và 20 a Tính khoảng cách từ A đến mf(Oxy) biiết góc xOy=600

Cho góc xOy=yOz=zOx=600 Điểm A (khác O) cố định trên Oz với OA=d không đổi M;N là hai điểm cố định trêm Ox Oy sao cho 1 + 1 = 1

OM ON d (1) CMR: đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

-Năm 2004_2005 bảng B

Bài 1(5đ) Cho hàm số = 4 − 2 +

1/ khảo sát và vễ đồ thị của hàm số

2/ Cho một điểm M thuộc ( C) có hoành độ là a Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến của (C ) tại M cắt ( C) tại hai điểm phân biệt khác M

Bài 2 (5đ)

1/ tính đạo hàm cấp n của hàm số = −

− −

2

2 1 2

x y

x x

2/ Tìm họ nguyên hàm của hàm số =

3

( )

3 2

x

f x

Bài 3( 3 đ)

1/ Xỏc định m để phương trỡnh sau cú 4 nghiệm phõn biệt: 2 − = − −

2/ Xỏc định m để phương trỡnh sau cú 3 nghiệm phõn biệt

− − 2 2− + + − +2 2 1 − + =

2

4 x mlog (x 2x 3) 2 x xlog (2 x m 2) 0

Bài 4( 4đ)

Cho hai đường trũn

+ − − + =

1

( ) : 10 2 25 0

Viết phương trỡnh đường thẳng tiộp xỳc với hai đường trũn trờn

Bài 5(3đ) Giải bài toỏn sau bằng phương phỏp toạ độ

α β γ

ọi ; ; là các góc tạo bởi đường thẳng (d) theo thứ tự với 3 đường thẳng

chứa 3 cạnh BC; CA; AB của tam giác đều ABC CMR : 16(sin sin sin os os os ) 1

G

-Năm 2005_2006 Bảng B

Bài 1 (2đ) khảo sỏt và vẽ đồ thị = + +

+

1

y

x

Bài2 (2đ) Tỡm m=? để hàm số = + +

+

1

x mx y

x cú cực đại cực tiểu và khoảng cỏch cỏc điểm đú đến đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau

Bài 3( 2 đ) GiảI phương trỡnh







log log log 2 log log log 2 log log log 2

Bài 4(2đ) Tỡm m=? phương trỡnh sau cú nghiệm: 2x2 + 3mx− = − 1 x 2m

Bài 5(2đ) CMR: nếu trong tam giỏc ABC thoả món hệ thức

2

C tgA tgB tg+ = thỡ tam giỏc đú cõn

Bài 6(2đ) Cho Elớp cú phương trỡnh 2 2 1

9 4

x +y = và điểm I(1; 1) Hóy lập phương trỡnh đường thẳng (d) qua I cắt (E) tại hai điểm A;B sao cho I trung điểm AB

Bài 7(2đ) Cho hỡnh lập phương ABCD A’B’C’D’, cạnh bằng 1 M thuộc cạnh AA’

Xỏc định vị trớ M để tam giỏc BMD’ cú điện tớch bộ nhất tớnh diện tớch bộ nhất đú

Bài 8(2đ) Viết phương trỡnh đường trũn tõm I thuộc đường thẳng (d) cú phương trỡnh

x-1=0 và tiếp xỳc hai đường thẳng cú phương trỡnh x-y+1=0 và x-y-1=0

Bài 9(2đ) Tính tích phân 4

dx c

π

∫

Bài 10(2đ) cho Cho x 0 CMR sinx x ≥ ≤

-Năm 2006_2007 Đề chung

Bài 1(7đ)

1 Khảo sat và vẽ đồ thị 2 1

1

x x y

x

+ +

= +

2 Tìm k để đường thẳng (2-k)x-y+1=0 cắt đồ thị (1) tại hai điểm phân biệt A;B sao cho tiếp tuyến tại A;B song song với nhau

3 Chứng minh rằng phương trình x2 + + = +x 1 (x 1) 9 −x có đúng 2 nghiệm

Bài 2(5đ)

1 áp dựng nhị thức Nui tơn của ( 2 )100

x +x CMR

C   − C   + − C   + C   =

2 Cho tích phân

0

sin 2

n N T×m a=? sao cho

2 os2x

n

nx

a c

π

−

∫

I2006 ;I2006 ;I2006 theo thø tù Êy lËp thµnh cÊp sè céng

Bài 3(7đ)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ (xOy) cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + −y2 4x+ 6y− = 3 0tâm I và đường thẳng (d) có phương trình x+by-2=0

CMR (d) luôn cắt (C) tại hai điểm P;Q phân biệt với mọi b Tìm b=? để tam giác

PIQ có diện tích lớn nhất

2 Trong không gian với hệ toạ độ (Oxyz) cho các điểm A(2;0;0) B(0;8;0) C(0;0;3)

Và N là một điểm thoả mãn ON OA OB OCuuur uuur uuur uuur= + + Một mặt phẳng (P) thay đổi cắt các đoạn OA;OB;OC; ON lần lượt tại A1; B1 ;C1 ;N1 Tìm toạ độ điểm N1 sao cho

2007

OA OB OC

OA +OB +OC =

Bài 4(1đ) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình phương các khoảng

cách đến các mặt của một hình tứ diện đều ABCD cho trước bằng một số dương k không đổi

-Năm 2007_2008 Đề chung

Bài 1 (5đ) Cho hàm số 1 (C)

1

x y x

−

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

2 Xác định điểm M thuộc đồ thị ( C ) của hàm số sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là số nhỏ nhất

Bài 2 (4đ)

1 Cho hàm sốy x= + 1 −x2 −m Xác định m=? để y≤0 trên tập xác định của nó

2 Trong mặt phẳng Oxycho hypebol (H) có phương trình x22 y22 1

a +b = Biết tâm sai e=2; Hình chữ nhật cơ sở của nó cắt Ox; Oy tại A;C và B;D Đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD có bán kính bằng 2 Tìm phương trình (H)

Bài 3 (4đ)

1 GiảI phương trình 4 osc 2x− 4 os2xcosc 2x− 6sin cosx x+ = 1 0

2 Cho a 0 Gi¶i vµ biÖn luËn BPT theo a:a≥ 3 4x +6a x2 2− +x 9a+ ≥3 0

3 Giải hệ phương trình sau

 + =



2 2

Bài 4 (6đ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1

Biết A1(0;0;0); B1(a;0;0); D1(0;a;0); A (0;0;a) Gọi M; N lần lượt trung điểm các cạnh AB; B1C1

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN; BD1

2 Tính thể tích tứ diện ANBD1

3 Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD1

Bài 5 (1đ) Cho + 2 = +(2 2 n=1,2,3 T×m lim)n →∞ n

n

a

b

Năm 2008_2009 Đề chung

Bài 1 ( 5 đ)

Cho hàm số y= x3 -3x2 +2 có đồ thị ( C )

1 Khảo sát và vẽ đồ thị

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x3 -3x2 +2= m3 -3m2 +2

3 Với mỗi điểm M thuộc ( C ) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C )

Bài 2 ( 4 đ)

1 Tính tích phân

2

e x

=

∫

2 Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đội một khác nhau mà trong đó chỉ

có 1 chữ số lẻ

Bài 3 ( 5 đ)

1 Giải phương trình sau : sin(3 ) sin 2 sin( )

x−π = x x+π

2 Tìm giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x

3 Với giá trị nào của x; y thì 3 số log 2 log 2

u = + u = − u = y theo thứ tự đó, đồng

thời lập thành cấp số nhân và một cấp số cộng

Bài 4 ( 5 đ)

1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + (y-1)2=1

Chứng minh rằng với mỗi điểm M(m,3) trên đường thẳng y=3 ta luôn tìm được Hai điểm T1; T2 trên trục hoành sao cho các đường thẳng MT1; MT2 là tiếp tuyến của (C ) Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MT1T2

2 Cho hình chóp S.ABC có đấy là một hình vuông cân (AB=BC=1) Và các cạnh Bên SA=SB=SC = 3 Gọi K,L lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên cạnh SA,SB lần lượt lấy M, N sao cho SM=SN=1 Tnhs thể tích cưa LMNK

Bài 5 (1 đ)

Cho n là một số nguyên lẻ và n>2 Chứng minh rằng mọi a khác ) ta có:

−