Chuong 2 Xử lí tín hiệu số

TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN 3.1 Tính chất tuyến tính Là loại hệ thống thỏa mãn hai tính chất vật lý sau: - Nếu đầu vào của hệ thống được khuếch đại a lần thì đầu ra của hệ thống cũn

CHƯƠNG 2 TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN

1 CÁC TÍN HIỆU SƠ CẤP

Hàm xung đơn vị: Còn gọi là mẫu đơn vị

Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa như sau:

Biểu diễn hàm trong Matlab

Tạo hàm xung đơn vị bằng mfile

Nhập các giá trị n0, n1, n2 và gọi hàm

Đồ thị hàm xung đơn vị

Hàm bước đơn vị: Trong miền n, dãy bước đơn vị được định nghĩa như sau:

)

�(�

=

1, 0,

≥

� 0 <

� 0 Biểu diễn hàm trong Matlab

Tạo hàm bước đơn vị bằng m file

Nhập các giá trị n0, n1, n2 và gọi hàm

Đồ thị hàm bước đơn vị

Hàm dốc đơn vị: thường được kí hiệu là ur(n), được định nghĩa như

sau:

,

� )

� (�

0,

�ớ� �

≥ 0

�ớ� �

< 0 Biểu diễn hàm trong Matlab

Tạo hàm dốc đơn vị bằng mfile

Nhập các giá trị n1, n2 và gọi hàm

Đồ thị hàm dốc đơn vị

Hàm mũ: trong miền n, dãy hàm mũ được định nghĩa như sau:

,

� ) =

�(�

0,

≥

�

0 <

� 0 Biểu diễn hàm trong Matlab

Tạo hàm mũ bằng m file

Nhập các giá trị a, n1, n2 và gọi hàm

Đồ thị hàm dốc đơn vị

Phép cộng tín hiệu: Đối với tính toán trên nhiều tín hiệu, ta có thao tác cộng tín hiệu Tổn của hai tín hiệu x1(n) và x2(n) là một tín hiệu y(n) có mẫu tại mỗi thời điểm n được xác định bởi tổng của hai mẫu của x1(n) và x2(n) tại cùng thời điểm đó:

) = ) + ),

�(� � (� � (� �ớ� �ọ� � Phép nhân tín hiệu: Tương tự, một thao tác biến đổi biên độ khác là nhân tín hiệu

Tích của hai tín hiệu x1(n) và x2(n) là một tín hiệu y(n) có mẫu tại mỗi thời điểm n được xác định bởi tích của hai mẫu của x1(n) và x2(n) tại cùng thời điểm đó: với mọi n

2 CÁC PHÉP TOÁN

Phép dịch tín hiệu: Thao tác biến đổi thời gian thứ nhất là dịch gốc thời gian, thay thế biến độc lập n bởi n – n0 trong đó n0 là một hằng số nguyên, có thể âm hoặc dương

Nếu n0 > 0: tạo thành tín hiệu trễ

Nếu n0 < 0: tạo thành tín hiệu sớm

Phép đổi chiều thời gian: Thao tác tiếp theo của biến đổi thời gian là đổi chiều thời gian, thay thế biến độc lập n bằng -n

Thao tác này được biểu diễn toán học bằng toán tử đổi chiều thời gian {.} ℐ

3 TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN

3.1 Tính chất tuyến tính

Là loại hệ thống thỏa mãn hai tính chất vật lý sau:

- Nếu đầu vào của hệ thống được khuếch đại a lần thì đầu ra của

hệ thống cũng khuếch đại a lần

- Nếu đầu vào là tổng của hai tín hiệu thì đầu ra là tổng của hai tín hiệu đầu ra tương ứng

3.2 Tính chất bất biến

Hệ thống được gọi là bất biến nếu việc quan sát hệ thống tại các thời điểm khác nhau đều cho ra kết quả giống nhau Có nghĩa

là nếu dùng cùng một tín hiệu kích thích nhưng tại các thời điểm khác nhau thì các đáp ứng của hệ thống đó là giống nhau Xét một

hê thống được kích thích bởi x(n) và có đáp ứng: ℐ

4 HỆ LTI

4.1 Định nghĩa

Hệ thống rời rạc thời gian: còn được gọi là hệ thống xử lý tín hiệu số, biến đổi tín hiệu x[n] thành tín hiệu y[n] với những tính chất mong muốn Thường ta giả sử hệ thống rời rạc là tuyến tính và bất biến thời gian (linear and invariant time – LTI) để thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế Hệ thống cũng thường được giả sử

là nhân quả và không nhân quả

Phân tích hệ thống là tìm tín hiệu ra, còn gọi là đáp ứng đối với tín hiệu vào khi hệ thống đã được biết

Đáp ứng xung: đáp ứng xung là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là xung lực đơn vị

Lọc (filter) là thuật ngữ chung dùng để chỉ một hệ thống tuyến

và bất biến được thiết kế cho việc lọc lựa tần số Do đó, một hệ thống LTI rời rạc còn được gọi là bộ lọc số Có 2 loại lọc số chính Lọc FIR: Nếu đáp ứng xung của hệ thống LTI là hữu hạn thời gian thì hệ thống được gọi là lọc FIR

Lọc IIR: Nếu đáp ứng xung của hệ thống LTI là vô hạn thời gian thì hệ thống được gọi là lọc IIR

4.2 Đáp ứng xung và phương trình sai phân

Trong Matlab người ta sử dụng lệnh h=impz(num,den,N) để tính đáp ứng xung của hệ thống thời gian rời rạc LTI

Với num: là các hệ số tín hiêu vào

den: là hệ số các tín hiệu ra

N: là số đáp ứng xung

Để mô phỏng các hệ thống rời rạc thời gian LTI nhân quả có phương trình sai phân:

ak y[nk]bmx[nm]

k0 m0 Trong Matlab ta có thể sử dụng lệnh y=filter(num,den,x) hay y=filter(num,den,x,ic)

Với ic=[y[-1] y[2]…y[-N]] là vecto điều kiện ban đầu

Ví dụ: Tính và vẽ 50 đáp ứng xung của hệ thống có phương trình sai phân sau:

] − 0 − 1] + 0.7 − 2] = 2.240 ] + 2.490 −

1] + 2.2403�[� − 2]

Chương trình:

4.3 Một số tính chất của hệ thống

4.3.1 Tính chất tuyến tính và phi tuyến

Nếu �1� [� �2� [�1 ] + 2 ]  �1� [� �2� [�1 ] + 2 ], a1 và a2 là

hằng số thì hệ thống là tuyến tính, nếu hệ thống là phi tuyến

Hệ thống tuyến tính là hệ thống có quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, đồng thời thỏa mãn nguyên lý xếp chồng

Ví dụ: khảo sát tính chất tuyến tính của hệ thống có phương trính sai phân sau:

y[n] = 2.2403x[n] + 2.4908x[n − 1] + 2.2403x[n − 2]

+ 0.4y[n − 1] với x1[n]= cos(0.2πn), x2[n]=cos(0.8πn), a=2, b=-3

Chương trình:

Tính chất bất biến với thời gian Nếu y’[n-k] = y[n-k]: hệ thống bất biến thời gian

Nếu y’[n-k] ≠ y[n-k]: hệ thống không bất biến thời gian

Hệ thống bất biến thời gian là hệ thống hễ có tác động x(n) dịch mẫu k mẫu này phản ứng y(n) cũng chỉ dịch cùng chiều k mẫu

mà không bị biến đổi dạng

Ví dụ: Khảo sát tính bất biến thời gian của hệ thống có phương trình sai phân sau:

] = 2.240 ] + 2.490 − 1] + 2.240

− 2]

+ 0.4�[� − 1]

Với tín hiệu vào �[�] = 0.3 cos(0 2�) − 2 cos(0 8�)

Chương trình :

4.3.2 Tính chất ổn định

Một hệ thống LTI ổn định theo nghĩa BIBO khi và chỉ khi đáp ứng xung đơn vị của nó có tổng tuyệt đối Đối với hệ thống IIR thì điều kiện cần để hệ thống này ổn định là đáp ứng xung của hệ phải suy giảm tới 0 khi số lượng mẫu đủ lớn

Để kiểm tra tính ổn định của hệ thống, đáp ứng xung đơn vị được đánh giá theo công thức

Khi k tăng và kiểm tra các giá trị của |ℎ(�)| tại mỗi bước lặp Nếu giá trị của |ℎ(�)| nhỏ hơn 10-6 thì có thể coi tổng S(k) hội tụ

Ví dụ: Kiểm tra tính ổn định của hệ thống LTI có phương trình sai phân:

] = ] − 0 − 1] − 1 − 1] −

�[� �[� 8�[� 5�[�

0.9�[� − 2]

Chương trình :

4.4 Nhân chập

Quan hệ vào/ra của hệ thống LTI được xác định bởi tổng nhân chập:

Và được ký hiệu bằng �(� �(�) = ) ( ( ∗ ( �(�)

Hàm nhân chập của Matlab là hàm conv với cú pháp = �

 ,  )

Tuy nhiên hàm conv này mặc định 2 tín hiệu được nhân chập

có tín hiệu bắt đầu tại n=0

Đối với việc xử lý tín hiệu hai chiều ta dùng hàm nhân chập

=   ,  )

Ví dụ: Thực hiện nhân chập 2 tín hiệu sau Tìm tín hiệu ra y(n)

) = , 1,2,1, −1,0] à ) = , 1,2,3,1,0] ℎ(� [� [ � �(�[ [�

Chương trình